mathphys-online LINEARE FUNKTIONEN

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1 LINEARE FUNKTIONEN

2 Inhltsverzeichnis Kpitel Inhlt Seite Zuordnungsvorschrift, Funktionsgrph Schnittpunkte it den Koordintenchsen Schnittpunkt von Gerden Gerdenschren, Interprettion der Preter. Ds Gerdenbüschel. Die Prllelenschr 6 5 Neigungswinkel von Gerden 7 5. Neigungswinkel der Ursprungsgerden 7 5. Neigungswinkel einer beliebigen Gerden 8 6 Schnittwinkel von Gerden 9 6. Senkrechte Gerden 9 6. Beliebige nicht senkrechte Gerden 0 7 Bestiung des Funktionsters einer Gerden 7. Punkt-Steigungsfor 7. Zwei-Punktefor 7. Anlytische Drstellungsforen 8 Lge von Gerden zueinnder 9 Ungleichungen Physiklische Anwendungen 7 Grphiken erstellt it Mthcd 5 Mi 0

3 Zuordnungsvorschrift, Funktionsgrph Definition Eine Funktion f it der Zuordnungsvorschrift f : IR IR, x y x b heißt linere Funktion. I Folgenden wird die funktionle Schreibweise f(x) x b it x,,b IR verwendet. Bezeichnungen y x b heißt Funktionsgleichung, f(x) x b heißt Funktionster. G f ist der Grph von f in eine (krtesischen) Koordintensyste. Beispiel Gegeben sind die f und f it den Funktionsteren f(x) x und f(x) x, wobei x IR. Zeichnen Sie die zugehörigen Grphen G f und G f. Lösung Für ds Zeichnen einer Gerden genügen zwei beliebig gewählte Stellen x und x, zu denen jeweils die y-koordinten für die Punkte A und B bzw. C und D berechnet werden. 5 f() A(/,5) f() C(/,5) f() B(/) f() 0 D(/0)

4 Schnittpunkte it den Koordintenchsen Gegeben ist die Funktion f it f(x) x b it x,, b IR 0 Schnitt it der x-achse über die Bedingung: y 0 f(x) 0 x b 0 b Lösen der lineren Gleichung liefert die Nullstelle x0 0. b Der Schnittpunkt it der x-achse ht die Koordinten S x /0. Schnitt it der y-achse über die Bedingung: x 0 f(0) 0 b b Der Schnittpunkt it der y-achse ht die Koordinten Sy 0/b. Beerkung 0 b 0 f(x) b besitzt keine geeinsen Punkte it der x-achse. 0 b 0 f(x) 0 ist die x-achse. Beispiel: Gegeben sind die Funktionstere f, f und f 5. Gesucht sind jeweils die Schnittpunkte it den Koordintenchsen. f(x) x Grph von f f(x) 0 x 0 x S /0 0 x f(0) Sy 0/ 0,5 0 y-achse f(x) x x-achse Grph von f f(x) 0 x 0 x S /0 0 x f(0) Sy 0/,5 0 y-achse x-achse

5 f(x) 5 f(x) 5 0 0nicht öglich, lso existieren keine Nullstellen. f(0) S 0/ 5 y y-achse Grph von f5 0 x-achse Schnittpunkt von Gerden Gegeben: g(x) x t; g(x) x t; it x IR und. Gesucht: Schnittpunkt S(x S /y S ) Allgeeine Lösung Der Punkt S liegt uf beiden Gerden. Ds Einsetzen von Punkt S in die Funktionstere liefert ein Gleichungssyste: Sg : ys xs t () GLS Sg : y x t () S S Ds Gleichungssyste besteht us zwei Gleichungen für zwei Unbeknnte. D uf der linken Seite jeweils der gleiche Ter steht, löst n es über ds Gleichsetzungsverfhren. () = (): xs t xs t Auflösen nch x S : ()x S t t :( ) 0 D nch Vors. gilt: x S t t Einsetzen von x S in einen der beiden Funktionstere, z. B. g, lso: t t t t y g (x ) t. S S

6 Beispiel g(x) x ; g(x) x ; gg : g (x) g (x) x x x 6 x Funktionswert: ys g (x S) g () 5 Schnittpunkt: S(/5) S Gerdenschren, Interprettion der Preter Allgeein: f(x) x t x,, t IR. Ds Gerdenbüschel Gegeben sind die Gerden f (x) x it x IR und { ; ; 0,5 ; 0,5 ; ; ; } Gesucht ist der Einfluss des Preters. Welcher Grph gehört zu welche Preter? Mn stellt fest: () Die schr f (x) liefert ein Gerdenbüschel durch den Punkt P(0/0). () Für >0 gilt: Je größer, desto steiler ist die Gerde. y-achse Gerdenbüschel 0 x-achse

