Blatt 9. Bewegung starrer Körper- Lösungsvorschlag

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Lorenz Hauer
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1 Fkultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhnov Übungen zu Klssischer Mechnik (T) im SoSe 0 Bltt 9. Bewegung strrer Körper- Lösungsvorschlg Aufgbe 9.. Trägheitstensor eines Quders ) Berechnen Sie den Trägheitstensor eines homogenen Quders der Msse m mit den Seiten der Länge, b und c, die prllel zu den Achsen x, y und z usgerichtet sind. Der Schwerpunkt liegt im Ursprung des Koordintensystems. b) Betrchten Sie nun den Spezilfll = b und geben Sie den Trägheitstensor im Koordintensystem n, in dem der Schwerpunkt weiterhin im Ursprung liegt, der Quder ber so gedreht ist, dß die Knte der Länge c prllel zum Vektor (, 0, ) verläuft und eine Knte der Länge prllel zur Achse y ist. Lösung. ) Berechnen wir zuerst die Komponente Θ xx : Θ xx = b c dx dy b c dz ρ ( y + z ) = m b + c ; und Θ xy = Θ xz =... = 0, d der Körper entlng der Huptchsen usgerichtet ist. Die nderen Komponenten bestimmen wir us der Symmetrie, indem wir (, b, c) zyklisch vertuschen. Deshlb b) Der Trägheitstensor nch der xz-rottion knn durch Mtrixprodukte berechnet werden, Θ = m b + c c b 0 R = Θ = RΘR T = m + c 0 c 0 ( 4 + c ) 0. c 0 + c Für den Fll = b = c, ergibt sich eine Identitäts-Mtrix wie erwrtet.

2 Aufgbe 9.. Überkippen eines Würfels Ein homogener Würfel der Kntenlänge und der Msse m gleitet zunächst mit konstnter Geschwindigkeit v 0 uf einem gltten horizontlen Tisch. (Vier Knten des Würfels sind prllel zum Geschwindigkeitsvektor). Eine Schwelle von vernchlässigbrer Höhe (und mit etws klebrigem Kugummi drn) stoppt dnn die vordere, untere Knte des Würfels. ) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit unmittelbr nch dem Anstoßen. Um welchen Betrg vermindert sich die kinetische Energie beim Anstoßen? b) Welche Grenzgeschwindigkeit v g trennt die Fälle des Zurückfllens und des Überkippens des Würfels? Hinweis: Ein Würfel mit der Kntenlänge und Msse m ht bezüglich einer kntenprllelen Achse durch den Schwerpunkt ds Trägheitsmoment Θ 0 = 6 m. Ds Trägheitsmoment um eine hierzu prllele Achse mit Abstnd l ist durch den Stz von Steiner gegeben. Die Rottionsenergie ist T rot = Θω und der Drehimpuls ist L = Θω. Vernchlässigen Sie Energieverluste durch den Kugummi nch dem Stoß. Lösung. ) Der Stz von Steiner (mit Achsenbstnd / ) ergibt ds Trägheitsmoment, Θ = 6 m + m ( ) = m. Der Drehimpuls bezüglich der Schwelle ist während des Stoßes erhlten: mv 0 = Θω ω = v 0 4. Die kinetische Energie T nch dem Stoß ist geringer ls vor dem Stoß, T T 0 = Θω mv 0 = 5 6 mv 0. b) Überkippen pssiert wenn der Würfel sich um eine Winkel größer ls 45 dreht. D der Kugummi keine Energie mehr bsorbiert, wird die Energie nch dem Stoß erhlten. Bei der Rottion um 45 erhöht sich der Schwerpunkt um / / und die potentielle Energie um V = mg ( ) /. Im Grenzfll wird die gesmte verbliebene kinetische Energie T = (/6)mv 0 dfür ufgebrucht: T = V v g = 8g.

