Lösungen von Hyperplot

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1 ufgbensmmlung Weitere Lösungen zu Geometrieufgben der Mthemtik-Olympide Zentrles Komitee für die Olympiden Junger Mthemtiker Lösungen von Hyperplot zusmmengestellt von Steffen Polster hemnitz, pril 019

2 Weitere Geometrieufgben ufgbe , I.Stufe 196, Klsse 9 Gegeben ist ein Dreieck und sein mkreis. Mn konstruiere die Tngenten in und. Ihr Schnittpunkt sei D. Nun ziehe mn durch D die Prllele zu der Tngente in. Die Verlängerungen der Seiten und schneiden diese Prllelen in bzw.. Es ist zu beweisen, dss ) die Dreiecke D und D gleichschenklig sind und b) es einen Kreis gibt, der durch,,, geht! α β α β β α α D β us dem Sehnentngentenwinkelstz (Sehnentngentenwinkel = mfngswinkel) folgen zunächst die Sehnentngentenwinkel (rot eingezeichnet) bei, und. Die Winkel bei und folgen ls Wechsel- bzw. Z-Winkel (blu eingezeichnet) der Winkel bei. Dmit ist gezeigt, dss D und D gleichschenklige Dreiecke sind. Hben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck D die Länge, so folgt durch etrchtung des gleichschenkligen Dreieck D, dss uch ds gleichschenklige Dreieck D Schenkel der Länge ht. lso hben die Punkte,,, lle smt von D den selben bstnd, womit D Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält. 1

3 ufgbe , I.Stufe 196, Klsse 9 Gegeben sei ein Kreis. In diesem Kreis seien ein Trpez und ein Dreieck so einbeschrieben, dß eine Seite des Trpezes ein Durchmesser des Kreises ist und die Seiten des Dreiecks prllel zu den Trpezseiten verlufen. Es ist zu beweisen, dss Trpez und Dreieck in diesem Flle gleichen Flächeninhlt hben! 1 D h h L M L h P 1 1 Legt mn durch die Trpezecke eine Gerde so, dss sie mit der Trpezdigonlen den Dreieckswinkel einschließt, so schneidet die Gerde den mkreis in einem Punkte P ; und mn erhält mit P ein zum gegebenen Dreieck kongruentes, lso flächengleiches, Dreieck. Sei wie üblich =, dnn berechnet sich die Trpezfläche zu T = LL h + 1 h = ( ) h + h = ( ) h Die Dreiecksfläche berechnet sich zu = h ( ) = h ( ) lso ist T =.

4 ufgbe , I.Stufe 1963, Klsse 9 ) Konstruieren Sie ein Dreieck us = 5,6 cm, r = 3,5 cm (dius des mkreises) und = 60! b) eschreiben Sie die Konstruktion! c) erechnen Sie den bstnd des mkreismittelpunktes von der Seite! d) ntersuchen Sie, für welche Mße des mkreisrdius die Konstruktion eines Dreiecks mit = 5,6 cm und = 60 nicht möglich ist! ) und b) Plnfigur und Konstruktion. (1) eschreibe einen Kreis (, ) um vom dius, um den mkreis zu erhlten. () Wähle einen beliebigen Punkt uf dem mkreis ls Ecke. (3) eschreibe einen Kreis (, ) um vom dius ; Schnittpunkt des Kreises mit dem mkreis ist die Ecke so, dss, uf dem mkreis im Gegenuhrzeigersinn durchlufen werden. g (,) (4) Lege durch eine Gerde g so, dss sie mit der Verbindung den Winkel einschließt. Schnittpunkt von g mit dem mkreis ist die Ecke. (Hinweis: soll uch der spezielle Winkel = 60 konstruiert werden, so ist über ds gleichseitige Dreieck zu konstruieren.) (5) Erhlte durch entsprechende Verbindung der Punkte,, ds Dreieck. Zustz zu b) erechnung der fehlenden Seitenlängen und Innenwinkel us den gegebenen Größen,,. 1

5 (1) = c sin() sin(α) () sin() = c c α ( erweiterter Sinusstz ) ( Sinusstz ) (3) β = 180 α ( Winkelsumme ) (4) b = + c c cos(β) ( Kosinusstz ) d) edingungen. Mn entliest der Konstruktionszeichnung, dss miml gleich sein drf, lso bzw. Es ist β = 180 α. us der Forderung β > 0 folgt < 180 α; und d nch dem erweiterten Sinusstz sin(α) = gilt, erhält mn die edingung ( ) < 180 rcsin eispielwerte: = 5.6 cm = 3.5 cm = 60 m = 7.0 cm min =.8 cm m = b = cm c = 6.06 cm α = β =

6 ufgbe , I.Stufe 1963, Klsse 9 eweisen Sie den folgenden Stz: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Ktheten gleich der Summe der Durchmesser von m- und Inkreis. r T r r I r r T b T c b r b r Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c, d.h. = 90 ; und sei der mkreisrdius, r der Inkreisrdius. Die etrchtung der erührpunkte T, T b, T c des Inkreises liefert c = ( r) + (b r) Nch dem erweiterten Sinusstz ist sin() = c = 1 = sin(90 ) c =. Dmit wird = ( r) + (b r) r + = + b. 5

7 ufgbe , I.Stufe 1964, Klsse 9 Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse 5 mm und dessen Kthete 0 mm lng ist. uf dieser Kthete wird die Strecke D von der Länge 15 mm bgetrgen, und vom Punkt D us wird ds Lot DE uf die Hypotenuse gefällt. erechnen Sie den mfng des Dreiecks DE! c D 1 = D ( ) (1) α = rcsin c sin() (Sinusstz) () β = 180 α (Winkelsumme) (3) b = + c c cos(β) (Kosinusstz) (4) F = s(s )(s b)(s c), s = + b + c (5) h c = F c (6) b 1 = h c 1 (7) c 1 = 1 b 1 (Heronsche Formel) (Flächenformel) (Strhlenstz) (Stz des Pythgors) h c H c b 1 E c 1 1 eispielwerte: = cm c =.5 cm = 90 1 = D = 1.5 cm α = (1) β = () b = 1.5 cm (3) F = 1.5 cm (4) h c = 1. cm (5) b 1 = DE = 0.9 cm (6) c 1 = E = 1. cm (7) 1 + b 1 + c 1 = 3.6 cm 6

8 ufgbe , I.Stufe 1965, Klsse 9 eweisen Sie folgenden Stz: Der Flächeninhlt jedes Dreiecks ist gleich dem Produkt der Seiten dieses Dreiecks dividiert durch den vierfchen mkreisrdius des Dreiecks. Es ist sin(α) = b sin(β) = c = ( erweiterter Sinusstz ) sin() eweis: Der erweiterte Sinusstz folgt ls Kombintion von mfngswinkelstz und dem Stz des Thles. Mn entliest der bbildung sin() = c, lso zusmmen mit dem Sinusstz sin(α) = b sin(β) = c sin() =. P c Dmit wird, mit Hilfe von = 1 bh b = 1 bc sin(α), für ds Produkt = sin(α) b c sin(α) = b c 4 7