III.1.2 Bewegungsgleichungen

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1 6 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen III.1. Bewegungsgleichungen III.1. Kinetische Energie Die kinetische Energie des strren Körpers bezüglich des Inertilsystems B I ist die Summe us der kinetischen Energien der individuellen Mssenpunkten, d.h. T = m X t). Dbei knn der Ausdruck III.3) der Geschwindigkeit X t) substituiert werden T = m Xt) + Rt) [ ωt) x ] ). Die Berechnung des Betrgs)Qudrts liefert dnn T = 1 m Xt) + Xt) Rt) [ ωt) ] ) m x + m Rt) [ ] ) ωt) x. III.4) Der erste Term lässt sich mithilfe der Gesmtmsse einfch ls 1 M Xt) umschreiben, entsprechend der kinetischen Energie eines Mssenpunkts der Msse M, der sich im Ursprungspunkt O des körperfesten Bezugssystems befindet. Bei dem zweiten Beitrg hndelt es sich um einen Mischterm, der sowohl von der Trnsltionsbewegung des strren Körpers ls von seiner Rottionsbewegung bhängt. Dieser Term verschwindet in zwei Fällen, und zwr entweder wenn der Nullpunkt O in B I ruht, d.h. flls Xt) =, oder wenn O genu im Schwerpunkt des strren Körpers liegt, so dss m x = gilt. Hiernch wird meistens ngenommen, dss einer dieser beiden Möglichkeit erfüllt ist. Den dritte Term in Gl. III.4) lässt sich zuerst vereinfchen, indem mn die Invrinz des Sklrprodukts zweier Vektoren, und dher des Betrgsqudrts eines Vektors, unter Drehungen benutzt: m Rt) [ ] ) 1 [ ]. ωt) x = m ωt) x Der Betrgsqudrt knn noch mithilfe einiger Mnipultionen umgeschrieben werden. Führt mn z.b. die krtesischen Koordinten ω i t), x i der Vektoren ωt) und x ein, so gilt [ ] [ ] k [ ] k [ ωt) x = ωt) x ωt) x = ɛ kij ω i t)x j ][ ɛ klm ω l t)x m ],

2 III.1 Strre Körper 61 wobei Summen über k, i, j, l und m von 1 bis 3 nicht geschrieben wurden. Fängt mn mit der Summe über k n, so gibt die Identität ɛ kij ɛ klm = δ il δ jm δ im δ jl [ ωt) x ] = δ il δ jm δ im δ jl) ω i t)ω l t)x j x m. Die Summen über l und m liefern dnn [ ] [ x ωt) x = ω i ) δ t) ij x i x] j ω j t), III.5) wobei im ersten Term ω i t)ω i t) = ω i t)δ ij ω j t) benutzt wurde. Dieses Resultt knn im dritten Term des Ausdrucks III.4) der kinetischen Energie eingesetzt werden. Dnn lutet dieser dritte Term 1 ωi t)i ij ω j t) mit I ij m [ x ) δ ij x i x j ] für i, j = 1,, 3, III.6) wobei die Summe über lle Mssenpunkte des strren Körpers läuft. Gemäß des Rezepts III.1) gilt im Grenzfll eines kontinuierlichen Körpers I ij ρ r) [ r δ ij x i x j] d 3 r für i, j = 1,, 3 III.6b) mit {x i } i=1,,3 den Komponenten des Vektors r. Der Integrtionsbereich ist entweder ds durch den strren Körper besetzte Volumen V, oder knn den gnzen Rum R 3 sein, unter der Konvention, dss ρ r) = für r ußerhlb V. Alterntive Herleitung der Gl. III.5): Der Betrgsqudrt uf der linken Seite knn ls Sptprodukt interpretiert werden und in der Form ω x ) = ω x ) ω x ) = [ x ω x )] ω = [ x x ) ω x ω )] ω umgeschrieben werden, wobei die Zeitbhängigkeit von ω der Kurze hlber nicht geschrieben wurde. Dies vereinfcht sich noch zu ω x ) = x ω x ω ), ws äquivlent zu Gl. III.5) ist. Insgesmt lutet die kinetische Energie des strren Körpers bezüglich des Inertilsystems B I T = 1 M Xt) + 1 ωi t)i ij ω j t) III.7) mit Xt) der Position in B I des Schwerpunkts