Fachhochschule Jena Fachbereich GW. Serie Nr.: 2 Semester: 1

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1 Fchhochschule Jen Fchbereich GW Tutorium Mthemtik I Studiengng: BT/MT - Bchelor Serie Nr.: 2 Semester: Them: Vektorrechnung und Geometrie Auf die Lehrmterilien im Internet ( Zum selbständigen Üben ) empfehle ich Vektorrechnung und Geometrie und Sttik. Aus letzterem kommen speziell die folgenden Nummern in Frge:,, 4,, 6, 8, 0, 4, 6, 7, 9, 20, 2,,,, 7, 4, 42, 4, 4, 46, 48,. Aufgben dieser Serie:. Die Ebene E enthält den Punkt P = (, 9, 2) und besitzt keine Schnittgerde mit der Ebene z = 0. Welche der nchfolgenden Punkte liegen in E? Welchen Winkel bildet E mit der Ebene x = 0? A = (, +9, 2), B = (,, ), C = (0, 0, 0), D = (2, 2, 2), E = (444,, 2), F = (, 2, ) 2. Es ist P = (,, ) und es bezeichne P x den nächsten Punkt zu P uf der x-achse, nlog P y und P z. Liegt P in der Ebene, die durch P x, P y und P z geht?. Die Endpunkte von zwei im Nullpunkt beginnenden Einheitsvektoren hben den Abstnd.44. Welchen Winkel schließen sie ein? 4. Bestimmen Sie den Prmeter b im Einheitsvektor e = (0.27, b, 0.02) T so, dß e mit dem Vektor (.84, 9.07,.62) T einen stumpfen Winkel bildet!. Welchen Wert ht der Prmeter b im Vektor v = (4, b) T, wenn unter llen Vielfchen von v genu eines einen Abstnd von vom Punkt P = (22, ) ht? 6. Aus dem Nullpunkt gehen Seile nch (7, 7, 0) und (0, 0, 9), in beiden wirken Kräfte von 200 N. Für die resultierende Gesmtkrft wurde eine Stärke von 27 N berechnet. Stimmt ds? 7. Bestimmen Sie die Komponente im Vektor v = (9, ) T so, d mit dem Vektor w = (2, 9) T für die Einheitsvektoren der beiden gilt: e v e w = 2! 8. Gegeben ist ein Würfel mit der Kntenlänge. Wie groß ist der mximle Abstnd von zwei seiner Ecken? 9. Bestimmen Sie - sofern möglich! - den jeweiligen Wert von so, dß die beiden Vektoren prllel werden! In welchen Fällen geht ds wrum nicht? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) und, b) und, c) und, 0 4 d) 2 4 0, e) , f) 6 0. Es ist v = (2,, 4) T. Finden Sie einen Vektor u der Länge 2 mit v + u = v + 2!. Bestimmen Sie die Zhlenwerte für die Buchstben in der nchstehenden Gleichung! c b = 7! 2 2. Bestimmen Sie lle Vektoren v, die mit den Vektoren (, 4) T und ( 2, ) die Sklrprodukte -6 und -47 entsprechend hben! 8,

2 . Finden Sie einen Vektor der Länge 7, der orthogonl zu (8, 20) T ist und mit (, ) einen stumpfen Winkel bildet! 4. Sei v = (, 2) T. Finden Sie den Vektor w, der in derselben Höhe wie v endet, doppelt so lng ist und unter ll diesen Vektoren mit v den kleinsten Winkel einschließt!. An einer senkrechten Wnd ist im Punkt P ein horizontler Ausleger der Länge 2 m befestigt; n seinem Ende hängt eine Lst von 00 N. Ebenflls m Ende des Auslegers ist ein Seil befestigt, ds zu einem Punkt Q n der Wnd genu oberhlb von P führt. Am Seil wird mit 400 N in Richtung Q gezogen. In welcher Höhe h muß Q über P liegen, dmit der Ausleger in P ein Drehmoment von 400 Nm entwickelt? 