Musterlösung zur Musterprüfung 2 in Mathematik

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1 Musterlösung zur Musterprüfung in Mthemtik Diese Musterlösung enthält usführliche Lösungen zu llen Aufgben der Musterprüfung in Mthemtik sowie Hinweise zum Selbstlernen. Literturhinweise ) Bosch: Brückenkurs Mthemtik, Oldenbourg Verlg, München Dieses Buch beinhltet fst lle Themengebiete der Mthemtikprüfung. Es enthält viele Beispiele und Übungsufgben mit Lösungen. ) Kusch: Mthemtik (Bnd 4), Cornelsen Verlg, Berlin Der.Bnd enthält lles Wissenswerte zur Arithmetik und Algebr. Seitenweise werden sehr übersichtlich Beispiele vorgerechnet und usführlich kommentiert. Ds Buch enthält Hunderte von Übungsufgben, deren Lösungen in einem etr Lösungsbuch zu finden sind. Der.Bnd behndelt die Geometrie. Der 3. und 4.Bnd hben die Differentil- und Integrlrechnung zum Them. Auch hier werden seitenweise Beispiele vorgerechnet und usführlich kommentiert. Die Bücher enthlten ebenflls Hunderte von Übungsufgben, deren Lösungen in etr Lösungsbüchern zu finden sind. Diese Bücher sind nicht nur für die Vorbereitung uf die Mthemtikprüfung geeignet, sie können uch im Studium sehr hilfreich sein. Die gennnten Bücher gehören zu den Stndrdwerken der Mthemtik und können in vielen Hochschulbibliotheken usgeliehen werden.

2 Themenbereich I Algebrische Umformungen In diesem Themenbereich geht es um einfche lgebrische Umformungen wie z.b. Termumformungen Beispiel: 3b 4b b 3 b b 5 6b Berücksichtigung von Minuszeichen vor Klmmern Beispiel: ( b c) b c Ausmultiplizieren von Klmmern Beispiele: ( b c d) b c d ( b) ( c d) c d bc bd Fktorisieren von Termen / Ausklmmern Beispiel: 0 8b 4c (5 4b c)

3 Aufgbe 84 Aus Differenzen und Summen drf nicht gekürzt werden. Ds Kürzen von Brüchen ist nur us Produkten erlubt. Dher muss bei dieser Aufgbe der Zähler des Bruches zunächst in ein Produkt umgeformt werden. Im Zähler des Bruches steht eine Summe, in der jeder Summnd ein enthält. Dieses knn usgeklmmert werden. In der Fchsprche sgt mn uch: Der Zähler wird fktorisiert.. c / usklmmern ( c) Beim Ausklmmern wird jeder Summnd durch geteilt und ds wird vor die Klmmer geschrieben. Zur Kontrolle knn ds wieder mit der Klmmer usmultipliziert werden. Ds Ergebnis muss mit dem ursprünglichen Term übereinstimmen. / Nun steht sowohl im Zähler ls uch im Nenner des Bruches ein Produkt, us dem gemeinsme Fktoren gekürzt werden dürfen. Der gemeinsme Fktor ist hier ds, welches jetzt gekürzt werden drf. c / Achtung: Ds steht im Zähler in einer Summe und drf dher nicht gekürzt werden!

4 Aufgbe 85 ( 6 5y) ( 9y) / Die Klmmer um den ersten Term ist überflüssig ber nicht flsch. Sie knn dher weggelssen werden. 6 5y ( 9y) / Die Klmmer um den zweiten Term wird benötigt, 6 5y ( 9y) / usmultiplizieren 6 5y ( ) ( 9y) / vereinfchen 6 5y 9y / sortieren 6 5y 9y / zusmmenfssen 7 4y d ein Minuszeichen vor der Klmmer steht. Um diese Klmmer ufzulösen, muss der Term in der Klmmer mit multipliziert werden. Anmerkung: Häufig wird in der Schule gelernt, dss eine Klmmer mit einem dvorstehenden Minuszeichen so ufgelöst wird, dss sich lle Zeichen in der Klmmer ändern. Diese Aussge gilt jedoch nur dnn, wenn es sich bei dem Term in der Klmmer um eine Summe oder Differenz hndelt. Hndelt es sich bei dem Ausdruck in der Klmmer ber z.b. um einen Bruch, so drf ds Minuszeichen entweder nur mit dem Zähler oder nur mit dem Nenner verrechnet werden. Würde ds Minus sowohl mit dem Zähler ls uch mit dem Nenner verrechnet werden, so hätte mn Minus durch Minus gerechnet und ds wäre wieder Plus. 3 ( 3) Beispiel: ( 4 3 ) 4 oder