7 Mthetische Forulierung Der Preter chrkterisiert den Zuwchs y pro fest gewählte x. Definition der Steigung y y y x x x Bezeichnungen () Der Quotient y x heißt Differenzenquotient. () Für 0 steigt die Gerde. () Für 0 fällt die Gerde. () 0: Die Gerde heißt konstnte Funktion. Sie ist prllel zur x-achse oder die x-achse selbst. Spezilfälle f(x) x: Winkelhlbierende des I. und III. Qudrnten. f(x) x: Winkelhlbierende des II. und IV. Qudrnten. y t t 0: Prllele zur x-achse, sie ist weder steigend noch fllend. t 0 y 0: x-achse ist weder steigend noch fllend. Wrnung x x x 0: Die Prllele zur y-achse ist keine Funktion. 0 0 x 0 Die y-achse ist keine Funktion. 5

8 . Die Prllelenschr Gegeben sind die Gerden f(x) t x t it x IR und t { ; ; 0 ;; }. Gesucht ist der Einfluss des Preters t. Welcher Grph gehört zu welche Preter? 5 Mn stellt fest: () Die schr f t (x) liefert eine Prllenschr. () Mn nennt t den Achsenbschnitt uf der y Achse. y-achse 0 x-achse 6

9 5 Neigungswinkel von Gerden 5. Neigungswinkel der Ursprungsgerden Definition Der Steigungswinkel einer Gerden g ist derjenige i thetisch positiven Sinn geessene Winkel bzw., den die Gerde it der positiven x-achse einschließt. Betrchtet n i (rechtwinkligen) Steigungsdreieck ds Verhältnis de Tngens des Neigungswinkels. y, so entspricht ds x 0:tn(α ) α rctn() 0:tn(β) β rctn() ; D der Winkel 0 nicht i thetisch positiven Sinn usgegeben wird, wird der Neigungswinkel ugerechnet: α 80 β Neigungswinkel: rc tn() flls 0 tn(α) α 80 rc tn() flls 0 Beispiel g(x) x; positive Steigung: Neigungswinkel: tn α α rctn 60; g(x) x; negtive Steigung: Neigungswinkel: tnβ β rctn 60; α

10 5. Neigungswinkel einer beliebigen Gerden Berechnung des Neigungswinkels wie bei den Ursprungsgerden. Beispiel g(x) x,5; positive Steigung: tn α α rctn 5; Neigungswinkel: g(x) x,5; negtive Steigung: tn β β rctn 5; Neigungswinkel: α

11 6 Schnittwinkel von Gerden 6. Senkrechte Gerden Gegeben Gerde g it g(x) g x t g und die dzu senkrechte Gerde n (gennnt uch Norle) it n(x) n x tn. Gesucht Zusenhng zwischen den Steigungen g und n. Allgeeine Lösung Für die Steigungsdreiecke gilt: yg yg Gerde g: tn(α ) x g x Gerde n: tn(α ) y y n n n Die Winkel α und α sind identisch (Winkel, deren Schenkel prweise senkrecht ufeinnder stehen, sind gleich). Also gilt: α α tn(α ) tn(α ) Drus folgt: g g n Es gilt: g n g n n Beispiel 5 g(x) x ; 0 n(x) x ; n g ; g n 9

12 6. Beliebige nicht senkrechte Gerden Gegeben: g(x) x t; g(x) x t; Gesucht: Schnittwinkel der beiden Gerden Beispiel: 7 g(x) x g(x) x Einzelne Neigungswinkel: α 80rc tn( ) 6,56 α rc tn(,5) 56, Schnittwinkel: φ α α 6,5656,60,5 Berechnung nch der Forel:,5,5 φ rctn rctn rctn,75 60,5 ( ),5 Allgeeine Lösung: Der Schnittwinkel φ zweier Gerden ist ier der kleinere der beiden Winkel, welchen die beiden Gerden iteinnder bilden. Der Schnittwinkel φ ergibt sich us den Neigungswinkeln α und α : φ α α tn(φ) tn α α Mit de Additionstheore für den Tngens gilt: tn(α ) tn(α ) tn(φ) it 0φ90. tn(α ) tn(α ) Aus der Steigung lässt sich der Tngens des Winkels berechnen: tn(φ) 0 Merkhilfe Seite Beerkung: tn(φ) ist nicht definiert für φ 90, der Quotient ist nicht definiert, flls 0. Dnn gilt: 0 Ds heißt, die Gerden stehen senkrecht ufeinnder. 0

