2 Trigonometrische Formeln

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1 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v /05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen im Fll spitzer Winkel vorgeführt. Für Winkel 0 <, β < π/ mit + β < π/ htten wir gezeigt, dss sin( + β = sin cos β + cos sin β, cos( + β = cos cos β sin sin β, tn( + β = tn + tn β 1 tn tn β gelten. Um diese Formeln uch uf den Fll stumpfer Winkel uszudehnen, ist es sinnvoll erst einml die Formeln für die Subtrktion spitzer Winkel zu behndeln. Wir beschränken uns dbei uf Sinus und osinus, die Formeln für den Tngens knn mn dnn rechnerisch herleiten. Seien lso zwei Winkel 0 < < β < π/ gegeben. Wir gehen ähnlich wie beim eweis der Additionsformeln vor und betrchten die folgende Figur: A M β D F E Wir beginnen wieder mit einem Viertelkreis mit Mittelpunkt M und Rdius 1. In diesem trgen wir den Winkel β bei M b, und in ihm enthlten dnn uch den kleineren Winkel. Seien A und die Schnittpunkte dieser beiden Winkel mit dem Einheitskreis und fälle ds Lot von A uf M. ezeichnet den Lotfußpunkt, so 8-1

2 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 können wir Sinus und osinus von β im rechtwinkligen Dreieck MA ls sin(β = A und cos(β = M blesen. Fälle nun ds Lot von A uf die untere egrenzung des Viertelkreises und erhlte den Fußpunkt F. Von F us fälle dnn die Lote uf M mit Fußpunkt D und uf A mit Fußpunkt E. Wie beim eweis der Additionsformel ht ds Dreieck F EA bei A den Winkel. Nun ist F ED ein Prllelogrm, lso und sin(β = A = AE E = AE DF cos(β = M = MD + D = MD + F E = AF cos MF sin = sin β cos cos β sin = MF cos + AF sin = cos β cos + sin β sin. Dies sind schon die beiden Subtrktionsformeln, und dmit steht lles bereit uch den Fll stumpfer Winkel zu untersuchen. Erinnern sie sich drn, dss wir Sinus und osinus durch die Formeln sin π := 1, cos π := 0, sin := sin(π und cos := cos(π für π/ < < π uf den Fll stumpfer Winkel usgedehnt htten. Weiter werden wir die Formeln für omplementärwinkel benötigen, lso die für 0 < φ < π/ gültigen Formeln sin φ = cos φ und cos φ = sin φ. Der erste noch zu behndelnde Fll der Additionstheoreme sind jetzt zwei spitze Winkel die sich zu einem Rechten ergänzen. In dieser Sitution wird ds Additionstheorem für den Sinus zum Stz des Pythgors und ds des osinus ist klr. Seien nämlich 0 <, β < π/ spitze Winkel mit +β = π/. Dnn sind und β omplementärwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck und somit gelten sin cos β + cos sin β = sin sin β + cos cos β sowie cos cos β sin sin β = cos sin β sin cos β = sin + cos β = 1 = sin( + β = cos sin sin cos = 0 = cos( + β. 8-

3 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 Der letzte noch verbleibende Fll in dem und β spitze Winkel sind, ist die Sitution 0 <, β < π/ mit einem stumpfen + β, lso + β > π/. In diesem Fll hben wir die beiden omplementärwinkel 0 < π/, π/ β < π/ mit + β = π ( + β < π, und es folgen und sin( +β = sin(π ( +β = sin cos β +cos sin β = cos sin β + sin cos β cos( + β = cos(π ( + β = sin sin β cos cos β = cos cos β sin sin β. Dmit sind lle Fälle behndelt in denen, β beides spitze Winkel sind. Es verbeiben dnn die Möglichkeiten π/ oder β π/. D wir llerdings + β < π hben müssen, können nicht beide Alterntiven zugleich zutreffen, einer der beiden Winkel muss lso spitz sein. Durch eventuelles Vertuschen von und β können wir dnn 0 < < π/ nnehmen. Für β = π/ werden dnn und sin( + β = sin cos( + β = cos ( + π = sin ( π ( + π = sin = cos = sin cos π + cos sin π ( + π ( ( = cos π + π = cos = sin = cos cos π sin sin π. Dmit sind wir beim llerletzten Fll ngelngt, dss lso 0 < < π/ spitz ist und π/ < β < π stumpf ist. Weiter muss + β < π gelten. Diesen Fll führen wir uf Subtrktionsformel für spitze Winkel zurück, es sind 0 < < π β < π/ und somit wird sin( + β = sin(π ( + β = sin((π β sowie = sin(π β cos cos(π β sin = sin β cos + cos β sin cos( + β = cos((π β = cos(π β cos sin(π β sin = cos β cos sin β sin. Auch die Subtrktionsformel läßt sich für 0 < < β < π entsprechend beweisen, d wir inzwischen gesehen ds diese eweise eher uchhltung sind, wollen wir hier druf verzichten dies im Detil vorzuführen. 8-3