5 Themenbereich II Bruchrechnung In diesem Themenbereich geht es um die Grundlgen der Bruchrechnung. Es werden Kenntnisse über ds Erweitern und Kürzen von Brüchen, die Addition und Subtrktion sowie über die Multipliktion und Division geprüft. Bei der Addition und Subtrktion ist druf zu chten, dss die zu verrechnenden Brüche einen gemeinsmen Nenner besitzen. Sollte dies nicht der Fll sein, so müssen die Brüche uf einen gemeinsmen Nenner, den sog. Huptnenner, gebrcht werden. Beispiel: b c d d bd bc bd d bc bd Die Multipliktion von Brüchen ist demgegenüber wieder leichter, denn hier gilt Zähler ml Zähler und Nenner ml Nenner. Eine Erweiterung uf einen Huptnenner ist nicht erforderlich. Beispiel: b c d c bd Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird. Beispiel: b : c d b d c d bc

6 Aufgbe 86 In dieser Aufgbe ist eine sogennnte gemischte Zhl enthlten. Eine gemischte Zhl besteht us der Summe einer gnzen Zhl und einem echten Bruch (echter Bruch: Zähler < Nenner), wobei ds + - Zeichen weggelssen wird. Zur besseren Verrechnung gemischter Zhlen werden diese in unechte Brüche (unechter Bruch: Zähler > Nenner) umgewndelt. Beispiel: 4 5 Ansonsten werden zur Lösung dieser Aufgbe die grundlegenden Rechenregeln der Bruchrechnung benötigt / / Brüche werden ddiert oder subtrhiert, indem die Brüche uf den Huptnenner gebrcht werden. Der Huptnenner ist ds kleinste gemeinsme Vielfche ller Nenner. Ds kleinste gemeinsme Vielfche von und 8 ist / umwndeln der gemischten Zhl

7 / Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird. / Brüche werden multipliziert, indem Zähler ml Zähler und Nenner ml Nenner gerechnet wird. / Dmit die Zhlen nicht so groß werden und sich dnn / multiplizieren schlecht im Kopf verrechnen lssen, knn der Bruch n dieser Stelle gekürzt werden. Brüche werden gekürzt, indem der Zähler und der Nenner durch die gleiche Zhl (odervrible) dividiert werden. Sowohl der Zähler ls uch der Nenner können hier durch geteilt werden. 33 / Bei diesem Bruch hndelt es sich um einen unechten Bruch, d der Zähler größer ls der Nenner ist. Dher knn dieser Bruch wieder in eine gemischte Zhl umgewndelt werden.

8 Aufgbe 87 Brüche werden ddiert oder subtrhiert, indem die Brüche uf den Huptnenner gebrcht werden. 3 / erweitern uf den Huptnenner 6 8 Der Huptnenner ist ds kleinste gemeinsme Vielfche ller Nenner. Ds kleinste gemeinsme Vielfche von 6 und 8 ist / Die Zähler werden nun subtrhiert, der Nenner bleibt erhlten. 9 / usrechnen 8 8 / kürzen 8 8 : 8 : Brüche werden gekürzt, indem der Zähler und der Nenner durch die gleiche Zhl (oder Vrible) dividiert werden. / usrechnen 4 9

9 Themenbereich III Einfche Berechnungen In diesem Themenbereich geht es um ds Kopfrechnen. Einfche Aufgben, bei denen uf Regeln wie Punkt- vor Strichrechnung gechtet werden muss, sollen gelöst werden. Ebenso können Klmmern, einfche Wurzeln oder Potenzen enthlten sein. Beispiele: 3 5 : (0 9) 4(0 9)

10 Aufgbe 88 Bei dieser Aufgbe geht es um die Vorfhrtsregeln in der Mthemtik. Dbei werden zuerst die Klmmern usgerechnet und dnn gilt Punkt- vor Strichrechnung. 8 9) (7 3 / berechnen der Klmmer 8 ) ( 3 / Punkt- vor Strichrechnung 6 ) ( / usrechnen 0 Vorzeichenregeln: y y y y y y y y y y y y y y y y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y y y y y y y y y y y y y y y y : ) ( : : ) ( : : ) ( : : ) ( : ) ( ) ( ) ( ) (

11 Aufgbe 89 Auch bei dieser Aufgbe geht es um die Vorfhrtsregeln in der Mthemtik. Wenn wie in dieser Aufgbe Potenzen enthlten sind, dnn gilt: Potenzen vor Punkt- vor Strichrechnung. Zusätzlich ist für die Lösung dieses Aufgbentyps die Kenntnis der gängigsten Qudrtwurzeln erforderlich. So gilt z.b.: 0 0, denn , denn , denn , denn / Potenzen zuerst / 5 5, denn / Punkt- vor Strichrechnung / usrechnen 9 5 / usrechnen 4

12 Themenbereich IV Geometrie In diesem Themenbereich geht es um grundlegende Berechnungen zu geometrischen Figuren wie z.b. Qudrt, Rechteck, Dreieck, Kreis und gerde Prismen (z.b. Quder). Dzu ist die Kenntnis der folgenden Formeln erforderlich: Qudrt mit der Seitenlänge Flächeninhlt: A Q Umfng: U Q 4 Rechteck mit den Seitenlängen und b Flächeninhlt: A R b Umfng: U R b Dreieck mit den Seitenlängen, b und c Flächeninhlt: A D g h Umfng: U D b c Wobei g eine der drei Seiten ist und h die zugehörige Höhe. Kreis mit dem Rdius r Flächeninhlt: A K r Umfng: U K r Wobei 3 gelten soll. Prismen mit der Grundfläche G und der Höhe h Volumen: V P G h Oberfläche: G M O P Wobei M die Mntelfläche ist. Quder mit den Kntenlängen, b und c Volumen: V Q b c Oberfläche: ( b c bc) O Q Außerdem können in diesem Themenbereich Aufgben zur Anwendung des Stzes von Pythgors gestellt werden. Dzu findet sich eine usführliche Erklärung in den folgenden Musterlösungen.