des strren Körpers. Dbei stellt der zweite Beitrg die Rottionsenergie des Körpers dr. Im Gegenstz zur Gesmtmsse, deren Wert unbhängig vom Koordintensystem ist, hängen die Zhlen I ij von der Whl des körperfesten Koordintensystems b, insbesondere von dessen Nullpunkt. Wie in III.1. c unten rgumentiert wird, sind die I ij die krtesischen) Komponenten eines Tensors zweiter Stufe I, der Trägheitstensor gennnt wird. Bemerkung: Die Form III.7) gilt uch mit Xt) = für strren Körper, der einen Punkt besitzt, der sich nicht bewegt, vorusgesetzt Xt) die Position dieses Punkts bezeichnet. III.1. b Bewegungsgleichungen Entsprechend den 6 Freiheitsgrden eines strren Körpers wählt mn ls verllgemeinerte Koordinten für die Beschreibung seiner Bewegung einerseits die 3 Koordinten X i t) der Ortsvektors Xt) seines Schwerpunkts, und ndererseits drei Winkel ϕ i t); die letzteren beschreiben Drehun-

3 6 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen gen des festen Körpers um drei unbhängige Achsen, die bezüglich des Körpers fest bleiben. Die zugehörigen verllgemeinerten Geschwindigkeiten sind Ẋi t) und ϕ i t). Die Lgrnge-Funktion des strren Körpers lutet dnn L {X i }, {ϕ i }, {Ẋi }, { ϕ i } ) = M i=1 Ẋi ) + 1 i,j=1 ϕ i I ij ϕ j V {X i }, {ϕ i } ) III.8) mit I ij den Komponenten des Trägheitstensors bezüglich der körperfesten Drehchsen entsprechend den drei Winkeln ϕ i. Ausgehend von dieser Lgrnge-Funktion liefern die Euler Lgrnge- Gleichungen II.9) die Bewegungsgleichungen des festen Körpers. Trnsltionsbewegung des strren Körpers Betrchten wir zuerst die Bewegungsgleichung für die Koordinten X i t). Lut Definition II.1) ist der zu X i knonisch konjugierte Impuls durch p i L = MẊi III.9) Ẋi gegeben. Dbei hndelt es sich um die i-te Komponente des Gesmtimpulses p = M X. Dnn lutet die dmit ssoziierte Euler Lgrnge-Gleichung dp i dt = MẌi = L X i = V X i. III.9b) Auf der rechten Seite ist V/ X i die i-te Komponente der Gesmtkrft uf den strren Körper. Flls Xt) die Position im Inertilsystem B I des Schwerpunkts ist, entspricht Gl. III.9b) dem üblichen Schwerpunktstz I.5) für ein Mehrteilchensystem. Rottionsbewegung des strren Körpers Benutzt mn die uf Gl. III.6) offensichtlich Symmetrie I ij = I ji für jedes mögliches Pr i, j), so findet mn für den zu X i knonisch konjugierten verllgemeinerten Impuls L i = L ϕ i = I ij ϕ j. j=1 III.1) Dies ist die i-te Komponente des Eigendrehimpulses des strren Körpers Die Zeitentwicklung dieses generlisierten Impulses wird durch die Euler Lgrnge-Gleichung dl i dt = j=1 I ij ϕ j = L ϕ i = V ϕ i III.1b) gegeben, wobei die verllgemeinerte Krft uf der rechten Seite der Gleichung ds Drehmoment ist. III.1. c Trägheitstensor Um zu zeigen, dss die I ij die Komponenten eines Tensors bilden, soll mn ihr Verhlten unter Drehungen untersuchen. Sei R eine Drehmtrix. Unter ihrer Wirkung trnsformieren sich die Komponenten eines Ortsvektors bezüglich B gemäß x i x i = R i ix i. Dementsprechend trnsformiert sich ds Produkt x i x j in x i x j = R j j Ri i xi x j. Andererseits gilt R i i R j j δij = R i i δ ij R T ) j j = R i i R T ) j i = δ i j,

