Grundwissen Mathematik 9

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1 Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel Die Qudrtwurzel ist die nicht negtive Zhl, die mit sich selbst multipliziert ergibt oder nders usgedrückt, die nicht negtive Lösung der Gleichung. Rechnen mit Qudrtwurzeln ( ) ; 0 b b : b : b b b Achtung! ± b ± b und ± b ± b Merke: Differenzen und Summen rdizieren nur die Aber ( ± b) ± b Potenzen n... ; n Fktoren + : n für 0 ; n b ( b) ; ; :b ( :b) 0 ( ) Achtung: es gibt kein Potenzgesetz für Summen: ( + b) + b Die n-te Wurzel us ist die nicht negtive Lösung der Gleichung n. (Dbei muss 0 sein!) n n IN; IR + Für positive Bsis gilt: p q 0 q p q p ( ) ( p Z ;q IN ) Mn rechnet mit n-ten Wurzeln durch Umformen in Potenzen! Beispiele ( c + 7) c + c + 9 ( c 7) c c + 9 ( f g)( f + g) f 9g Verwndle Produkt: Lösung: ; 8+ 6in ein 8+ 6 ( ) ist nicht (-5) +5 definiert Mn knn teilweise rdizieren: ,5 ( ) 5 ( 5) 7 ( : ) ( ) ( ) 8 denn 8 8 ( 8) + ( z ) 6 z z z z z z

2 Qudrtische Gleichungen Gleichung der Form + b + c 0; 0 Reinqudrtische Gleichung + c 0 lässt sich in die Form / d bringen. ± d flls d 0 sonst gibt es keine Lösung Lösungsformel Für die Lösungen der qudrtischen Gleichung + b + c 0; 0 gilt: b ± b c, Die Anzhl der Lösungen hängt b von der Diskriminnte D b c Ist D>0 Lösungen, ist D<0 keine Lösung, ist D0 eine Lösung. Qudrtische Funktionen Der Grph der Funktion f() + b + c; 0 heißt Prbel Sonderfälle: f() + c : in Richtung verschobene Normlprbel f() ( - b) : in Richtung verschobene Normlprbel f() : enger ( >) bzw. weiter < ls Normlprbel für < 0 ist die Prbel nch unten geöffnet 0 / ± ± + 0,b,c ( ) ± ( ) ( ), (-) ;, 5 Skizziere die Funktionen f() (-) - g() -0,5(+) + Die Nullstellen einer (qudrtischen) Funktionen f erhält mn durch Lösen der (qudrtischen) Gleichung f() 0 Dmit ergibt sich die Nullstellenform f() +b+c (- )(- ) Die Scheitelpunktsform bzw. den Scheitel erhält mn durch qudrtische Ergänzung f() +b+c... (- ) + s s Nullstellen von f() +-6 ± 6 ( 6), ; - drus ergibt sich die Nullstellenform von f f() (-)(+) Scheitelbestimmung von f f() + 6 ( + ) 6 ( + + ) 6 [( + ) ] 6 ( + ) 8 Scheitel: S( / 8)

3 oder bei beknnten Nullstellen ls Mittelwert der Nullstellen Schnittpunkte zweier (qudrtischer) Funktionen f und g erhält mn durch Lösen der (qudrtischen) Gleichung f() g() Kennt mn drei Punkte (bzw. den Scheitel und einen weiteren Punkt) einer Prbel, so erhält mn durch Einsetzen der Punkte in die entsprechende Form ein Gleichungssstem, dessen Lösung die zugehörige Funktionsgleichung ergibt. f() (+ )( ), (Nullstellen) + s A(/0) G + b + c 0 f B( / ) G + b + c f f C(/ ) G 9 + b + c Die Stzgruppe des Pthgors C ;b c + b h c ,5;c,5 A q c p B b c b,5,5 6 Stz des Pthgors In jedem rechtwinkligen Dreieck mit γ 90 gilt +b c Auch die Umkehrung ist richtig: Gilt in einem Dreieck +b c, so ist ds Dreieck rechtwinklig bei γ. Höhenstz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt über der Höhe flächengleich dem Rechteck us den beiden Hpotenusenbschnitten h pq Kthetensätze: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes Kthetenqudrt flächengleich dem Rechteck us der Hpotenuse und dem der Kthete nliegenden Hpotenusenbschnitt. b cq und cp Gegeben: 6 cm, c 7,5 cm Gesucht: p und h. Nch dem Kthetenstz ist c p p :c (6cm) :7,5cm,8cm Nch dem Höhenstz gilt mit q c p 7,5cm,8cm, 7cm und h p q h p q,8cm,7cm,6cm