13 Aufgbe 90 Bei der Lösung dieser Aufgbe hilft zunächst einml eine kleine Skizze: b = 4cm d = 8cm In diesem Rechteck ist ein rechtwinkliges Dreieck zu erkennen, ds von den Seiten und b sowie von der Digonlen d gebildet wird. Auf rechtwinklige Dreiecke lässt sich der Stz des Pythgors nwenden: Die Summe der Qudrte über den Ktheten ist gleich dem Qudrt über der Hypotenuse. Wobei die Ktheten die Seiten sind, die n dem rechten Winkel nliegen. Die Hypotenuse ist die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel liegt. In dieser Aufgbe sind lso 8cm und b 4cm die Ktheten und d ist die Hypotenuse. Somit lutet der Stz des Pythgors für dieses Dreieck: b d / einsetzen für und b ( 8cm) (4cm) d 64cm 6cm d 80cm d 80cm d / qudrieren / ddieren / Wurzel ziehen Anmerkung: Der Stz des Pythgors besteht us einer Gleichung, die umgeformt werden knn und in die Zhlen eingesetzt werden können. Zwischen diese Gleichungen werden Äquivlenzpfeile gesetzt, die ngeben, dss die Umformungen/Berechnungen von Zeile zu Zeile äquivlent (gleichwertig) zueinnder sind.

14 Aufgbe 9 Für die Lösung dieser Aufgbe wird die folgende Formel benötigt: Flächeninhlt eines Kreises mit dem Rdius r: A K r ist die sogennnte Kreiszhl und irrtionl, d.h. es hndelt sich um eine Dezimlzhl (Kommzhl), die nch dem Komm nicht endet und uch nicht periodisch ist. Die ersten Stellen von luten: 3, D für die Berechnung der Prüfungsufgben kein Tschenrechner zugelssen ist, wird mit einem gerundeten Wert gerechnet: 3. Der Durchmesser eines Kreises ist doppelt so lng wie sein Rdius. D der Durchmesser des Kreises 6cm beträgt, ist der Rdius 3cm. A K A K r / einsetzen ( 3cm) / qudrieren A K 9cm / multiplizieren A K 7cm / wird verwendet, d gerundet ist

15 Themenbereich V Linere Gleichungen und Gleichungen, die sich uf linere Gleichungen zurückführen lssen In diesem Themenbereich wird ds Lösen linerer Gleichungen und Gleichungen, die sich uf linere Gleichungen zurückführen lssen, überprüft. Hierbei können zum einen Gleichungen vorgegeben sein, die zu lösen sind. Zum nderen können ber uch Tetufgben gestellt werden, zu denen dnn eine pssende Gleichung ufgestellt und eventuell uch gelöst werden soll. Bei Tetufgben empfiehlt sich eine Aufteilung des Tetes in einzelne Abschnitte. Ein usführliches Beispiel dzu findet sich in der Musterlösung zur Musterprüfung.

16 Aufgbe 9 Je nchdem, wie eine Gleichung ufgebut ist, gibt es einschränkende Bedingungen für die Lösung der Gleichung. Bei Brüchen drf der Nenner nicht null werden, d eine Division mit null nicht definiert ist. In der ngegebenen Gleichung sind zwei Brüche enthlten. Der erste Bruch 0 0 ist. 3 besitzt den Nenner. Dieser Nenner wird für 0 null, d Der zweite Bruch 4 d 0 ist. besitzt den Nenner. Dieser Nenner wird für null, Somit müssen die Zhlen 0 usgeschlossen werden. für diese Gleichung

17 Aufgbe 93 Häufig lssen sich Aufgben in der Mthemtik uf verschiedene Arten lösen. Im Folgenden wird gezeigt, wie sich die gegebene Gleichung lösen lässt und woruf gechtet werden muss.. Vrinte Lösung mit Hilfe der binomischen Formeln ( 3) ( 3)( 3) / Anwendung der binomischen Formeln / / / (6) 3 ={3} Die binomischen Formeln ) ) 3) ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b. Vrinte Lösung über ds Ausmultiplizieren der Klmmern ( 3)² ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) / usmultiplizieren ² ² / zusmmenfssen ² 6 9 ² 9 / ² / / (6) 3 ={3}

18 Themenbereich VI Linere Gleichungssysteme In diesem Themenbereich geht es um linere Gleichungssysteme mit zwei Unbeknnten. Auch hier knn sowohl ein lineres Gleichungssystem vorgegeben sein, ls uch eine Tetufgbe gestellt werden, us der ein pssendes lineres Gleichungssystem ufgestellt werden soll. Für ds Lösen linerer Gleichungssysteme stehen verschiedene Lösungsverfhren zur Verfügung. Diese Verfhren werden in der folgenden Musterlösung drgestellt. Tetufgben können in einzelne Bestndteile zerlegt werden, um so die verschiedenen Gleichungen ufstellen zu können. Hierzu findet sich in der Musterlösung zur Musterprüfung ein usführliches Beispiel.

