Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Mathematik 7 (G8)

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1 Ignz-Tschner-Gymnsium Dchu Grundwissen Mthemtik 7 (G8) Grundwissen Mthemtik 7. Klsse Grundwissen M Themen chsen- und punktsymmetrische Figuren ) chsenspiegelung und chsensymmetrie chsensymmetrie und Die chsenspiegelung Punkte, die uf der Symmetriechse liegen, sind von jeweils zwei chsensymmetrischen weit entfernt. Punkten gleich weit entfernt. Die Strecke von einem Punkt zu seinem chsensymmetrischen Punkt wird von der senkrecht hliert. Symmetriechse senkrecht hliert. Eigenschften esonderheiten - eispiele Die Punkte, die uf der Symmetriechse liegen, sind von jeweils zwei chsensymmetrischen Punkten gleich Die Strecke von einem Punkt zu seinem chsensymmetrischen Punkt wird von der Symmetriechse ) Punktspiegelung Konstruktionen zur und Punktsymmetrie u einem P den ild- wei chsenspiegelung punktsymmetrische punkt Figuren P konstruieren: werden ei einer Drehung um ds entrum um 180 ineinnder üergeführt. Die Strecke von einem Punkt zu seinem P ildpunkt wird von diesem Mentrum hliert. c) esondere Gerden P M lle Punkte, die von zwei Punkten den gleichen stnd hen, liegen uf der Mittelsenkrechten m [] der Verindungsstrecke. cke von einem Punkt einem ildpunkt diesem entrum MWG ugsurg eispiele punktsymmetrische werden ei u einer einem Punkt P und seinem um ds entrum ildpunkt P die chse 180 ineinnder hrt. C P C konstruieren: P Kreis Sc Schen Konst Punktspiegelung wei punktsymmetrische lle Punkte, die von zwei sich scheidenden Gerden Figuren werden ei einer den gleichen stnd hen, Drehung liegen um uf ds der entrum Winkelhlierenden. Die Senkrechte zu einer vorgegeenen Gerde nennt mn Lot. d) esondere Vierecke um 180 ineinnder üergeführt. Die Strecke von einem Punkt zu seinem ildpunkt wird von diesem entrum hliert. Ein Qudrt ist ein Viereck mit vier gleich lngen Konstruktion der Seiten und vier rechten Winkeln. Punktspiegelung Ein Rechteck... mit vier rechten Winkeln. Eine Rute... mit vier gleich lngen Seiten. P Ein Prllelogrmm... mit je zwei prllelen Seiten. Ein Trpez... mit zwei prllelen Seiten. Ein Drchenviereck... mit zwei Pren enchrter gleich lnger Seiten. Konstruktion des ildpunktes P zu P: P C llgemeines Viereck (Winkelsumme 360 ) Viereck mit Inkreis Viereck mit Umkreis Viereck mit zwei prllelen = Tngentenviereck = Sehnenviereck Seiten = Trpez chsensymmetrische Vierecke Drchen Gleichschenkliges punktsymmetrisches Trpez Viereck = Prllelogrmm Rechteck Rute (= gleichwinkliges Viereck) (= gleichseitiges Viereck) Qudrt Seite 1 von 5

2 Winkelhlierende Ignz-Tschner-Gymnsium Dchu Grundwissen Mthemtik 7 (G8) Kreis um S mit elieigem Rdius; Schnittpunkte S 1 und S 2 mit Schenkeln des Winkels; M Winkeletrchtungen n Figuren ) n einer Gerdenkreuzung gilt: Winkel n einer Neenwinkel ergänzen sich zu 180 : α + = 180 Scheitelwinkel sind gleich groß: γ = δ Gerdenkreuzung ) n einer Doppelkreuzung mit zwei prllelen Gerden gilt: Stufenwinkel sind gleich groß: ε 1 = ε 2 Wechselwinkel sind gleich groß: φ 1 = φ 2 α α Grundwissen