Lösungen zu den Wiederholungsaufgaben zum Grundwissenkatalog Mathematik der 7. Jahrgangsstufe. c) 5x ( 2 3 = 17 3

Transkript

1 Gymnsium Stein Lösungen zu den Wiederholungsufgen zum Grundwissenktlog Mthemtik der. Jhrgngsstufe ) ) ❶: keine; ❷: ; ❸: ; ❹: ; ❺: keine; ❻: ; ❼: ; ❽: ; ❾: ) ❶; ❷; ❹; ❾ ) ) ( 0,x ) 0,x ( 0,x ) = = 0,0x 0,x 0,09 x = = 0,0x 0,9x = = 0,8x ) ( ) (, ) = = + 8 +, = = 8, +, c) x ( x + x ) ( x )( + x ) = = x ( x + x ) (x x + x ) = = x. x (x x ) = = x x + x + = = x + x + d) ( x + ) ( x x + ) ( 0,x x + 0 x ) = x + ) ( x x + ). 0 = 0 f) x y y x.,x ( x + y ) ( x y ) = =, x y, x y ( x xy + xy y ) = = 8x + xy + y e).. : = = 0 ) x ( x ) = x ( 9 x x + x ) = x 9 + x + x x = 9 + x ist richtig, eenso x 9 ) ) 8 p q p q = p q ( q p) (Kontrolle: usmultiplizieren ergit ursprünglichen Term!) ) x + x 0, = ( x x + 0,) (Dividiere in der Klmmer durch!) c) y z = ( y 8z ) (Dividiere in der Klmmer durch multipliziere mit! ) d) = + = ( + ) = g h! Wenn die Grundlinie g ist, dnn ist + die zugehörige Höhe h. D hier h =, gilt = +! ) ) x y. xy = xy. x. xy = xy. x y = xy. = x y ) (z + z) (z. z) =. z. z. z = z ( z ) = z ( z) = und = ) ) V() =.,. = 0 ; O() =. (., +. +,. ) = = ) Qudrt : () = ; Qudrte : () = +. ; Qudrte : () = +. usw.. llgemein: n Qudrte : (n) = + ( n ). = + n = n + druf knn mn uch direkt kommen (hier für n = ): ) ) j ist vier ml so groß wie m: x j = m : x m = 0, j j + m = m + m = m lso x j + m = m ) j ist um 0 % kleiner ls m j = m 0,m x j = 0,8 m j = m.! x j = m m x m = j 8) ) lfred: T (;) = + ist flsch ( keine Fläche, sondern Länge; Verwechslung mit Umfng) hristin: T (;) = + ist flsch, weil zu groß (vergleiche mit inc s ild) + + ). ( + ). ( ). Dor: Ds kleine Qudrt wird eim ddieren der eiden Emil: großes Qudrt inc: Summe der großen Qudrtflächen ( ). kleines Qudrt gezeichneten Teilflächen doppelt gezählt ziehen ( + ) ( + )( ) + ( ) c) Durch Umformen ergit sich ei llen richtigen Termen : + die Terme sind äquivlent