4 III.1 Strre Körper 63 wobei R T die zu R trnsponierte Mtrix bezeichnet, die gleichzeitig die inverse Drehmtrix R 1 ist, wie in der letzten Gleichung benutzt wurde. Somit trnsformieren sich beide Terme mit Indizes in der Definition III.6) der I ij gleich unter Drehungen, und zwr derrt, dss I ij sich insgesmt gemäß I ij I i j = R i i R j j Iij = R i ir T ) j j Iij III.11) trnsformiert, d.h. wie die Komponenten eines Tensors zweiter Stufe. Identifiziert mn der Tensor I mit einer 3 3-Mtrix, die ebenflls mit I bezeichnet wird, so knn die letzte Gleichung noch in Mtrixform ls I I = R I R T geschrieben werden. Gleichermßen gilt für die Rottionsenergie in Gl. III.7) III.1) 1 ωi t)i ij ω j t) = 1 ωt)t I ωt) III.13) mit ωt) T dem zu ωt) trnsponierten Zeilenvektor, und für den Eigendrehimpuls III.1) mit ω = ϕ der Winkelgeschwindigkeit. L = I ω Entsprechend der tensoriellen Ntur von I können Rottionsenergie und Drehimpuls noch in geometrischer Form geschrieben werden: 1 ωi t)i ij ω j t) = 1 ωt) I ωt), L = I ω wobei die Kontrktion zweier Tensoren bezeichnet. III.14) Trägheitsmoment Sei e der Einheitsvektor entlng einer beliebigen Richtung. Ds Trägheitsmoment des strren Körpers bezüglich der Dreh)Achse prllel zu dieser Richtung, die durch den Ursprungspunkt des körperfesten Bezugssystem geht, wird durch I = e i I ij e j = e T I e = e I e III.15) definiert, wobei {e i } i=1,,3 die Koordinten von e bezeichnen. Beispielsweise ist ds relevnte Trägheitsmoment für eine Rottionsbewegung um eine Achse in Richtung des Bsisvektors e 3 einfch die Komponente I 33 = e T 3 I e 3. Dbei gilt I 33 = [ x ) ] δ m 33 x 3 x 3 = [ x ) 1 ) ] m + x d.h. unter Einführung der Projektion x, von x uf der x 1, x )-Ebene orthogonl zur Drehchse I 33 = m x, ) III.16) mit ) x, dem Qudrt des Abstnds des Mssenpunkts von der Drehchse. Im Kontinuumlimes wird dieses Trägheitsmoment zu I 33 = ρ r) r d3 r. III.16b) Für eine Rottionsbewegung mit Winkelgeschwindigkeit ω = ω e 3 um diese Richtung ist die Rottionsenergie T = 1 I33 ω. D I 33 utomtisch positiv ist, gilt ds uch für diese kinetische Energie.

5 64 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen Beispiel: homogener Zylinder Sei ein homogener Vollzylinder mit Mssendichte ρ, Rdius R und x 3 Höhe h. Dementsprechend ist seine Gesmtmsse M = πr hρ. Der Zylinder dreht sich um seine eigene Achse, welche die Richtung x 3 definiert. h In Zylinderkoordinten r, ϕ, z x 3 ) ist der Abstnd eines Punkts von der Drehchse genu gleich der Rdilkoordinte r. Somit lutet R ds durch Gl. III.16b) gegebene Trägheitsmoment des Zylinders um diese Achse Abbildung III.1 h [ π R ) ] I 33 = ρ r r dr dϕ dz = ρ πr4 h = MR, III.17) wobei ds letztere Ergebnis uch im Grenzfll einer unendlich dünnen Scheibe h gilt. Eigenschften des Trägheitstensors Wie schon erwähnt wurde ist der Trägheitstensor ein symmetrischer Tensor, d.h. T ij = T ji für lle i, j = 1,, 3. Dies bedeutet zuerst, dss nur 6 seiner Komponenten unbhängig voneinnder sind. Ähnlich einer symmetrischen reellwertigen Mtrix ist ein symmetrischer reellwertiger Tensor zweiter Stufe digonlisierbr. Ds heißt, mn knn eine Orthonormlbsis { e 1, e, e 3} finden, in welcher der Tensor, oder genuer seine Mtrixdrstellung, die Digonlform I 1 I = I III.18) I 3 nnimmt, mit I 1, I, I 3 den Eigenwerten der Mtrix, die wie oben schon bemerkt lle positiv sind. Diese Eigenwerte