Mthemtik 7. Klsse Winkel n einer Doppelkreuzung mit prllelen Gerden Neenwinkel ergänzen sich zu 180 : + = 180 e 2 e 1 Konstruiere Mittelsenkechte m! S1 S # ² 2 γγ δ δ γ γ MWG ugsurg Scheitelwinkel sind gleich groß: g = d j 1 j 2 c) Winkelsumme in Vielecken Die Innenwinkelsumme im Dreieck eträgt 180 : α + + γ = 180 Die Winkelsumme im Vieleck mit n Ecken eträgt (n 2) 180. M Term und hl Winkelsumme im Dreieck Winkelsumme in Vierund Vielecken Ein Rechenusdruck, der hlen, Vrilen, Rechenzeichen und Klmmern enthlten knn, wird Term gennnt. Für die Vrile knn mn verschiedene hlenwerte einsetzen. esondere Dreiecke wei Termen nennt mn äquivlent, wenn jede mögliche Einsetzung ei eiden Termen zum gleichen Ergenis führt. M Term und hängigkeit Terme sind ein gutes Mittel, um die hängigkeit von Größen zu eschreien. Stufenwinkel (F-Winkel) sind gleich groß: e1 = e2 Dreieck eträgt 180 : + + g = 180 Für ein Vieleck mit n Ecken T() = eträgt die Innenwinkelsumme: (n - 2) 180 gleichschenkliges erechne T() = für { 3; 2} T(2) = = = 4 Kthete T( 3) = 2 ( 3) 3 ( 3) = = 29 Der Flächeninhlt des Rechtecks knn uf gnz Kthete verschiedene Ein Dreieck mit zwei rten Ein erechnet Dreieck mit drei werden: Ein Dreieck mit einem gleich lngen Seiten heißt gleichschenklig. Ein gleichschenkliges T 1 (x) Dreieck = ist 4(x chsensymmetrisch. + 6) T 2 (x) = 4x + 24 T 3 (x) Dreieck = sind 4x die eiden siswinkel gleich groß: = gleichseitiges T(; ; c) = c git einen Term n, mit dem mn die Summe der Kntenlänge der Pyrmide erechnen knn. Wechselwinkel (-Winkel) sind gleich groß: α gleich lngen Seiten heißt gleichseitig. Die drei Innenwinkel etrgen dnn 60. j1 = j2 γ Dreieck. M Umformen von Termen ) Gleichrtige Terme zusmmenfssen Gleichrtige Terme unterscheiden sich nur in den Koeffizienten (=hlen vor den Vrilen), nicht er in den Vrilen nch der hl. ) Terme ddieren und sutrhieren Nur gleichrtige Terme knn mn durch ddition oder Sutrktion zusmmenfssen, indem mn ihre Koeffizienten ddiert zw. sutrhiert und die gemeinsmen Vrilen eiehält. Gleichrtige Terme: 2xy 2 ; 0,25xy 2 ; xy 2 Nicht gleichrtige Terme: 2xy; 2x 2 y; 2x 2 y 2 2xy 2 +20xy 5xy 2 16xy = 3xy 2 + 4xy Seite 2 von 5

3 Ignz-Tschner-Gymnsium Dchu Grundwissen Mthemtik 7 (G8) c) eknnte Rechengesetze Es gelten die eknnten Rechengesetze: Kommuttivgesetz für Multipliktion und ddition = + = + ssozitivgesetz für Multipliktion und ddition ( ) c = ( c) = c ( + ) + c = + ( + c) = + + c d) Multiplizieren und dividieren Fktoren drf mn vertuschen und durch Klmmern zusmmenfssen. e) usmultiplizieren und usklmmern Für ds Rechnen mit Klmmern ist ds Distriutivgesetz esonders wichtig: f) Produkte von Summen wei Summen werden miteinnder multipliziert, indem mn jedes Glied der ersten Klmmer mit jedem Glied der zweiten Klmmer multipliziert und nschließend ddiert. g) Potenzen x m x n = x m+n x m : x n = xm = x n xm n (x y) m = x m y m ( x y )m = xm y m (x n ) m = x n m = (x m ) n Hoch vor Punkt vor Strich Klmmer vor llem! M Lösen von Gleichungen ) Lösen durch Äquivlenzumformungen 1. Vereinfchen 2. Trennen: x-terme uf die eine