3 Aufgbe 9.. Federrolle Eine mssive Rolle (homogene Scheibe mit dem Rdius R und Msse M) ist n einer Feder ( und mit Federkonstnte K) und einem msselosen Seil der Länge L ufgehängt. Eine Msse m hängt von der Achse der Rolle (siehe Abbildung). Sämtliche Bewegung ist nur entlng der Vertikle (z-achse) möglich. Es wirkt ds Erdschwerefeld; ds Seil gleitet nicht n der Rolle (sttische Reibung ohne Energieverlust). In der Anfngsposition wird die Rolle so festgehlten, dss die Feder ungespnnt ist ) Stellen Sie die Lgrnge-Funktion des Systems uf. Wieviele Freiheitsgrde ht ds System? Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Beziehung zwischen dem Rottionswinkel φ der Rolle und der z-koordinte des Schwerpunktes der Rolle, sowie zwischen z und der Längenveränderung L der Feder. In der Anfngsposition sei z = 0. b) Bestimmen Sie die Gleichgewichtslge des Systems. c) Leiten Sie die Bewegungsgleichung her und bestimmen Sie die Lösung nhnd der gegebenen Anfngsposition. Lösung. ) Die Länge z ist gleich der Länge des Kreissegmentes mit Rdius R und Winkel φ. Der Rottionswinkel φ ist mit der Höhe z deshlb durch z = φr verbunden. (Dbei φ in Rdin!) Die Länge des Seils ist fixiert; die Länge der (gespnnten) Feder plus z ist lso eine Konstnte. Am Anfng L = 0 und z = 0. Deshlb L = z. Die kinetische Energie der Scheibe ist Mż + I φ, wobei I = MR. Die kinetische Energie der Msse m ist mż. Die potentielle Energie der Msse m und der Scheibe ist (m + M)gz. Die potentielle Energie der Feder ist Die Lgrngefunktion ist deshlb K ( L) = Kz. L = mż + Mż + 4 MR ( ż R) (m + M) gz Kz = Ds System ht nur einen Freiheitsgrd, den wir ls z(t) gewählt hben. b) Die Gleichgewichtslge ist ds Minimum der potentiellen Energie. Also (m + M) g z = 0, m M z (m + M ) ż (m + M) gz Kz. ds heisst, z 0 = m + M g.

4 c) Die Bewegungsgleichung ist (m + M ) z + z = (m + M) g; z(0) = 0, ż(0) = 0. Die llgemeine Lösung ist z(t) = m + M g + A cos (ωt + α), ω = m + M. Die Anfngsbedingungen ergeben α = 0 und A = m+m g. Also ist die Lösung z = m + M g cos t m + M. Aufgbe 9.4. Rollenschwingung Ein homogener Zylinder mit dem Rdius rollt ohne zu gleiten in einer zylindrischen Fläche vom Rdius R mit R >, so dß die beiden Zylinderchsen prllel sind (siehe Skizze). Zu berechnen ist die Schwingungsduer kleiner Schwingungen. Die Lösung ist in folgende Schritten ufgeteilt. ) Die Position des rollenden Zylinders sei mit dem Winkel φ beschrieben (siehe Skizze), und die Drehung des Zylinders um seine Achse mit dem Winkel θ. Finden Sie die mthemtische Beziehung zwischen φ und θ, die ds Rollen ohne zu gleiten beschreibt. b) Berechnen Sie die Koordinten des Schwerpunktes des rollenden Zylinders ls Funktion des Winkels φ. c) Berechnen Sie ds relevnte Trägheitsmoment des rollenden Zylinders. d) Geben Sie die Lgrnge-Funktion in Abhängigkeit von der verllgemeinerten Koordinte φ n. e) Leiten Sie die Euler-Lgrnge Gleichung für φ(t) her. f) Bestimmen Sie die llgemeine Lösung dieser Gleichung für φ (hrmonische Näherung). g) Geben Sie die Schwingungsduer n und vergleichen Sie diese im Limes 0 mit der Schwingungsduer eines mthemtischen Pendels mit der Seillänge R. Lösung. ) Wenn φ der ngegebene Winkel und θ der Rottionswinkel des Zylinders sind, dnn betrchten wir die linere Geschwindigkeit des Zylinderschwerpunktes. Einerseits, ist diese Geschwindigkeit gleich v = (R ) φ. Andererseits, dreht sich der Zylinder mit Winkelgeschwindigkeit θ. Der Punkt, n dem der Zylinder die Oberfläche berührt, soll in Ruhe bleiben. Die Geschwindigkeit dieses Punktes ist v θ. Deshlb (R ) φ = θ. φ y R x 4

5 Diese ist die gesuchte Beziehung. b) x s = (R ) sin φ, y s = + (R ) ( cos φ). c) Θ = m (Aufgbe ). d) Die kinetische Energie setzt sich us Trnsltions- und Rottionsenergie zusmmen: L = T trns + T rot V = m (ẋ s + ẏs) + Θ θ mgy s [ m = (R ) + m ] 4 (R ) φ + mg (R ) cos φ + const = m 4 (R ) φ + mg (R ) cos φ + const. e) Die Bewegungsgleichung ist m (R ) φ = d L dt φ = L = mg (R ) sin φ. φ f) D sin φ φ, erhlten wir φ + ω φ = 0, wobei Die Lösung ist φ (t) = φ 0 cos (ωt + α 0 ). g) Schwingungsduer: Der Limes 0 ergibt T π R/(g). ω = g R. T = π ω = π (R ) g Beim mthemtischen Pendel ist T = π R/g. Also wird der Zylinder ufgrund seiner Rottion etws lngsmer beschleunigt. 5

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