6. Geben Sie die nchstehenden Gerden in Punktrichtungsform n! Strtpunkt sei dbei jeweils der Schnittpunkt der Gerden mit der y-achse, Richtungsvektor von ihm zum Schnittpunkt mit der x-achse. ) 2x y = 8, b) x + y =, c) y = 4x + 7. Geben Sie die Gleichung der zu E : x 6y z = 4 prllelen Ebene n, deren Schnittpunkt mit der y-achse fünf Einheiten weiter vom Nullpunkt entfernt ist ls der von E! 8. Gegeben ist eine Gerde in Punktrichtungsform: r (t) = ( 7, 29, 29) T + t(4, 4, 7) T. Ermitteln Sie den Abstnd zwischen den Punkten r (9.69) und r (9.2)! 9. Gegeben ist eine Gerde g in Punktrichtungsform: r (t) = (2,, ) T + t(,, 2) T. Sei weiterhin A = (, 0, ) und B = (, 6, 4). Für welchen Punkt P g ist AP orthogonl zu AB? 20. Die Gerde g ist ds Bild der Funktion y = f(x) = x + und die Gerde g schneidet die x-achse in x = 9 und die y-achse in y = 6. Die Gerde g soll nun so gedreht werden, dß ihr Schnittpunkt mit g unverändert bleibt und dß sie nur im hlben Winkel wie bisher bfällt (mit dem Gefälle in nch wie vor dieselbe Richtung). Wohin muß zu diesem Zwecke ihr Schnittpunkt mit der x-achse verschoben werden? 2. Gesucht ist die Ebene E, die von der x-achse in x = 4 durchstoßen wird, von der y-achse in y = 6, deren Durchstoßpunkt mit der z-achse über dem Nullpunkt liegt und die im Winkel von 8 o gegen die Horizontle steigt (oder fällt). Geben Sie eine Gleichung der Ebene in Normlform n! 22. Welcher Punkt R der Gerden r (t) = (,, 0) T + t(2, 2, ) T ht zu den Punkten P = (7, 4, 9) und Q = (, 6, ) denselben Abstnd? 2. Welcher Punkt R der Ebene E : 2x y z = 4 ht zu den Punkten P = (7, 4, 9) und Q = (, 6, ) denselben Abstnd und einen minimlen Abstnd zum Koordintenursprung? 24. Der Einheitsvektor e v des Vektors v ist e v = 09 6 y 8, ermitteln Sie den Vektor v! 2. Die Krft f = (7, 4, ) T N soll unter Beibehltung ihrer Richtung um 20N verstärkt werden. Wie sieht der resultierende Krftvektor F us? 26. Bestimmen Sie und b so, dß die Ebene x + y 8z = b im Winkel von α = 7 o zur Horizontlen nsteigt! Welche Winkel (ußer 7 o ) kommen für α prinzipiell in Frge? 27. Geben Sie eine Drstellung derjenigen Gerden g n, die in der Ebene x 7y 8z = 9 horizontl vier Einheiten über der x y Ebene verläuft! 28. Aus A = (2, ) gehen Seile nch B = (7, ) und C = (4, ). Im ersten wirkt eine Krft von 70 N. Wie strk muß die Krft im zweiten Seil sein, dmit die Gesmtkrft horizontl gerichtet ist? 2