2 9) Zhl der älle von Jons: m Zhl der älle von lriss :. (m ) = m ; richtig lso d) und f) 0) ) x = x + x x x 9 = x =. ( ) x = = x = ) x x x x = 0 x x = 0 0 = 0; llgemeingültig! c) x ( x ) = 0 ; x = 0 ; x = d) (x )(x + ) = x + x x = + x + x = 0 x ( x + ) = 0 x = 0 ; x = e) ( x ) ( x + ) = 0 x = ; x = = f) x x 0 x x = 0 x ( x ) = 0 x = 0 ; x = g) ( x ) = x : + x = x x = 0; Widerspruch! nicht lösr! h) ( x )(x ) = x ( x ) x x x + 9 = x + x x x + 9 = x +x = x : x = i), x + 8, = x +, x 8,, x =,9 :, x =, o),(x,) + x = 9(x ) +,(x,),(x,) x = 9x 9x x = : ( ) x = = 9 x =, k) x ( x ) = ( x, ) x + x = x x + x = 0 x = 0 l) ( 8x ) : = x (x 9 ) (x ) = x x + 9 x + = x x = x x 9 0 = 0 llgemeingültig! m), ( x, ) =, (, x ) :, x, =, x + x +, x =,8 : x =,9 n) (x + ) = ( x 0 ) :. x + = x 0 x 8 = x 0 x + 8 x = 8 : x = 9 p) x = + [ ( x) ] x = + [ + x] x = + x x + 0 = ; Widerspruch! nicht lösr! ) Deniz Nicole vorher x x nchher x 9 x + x =. ( x + ) x = x + x + x = : x = 9 x =.: Deniz htte onons ) lt: Länge = x ; reite = x ; Fläche = x (x ) neu: Länge = x ; reite = x + = x + Fläche = (x )(x + ) (x )(x + ) = x (x ) + 8 x x = x x +8 x + x + x = 0 : x = 0.: Die Seitenlängen wren 0cm und cm. ) α = β 0 ; γ = α = (β 0 ) = β 0 α + β + γ = 80 eingesetzt: β 0 + β + β 0 = 80 β 0 = β = 0 : β = 0 α = 0 ; γ = 80 ) c + c +. cm = cm cm cm + c = 0cm cm = (+c) h =. 0cm. cm = = 0cm ) Zhl der Plätze im unteren Rng: x Zhl der Plätze im mittleren Rng: x + 0,x =,x Zhl der Plätze im oersten Rng:,x 000 x +,x +,x 000 = , x = :, x = 0000.: Unten sind es 0000, in der Mitte 000 und oen 000 Plätze

3 ) Prinzip: Ds Volumen des reinen Sfts leit gleich (Invrinzprinzip) ) Sftvolumen (in l) vor dem Mischen : 0, x + Sftvolumen nchher : 0, (x + ) (0% des Gesmtvolumens) 0,x + = 0, (x + ) ( x = ) ) geht nicht :durch Mischen mit reinem Sft wird der Sftnteil immer höher! (0% 0% heißt er : der Sftnteil wird niedriger) c) Sftvolumen (in l) vor dem Mischen : 0, x Sftvolumen nchher : 0, (x + ) (0% des Gesmtvolumens) 0,x = 0, (x + ) ( x = 8) ) Um von 0% des lten Kurses wieder ufs Gnze (00% des lten Kurses) zu kommen, muss der Kurs verdoppelt werden. Verdoppeln edeutet er Steigerung um 00% (von 00% uf 00%) c) ist richtig! 8) ), ( ei einer gerden Zhl von ufeinnderfolgenden ntürlichen Zhlen ist die Mitte zwischen den mittleren Zhlen der Mittelwert Strtegie: proiere erst mit weniger Zhlen: is,,,... ) ) ( x ) : = 0 x 9 = 0 x = 9 9) x = lter Kffeekonsum neuer Kffeekonsum = 0% von x = 0,x neue Kffeekosten: 0% von 0,x =,. 0, x = 0,9 x = x 0,0x = Sie zhlt % weniger! 0) % vom Nettopreis =,0 % vom Nettopreis = 0ct : = 0 ct MWSt = % vom Nettopreis = 0 ct. = 0 ct =,0 x,0,0 oder mit x = MWSt : = x = =... % % ) x = Seitenlänge des Qudrts x = 0000m x = 00 m ) lte Seitenlänge = x lter Flächeninhlt = x ; neue Seitenlänge = x 0,8x = 0,x neuer Flächeninhlt = (0,x) = 0,0 x solute Änderung des Flächeninhlts : x 0,0x = 0,9x ; reltive Änderung = Der Flächeninhlt nimmt um 9% ) Plnfigur : Konstruktion: Konstruktionspln:. und sind gegeen durch = 8 cm.. liegt ) uf dem Thleskreis üer []. ) uf der Prllelen zu im stnd h =,cm. β h 0,9x x Es existieren zwei kongruente Dreiecke und mit =, cm und =,9 cm. = 0,9 = 9 % ) Skizze: α = (80 γ) : = (siswinkel im gleichschenkligen Dreieck) α = µ = 80 ( α + 90 ) = 8 (Winkelsumme in Dreieck SM) Der spitze Winkel zwischen w α und m eträgt 8.