Seite, hlen uf die ndere Seite 3. x isolieren, d. h. uflösen nch x 4. Lösung ermitteln und Lösungsmenge ngeen 5. (Proe durch Einsetzen der Lösung für x uf eiden Seiten) ) Spezilfälle Eindeutig lösr: L = {} genu eine Lösung llgemein gültig: L = G unendlich viele Lösungen Unerfüllr: L = { } keine Lösung [Grundmenge G: vorgegeen Menge n hlen, die mn in die Gleichung einsetzen könnte. Lösungsmenge L: Menge n hlen, die eine richtige ussge ergeen, d. h. lso ei der die Gleichung stimmt ] yx 2 = x 2 y ( ) = (2 x) 2 = 2 x 2 = 4x 4x 5x 2 = 20x 3 ( 3) 4 2 ( 0,5) = 6 3 usmultiplizieren: 7 (x + 5) = 7x + 35 usklmmern: 27x 2 9xy = 9x (3x y) (x + 2) (3 + x) = 3x + x x = = x 2 + 5x + 6 ( x + 2) (2x 1) = = 2x 2 + x + 4x 2 = 2x 2 + 5x 2 x 4 x 3 = x 4+3 = x 7 y 6 : y 2 = y6 y 2 = y6 2 = y 4 (x y) 3 = x 3 y 3 ( x y )3 = x3 y 3 (x 2 ) 3 = x 2 3 = x 6 2x + 5(x + 1) = 4(x 2) 2 2x + 5x + 5 = 4x 8 2 7x + 5 = 4x 10 4x 3x + 5 = x = 15 : 3 x = 5 L = { 5} 2x = 3 4x = 2x + 2x x 3 = x 4 x = 1,5 4x = 4x 3 = 4 0 = L = {1,5} L = G = Q L = { } eindeutig llgemein lösr unerfüllr er wenn: G = N 0 L = { } unerfüllr Seite 3 von 5

4 ² % n ² 4 % ² y % y 3 Ignz-Tschner-Gymnsium rithmetisches Dchu Mittel Grundwissen Mthemtik 7 (G8) M 7.4 Dten, Digrmme und Prozentrechnung ) rithmetisches Mittel ei der Erheung von Dten ist der Mittelwert eine eliete Größe zur eschreiung der Dten. In der Mthemtik heißt dieser Wert rithmetisches Mittel. ei der Erheung von Dten ist der Mittelwert eine eliete Größe zur eschreiung der Dten. In der Mthemtik heißt dieser Wert rithmetisches Mittel. eispiel: ei einer Schulufge g es folgendes Notenild: Note ei einer nzhl Schulufge 2 g 3 es folgendes 7 Notenild: el: ei einer Schulufge g es folgendes Notenild: Ds Note rithmetische 1 Mittel 2 ist 3 der Notendurchschnitt, mit dem mn ussg drüer nzhl treffen 2 knn, 3 wie gut 7 die Schulufge 8 4 von 1 den Schülern ereitet wurde: Ds rithmetische Mittel ist der Notendurchschnitt = = 3,48 thmetische Mittel ist der Notendurchschnitt, mit dem mn ussgen er treffen knn, wie gut die Schulufge von den Schülern eitet wurde: Prozentrechnung ) Prozentrechnung lle Frgen der Prozentrechnung lssen sich mit der Grundgleichung der Prozentrechnung Prozentstz Grundwert = Prozentwert entworten, indem mn die Gleichung nch der gesuchten Größe uflöst. M Kongruenz wei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in In drei Seiten üereinstimmen (SSS) In einer Seite und den eiden nliegenden Winkeln üereinstimmen (WSW) In einer Seite, in einem nliegenden und dem gegenüerliegenden Winkel üereinstimmen (SWW) In zwei Seiten und deren wischenwinkel (SWS) üereinstimmen In zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite (SsW) üereinstimmen M esondere Dreiecke insrechnung ) Stndrdezeichnungen Die Ecken werden mit Großuchsten, die gegenüerliegenden Seiten mit dem entsprechenden Kleinuchsten ezeichnet. Den Winkel (genuer Innenwinkel) n einer Ecke ezeichnet mn mit dem entsprechenden griechischen uchsten. Erhöhung Erhöhter Grundwert des Grundwertes nn erhält Tschengeld im im Mont. Es wird Es wird nun um nun 10% erhöht. Wie