19 Aufgbe 94 Linere Gleichungssysteme lssen sich mit Hilfe verschiedener Verfhren lösen. Dzu gehören z.b. ds Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfhren. Je nchdem, wie ds Gleichungssystem ufgebut ist, ist ds eine oder ndere Verfhren für die Lösung des Systems günstiger. Nch dem Einsetzungsverfhren ergibt sich der folgende Lösungsweg: 5y / 5y 6 3y 0 / : 3 5y y 0 / Die 5y der linken Gleichung können nun für die der rechten Gleichung einge- setzt werden. 5y 5y y 0 / zusmmenfssen der rechten Gleichung 5y 6y 0 / 5y 6y / : ( 6) 5y y / Nun wird der errechnete Wert für y in die linke Gleichung eingesetzt. 5 y 0 y / : ( ) y y

20 Nch dem Gleichsetzungsverfhren ergibt sich der folgende Lösungsweg: 5y / 5y 6 3y 0 / 3y 5y 6 3y / : 3 5y y / Die jeweils rechten Seiten der Gleichungen können nun gleichgesetzt werden. 5y y / 5y y 6y / : 6 y y / : ( ) y

21 Nch dem Additionsverfhren ergibt sich der folgende Lösungsweg: 5y 6 3y 0 / : ( 3) 5y y 0 Addition der beiden Gleichungen 6y / : 6 y 0 y / einsetzen in die zweite Gleichung 0 / nch uflösen y

22 Aufgbe 95 Nch dem Gleichsetzungsverfhren ergibt sich der folgende Lösungsweg: 5 y 8 0 4y 5 / : 5 y 8 5 y, 5 7 / Die jeweils rechten Seiten der Gleichungen können nun gleichgesetzt werden. 8 7, 5 5 y 7, 5 Die linke Gleichung besteht us der flschen Aussge 8 7, 5 und dieses bedeutet, dss ds linere Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Ds heißt, es eistieren keine Zhlen, die gleichzeitig beide Gleichungen des Systems erfüllen. Nch dem Additionsverfhren ergibt sich der folgende Lösungsweg: 5 y 8 0 4y 5 / : ( ) 5 y 8 5 y 7, 5 Addition der beiden Gleichungen 5 y 8 0 0, 5 Diese Gleichung besteht us einer flschen Aussge. Dmit besitzt ds linere Gleichungssystem keine Lösung.

23 Themenbereich VII Lösen von qudrtischen Gleichungen In diesem Themenbereich geht es um ds Lösen qudrtischer Gleichungen. Hierfür stehen verschiedene Lösungsverfhren zur Verfügung, von denen einige in den Musterlösungen drgestellt werden. Auch hier könnte es sein, dss leichte Tetufgben, die ds Aufstellen und Lösen einer qudrtischen Gleichung erfordern, gestellt werden.

24 Aufgbe 96 Für ds Lösen qudrtischer Gleichungen stehen verschiedene Lösungsverfhren zur Verfügung. Dzu gehören z.b. die pq-formel und die bc-formel, die uch ls Mitternchtsformel bezeichnet wird.. Lösung mit Hilfe der pq-formel / Hierbei hndelt es sich um die Normlform einer qudrtischen Gleichung p q 0 mit p 4 und 4 q. 4 4 p p ( 4), / pq-formel: q, 4, 8, 8,. Lösung mit Hilfe der bc-formel / Diese Gleichung entspricht der Gleichung b c 0 mit, b 4 und 4 c., 4 ( ) ( 4) 4 ( ) ( 4) ( ) / bc-formel:, b b 4c, ,

25 Aufgbe 97 Diese Gleichung wird zunächst uf die Normlform einer qudrtischen Gleichung gebrcht. Normlform einer qudrtischen Gleichung: p q / 4 4 / / Diese Gleichung knn nun uf verschiedene Arten gelöst. Lösung mit Hilfe einer binomischen Formel werden / Hierbei hndelt es sich um die. Binomische Formel: ( b) b b ( ) 0 / 0 / Die Gleichung besitzt genu eine Lösung.

26 . Lösung mit Hilfe der pq-formel / Normlform einer qudrtischen Gleichung mit p 4 und 4 q. 4 4 p p ( 4), / pq-formel: q, 4, 0,, Die Gleichung besitzt genu eine Lösung.