13 7 Bestiung des Funktionsters einer Gerden 7. Punkt-Steigungsfor Gegeben: Punkt P(x 0 / y 0 ) und die Steigung. Gesucht: Funktionster f(x) der zugehörigen Gerden. Beispiel Geg.: P(/,5 ) ; Anstz: f(x) x t ; Also: f(x) x t P G f : f (), 5 t, 5 5 Auflösen nch t: t Eingesetzt: f(x) x y-achse Punkt-Steigungsfor 0 x-achse Allgeeine Lösung Anstz für eine linere Funktion: f(x) x t Bestiung von t: P G f: f(x 0) y0 x0 t y0 t x0 y0 Einsetzen in f(x): f(x) xx0 y0 Uforung: f(x) (x x 0) y0 Punkt-Steigungsfor 7. Zwei-Punktefor Gegeben: Zwei Punkte P(x 0 /y 0 ) und A(x /y ) Gesucht: Funktionster der zugehörigen Gerden g. Beispiel Geg.: A(0,5/,5); B(,5/,5) Anstz: f(x) x t Zwei-Punktefor Steigung:,5,5 0,5,5 0,5 y-achse f(x) 0,5x t AGf 0,50,5t,5 t f(x) 0,5x 0 x-achse

14 Allgeeine Lösung Anstz für linere Funktion: g(x) x t Einsetzen der Punkte P und A in den Funktionster liefert ein Gleichungssyste (GLS): GLS Pg: () y x t 0 0 A g: () y x t Ds Gleichungssyste besteht us zwei Gleichungen für zwei Unbeknnte. Mn löst es z. B. über ds Einsetzungsverfhren oder Additionsverfhren. Hier ds Additionsverfhren () (): y y0 (x x 0) Wegen x x0 uflösen nch : wird in () oder () eingesetzt: Auflösen nch t: y y x x 0 0 y y y x t x x0 y y t y x x x0 und t werden in den Funktionster eingesetzt: y y y y g(x) x y x x x x x Uforung: y y 0 g(x) (x x 0) y0 x x0 x x0 Zwei-Punktefor 7. Anlytische Drstellungsforen Die Zuordnungsvorschrift ist in For einer Gleichung gegeben. Explizite Drstellung: Die Funktion ist nch der Vriblen y ufgelöst: y f(x) f(x) x t Iplizite Drstellung: Die Funktion ist nicht nch der Vriblen y ufgelöst: F(x,y) 0 F(x,y) x b y c Preterdrstellung: Die Funktion ist in Abhängigkeit vo Preter t gegeben: x x(t) y y(t) Beispiel Explizite For: f(x) x Iplizite For: F(x,y) 0 6 x y 0 Auflösen nch y: y 6 x y x Preterfor: x(t) t y(t) t Eliinieren des Preters us der einen Gleichung und Einsetzen in die ndere Gleichung: x x t y y(x) x

15 8 Lge von Gerden zueinnder Gegeben sind die Gerdenschren f(x) x g(x) x IR\{0}. Gesucht: Anzhl der Schnittpunkte in Abhängigkeit des Preters. Lösung: Berechnung des Schnittpunktes durch Gleichsetzen der Funktionswerte: f (x) g (x): Sortieren nch x: Auflösen nch x: x x Multiplizieren it : () ( )x x ( ) S ( ) ( ) Der Bruchter existiert nur, flls 0, dnn drf gekürzt werden: xs Berechnung des y-wertes: g(x S) x x Schnittpunktskoordinten: S flls Speziell: : ( ) ( ) x 0 0 whre Aussge, identische Gerden ( ) (( ) ) x ( ) ( ) 0 Widerspruch, prllele Gerden Merke In Abhängigkeit vo Preter der Gerdenschren gibt es entweder genu einen Schnittpunkt S(x S / y S ) oder unendlich viele Schnittpunkte (die Gerden sind identisch) oder keine Schnittpunkte (die Gerden sind prllel). Beispiel: : f(x) x g(x) 0,5x : f (x) x g (x) x : f (x) x g (x) x

16 9 Ungleichungen Eine linere Ungleichung ht die For x b 0 bzw. x b 0 Algebrische Lösung der lineren Ungleichung Anstz: Auflösen nch x. Beispiel xb0 x b :. Fll: 0 b x b Lösungsenge: L xir x. Fll: 0 b x b Lösungsenge: L xir x Beispiel xb0 x b :. Fll: 0 b x b Lösungsenge: L xir x. Fll: 0 b x b Lösungsenge: L xir x Ungleichungen it ehreren lineren Teren, z. B.: x b c x d bzw. x b c x d in die For A xb 0 bzw. A xb 0 bringen und dnn nch x uflösen. Dbei sind folgende äquivlente Uforungen erlubt: - Ds Addieren bzw. Subtrhieren desselben Ters uf beiden Seiten der Ungleichung. - Ds Multiplizieren der Ungleichung it einer positiven reellen Zhl unter Beibehlten des Ungleichungszeichens. - Ds Multiplizieren der Ungleichung it einer negtiven reellen Zhl unter Udrehen des Ungleichungszeichens. Beispiel xbcxd ( c)x db :( c) Beispiel xbcxd ( c) x d b :( c). Fll: d b c 0 x c. Fll: d b c 0 x c d b Lösungsenge: L xir x c d b. Fll: c 0 x c d b Lösungsenge: L xir x c d b Lösungsenge: L xir x c d b. Fll: c 0 x c d b Lösungsenge: L xir x c

