Hans Walser, [ a] Fibonacci trifft Pythagoras Anregung: I. Y.

Transkript

1 Hns Wlser, [ ] Fiboncci trifft Pythgors Anregung: I. Y. 1 Worum geht es? Mit den Fiboncci-Zhlen werden pythgoreische Dreiecke konstruiert, die im Limes zu den Fiboncci-Zhlen zurückführen. Als Nebenresultt ergibt sich eine Folge von Konstruktionen für den goldenen Schnitt. Pythgoreische Dreiecke Erinnerung: Mit u,v!, u > v > 0 erhlten wir durch = u v, b = uv, c = u + v ein gnzzhliges Zhlentripel, welches der Bedingung + b = c genügt. Dmit können wir uch ein rechtwinkliges Dreieck mit gnzzhligen Seitenlängen konstruieren. Wir verwenden nun für u und v die Fiboncci-Zhlen F n der folgenden Tbelle. Diese hben die Strtwerte F 1 = 1, F = 1 und die Rekursion F n = F n 1 + F n. In der Tbelle sind uf Vorrt uch noch die Lucs-Zhlen L n ufgelistet, welche sich von den Fiboncci-Zhlen nur durch ndere Strtwerte L 1 = 1, L = 3 unterscheiden. Die Rekursion ist dieselbe. n F n L n Verstz 1 In der folgenden Tbelle sind für u und v die Fiboncci-Zhlen mit einem Verstz von 1 verwendet worden, ds heißt es ist u n,1 = F n+1 und v n,1 = F n. Die u sind gegenüber den v um eine Stelle versetzt. n u n,1 v n,1 n,1 b n,1 c n,1 n,1 b n,1 c n,1 b n,

2 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors / Wir vermuten uf Grund dieser Tbelle: lim n,1 b n,1 = 1 = 0.5, lim c n,1 = 5 b n, Für n nehmen die pythgoreischen Dreiecke ds Seitenverhältnis :b : c = 1 : : 5 n. Ds ist ds klssische rechtwinklige Dreieck, ds sehr vielen Konstruktionen des goldenen Schnittes zugrunde liegt.. Verstz Nun ist u n, = F n+ und v n, = F n. Die u sind gegenüber den v um zwei Stellen versetzt, die v bleiben unverändert. n u n, v n, n, b n, c n, n, b n, c n, b n, Wir vermuten uf Grund dieser Tbelle: lim n, = 5 c , lim n, = 3 b n, b n, = 1.5 Für n nehmen die pythgoreischen Dreiecke ds Seitenverhältnis n. :b : c = 5 : : 3

3 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors 3/9.3 Verstz 5 Noch ds Beispiel mit Verstz 5, lso u n,5 = F n+5. n u n,5 v n,5 n,5 b n,5 c n,5 n,5 b n,5 c n,5 b n, Wir vermuten: lim n,5 = 11 c = 5.5, lim n,5 = b n,5 b n,5 Für n nehmen die pythgoreischen Dreiecke ds Seitenverhältnis ( ) :b : c = 11 : : 5 5 n. Ob sich uch mit diesem Dreieck der goldene Schnitt konstruieren lässt, überlssen wir den Tüftlern. 3 Übersicht Ein Feldversuch mit verschiedenen Verstzzhlen m lässt mit der Normierung b m = folgende Seitenverhältnisse m :b m : c m = lim n,m :b n,m : c n,m Grenzdreiecke vermuten: Verstz m m b m c m ( ) für die jeweiligen

