F A = 2F, F B = F, F C = 2F. Dabei verläuft F A entlang der vorderen Flächendiagonalen, F B und F C verlaufen entlang der Kanten.

Transkript

1 Wintersemester / ZÜ. Aufgbe. z C Die Eckpunkte A, B, C eines Würfels (Kntenlänge ) sind die Anfngspunkte der Vektoren F A, F B, F C mit folgenden Beträgen: F C F A F, F B F, F C F. A x F A O B F B y Dbei verläuft F A entlng der vorderen Flächendigonlen, F B und F C verlufen entlng der Knten. Berechnen Sie in Abhängigkeit von den Größen und F: ) den resultierenden Vektor F res. b) ds Moment M (O) res des Vektorsystems bezüglich des Punktes O. c) ds Moment M (P) res des Vektorsystems bezüglich des Würfelmittelpunktes P. Aufgbe. In einem krtesischen Koordintensystem K mit den Koordintenrichtungen e, e, e besitzen zwei Einheitsvektoren e I und e II die Drstellung: e IK, e IIK ) Bestimmen Sie die Komponenten des Einheitsvektors e III, der e I und e II zu einem Rechtssystem ( e I, e II, e III ) ergänzt. Durch ( e I, e II, e III ) wird ein zweites Koordintensystem K festgelegt. b) Bestimmen Sie die Koordinten der Einheitsvektoren e, e und e, drgestellt im zweiten Koordintensystem K. c) Geben Sie die Trnsformtionsmtrix A n, die eine Vektordrstellung u K im Koordintensystem K in eine Drstellung u K im Koordintensystem K trnsformiert: u K Au K Zur Kontrolle soll die Orthogonlitätseigenschft A A T überprüft werden. d) Mn löse b) mit Hilfe von c).

2 Wintersemester / ZÜ. Aufgbe. z Optionle Zustzufgbe x P s h Q y Sechs Vektoren mit dem gleichen Betrg bilden ein regelmäßiges Tetreder. ) Berechnen Sie den resultierenden Vektor und ds Moment des Vektorsystems bezüglich des Punktes P. b) Bestimmen Sie ds Moment des Vektorsystems bezüglich des Punktes Q. Lösung zur Aufgbe. Alle Vektoren, die in dieser Aufgbe verwendet werden, werden im gegebenen xyz-koordintensystem drgestellt. Auf eine explizite Kennzeichnung wird verzichtet. ) Für den resultierenden Vektor gilt hier F res F A + F B + F C. Die Einzelvektoren ergeben sich zu F F A F, FB, FC F F. Bei der Bestimmung von F A wurde der Stz von Pythgors FA F Ay +F Az und F Ay F Az verwendet. Es ergibt sich F res F + F ++ F + F. b) DsresultierendeMoment M (O) res des Vektorsystems bezüglich des Bezugspunktes O errechnet sich gemäß: M (O) res r OA F A + r OB F B + r OC F C. Die Einzelvektoren sind us dem Aufgbenteil.) beknnt. Für die Ortsvektoren vom Bezugspunkt zum jeweiligen Anfngspunkt ergibt sich r OA, r OB, r OC.

3 Wintersemester / ZÜ. Dmit folgt M (O) res F F F F + + F + 4F F F () F. () c) Für die Berechnung des resultierenden Moments M res (P) des Vektorsystems bezüglich des Bezugspunktes P gibt es zwei Vrinten: Vrinte : (möglich wenn Moment M res (O) beknnt ist.) Ein Wechsel des Bezugspunktes erfolgt mittels der Formel Es gilt M (P) res r PO F res + M (O) res. r PO und r PO F res F F F F F. Dmit ergibt sich M (P) res F. Vrinte : (ohne Vorwissen: nlog zu b.)) M (P) res r PA F A + r PB F B + r PC F C () F F + + (4) F F F F + F F + F F F. ()