17 Grphische Lösung der lineren Ungleichung () Definieren eines Funktionsters f(x) x b it 0. b () Suchen der Nullstelle: f(x) 0 x b 0 x0 () Skizzieren des Grphen G f it Hilfe der Nullstelle x 0 und der Kenntnis des Vorzeichens von. Für 0 ergibt sich eine steigende Gerde. Für 0 ergibt sich eine fllende Gerde. () Mrkieren des Bereiches des Grphen oberhlb bzw. unterhlb der x-achse. Die zugehörigen x-werte bilden die Lösungsenge der Ungleichung. Beispiel Ungleichung: x 0 Funktionster: f(x) x Nullstelle: f(x) 0 x0 x0 f(x) 0 L xirx 5

18 Beispiel Ungleichung: x 0 Funktionster: f(x) x Nullstelle: f(x) 0 x 0 x0 f(x) 0 L xirx Beispiel Ungleichung: x 0 Funktionster: f(x) x Nullstelle: f(x) 0 x 0 x0 f(x) 0 L xirx Beispiel Ungleichung: x 0 Funktionster: f(x) x Nullstelle: f(x) 0 x 0 x0 f(x) 0 L xirx 6

19 0 Physiklische Anwendungen Aufgbe Gegeben ist ein Digr, welches die Bewegungsbläufe der Rdfhrer A, B, C und D wiedergibt. ) Beschreiben Sie die einzelnen Bewegungsbläufe der Fhrer A, B, C und D it Worten. b) Bestien Sie die Funktionstere der Bewegungsbläufe der Rdfhrer A, B, C und D über die llgeeine Bewegungsgleichung für den Weg y in Abhängigkeit von der Zeit t: y(t) y v t 0 0 Lösung zu ) A strtet i Ort P und kot nch,5 Stunden in Q n. B strtet 0 k vor Ort P (in Richtung Ort Q) und kot nch,5 Stunden in Q n. C strtet in Ort Q und kot nch,5 Stunden in P n. D strtet eineinhlb Stunden später in Ort P und kot nch drei Stunden in Ort Q n. Lösung zu b) 70k k Rdfhrer A: y A(t) t y A(t) 0 t,5 h h 60k k Rdfhrer B: y B(t) 0k t y B(t) 0k t,5 h h 70k k Rdfhrer C: y C(t) 70k t y C(t) 70k 5,56 t,5 h h Rdfhrer D: y (t) t,5h y (t), t,5h D 70k k,0 h D h 7

20 Aufgbe Ein Fluss der Breite b 0 ströt von West nch Ost it der gleichäßigen Geschwindigkeit vf. Ein Schiffchen fährt it der konstnten Eigengeschwindigkeit ve s s senkrecht von Süd nch Nord über einen Fluss. Ds Schiffchen strte zu Zeitpunkt t 0 i gewählten Koordintenursprung. 0s ) Erstellen Sie eine Zeichnung in eine geeigneten Koordintensyste. b) Für Bewegungen gilt ds Superpositionsgesetz, d. h. die Bewegung des Schiffchens knn in Koponenten zerlegt werden. Geben Sie die Bewegungsgleichungen n. c) Bestien Sie die Bhnkurve des Schiffchens und geben Sie den Auftreffpunkt gegenüberliegenden Ufer i Koordintensyste n. Lösung zu Teilufgbe ) Lösung zu Teilufgbe b) In x-richtung: x(t) vf t x(t) t Gleichung () s In y-richtung: y(t) ve t y(t) t Gleichung () s Gleichungen () und () sind die Preterdrstellung der gesuchten Bhnkurve y(x). Lösung zu Teilufgbe b) In x-richtung: x(t) vf t x(t) t Gleichung () s In y-richtung: y(t) ve t y(t) t Gleichung () s Gleichungen () und () sind die Preterdrstellung der gesuchten Bhnkurve y(x). Lösung zu Teilufgbe c) Der Preter wird eliiniert: x Aus () t ; v Einsetzen in () Bhnkurve: F x v E y(x) ve x vf vf y(x) s x y(x) x s Auftreffpunkt gegenüberliegenden Ufer: y(x) 0 x 0 xb 60 8