( ) ( 4) I. Reelle Zahlen LÖSUNGEN L9_01. o Rationale Zahlen: 5; ; 2,8. o Irrationale Zahlen: 7 ; ; 6 5 ; L9_02 = = o 48 3.

Transkript

1 I. Reelle Zhlen L9_0 Rtinle Zhlen: ; ;,8 ;, ; 9 7 L9_0 Irrtinle Zhlen: 7 ; + ; ; L9_0 L9_0 L9_0 L9_0 8 + ist bereits vllständig vereinfcht! (Achtung: + +, vgl. Tschenrechner,, und,, ls +, ), : : 8 8 ( ) 8 ( 7 ) ( ) ( ) ( ) + 0xz z ( x) + x z + ( z) ( x + z ) x + t t + t + t s s s s s s ( t ) 9t + b 8 b 8 b+ b b+ ( b) ( ) b+ ( b) ( b) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( 9 ( ) ( ) ( + ) ( ) + +

2 II. Stzgruppe des Pythgrs L9_07 In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Ds Qudrt über der Kthete ist inhltsgleich dem Rechteck us der Hyptenuse und dem nliegenden Hyptenusenbschnitt. L9_08 b cq, cp In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Ds Qudrt über der Höhe ist inhltsgleich dem Rechteck us den beiden Hyptenusenbschnitten. L9_09 h pq In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Qudrte über den Ktheten ist inhltsgleich dem Qudrt über der Hyptenuse. c + b L9_0 Es gilt b + c, d ( 0cm) (8cm) + (cm) ist. Ds Dreieck ist nch dem Kehrstz zum Stz des Pythgrs rechtwinklig bei der Ecke A, ls α 90. L9_ L9_ Stz des Pythgrs: Als ist d + d und smit d. Frmel: d h + Stz des Pythgrs: h Als ist h und smit h. Frmel: h

3 III. Qudrtische Funktinen und qudrtische Gleichungen L9_ g : x x + x, llgemein: g : x x + bx + c Die Prbel zur Funktin g ist nch unten geöffnet ( < 0) und enger ls die Nrmlprbel ( > ). L9_ : x h x, llgemein: h : x x + e Die Prbel zur Funktin j ist eine Nrmlprbel, die usschließlich in y-richtung verschben ist und den Scheitelpunkt S ( 0 / ), llgemein S ( 0 / e) ufweist. L9_ j : x ( x + ), llgemein: j : x ( x + d ) Die Prbel zur Funktin j ist eine Nrmlprbel, die usschließlich in x-richtung verschben ist und den Scheitelpunkt S ( / 0), llgemein S( d / 0) ufweist. L9_ g ( x) x + x L9_7 x x (usklmmern) x x + (qudrtisch ergänzen) x x + + (Distributivgesetz) 9 x + (Binmische Frmel) 7 x 8 7 Der Scheitel lutet: S / 8 x x + 0, llgemein: x + bx+ c 0 x / b ± b c ( ) ± ( ) ± 9 8 ± ± hier: x / und smit ergeben sich die beiden Lösungen (Nullstellen) x und x 0,. Anmerkung: D b c heißt Diskriminnte. Für D > 0 gibt es genu zwei Lösungen. Für D 0 gibt es genu eine Lösung. Für D < 0 gibt es keine Lösung.

4 IV. Qudrtische Funktinen in Anwendungen L9_8 (I) + b+ c (II ) 9 b + c (III ) 8 b + c ( I) (II ) 8 + b 0 + b 0 (IV ) (I) (III ) + b + b (V) ( IV ) (V) in ( V) : + b b in ( I) : + + c c L9_9 Setze die Krdinten der Punkte in die Funktinsgleichung y x + bx+ c ein. A(/) G f + b+ c B(/ 0) G f 0 + b + c C(0/ ) G f c Löse ls ds linere Gleichungssystem (I) + b + c L9_0 L9_ (II ) + b + c 0 (III ) c ( III ) in ( I) : + b + b + b 8 (IV ) ( III ) in ( II ) : + b 0 + b (V) ( IV ) (V), in ( I) :, + b+ ( ) b, Die Funktinsgleichungen der beiden Funktinen f und g werden gleichgesetzt, ls f (x) g(x). Mittels Äquivlenzumfrmungen lässt sich us diesem Anstz meist eine qudrtische Gleichung bestimmen, die mximl zwei Lösungen ufweist. Diese Lösungen stellen die x-krdinten der Schnittpunkte der Grphen. Z.B. f (x), g (x) x + x gleichsetzen liefert x + und nch Multipliktin mit x erhält mn die qudrtische x Gleichung x + x der x + x 0. Die beiden Lösungen sind x und x. Die beiden Schnittpunkte hben ls die Krdinten S (/ ) und ( / ). S