werden Huptträgheitsmomente des strren Körpers gennnt, während die zugehörigen Eigenvektoren { eī}ī= 1,, 3 Einheitsvektoren entlng der Huptträgheitschsen sind. Im Huptchsensystem d.h. im Koordintensystem, dessen Achsen die Huptträgheitschsen des strren Körpers sind nimmt die Rottionsenergie des Körpers die einfche Form T = 1 [I ) ) ) ] 1 ω 1 + I ω + I3 ω 3 n. Besitzt ein strrer Körper Symmetrien, wie z.b. Invrinz unter der Spiegelung bezüglich einer Ebene oder Rottionssymmetrie, so sind die entsprechenden Symmetrieelemente, insbesondere Symmetriechsen, einfch mit den Huptträgheitschsen verknüpft. Um dieses Ergebnis zu illustrieren, betrchten wir die nichtdigonle Elemente des Trägheitstensors, z.b. I 1. Die Definition III.6b) gibt I 1 = ρ r) r δ 1 x 1 x ) d 3 r = ρx 1, x, x 3 ) x 1 x ) dx 1 dx dx 3 = 1 ρx 1, x, x 3 ) x 1 x x 1 x ) dx 1 dx dx 3. Wie unter Gl. III.6b) schon diskutiert wurde, knn der Integrtionsbereich mit einer geeigneten Definition von ρ uf R 3 erweitert werden, ws wir hier nnehmen. Führt mn die Substitution x 1 y x 1 für den zweiten Summnden in den Klmmern, so ergibt sich I 1 = 1 [ ] [ρx 1, x, x 3 )x 1 x dx 1 dx dx 3 ρ y, x, x 3 ) y)x dy dx dx 3 = 1 [ ρx 1, x, x 3 ) + ρ x 1, x, x 3 ) ] x 1 x dx 1 dx dx 3,

6 III.1 Strre Körper 65 wobei die Integrtionsvrible y des zweiten Terms x 1 in der zweiten Zeile umbennnt wurde. Flls der strre Körper symmetrisch unter Spiegelungen bezüglich der Ebene x 1 = ist, so dss ρ x 1, x, x 3 ) = ρx 1, x, x 3 ) für lle Werte von x, x 3, dnn ist I 1 =. Allgemeiner findet mn, dss die Symmetriechsen des strren Körpers, flls einige vorhnden sind, uch seine Huptträgheitschsen sind. Klssifiktion von Trägheitstensoren Je nch den Werten der Huptträgheitsmomente lssen sich drei verschiedene Fälle unterscheiden: Für I 1 I I 3 I 1 sind die Eigenvektoren { e 1, e, e 3} und somit die Huptträgheitschsen eindeutig 16) definiert. Dnn spricht mn um einen unsymmetrischen Kreisel. Ein einfches Beispiel ist ein homogener Quder, dessen Seiten unterschiedliche Längen b c hben: die Symmetriechsen des Quders sind seine Huptträgheitschsen, die zugehörigen Trägheitsmomente sind unterschiedlich. Für I 1 = I I 3 ist der Eigenvektor e 3 bzw. die entsprechende Huptchse eindeutig definiert. Dgegen gibt es Entrtung in der x 1, x )-Ebene, in welcher jedes Pr von orthogonlen Achsen ls Huptträgheitschsen betrchtet werden knn. Dies entspricht dem Modell des symmetrischen Kreisels. Beispiele sind ein eindimensionler Stb prllel zur 3-Richtung: x 1 = x = geben sofort I 33 = und I 11 = I ; oder ein homogener Zylinder im llgemeinen Fll), insbesondere eine zweidimensionle Scheibe in der Ebene x 3 =, für die mn einfch I 11 = I = 1 I33 nchprüft. Für I 1 = I = I 3 sind die Achsen jedes Koordintensystems Huptträgheitschsen, entsprechend einem Kugelkreisel. Dies ist z.b. der trivile Fll des Trägheitstensors einer homogenen Kugel um drei Achsen, die durch ihren Schwerpunkt verläuft. Flls der Rdius der Kugel verschwindet, d.h. die Kugel wird zu einem Punkt, ist I =. Offensichtlich sind die Hupt)Trägheitsmomente eines homogenen Würfels um seine drei Symmetriechsen uch gleich, und dmit gilt es noch für die Momente um jedes Triplett von Achsen, die durch seinen Schwerpunkt