viel erhält sie nun montlich? um 10% erhöht. Wie viel erhält sie nun montlich? % von von 20 =20 + = = 20 = = = 22 % 10% 110% oder: Diese Rechnung entspricht: 110% von % von 20 = 110% von 20 = 1,1 20 = 22 Verminderter Grundwert Verminderung des Grundwertes Eine Hose kostet eim eim Schlussverkuf wird wird sie 20% sie illiger. Ws kos die Hose nun? 20% illiger. Ws kostet die Hose nun? 60-20% von von 60 =60 = = 60 = = = 48 oder: 60 Diese Rechnung 20% von 60 entspricht: = 80% von 80% 60 von = = 48 Ein Kpitl K ringt ei einem insstz von p% in n Tgen insen in der Höhe von: n = p% K 360 eispiel: ei einem insstz von p = 2% ringt ein Kpitl von 0 wei Dreiecke, die nur in drei Winkeln üereinstimmen, sind nicht unedingt kongruent zueinnder. % in einem Jhr: = 2% 0 = 20 in 72 Tgen: = 2% = 4 20% 80% Wichtige griechische uchsten Seite 4 von 5

5 Winkelsumme in Vierund Vielecken α Ignz-Tschner-Gymnsium Dchu Für ein Vieleck Grundwissen mit n Ecken Mthemtik 7 (G8) Winkelsumme in Vier- Die Innenwinkelsumme (n - 2) 180 in einem und Vielecken esondere Dreiecke gleichschenkliges gleichseitiges α ) Gleichschenkliges Dreieck Für ein Vieleck mit n Ecken Ein Dreieck mit zwei gleich lngen Seiten heißt eträgt die Innenwinkelsumme: Schenkel gleichschenklig. Ein gleichschenkliges Dreieck ist (n - 2) 180 chsensymmetrisch. Dreieck sind die α = siswinkel gleich groß: esondere Dreiecke gleichschenkliges gleichseitiges Ein Dreieck mit zwei Ein mit drei gleich lngen Seiten gleich lngen Seiten sis heißt gleichschenklig. heißt gleichseitig. c) Gleichseitiges Dreieck Ein gleichschenkliges Die drei Innenwinkel C Ein Dreieck mit drei gleich lngen Seiten heißt Dreieck ist chsensymmetrisch. etrgen dnn 60. gleichseitig. Die drei Innenwinkel etrgen jeweils 60. d) Rechtwinkliges Dreieck Ein Dreieck mit einem Ein Dreieck mit zwei Dreieck. gleich lngen Seiten heißt gleichschenklig. Ein gleichschenkliges Dreieck ist chsensymmetrisch. e) Stz des Thles Ein Dreieck C ist genu dnn rechtwinklig ei Dreieck der sind die Ecke C, wenn der Punkt C uf dem Hlkreis üer eiden der siswinkel Strecke [] liegt. gleich groß: = eträgt die Innenwinkelsumme: Dreieck sind die eiden siswinkel gleich groß: = Ein Dreieck Kthete mit drei gleich lngen Seiten heißt gleichseitig. Die drei Innenwinkel etrgen dnn 60. Kthete Kthete Kthete Ein Dreieck mit einem Dreieck. Kthete 90 Kth Ein Dreieck mit einem Dreieck M Konstruktionen ) Mittelsenkrechte und Umkreis Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks entsprechen den Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten. Sie schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. ) Winkelhlierenden und Inkreis Die Winkelhlierenden eines Dreiecks entsprechen den Winkelhlierenden der drei Innenwinkel. uch sie schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises. c) Höhen Die Höhen eines Dreiecks sind die von den Ecken uf die gegenüerliegende Seite gefällte Lotstrecken. uch sie schneiden sich in einem Punkt. Wir dnken dem DG Oersch und dem MWG ugsurg für die nregungen ei der Erstellung unseres Grundwissens. Seite 5 von 5