27 Themenbereich VIII Lösen von Ungleichungen In diesem Themenbereich wird ds Lösen von Ungleichungen überprüft. Grundsätzlich können Ungleichungen wie Gleichungen gelöst werden. Es sind jedoch zwei Besonderheiten bei der Lösung von Ungleichungen zu bechten: ) Bei der Multipliktion oder Division einer Ungleichung mit einer negtiven Zhl ändert sich die Reltion. Beispiel: 3 / () 3 ) Wenn der Kehrwert einer Ungleichung gebildet wird, ändert sich die Reltion. Beispiel: / Kehrwert der Ungleichung / 4, 4

28 Aufgbe > 4 7 / > / zusmmenfssen (Auf jeder Seite der Ungleichung müssen die 4 subtrhiert werden.) 3 > 7 / 3 (Auf jeder Seite der Ungleichung 3 3 > 7 3 / zusmmenfssen muss die 3 ddiert werden.) > 0 / : ( ) : ( ) < 0 : ( ) / usrechnen < 0 Achtung: An dieser Stelle wird mit einer negtiven Zhl dividiert! Dher muss sich die Reltion ändern! (Auf jeder Seite der Ungleichung muss ( ) : gerechnet werden.)

29 Aufgbe 99 Die senkrechten Striche um den Term 5 werden ls Betrgsstriche bezeichnet. Der Term 5 heißt der Betrg von 5 und bedeutet, dss ds Ergebnis von diesem Ausdruck unbhängig dvon, welche Zhl für eingesetzt wird - immer positiv ist. Beispiele: Für gilt: Für 0 gilt: Für 3 gilt: 3 5. Für 0 gilt: Für gilt: D lso immer 5 > 0 gilt, ist die Ungleichung 5 > Zhlen für eingesetzt werden. immer erfüllt. Es dürfen lso lle Anmerkung: ist ds Symbol für die reellen Zhlen. Dbei hndelt es sich um lle Zhlen, die sich uf einer Zhlengerden bbilden lssen. Beispiele für reelle Zhlen sind: 5 ; ; ;. 3

30 Themenbereich IX Potenzen und Wurzeln Für diesen Themenbereich ist die Kenntnis der Potenzgesetze von Bedeutung: n m n m n m n m m m m b b ) ( m m m b b m n n m ) ( Außerdem können die folgenden Umschreibregeln hilfreich sein: n n n m n m

31 Aufgbe 00 Bei ineinnder verschchtelten Wurzeln knn mn z.b. mit dem Umwndeln der innersten Wurzel beginnen. 3 / mit der Umschreibregel n m m n 3 / Nun wird die äußere Wurzel uf die gleiche Art und Weise umgewndelt. 3 / Mit Hilfe des Potenzgesetzes m n mn ( ) lässt sich der Term vereinfchen. 3 / usrechnen des Eponenten 3 6 / Nch dem Zusmmenfssen lässt sich diese Potenz wieder mit Hilfe der Umschreibregel schreiben. n m m n ls Wurzel 6 Anmerkung: Wenn n einem Buchstben oder einer Zhl kein Eponent steht, dnn bedeutet dies immer, dss der Buchstbe oder die Zhl mit potenziert wird: 5 5 oder. Wenn n einer Wurzel kein Wurzeleponent notiert ist, dnn hndelt es sich immer um die Qudrtwurzel: 5 5 oder.

32 Aufgbe 0 n n 5 3 / 5 3 n n / Potenzgesetz: n m n m Potenzen mit gleichen Bsen werden multipliziert, indem mn die Eponenten ddiert. 5 3 n n / zusmmenfssen des Eponenten 5 n

33 Themenbereich X Einfche Zins- und Zinseszinsrechnung Aufgben zur Zins- und Zinseszinsrechnung lssen sich entweder mit Hilfe von Formeln oder über einen Dreistz lösen. Um Zinseszinsrechnung hndelt es sich, wenn Zinsen, die m Ende eines Jhres gut geschrieben werden, uf dem Konto verbleiben. Die Zinsen erhöhen dmit ds Anfngskpitl für ds druf folgende Jhr. Die Formel lutet: K n n K 0 q n K gibt ds Gesmtkpitl nch n Jhren n. K ist ds Anfngskpitl. 0 q p 00 ist der Aufzinsungsfktor. p ist der Zinsstz in Prozent. n ist die Lufzeit in Jhren. Für die einfche Zinsrechnung gelten die folgenden Formeln: Z p K 00 Mit Hilfe dieser Formel lssen sich die Zinsen für ein K p t Jhr berechnen. Z Mit Hilfe dieser Formel lssen sich die Zinsen für t Tge berechnen. Z gibt die Zinsen n, K steht für ds Kpitl, p für den Zinsstz in Prozent und t für die Anzhl der Tge. Diese Formeln können uch nch K, p oder t umgestellt werden. Hinweis: In der Zinsrechnung wird jeder Mont mit 30 Tgen gerechnet! Die Lösung über einen Dreistz wird in den Musterlösungen drgestellt.

34 Aufgbe 0. Lösung mit Hilfe der einfchen Zinsformel D hier nch dem Zinsstz gefrgt ist, muss die Formel nch p umgestellt werden: Z p K / : K 00 Z p / 00 K 00 Z K 00 p Z p 00 K Ds Kpitl beträgt K Die Zinsen für Jhr betrgen Für ein gnzes Jhr fllen dnn Zinsen in Höhe von Z n. Eingesetzt in die Formel ergibt sich: p p % 00.Lösung mit Hilfe eines Dreistzes Ds Kpitl entspricht 00 % : 00% :00 :00 % 00 %.00 Dmit beträgt der gesuchte Zinsstz %.