gehen. Während die Unbhängigkeit des Trägheitsmoments von der Richtung einer durch den Schwerpunkt durchlufenden Drehchse intuitiv im Fll der Kugel ist, wirkt sie bei dem Würfel überrschend. Dbei ist unsere 17) Intuition flsch, denn wir stellen uns die gnzen Mssenverteilungen ρ r) vor die offensichtlich unterschiedlich für eine Kugel und einen Würfel sind, während ds Trägheitsmoment bzw. der Trägheitstensor nur einem sehr geringen Anteil der in dieser Mssenverteilungen enthltenen Informtion entspricht. Für die Rottionsbewegung der Körper reicht ber diese Informtion us. Steiner scher Stz Trägheitsmomente um die Symmetriechsen eines strren Körpers sind meistens einfcher zu berechnen, entsprechend dem Fll, wo der Ursprungspunkt des Koordintensystems in der Definition III.6) im Schwerpunkt des Körpers liegt. Oft dreht sich der strre Körper ber um eine Achse, die nicht durch seinen Schwerpunkt durchläuft. Ansttt ds Trägheitsmoment um die verschobene Drehchse explizit us Definition III.6) zu berechnen, ist es dnn einfcher, ds folgende Resultt zu benutzen. 16)... bis uf einem Minus Zeichen für die Einheitseigenvektoren. 17)... oder zumindest die des Autors!

7 66 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen Theorem Stz von Steiner n) ): Ds Trägheitsmoment eines strren Körpers mit Msse M um eine beliebige Achse im Abstnd L von seinem Schwerpunkt ist gegeben durch die Summe us ML und dem Trägheitsmoment des Körpers um die prllele Drehchse, die durch den Schwerpunkt geht. III.19) Bezeichnet mn mit I bzw. I ds Drehmoment um eine durch den Schwerpunkt durchlufende Drehchse bzw. um eine dzu prllele Achse im Abstnd L vom Schwerpunkt, so lutet der Steiner sche Stz I = I + ML. III.19b) Zum Beweis dieses Stzes betrchte mn neben dem körperfesten Bezugssystem B mit Ursprung im Schwerpunkt des strren Körpers ein zweites körperfestes Bezugssystem B, dessen Nullpunkt um b reltiv zu B verschoben ist, während die Koordintenchsen von B prllel zu denen von B bleiben. Dnn gilt für die Position jedes Mssen)Punkts des strren Körpers reltiv zu beiden Bezugssystemen x = x b. Dies gibt für den Trägheitstensor reltiv zu B I ij = [ x ) ] δ m ij x i x j = [ x m b ) ] δ ij x i b i )x j b j ) = I ij δ ij b m x + b i m x j + b j m x i + m b δ ij b i b j). Dbei verschwinden der zweite, der dritte und der vierte Beiträge der zweiten Zeile, während die Summe der Mssen im fünften Term durch die Gesmtmsse ersetzt werden knn. Somit ergibt sich die tensorielle Form des Steiner schen Stzes: I ij = I ij + M b δ ij b i b j). III.19c) Um ds Drehmoment um eine gegebene Achse zu erhlten, multipliziert mn diese Gleichung mit den Komponenten des Einheitsvektors in Richtung der Achse, vgl. Gl. III.15), worus sich Gl. III.19b) ergibt. Beispiel: homogener Zylinder ) Wir betrchten nochmls den homogenen Vollzylinder Msse M, Rdius R) der Abb. III.1), der sich jetzt um eine Achse drehen soll, die prllel zu seiner Symmetriechse ist, um den Abstnd L ber verschoben ist. Dnn ist gemäß dem Steiner schen Stz III.19) ds Trägheitsmoment des Zylinders um diese Achse I 33 = I 33 + ML = MR + ML, h x 3 L x 3 R Abbildung III. wobei der Ausdruck III.17) des Trägheitsmoments um die Symmetriechse benutzt wurde. n) J. Steiner,