4 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors 4/9 Wir erkennen bei den und c im Wechsel die Lucs-Zhlen und die Fiboncci-Zhlen. Wir vermuten somit: 4 Beweise m ungerde: m =, b m =, c m = F m 5 m gerde: m = F m 5, b m =, c m = 4.1 Schreibweisen und Formeln Für den goldenen Schnitt verwenden wir die Schreibweisen: Es ist τρ = 1. τ = , ρ = 1+ 5 Ferner verwenden wir die Formeln von Binet: F n = 1 5 τ n ( ρ) n ( ) und L n = τ n + ρ ( ) n Wegen ρ < 1 ist lim ( ρ) n = 0 ; wir können bei Grenzwertprozessen den ρ-anteil weglssen. Schließlich die Formel von Ctln: F r ( 1) r s Fs = Fr+s F r s Mit r = n + m und s = n lässt sich diese Formel von Ctln in folgender Form schreiben: 4. Grenzdreiecke Wir zeigen zunächst: F n+m ( 1) m F n = Fn+m F m m + bm = cm Für ungerdes m erhlten wir unter Verwendung von τρ = 1: + 4 =? 5Fm ( ( )) ( τ m + ( ρ) m ) + 4 =? τ m ( ρ) m τ m + ( τρ) m + ( ρ) m + 4 =? τ m ( τρ) m + ( ρ) m ( τρ) m + 4 =? ( τρ) m + 4 =? Für gerdes m verläuft die Rechnung nlog. ok

5 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors 5/9 4.3 Grenzwerte Zu zeigen ist: m ungerde: lim n,m = b n,m, lim c n,m = F m 5 b n,m m gerde: lim n,m = F m 5 c, lim n,m = b n,m b n,m Wegen der oben bewiesenen Pythgors-Beziehung hben wir in jedem der beiden Fälle nur einen der beiden Grenzwerte nchzuweisen. Zunächst sei wiederum m ungerde. Die Formel von Ctln lutet in diesem Fll: F n+m + F n = Fn+m F m Aufgrund der Formeln für die Konstruktion der pythgoreischen Dreiecke erhlten wir dmit: Weiter ist: Dmit erhlten wir: lim c n,m b n,m = lim c n,m = u n,m + v n,m = F n+m + F n = Fn+m F m b n,m = u n,m v n,m = F n+m F n F n+m F m F n+m F n = F m lim F n+m F n+m F n = F m lim Dmit ist der Fll für ungerdes m vollständig bewiesen. Für gerdes m läuft der Beweis nlog, es wird lim n,m = F m 5 b n,m 15 τ n+m = F m 5 1 τ n+m 1 τ n 5 5 bewiesen. 5 Konstruktionen des goldenen Schnittes im Qudrtrster Aufgrund der Tbelle Verstz m m b m c m

6 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors 6/9 ergibt sich eine Folge von Konstruktionen des goldenen Schnittes im Qudrtrster, llerdings mit einer Fllunterscheidung bezüglich der Prität von m. In beiden Fällen beginnen wir mit einem Rechteck im Krorster, ds 3F m Einheiten lng und Einheiten hoch ist. Für ungerdes m rbeiten wir dnn gemäß Figur (Figur exkt für m = 3). Am oberen Rnd wird durch Dritteln die Fiboncci-Zhl F m sichtbr gemcht. Am unteren Rnd trgen wir von rechts her den Abstnd ein. Dnn schlgen wir einen Bogen um die Ecke rechts oben gemäß Figur und erhlten uf dem oberen Rnd einen Teilpunkt, welcher ds us den ersten beiden Fiboncci-Strecken gebildete Intervll im Verhältnis des goldenen Schnittes teilt. Der Kreisbogen verläuft von unten nch oben. F m F m F m F m F m F m m ungerde Die blue und die rote Strecke sind dnn im Verhältnis des goldenen Schnittes. Für gerdes m sieht ds so us (Figur exkt für m = 4 ). Nun werden die drei Fiboncci- Strecken m unteren Rnd eingezeichnet und m oberen Rnd von rechts her bgetrgen. Der Kreisbogen ht immer noch die Ecke rechts oben ls Zentrum, verläuft nun ber von oben nch unten.

7 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors 7/9 F m F m F m F m F m F m Nun explizite Beispiele. m gerde 5.1 m = 1 Es ist F 1 = 1, L 1 = 1. m = 1

8 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors 8/9 5. m = Es ist F = 1, L = m = 3 Es ist F 3 =, L 3 = 4. m = 5.4 m = 4 Es ist F 4 = 3, L 4 = 7. m = 3 m = 4

9 Hns Wlser: Fiboncci trifft Pythgors 9/9 5.5 m = 5 Es ist F 5 = 5, L 5 = 11. m = 5