35 Aufgbe 03. Lösung mit Hilfe der Zinseszinsformel Lut Aufgbenstellung ist ds Endkpitl inklusive Zins und Zinseszins gesucht. Ds heißt, die Zinsen, die nch einem Jhr von der Bnk gut geschrieben werden, werden nicht vom Kunden bgehoben, sondern für ds zweite Jhr den zugerechnet und mit verzinst. K n n K 0 q n K gibt ds Gesmtkpitl nch n Jhren n. K ist ds Anfngskpitl. 0 q p 00 ist der Aufzinsungsfktor. p ist der Zinsstz in Prozent. n ist die Lufzeit in Jhren. Gegeben ist: K Gesucht ist: K 5 p 5% q, n Jhre Lösung: K n K 0 q n K 0.000, ,05, ,05.05

36 . Lösung in mehreren kleinen Schritten über einen Dreistz Schritt : Berechnung der Zinsen nch einem Jhr (Dreistz) 00% :00 :00 % % 500 Schritt : Berechnung des Kpitls m Ende des.jhres Schritt 3: Berechnung der Zinsen für ds.jhr (Dreistz) 00% :00 :00 % % 55 Schritt 4: Berechnung des Endkpitls nch zwei Jhren

37 Themenbereich XI Prozentrechnung Aufgben zur Prozentrechnung lssen sich entweder mit der Hilfe von Formeln oder über einen Dreistz lösen. Die Formeln luten für den Prozentwert PW: PW p G 00, für den Grundwert G: G 00 PW p, PW G für den Prozentstz p: p 00. Sowohl die Anwendung der Formeln ls uch die Lösung über einen Dreistz werden in den folgenden Musterlösungen drgestellt.

38 Aufgbe 04 Der ursprüngliche Preis einer Wre entspricht 00%. Wenn der Preis der Wre um 40% gesenkt wird, dnn entspricht der neue Preis 00% - 40% = 60%.. Lösung mit Hilfe einer Formel Der gesuchte ursprüngliche Preis entspricht dem Grundwert G. 00 G PW G ist der Grundwert. p PW ist der Prozentwert. p ist der Prozentstz. Gegeben ist: PW 36,00 (der neue, reduzierte Kufpreis) p 60% Gesucht ist: Lösung: G 00 G PW p 00 G 36, ,00 G 60 G 60,00. Lösung mit Hilfe eines Dreistzes 60% 36,00 :6 :6 0% 6, % 60,00 Der ursprüngliche Preis betrug 60,00.

39 Aufgbe 05. Lösung mit Hilfe einer Formel 00 G PW G ist der Grundwert. p PW ist der Prozentwert. p ist der Prozentstz. Gegeben ist: PW 70m p 6% Gesucht ist: Lösung: G 00 G PW p G 00 70m m G 6 G. 000m. Lösung mit Hilfe eines Dreistzes 6% 70m :6 :6 % 0m %.000m 00% sind.000m.

40 Themenbereich XII Verständnis von Grphen (ohne trigonometrische Funktionen, Logrithmus- und Eponentilfunktion) In diesem Themenbereich werden Aufgben zum Verständnis von Grphen gestellt. Dbei knn es sich z.b. um die folgenden Aufgbentypen hndeln: Es sollen Aussgen über ds Aussehen/ den Grphen einer bestimmten Funktion getroffen werden. Einem Grphen soll die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden. Einem Schverhlt us einer Tetufgbe soll ein pssender Grph zugeordnet werden. Für die Lösung dieser Aufgben werden überwiegend Kenntnisse über linere Funktionen (Gerden) und qudrtische Funktionen (Prbeln) benötigt.

41 Aufgbe 06 Die Verläufe der beiden drgestellten Grphen sind völlig identisch. Der Grph zu der Funktion g() ist lediglich um vier Einheiten im Vergleich zum Grphen der Funktion f() nch oben verschoben worden. Dieses bedeutet, dss zu llen y-werten der Funktion f() eine 4 ddiert werden muss, um die Funktion g() zu erhlten. D y = f() gilt, lutet die gesuchte Formel: g() = f() + 4.