3 29. Aus dem Punkt P = (2,, ) sind Seile nch Q = (2, 20, 8) und R = (8, 4, ) gespnnt, in denen Zugkräfte wirken. Die in P resultierende Gesmtkrft von 800 N wirkt horizontl. Ermitteln Sie die Stärke der Kräfte in den beiden Seilen! 0. Im Punkt P = (9, 2, 0) der horizontlen x y Ebene liegt eine Punktmsse M mit dem Gewicht von 60 N. Von M führt ein Seil in den Punkt Q = (4, 24, 7). M beginnt uf der Ebene zu gleiten, wenn ihre Hftreibung überwunden wird. Sie beläuft sich uf % der von M uf die Ebene in senkrechter Richtung usgeübten Krft. Bei welcher Zugkrft im Seil setzt sich M in Bewegung?. Von P = (22, 6) gehen Seile nch A = (4, 28), B = (0, 0), C = (40, 8) und zu einem Punkt D uf der Gerden x y =. In den Seilen nch A und B wirken die Zugkräfte 0N und 20N entsprechend. Die Seile nch C und D sollen diese gerde kompensieren. ) Wo uf der gennnten Gerden muß mn D plcieren, dmit im Seil nch C gerde 90N wirken? b) Wo uf der gennnten Gerden muß mn D plcieren, dmit ds Seil nch C völlig entlstet wird? 2. In dem nchstehend skizzierten Mechnismus dreht sich die Welle W mit einem Drehmoment von 80 Nm im Uhrzeigersinn. Über den Arm A und den Pleuel P wird der Kreuzkopf K bewegt. Welche horziontl wirkende Krft F (ϕ) wirkt in K in horizontler Richtung in Abhängigkeit vom Winkel ϕ? (Eine nch rechts wirkende Krft sei positiv. W befindet sich in der Verlängerung der Schiene von K.) Mße: Länge A = 400mm, Länge P = 000mm. A... ϕ.... W. Geben Sie die Punkte P und P in der Ebene 2x y + z = 7 n, die dieselbe Höhe z wie der Punkt P = (4,, 2) dieser Ebene hben und von P den Abstnd 20 ufweisen! 4. ) Welcher Wert ist n die Stelle des Frgezeichens zu setzen, dmit die vier Punkte P, Q, R und S in einer Ebene liegen? P = (, 7, ), Q = (,, ), R = (9, 7, ), S = (,?, 0) b) Welche Werte sind n die Stelle der Frgezeichen zu setzen, dmit die vier Punkte P, Q, R und S uf einer Gerden liegen? P = (?,, ), Q = (2,, ), R = (8,?, 4), S = (0,?,?). ) Geben Sie einen horizontl verlufenden Vektor n, der orthogonl zur Verbindungsstrecke der Punkte (-7; ; 72) und (-2; 7; 69) ist! b) Geben Sie einen in der vertiklen Ebene durch die vorgennnten Punkte liegenden Vektor n, der orthogonl zur Verbindungsstrecke ist! 6. Ein in einer senkrechten Ebene schwenkbrer Krnrm ist mit seinem unteren Ende mit einem Gelenk n einer senkrechten Wnd befestigt. Er rgt unter einem Winkel von 4 o schräg nch oben. Seine Länge beträgt 6 m. In der Mitte seiner Länge geht senkrecht zu diesem vom Krnrm ein Seil b, ds n der gennnten Wnd befestigt ist und diesen hält. Welche horizontle Zugkrft des Seiles uf die Wnd bewirkt eine m oberen Ende des Krnrms hängende Lst von 2600 N? 7. Welche y-komponente muß der Punkt Q hben, dmit die Gerde durch P = ( 2; 2; 0) und Q = (4; y; ) die Ebene x+y+z = 0 im Abstnd 60 vom Nullpunkt durchstößt? (mit Tschenrechner) 8. Finden Sie den horizontl verlufenden dreidimensionlen Vektor v mit nichtnegtiven Komponenten, mit v x = 6 und der Länge 2! 9. Der Vektor (7, 26, 94) T ht den Betrg 99. Ermitteln Sie die Beträge der nchstehenden Vektoren! ) ( 7, 26, 94) T, b) (7, 26, 94) T, c) (94, 26, 7) T, d) (2.6,.7, 9.4) T, e) (2600, 9400, 700) T, f) (0., 0.84, 2.82) T, g) (/7, /26, /94) T P K..