5 V. Whrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufllsexperimenten L9_ Ein us mehreren Teilexperimenten bestehendes Zufllsexperiment heißt mehrstufiges Zufllsexperiment. Je nch Anzhl der Stufen sind die Ergebnisse Pre, Tripel der llgemein n-tupel. Z.B. Eine -Münze wird vierml gewrfen, die Ergebnisse sind ls -Tupel, z.b. (Kpf,Kpf,Zhl,Kpf). Bumdigrmm: L9_ L9_. Pfdregel: Bei einem mehrstufigen Zufllsexperiment erhält mn die Whrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem mn die Whrscheinlichkeiten entlng des zugehörigen Pfdes multipliziert.. Pfdregel: Bei einem mehrstufigen Zufllsexperiment erhält mn die Whrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem mn die Summe der Whrscheinlichkeiten der Pfde bildet, die zu dem Ereignis gehören. Der Würfel muss dreiml gewrfen werden, denn dmit erhält mn verschieden Ergebnisse. 9 dieser Tripel müssen usgewählt und den Lttzhlen vn bis 9 eindeutig zugerdnet werden, z.b. Lttzhl Tripel Lttzhl Tripel Lttzhl Tripel Lttzhl Tripel (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) usw.

6 VI. Trignmetrie L9_ Sinus vn α : Ksinus vn α : Tngens vn α : Gegenkthe te sin α Hyptenuse LÖSUNGEN Ankthete cs α Hyptenuse Gegenkthe te tn α Ankthete 80 0, 90 9, L9_ β 80 α γ sin α c c sinα 7,cm sin0,, cm b cs α c b c csα 7,cm cs0,, cm cm tnα, 88 b,cm α, β 80 α γ 80, 90 8, 8 cm cm sin α c,8 cm c sinα sin, 0,87 L9_7 () sinα cs90 ( ) bzw. csα sin( 90 ) L9_8 () sin α + cs α sinα () tn α, wbei csα 0, ls α 90 cs α Term vereinfchen: sin α + cs α sin α cs α + tn α + tn cs α cs α cs α cs α ( ) α

7 VII. Rumgemetrie L9_9 Gerde g und Ebene E: g E(Die Gerde liegt prllel zur Ebene.) g E (Die Gerde liegt in der Ebene.) g E S (Die Gerde schneidet die Ebene in einem Punkt S unter einem Neigungswinkel ε.) g E (Die Gerden schneidet die Ebene E in einem Punkt S unter dem Neigungswinkel ε 90. Die Gerde heißt dnn Lt der Senkrechte.) Ebene E und F: E F (Die Ebenen liegen prllel zueinnder.) E F (Die Ebenen liegen ufeinnder, sind ls identisch.) E F s (Die Ebenen schneiden sich in einer Gerde s unter einem Neigungswinkel α.) E F (Die Ebenen schneiden sich in einer Gerde s unter dem Neigungswinkel α 90. Die Ebenen stehen ufeinnder senkrecht.) L9_0 Vlumen Prism: V G h V G h 8cm cm 0cm Oberfläche Prism: O G + M O 8cm + cm cm+ 8cm+ cm+ 8cm ( ) 9cm + cm 8cm 9cm + 0cm cm L9_ Vlumen Zylinder: V G h V G h r π cm cm π cm 8,7cm cm,cm Oberfläche Zylinder: O G + M O 8,7cm + cm r π L9_ L9_,cm ( ) ( ) ( π) + cm cm,cm + cm 8,8cm,cm + 9,cm 0,8cm Vlumen Pyrmide: V G h V G h cm cm,cm cm,7cm Oberfläche Pyrmide: O G + M Die Mntelfläche besteht us vier gleichseitigen Dreiecken, dessen Höhe h Seite sich mit Hilfe des Stzes des Pythgrs ermitteln lässt: ls h Seite cm + cm,8cm Seite h, h + Smit: O cm + M cm + cm,8cm cm +,08cm 9,cm Vlumen Kegel: V G h V G h r π cm (cm) π cm 8,7cm cm 7,cm Oberfläche Kegel: O G + M Die Mntellinie s lässt sich mit Hilfe des Stzes des Pythgrs bestimmen: s r + h, ls s (cm) + (cm),8cm. Smit: O 8,7cm + π r s 8,7cm + π cm,8cm 8,7cm +,9cm 8,cm

8 VIII. Strtegien L9_ (individuelle Beispiele) LÖSUNGEN