42 Aufgbe 07 Bei der Funktion f() = - ² - hndelt es sich um eine qudrtische Funktion, d ds mit dem höchsten Eponenten ² lutet. Der Grph einer qudrtischen Funktion stellt eine Prbel dr. Alle bgebildeten Grphen stellen Prbeln dr, so dss eine genuere Betrchtung erforderlich ist. Wenn wie hier vor dem ² ein Minuszeichen steht, dnn bedeutet dies, dss die Prbel nch unten geöffnet ist. Dmit können die Lösungsvorschläge und b nicht richtig sein. Als nächstes lässt sich die Funktionsvorschrift durch Ausklmmern von umformen zu f() = - ² - = - ( + ). Aus dieser Form lssen sich die Nullstellen der Prbel blesen. Als Nullstellen werden die Werte bezeichnet, n denen der Grph der Funktion die -Achse berührt oder schneidet. Für lle Nullstellen gilt, dss die zugehörige y-koordinte null ist. D y = f() ist, muss überlegt werden, für welche -Werte y = f() = - ( + ) = 0 ist. Diese -Werte lssen sich direkt blesen. Es hndelt sich um = 0 und = -, denn f(0) = - 0 (0 + ) = 0 und f(- ) = - (- )(- + ) = 0. Somit ist Lösungsvorschlg d richtig. Die bgebildete Prbel ist nch unten geöffnet und besitzt die Nullstellen = 0 und = -. Ausführliche Berechnung der Nullstellen: f ( ) 0 ( ) 0 / Ein Produkt wird immer dnn null, wenn einer der Fktoren null wird.

43 Themenbereich XIII Whrscheinlichkeitsrechnung In diesem Themenbereich geht es um Grundkenntnisse der Whrscheinlichkeitsrechnung und Kombintorik. Es geht unter nderem um ein- und mehrstufige Zufllseperimente, Bumdigrmme, Whrscheinlichkeiten, Erwrtungswerte und Fkultäten.

44 Aufgbe 08 Ein Würfel besitzt sechs Seiten mit den Ziffern,, 3, 4, 5 und 6. Beim Würfeln besitzt jede dieser Zhlen die gleiche Whrscheinlichkeit gewürfelt zu werden. Die Whrscheinlichkeit, eine der sechs Zhlen zu würfeln, beträgt demnch 6 P ( E) 6. Wenn 360 Ml gewürfelt wird, dnn knn mn Ml erwrten, eine der sechs Ziffern zu würfeln. Es ist dbei egl, um welche der sechs Ziffern es sich hndeln soll. Bei 360 Würfen ist lso dmit zu rechnen, dss jede Ziffer 60 Ml gewürfelt wird. Anmerkung: Für die Whrscheinlichkeit eines gewünschten Ereignisses gilt: ( ) Ds gewünschte Ereignis E ist hier der Wurf einer der sechs Ziffern. Anzhl der gewünschten Ereignisse E =. Alle möglichen Ereignisse stellen die sechs Ziffern,, 3, 4, 5 und 6 dr. Anzhl ller möglichen Ereignisse = 6. P ( E) 6

45 Aufgbe 09 Für die Whrscheinlichkeit eines gewünschten Ereignisses gilt: ( ) Ds gewünschte Ereignis E ist ds Ziehen einer roten Kugel. In der Urne befinden sich fünf rote Kugeln. Anzhl der gewünschten Ereignisse E = 5. Insgesmt befinden sich in der Urne = Kugeln. Anzhl ller möglichen Ereignisse =. Die Whrscheinlichkeit dfür, dss eine rote Kugel gezogen wird, beträgt demnch 5 ( E) P.

46 Themenbereich XIV Grundkenntnisse der trigonometrischen Funktionen In diesem Themenbereich geht es insbesondere um die Sinus-, Kosinus- und Tngensfunktion. Geprüft werden Kenntnisse über die trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck, die Nullstellen der Sinus- und Kosinusfunktionen sowie einfche Symmetrieeigenschften. Außerdem wird die Fähigkeit erwrtet, Winkel vom Grdmß in ds Bogenmß umzurechnen und umgekehrt. Im rechtwinkligen Dreieck gelten die folgenden trigonometrischen Beziehungen: Gegenkthete sin Hypotenuse cos Ankthete Hypotenuse Gegenkthete tn Ankthete Für die Umrechnung von Winkeln vom Grdmß in ds Bogenmß und umgekehrt knn die folgende Formel verwendet werden: 360

47 Aufgbe 60 Für die Umrechnung von Winkeln vom Grdmß in ds Bogenmß und umgekehrt knn die folgende Formel verwendet werden: 360 Diese Formel gibt n, dss sich der Winkel zu 360 genuso verhält, wie die Bogenlänge zu. Beispiele: ) Gegeben ist der Winkel 90. Gesucht ist ds zugehörige Bogenmß. 360 /, umstellen der Formel nch / einsetzen für / kürzen des Bruches / vereinfchen Zu dem Winkel 90 gehört lso ds Bogenmß.

48 ) Gegeben ist ds Bogenmß. Gesucht ist der zugehörige Winkel. 360 / 360, umstellen der Formel nch 360 / einsetzen für 360 / kürzen des Bruches 360 / usrechnen 80 Zu dem Bogenmß gehört lso der Winkel 80.

49 Aufgbe 6 Nullstellen sind die Stellen, n denen der Grph der Funktion die wgerechte Achse schneidet oder berührt. Aus dem Grphen der Sinusfunktion lssen sich die gesuchten Nullstellen der Funktion blesen. Die Sinusfunktion besitzt im Intervll die Nullstellen 0 ; 80 und 360.