4 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5. Verdoppelungs- und Hlbierungsformeln Als Verdoppelungsformeln bezeichnet mn die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen bei verdoppelten Winkel, lso fürsin(, cos( und tn(, und die Hlbierungsformeln sind dnn entsprechend die Formeln für die hlbierten Winkel. Mn knn ll diese Formeln ntürlich durch Spezilisieren der Additionstheoreme uf β = erhlten, lso etw sin( = sin( + = sin cos, cos( = cos( + = cos sin = cos 1 = 1 sin, tn( = tn( + = tn 1 tn. Auch diese Formeln lssen sich geometrisch durch etrchtung einer geeigneten Figur gewinnen. Wir betrchten einen Hlbkreis mit Rdius 1 und Mittelpunkt M und bezeichnen den unteren Durchmesser dieses Hlbkreises ls A. Dnn ist M der Mittelpunkt von A und es ist A =. Weiter sie ein Winkel 0 < < π/ gegeben und trge diesen im Hlbkreis bei A b. ezeichnet den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Hlbkreis, so ht ds Dreieck A nch dem Stz von Thles 1.Stz 1 bei einen rechten Winkel. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dnn in den Stndrdbezeichnungen gegeben ls = = sin, b = A = cos und c = A =. b β A M P Ziehen wir jetzt die Verbindungsstrecke M, so entsteht ein weiteres Dreieck M. Der Winkel von M bei M ist der Mittelpunktswinkel der Seknte unseres Hlbkreis und unser gegebener Winkel ist der Perepheriewinkel dieser Seknte bei 8-4

5 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 A, der Winkel von M bei M ist nch dem Perepheriewinkelstz 1.Stz.( lso gleich. Fällen wir lso ds Lot von uf A und bezeichnen den Fußpunkt mit P, so sind sin( = P und cos( = MP d die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks MP ein Rdius unseres Hlbkreises ist und dmit die Länge M = 1 ht. Dem rechtwinkligen Dreieck AP entnehmen wir P sin = = sin(, lso sin( = sin cos b cos und wir hben eine geometrische egründung der Verdoppelungsformel des Sinus. Ebenflls im Dreieck MP sehen wir cos = AP = 1 + MP = 1 + cos( b b cos, lso cos( = cos 1 und dies ist eine der beiden Verdoppelungsformeln des osinus. Auch die ndere Vrinte dieser Formel können wir n unserer Figur sehen. Dzu bechten wir zunächst ds ds Dreieck M bei M gleichschenklig ist, lso sind die Winkel in diesem Dreieck nch Aufgbe (9. bei und gleich, etw β, und wir erhlten π = +β = (+β, lso β = π/. Im rechtwinkligen Dreieck P liegt dmit bei der Winkel π/ β = n, und es ergibt sich P P sin = = sin, lso uch cos( = MP = 1 P = 1 sin. Wir können n unserer Figur weiter uch zwei Gleichungen für den Tngens von sehen. Im rechtwinkligen Dreieck AP erhlten wir tn = P AP und ebenso liefert ds rechtwinklige Dreieck P tn = = P 1 + MP = sin( 1 + cos(, P P = 1 MP P = 1 cos(. sin( Setzen wir in diese beiden Formeln noch θ = ein, so ergibt sich die Hlbierungsformel des Tngens in ihren beiden Vrinten tn θ = sin θ 1 + cos θ = 1 cos θ. sin θ Mit derselben Substitution ergeben sich us cos( = cos 1 = 1 sin dnn uch die Hlbierungsformeln für Sinus und osinus, us und cos θ = cos θ 1 folgt cos θ = 1 + cos θ cos θ = 1 sin θ ergibt sin θ 1 cos θ =. 8-5

6 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5.3 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir uns einige der exkt berechenbren Werte von Sinus, osinus und Tngens nschuen und uns für diese uch jeweils eine geometrische Herleitung überlegen. D die Werte für = π/ direkt vorgegeben sind, beginnen wir mit 60. Wir betrchten ein gleichseitiges Dreieck A mit Seitenlänge = b = c > 0. Nch Aufgbe (9. sind dnn uch lle Winkel in A gleich, lso = β = γ lso hben wir 3 = π und somit ist = π/3. Ebenflls nch Aufgbe (9. stimmen in A die Seitenhlbierende und die Höhe h uf A überein, und der Stz des h Pythgors 1.Stz 1 im rechtwinkligen Dreieck A liefert ( + h =, lso h = 3. Nun können wir Sinus, osinus und Tngens in A blesen und erhlten A sin π 3 cos π 3 tn π 3 = h = 1 3, = 1 = 1, = h 1 = 3. Nun kommen wir zu einem Winkel von 45. Genuso wie sich die Werte des Winkels π/3 durch etrchtung eines gleichseitigen Dreiecks ergben, müssen wir diesml ein gleichseitiges Viereck untersuchen. Gegeben sei ein Qudrt AD der Seitenlänge > 0. Dnn ziehen wir die Digonle A und betrchten D ds rechtwinklige Dreieck A. D dieses Dreieck bei gleichschenklig ist, sind die beiden Winkel bei A und nch Aufgbe (9. gleich, etw. Es folgt = π/, b lso ist = π/4. Mit dem Stz Pythgors 1.Stz 1 folgt für die Länge der Digonle A im Qudrt uch A =, lso A =. Dmit können wir unsere gesuchten trigonometrischen Werte in A blesen und es ergeben sich sin π 4 = = 1 = 1, A cos π 4 = = 1, tn π 4 = =