4 40. Die Ebene E geht durch die Punkte A = (; ; ), B = (4; 0; 7) und C = (2; ; ). In welcher Höhe befindet sich der Punkt P E, der genu über oder unter dem Punkt (2,) der x y Ebene liegt? 4. Finden Sie Zhlen x, y und z so, dß die drei Vektoren (x,, ) T, (2, y, ) T und ( 4,, z) T prweise orthogonl sind! 42. Die Längeneinheit der Koordinten sei Meter. ) Eine Lst von 400 N hängt n einem Hebel us dem Nullpunkt nch (2; y; ). In welchem Bereich muß y liegen, dmit ds durch die Lst erzeugte Drehmoment 2000 Nm nicht übersteigt? b) Eine Lst von 400 N hängt n einem Hebel us dem Nullpunkt nch (2; ; z). In welchem Bereich muß z liegen, dmit ds durch die Lst erzeugte Drehmoment 2000 Nm nicht übersteigt? 4. Die drei Punkte A, B und C sollen eine Ebene im Rum eindeutig bestimmen. Ist ds für lle mögliche Werte von z c der Fll oder müssen gewisse Werte usgeschlossen werden? Wenn j, welche? ) A = (,, 7), B = (2, 2, ), C = (9,, z c ), b) A = (2, 2, 7), B = (,, 9), C(,, z c ), c) A = (,, 4), B = (,, 4), ( 9, 7, z c ) 44. Die Gerde g geht durch die Punkte A = (2; ) und B = (7; 20). Sie sei durch r(λ) = +λ c drgestellt mit c = BC. Es ist r(0.6) = ( ; ), finden Sie C! 4. Eine horizontle Ebene ist um A = (; ; 42) und um B = (; 4; 42) drehbr. Sie wird durch eine Befestigung in C = ( 2; 0; 42) fixiert. In P = (; 7; 42) wird eine Lst von 800N ufgelegt. Welche Hltekrft muß dzu in C entwickelt werden? 46. An einem Seil von P = (; 4; 2) nch A = (8; 8; ) wird in A mit 400N gezogen. Ein weiteres Seil us P nch B = (9; 0; 7) zieht mit 700N nch B. In welchem Punkt C der Ebene y = 0 muß ein drittes Seil us P, ds mit N nch C zieht, befestigt werden, dmit die Summe ller Zugkräfte in P miniml wird? 47. Finden Sie die Schnittgerde der senkrechten Ebene durch die Gerde r(λ) = (2; 2; ) T +λ(6; ; 7) T mit der x y Ebene! 48. Gegeben ist die Gerde g : r(λ) = (, 2, ) T + λ(4, 4, ) T. Sie liegt in der Ebene E. Jede Gerde in E, die mit g einen rechten Winkel bildet, verläuft horizontl. Finden Sie eine Ebenengleichung für E! 49. Eine Lst hängt n zwei Seilen. Eines ist in (; ; 0) befestigt. Ds zweite soll so n einer Stnge us (0; 8; 2) nch (2; 0; 9) befestigt werden, dß die Lst über dem Punkt (4; ; -27) hängt. (Die Länge der Seile sei geeignet gewählt.) Finden Sie den Befestigungspunkt uf der Stnge! 0. Zwei räumliche Gerden sind gegeben durch r () (λ) = + λ p und r (2) (µ) = b + µ p. Es gelte ( b) p = 0, ermitteln Sie den Abstnd der beiden Gerden voneinnder!. Ist der Abstnd zwischen den Gerden λ kleiner oder größer ls 80? und µ Ermitteln Sie den Vektor v = (x, 8, z) T us der Angbe v = 8!. Welcher Vektor ist orthogonl zu sich selbst? 4. Es sind (4;9) und (6;) die beiden gegenüberliegenden Ecken eines Qudrts. Finden Sie die nderen beiden Ecken!. Sei A = (2; 8) und B = (0; ). Der Punkt C liegt, von A us gesehen, links von B. Sei AB BC und ds Dreieck ABC hbe einen Flächeninhlt von 04. Ermitteln Sie C! 4

5 6. Für zwei Krftvektore f () und f (2) gilt f () f (2) > 0. Ws gilt für f () + f (2) im Vergleich zu f () und f (2)? 7. Zwei Schienen (eine senkrecht, die ndere wgerecht) bilden ein Kreuz. Eine Stnge der Länge m knn mit einem Ende uf der senkrechten Schiene gleiten, mit dem nderen uf der wgerechten. Sie steht schräg, ds untere Ende (uf der wgerechten Schiene) 2m seitlich des oberen. Auf ds obere Ende drückt eine senkrecht nch unten wirkende Krft von 80kN. Mit welcher Krft muß mn ds untere Ende horizontl bstützen, dmit es nicht wegrutscht? 8. Welche x-koordinte muß der Punkt P = (x p, 6) hben, dmit die durch ihn und den Koordintenursprung gehende Gerde die Gerde y = 2x + 29 unter einem Winkel von 0 o schneidet?