4 Trigonometrischen Funktionen: In jedem rechtwinkligen gilt: Gegenkthete Ankthete sinα cosα Hpotenuse Hpotenuse Gegenkthete tnα Ankthete Gegeben: c 6,5cm, α 5 Gesucht: β, und b β 90 α c sinα 6,5cm sin5,7cm b c cosα 6,5cm cos5 5,cm wobei Gegenkthete eine Abkürzung für dem Winkel... gegenüberliegende Kthete ist (usw.). einige wichtige Werte: sin 0 0 ; sin 0 ; sin 5 ; sin 60 ; sin90 Weitere wichtige Beziehungen: sinα tn α ( α 90 ) und sin α + cos α cosα Prism und Zlinder Beispiel Gegeben: sinα 0,8 Gesucht: cosα und tnα cosα sin α 0,8 0,6 0,6 0,6 sinα 0,8 tnα cosα 0,6 Prism: Eine Prism bzw. ein Zlinder entsteht durch Verschiebung der Grundfläche G (Vieleck bzw. Kreis) im Rum. Grundund Deckflächenebenen sind Prllel zueinnder. Die Höhe h von Prism bzw. Zlinder ist ds Lot der Deckfläche uf die Grundfläche. Für beide Körper gilt: Oberfläche: O G + M Volumen V G h Zlinder: Mntelfläche M u h wobei u der Umfng der Grundfläche ist

5 Prmide und Kegel Prmide: Eine Prmide bzw. Kegel entsteht durch Verbindung der Grundfläche G (Vieleck bzw. Kreis) mit der Spitze S. Die Höhe h der Prmide bzw. des Kegels ist ds Lot von S uf die Grundfläche. Für beide Körper gilt: Oberfläche: O G + M Volumen V G h Kegel: Die Höhe h knn us den Messgrößen der Grundfläche (Grundkntenlänge bzw. Rdius) und denen der Mntelfläche (Seitenlänge oder Seitenflächenhöhe) berechnet werden. Im Kegel gilt : s h + r In der Prmide muss der Abstnd zwischen dem Lotfußpunkt und der Grundflächenecke erst errechnet werden (Pthgors) Gerden und Ebenen im Rum Eine Gerde l heißt Lot zu einer Ebene E, wenn g uf zwei verschiedenen Gerden die in E liegen senkrecht steht. Der Schnittwinkel zwischen einer Gerden g (kein Lot) und der Ebene E ergibt sich durch Projektion von g in Lotrichtung. Um den Schnittwinkel zweier Ebenen E und E zu ermitteln, wählt mn jeweils eine Gerde g und g us den Ebenen E α : Schnittwinkel zwischen Gerde und E die zur Schnittgerden senkrecht stehen und misst den Schnittwinkel von g und g und Ebene β : Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen 5

6 Whrscheinlichkeitsrechnung Dreifcher Münzwurf: Zusmmengesetzte (mehrstufiges) Zufllseperimente vernschulicht mn häufig durch Bumdigrmme. Hierbei gelten die Pfdregeln:. Pfdegel: Bei mehrstufigen Zufllseperimenten ergibt sich die Whrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch Multipliktion der Whrscheinlichkeiten längs des Pfdes.. Pfdregel: Bei mehrstufigen Zufllseperimenten ergibt sich die Whrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Addition der zum betrchteten Ereignis gehörenden Pfdwhrscheinlichkeiten. Bei einigen Frgestellungen sind Berechnungen mit Hilfe des Gegenereignisses sinnvoll. Ist A ds Gegenereignis zu A so gilt: p( A ) p(a) gesucht: Whrscheinlichkeit für drei ml Wppen: p(www),5% 8 gesucht: Whrscheinlichkeit für genu einml Wppen: p + + 7,5% ( drei Äste!) mindestens ein Treffer besitzt ds Gegenereignis kein Treffer höchstens drei Treffer besitzt ds Gegenereignis vier Treffer (flls miml vier Treffer möglich sind) gesucht: Whrscheinlichkeit für mindestens einml Wppen: Gegenereignis: keinml Wppen, lso dreiml Kopf Zufllseperimente lssen sich häufig uch simulieren. Dbei verwendet mn meist Zufllszhlen und benutzt die reltive Häufigkeit des betrchteten Ereignisses ls Schätzwert für dessen Whrscheinlichkeit. p p (KKK),5% 87,5% 6