7 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 Winkel von 36, lso π/5, sind etws komplizierter, dher stellen wir diese erst einml zurück und schuen uns 30 n. Genuso wie π/3 mit einem gleochseitigen Dreieck zu tun htte und π/4 entsprechend mit einem Qudrt, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck betrchten. Ntürlich könnten wir uch einfch die Hlbierzngsformeln des vorigen Abschnitts uf den schon erledigten Winkel π/3 nwenden, wir wollen uns hier ber eine direkte geometrische Herleitung nschuen. Wir strten mit einem gleichseitigen Seckseck der Kntenlänge > 0. Zeichne den Umkreis des Sechsecks mit Mittelpunkt M und Rdius R > 0. Die 360 bei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt und somit ht unser eingezeichnetes Dreieck M A bei M den Winkel = π/6 = π/3. Nch Aufgbe (7 ist die Summe der Innenwinkel des Sechsecks gleich 4π, und d sie lle gleich sind hben wir den eingezeichneten Winkel β = 4π/6 = π/3. Weiter ist ds Dreieck MA kongruent zu MA, und insbesondere sind die Winkel dieser Dreiecke bei A gleich, d.h. M A ist die Winkelhlbierende des Innenwinkels unseres Sechsecks bei A. Insbesondere ht ds Dreieck MA bei A den Winkel β/ = = π/3, d.h. lle Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Dmit ist M A ein gleichseitiges Dreieck und insbesondere ist R =, d.h. Umkreisrdius und Kntenlänge sind gleich. In diesem gleichseitigen Dreieck bilden wir nun die Höhe durch und wie schon früher gesehen ist diese gleich h = ( 3/. D weiter die Höhe uch gleich der Winkelhlbierenden von MA bei ist, erhlten wir ein bei P rechtwinkliges Dreieck MP mit Winkel γ = / = π/6 bei. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem Dreieck b, so ergeben sich M R β γ h P A sin π 6 cos π 6 tn π 6 = / = 1, = h = 1 3, = / h = 1 3. Dmit können wir schließlich zum Winkel π/5 = 36 kommen. Erwrtungsgemäß hängt dieser eng mit dem gleichseitigen Fünfeck zusmmen. Wir werden die Werte cos(π/5 und sin(π/5 zunächst einml lgebrisch herleiten und sie dnn nschließend noch einml geometrisch herleiten. Für die lgebrische Herleitung ist es hilfreich sich die Ebene ls die komplexen Zhlen zu denken. Dnn bilden die fünften Einheitswurzeln ein in den Einheitskreis eingeschriebenes gleichseitiges Fünfeck, konkret können wir ω := e πi 5 = cos π 5 + i sin π 5 8-7

8 Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 setzen und unser Fünfeck ht dnn die Ecken 1, ω, ω, ω 3, ω 4. Dbei ist d ω 5 = 1 ist. Wir setzen jetzt Dnn ist + β = 1 und 1 + ω + ω + ω 3 + ω 4 = 1 ω5 1 ω = 0 := ω + ω 4 und β := ω + ω 3. β = ω 3 (1 + ω 3 (1 + ω = ω 3 (1 + ω + ω 3 + ω 4 = ω 5 = 1, lso ist für jedes z uch (z (z β = z ( + βz + β = z + z 1, d.h. und β sind die beiden Nullstellen des rechts stehenden Polynoms. Andererseits können wir diese Nullstellen uch mit der pq-formel zu z = 1 ± = 1 ± 5 berechnen. Um zu sehen welche Whl des Vorzeichens und welche β entspricht, bechte = ω + ω 4 = ω + 1 ω = ω + ω = Re(ω = cos π 5 > 0, β = ω + ω 3 = ω + 1 ω = ω + ω = Re(ω = cos 4π 5 < 0, und dmit müssen sein. Dies ergibt schließlich = 5 1 und β = cos π 5 = = und cos 4π 5 = β =. 4 Dmit sind wir schon beinhe m Ziel und in der nächsten Sitzung werden wir dnn uch cos(π/5 berechnen. 8-8