4 ) Gesucht sind lle Punkte uf der Strße, deren Entfernungen zu und zu gleich groß sind Mittelsenkrechte der Strecke [] zweigpunkt ) 0 0 S T H L ) ) L ) oot näher n H ls s oot im Kreisinneren des Kreises um H durch S oot weiter von L entfernt ls von L oot uf der L Seite der Mittelsenkrechten der Strecke [L L ] (die Punkte uf der Mittelsenkrechten hen die gleiche Entfernung zu L und L ) ) 0 (siehe Zeichnung) c) T liegt I) uf dem Thleskreis üer [L L ] II) uf [SH] ) h, cm h c, cm = 0, c. h c 0,. 8, cm., cm = =,0 cm cm c) und d) : Die neuen Eckpunkte `und `` liegen uf der Prllelen zu durch c) genu Lösung für = h c 8) Jede Seitenlänge muss kleiner sein ls die Summe der nderen eiden, lso : c < + = 8,cm und,9cm < c +,cm c >,cm cm möglich lso nur c = cm und c =,cm 9)) I = (cm) : = cm : = cm ) in I : x = cm : cm = cm y = cm cm = 9 cm (in II) z = cm : 9cm = cm U II =. ( 9cm + cm) = cm cm x II y I 0) ) ein Rechteck ) eine Rute c) ein Qudrt z

5 ) ) / ) ) c) / d) nmerkung : Konstruktionslinien hier z.t. nicht sichtr ) M = Schnittpunkt von Mittelsenkrechten ) T und T liegen uf dem Thleskreis üer [PM] c) Es genügt, den Spiegelpunkt von zu konstruieren, weil sich und uf der Spiegelchse schneiden und uf liegt. d) I ist Schnittpunkt von Winkelhlierenden ; erührpunkt = Lotfußpunkt ) ) Umkreismittelpunkt U uf einer Seite U ist der Mittelpunkt dieser Seite Umkreis ist Thleskreis üer dieser Seite Dreieck ist rechtwinklig ) Winkelhlierende = Höhe Dreieck ist chsensymmetrisch Dreieck ist gleichschenklig ) ) T (-,,) k - - T (,8 -,9) P Plnfigur : D y 9 8 M (0,,) Konstruktion: (-,0,) P r I (,,) (, -,9) e f Konstruktionspln : (wr nicht verlngt; ist er nützlich): ) Konstruiere us, und e (nch sss) ) D liegt ) uf dem Thleskreis üer [] ) uf k( ; r = f = 0 cm) ( Lösungen!) D wäre hier f 0,cm Lsg. ) ) I) Für f 0, cm erühren sich die eiden Kreise us der Konstruktion von D in einem Punkt ( vgl. Zeichnung) genu Lösung! II) Für f 9 cm (=) ist der untere Schnittpunkt D der eiden Kreise nicht ruchr (Umlufsinn der Eckpunkte wäre flsch); zw. D fällt mit zusmmen kein Viereck! Dmit git es zunächst nur die ndere Lösung mit D Für f cm (= ) ist uch der oere Schnittpunkt D nicht ruchr (der Winkel wäre dnn uf der flschen Seite δ wäre 0 0 ) insgesmt genu Lösung für cm < f 9cm nch II) und für f 0,cm nch I) ) ) ein Drchenviereck ) α = 0 0 ( D ist dnn gleichseitig) c) eine Rute (lle Seiten sind dnn gleich lng) whufgen-lsg.doc 00-0-