4 Wintersemester / ZÜ.4 Lösung zur Aufgbe. e ) Der Einheitsvektor e III steht uf e I und e II senkrecht. Dnn ist bei einem Rechtssystem: e III e III e I e II e e I e II e Seine Koordinten im System K sind: e IIIK 4 b) Die Koordinten eines beliebigen Vektors r erhält mn durch Projektion des Vektors uf die Einheitsvektoren des Koordintensystems. In diesem Fll sind die Koordinten im System K mit den zugehörigen Einheitsvektoren e I, e II und e III gefrgt. Dmit ergeben sich die Koordinten von r in diesem System zu r K r e I r e II r e III In welchem Koordintensystem die Berechnung der einzelnen Sklrprodukte durchgeführt wird spielt dbei keine Rolle, solnge beide Vektoren im selben System drgestellt sind. Dies wird jetzt uf die Einheitsvektoren e, e und e im System K ngewndt. Sie besitzen folgende Koordinten: e K e K e K Trnsformiert in ds Koordintensystem K ergeben sich folgende Koordinten: e e I e K e e II e e III e K e K e e I e e II e e III e e I e e II e e III 4

5 Wintersemester / ZÜ. c) Lut Formelsmmlung gilt A T K. Die Splten der Trnsformtionsmtrix A bestehen K us den Einheitsvektoren e I, e II, e III in Koordinten des Systems K: T K A [ ] e K IK e IIK e IIIK 4 Mn erkennt durch Ausmultiplizieren, dss AA T I und dher A A T. d) Es ist: e ik A e ik A T e ik lso: e K A T e K A T 4 ; e K A T Anmerkung Zentrles Them dieser Aufgbe ist die unterschiedliche Drstellung des selben Vektors in unterschiedlichen Koordintensystemen. Deshlb muss bei jeder Koordintendrstellung ngegeben werden, uf welches Koordintensystem sich die jeweilige Koordintendrstellung bezieht (Index K bzw. K ).

6 Wintersemester / ZÜ.6 Alterntive Herleitung der Koordintentrnsformtion: Vektor, physiklische Größe, unbhängig vom Koordintensystem. Drstellung von in zwei orthonormlen Koordintensystemen K{ e x, e y, e z }, K { e, e, e }: e z e e K e y K e x e knn zerlegt werden in x e x + y e y + z e z e + e + e () in Koordintendrstellung K : K x y, K : K z gesucht: Zusmmenhng zwischen K und K Anschuliches Vorgehen: Gleichung () jeweils mit e x, e y, e z multiplizieren e x : x e x e x + y e y e x + z e z e x e e x + e e x + e e x x + y + z e e x + e e x + e e x e y : e z : x + y + z e e y + e e y + e e y x + y + z e e z + e e z + e e z x y z }{{} K e e x e e x e e x e e y e e y e e y e e z e e z e e z } {{ } T K K K e K e K ] }{{} K e K : Koordintendrstellung von e im System K T K K : In den Splten von TK stehen die Einheitsvektoren des Ausgngssystems, drgestellt K in den Koordinten des neuen Systems. K T K K K

7 Wintersemester / ZÜ.7 Umkehrung: K (T K K ) K, wobei gilt T T T K (T K K )T K (T K K )T [ e xk e yk e zk e xk : Koordintendrstellung von e x im System K ] Lösung zur Aufgbe. z 4 6 h P Q x s s y gegeben: Kntenlänge ( ) ( s ; h ) ) Einführen der Vektoren - 6 und Koordinten bestimmen.,, 6, 6, 4 6

8 Wintersemester / ZÜ.8 Ortsvektoren von P zur Wirkungslinie von i r r r 4 r, r, r 6 s gesucht: resultierender Vektor und ds Moment bzgl. P (Vektorwinder bzgl. P) 6 resultierender Vektor: A i i A resultierendes Moment bzgl. P : MP M P + }{{} ( ) }{{} ( ) ( r i i ) i } {{ } ( ) + (*) liefert keinen Beitrg, d ds Kreuzprodukt eines Nullvektors mit einem nderen Vektor Null ergibt.

9 Wintersemester / ZÜ.9 b) Moment des Vektorsystems bzgl. Q M Q M P + r QP A + 6 6