2 Blatt - Festkörperphysik 2-2D Gitter

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1 Heiko Dumlich April 9, Bltt - Festkörperphysik - D Gitter. (Oberflächen kubisch rumzentrierter Kristlle) ) In Abbildung () befinden sich die drei Drufsichten der (), () und () Ebenen des kubisch-rumzentrierten Gitters. Die erste Atomlge ist in rot, drunter liegende Lgen sind in grün gekennzeichnet. Figure : () () (),. Atomlge rot,. Atomlge grün b) Wir erhlten die folgenden Punktgruppen (unter Bechtung von Spiegelebenen und Drehchsen): dies knn mn der Abbildung () entnehmen. Punktgruppe Orientierung C 4v () C v () C v () Figure : () () (),. Atomlge rot,. Atomlge grün, Spiegelebenen s x, Drehchsen C x

2 c) Die Einheitsvektoren für die Oberflächeneinheitszellen ergeben sich wie folgt: ( ) () = ( ) () = () = ( ) ( ) = ( = = ( ) ) dmit erhlten wir für die Längen: () = = () = = () = = Die Lgenbstände ergeben sich zu: () d = () d = () d =. (Beugung m D Gitter) ) In Abbildung () befindet sich sich die Atomnordnung eines kubisch flächenzentrierten Gitters mit der () Ebene. Abbildung (4) beinhltet die Fläche, die sich bei einem () Schnitt ergibt. Hierbei ist der Abstnd zwischen den Atomen. Es hndelt sich um ein gleichseitiges Dreieck, d.h. lle Winkel betrgen 6. Der Abstnd von dem unterem mittleren Atom zum Atom oben beträgt Ds Dreieck besteht us 4 kleineren gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge. b) 5. Die Seitenlänge des Dreiecks beträgt. Wir wollen nun ds reziproke Gitter berechnen. Hierzu bestimmen wir zuerst die Bsisvektoren für unser Gitter. Dieses ergeben sich zu: =, =, = die reziproken Gittervektoren können wir nun über die beknnten Formeln:

3 Figure : Skizze einer fcc-gitterstruktur. Die () Ebene ist in grün eingetrgen. Die roten Punkte stellen Gittertome dr. Die dunkelroten zeigen n, dss dort uf Grund der Perspektive nicht sichtbr ein weiteres Atom sitzt. Figure 4: Bild einer fcc-()-oberfläche. Es entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge und dem Winkel 6 b = b = b = π ( ) = π π ( ) = π π ( ) = π 6 6 = π = π = π Hierus erhlten wir ds reziproke Gitter, ds in Abbildung (5) drgestellt ist. c) Wir vergleichen die Beugung von Elektronen und Röntgenqunten. Elektronen sind hierbei geldene Teilchen, während Röntgenqunten keine Ldung besitzen. Zusätzlich muss bechtet werden, dss Elektronen eine Ruhemsse besitzen, Röntgenqunten besitzen diese nicht. Elektronen wechselwirken sehr viel stärker mit Atomen ls Röntgenqunten. Die Wellenlängen der Elektronen liegen deutlich unter den Gitterbständen, während Röntgenqunten in der Größenordnung der Gitterbstände gewählt werden.

4 Figure 5: Bild der reziproken fcc-()-oberfläche. Es entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen = π und b = π. d) Es gilt die Brgg-Bedingung (für konstruktive Interferenz): nλ = d sinθ mit d dem Netzebenenbstnd, θ dem Auftreffwinkel, n der Beugungsordnung und λ der Wellenlänge. Für den Netzebenenbstnd gilt im kubischen Kristllsystem: d.h. d hkl = h + k + l Die erste Ordnung ist nun gegeben mit d = während die nullte Ordnung mit θ = rcsin λ d θ = rcsin = (k + ) π mit k N gegeben ist. Für den relevnten Fll lso, bzw.. D der Winkel. Ordnung beträgt, können wir gleich den Winkel für die. Ordnung berechnen: ( ) h θ = rcsin m e eu h meeu mit λ = (Herleitung siehe e)). Ds Beugungsmuster ist nchdem wir ds reziproke Gitter in b) bestimmt hben einfch zu überlegen. Wir erhlten in. Ordnung einen Punkt in der Mitte. Nun werden oben, unten, links und rechts unter dem Winkel der. Beugungsordnung die Reflexe. Ordnung erscheinen. e) Die Wellenlänge der Elektronen ist über die de-broglie-beziehung gegeben: λ = h p 4

5 wobei der Impuls der Elektronen über die Beschleunigungsspnnung U bestimmt wird. eu = eu m ev v = Somit ergibt sich für die Wellenlänge: λ = h me eu Die Energie der Röntgenqunten ist dnn gegeben mit m e E = hν = hc λ = m e euc Typische Energien für LEED liegen bei ev. Nehmen wir E = ev n, hierus ergibt sich dnn eine Wellenlänge von: λ = hc E = 4 Å Es ist lso dvon uszugehen, dss die Wellenlänge der Röntgenqunten nun nicht mehr in der Größenordnung des Gitterbstndes liegt (insofern mn diese Energiegrößenordnung verwendet). Somit wird uch kein Reflex sichtbr sein (die nullte Ordnung müsste immer uftreten, nch der folgenden Bedingung). Die Brgg- Bedingung sgt für die Beugungswinkel: ( ) nλ θ n = rcsin d somit muss lso λ d n gelten, dmit der Beugungswinkel für eine bestimmte Beugungsordnung uftreten knn. Dies würde bedeuten, dss wir die. Ordnung immer sehen, wobei schon für die. Beugungsordnung: λ d sein muss, dies heisst lso mit unserer Beispielenergie folgt: λ = 6 Å d somit müsste lso d größer ls 6 Å sein. Dies ist jedoch nicht so. Die höheren Ordnungen verlngen noch größere d s um ufzutuchen. Somit sehen wir nur die. Ordnung. 5