50 Themenbereich XV Logrithmen Für die Lösung der Aufgben in diesem Themenbereich sollte zunächst einml Klrheit drüber bestehen, ws unter dem Begriff Logrithmus zu verstehen ist. Des Weiteren wird die Kenntnis der Rechenregeln für Logrithmen erwrtet. Mit Hilfe dieser Regeln sollen logrithmische Terme zusmmengefsst oder zerlegt werden. Außerdem können Aufgben zum Lösen einfcher logrithmischer oder eponentieller Gleichungen gestellt werden. Definition: Die Eponentilgleichung heißt Logrithmus von b zur Bsis. b besitzt für, b > 0 und die Lösung log ( b) und Rechenregeln für Logrithmen: log log log ( u) log ( u) log ( u w ) wlog ( v) log ( v) log ( u) ( u v) u v Besondere Logrithmen: log log ( ) () 0

51 Aufgbe 6 Die Eponentilgleichung heißt Logrithmus von b zur Bsis. b besitzt für, b > 0 und die Lösung log ( b) und Die Lösung der Gleichung 9 lutet dher log (9). Die Klmmer um ds Argument drf uch weggelssen werden. Die Lösung lutet dnn log 9.

52 Aufgbe 63 Für die Lösung dieser Aufgbe ist die Kenntnis der Rechenregeln für Logrithmen erforderlich: log log log ( u) log ( u) log ( u w ) wlog ( v) log ( v) log ( u) ( u v) u v lg lg lg y / Zur Verdeutlichung der Rechenregeln werden Klmmern um die Argumente gesetzt. lg( ) lg( ) lg( y) / Anwendung der ersten Rechenregel log ( u) log ( v) log ( u v) lg( ) lg( y) / Anwendung der zweiten Rechenregel lg y log ( u) log ( v) log u v Anmerkung: Wenn bei einem Logrithmus ds o weggelssen wird, dnn bedeutet dies, dss es sich um einen Logrithmus zur Bsis 0 hndelt: ( ) lg( ) log 0.

53 Themenbereich XVI Verständnis von Grphen (inklusive trigonometrische Funktionen, Logrithmus- und Eponentilfunktion) In diesem Themenbereich werden Aufgben zum Verständnis von Grphen gestellt. Dbei knn es sich z.b. um die folgenden Aufgbentypen hndeln: Es sollen Aussgen über ds Aussehen/ den Grphen einer bestimmten Funktion getroffen werden. Einem Grphen soll die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden. Einem Schverhlt us einer Tetufgbe soll ein pssender Grph zugeordnet werden.

54 Aufgbe 64 Bei der bgebildeten Funktion hndelt es sich um die Sinusfunktion. Typische Merkmle der Sinusfunktion sind: Die Sinusfunktion ist für lle definiert. Die y-werte liegen innerhlb des geschlossenen Intervlls von - bis +. Es gilt lso y. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ds heißt, dss sich der rechte Teil des Grphen (lso für > 0) um den Ursprung herum in den linken Teil des Grphen (lso für < 0) drehen lässt und umgekehrt. Die Funktion ist - periodisch. Ds heißt, es gilt sin( ) sin( ). Der Grph besitzt unendlich viele Nullstellen: k k mit k. Beispiele: 0 0 ; ; 0 Sinusfunktion. sind Nullstellen der Typische Merkmle der Kosinusfunktion sind: Die Kosinusfunktion ist für lle definiert. Die y-werte liegen innerhlb des geschlossenen Intervlls von - bis +. Es gilt lso y. Die Kosinusfunktion ist chsensymmetrisch zur y-achse. Ds heißt, dss sich der rechte Teil des Grphen (lso für > 0) n der y-achse uf den linken Teil des Grphen (lso für <0 ) spiegeln lässt und umgekehrt. Die Funktion ist - periodisch. Ds heißt, es gilt cos( ) cos( ). Der Grph besitzt unendlich viele Nullstellen: k k mit k. Beispiele: ; ; sind Nullstellen der Kosinusfunktion.

55 Typische Merkmle der Tngensfunktion sind: Die Tngensfunktion besitzt Stellen, n denen sie nicht definiert ist. Es gilt k k. Für die y-werte gilt dgegen y. ohne Die Tngensfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ds heißt, dss sich der rechte Teil des Grphen (lso für > 0) um den Ursprung herum in den linken Teil des Grphen (lso für < 0) drehen lässt und umgekehrt. Die Funktion ist - periodisch. Ds heißt, es gilt tn( ) tn( ). Der Grph besitzt unendlich viele Nullstellen: k k mit k. Beispiele: 0 0 ; ; 0 Tngensfunktion. sind Nullstellen der

56 Aufgbe 65 Dem beschriebenen Schverhlt entspricht die Zuordnung: Anzhl der Stunden Anzhl der Bkterien. Diese Zuordnung bedeutet, dss uf der wgerechten Achse die Anzhl der Stunden und uf der senkrechten Achse die Anzhl der Bkterien bgetrgen wird. Die Grphen und c enthlten negtive Angben uf der wgerechten Achse. D es ber keine negtive Anzhl von Stunden geben knn, stellen diese Grphen nicht den beschriebenen Schverhlt dr. Zu Beginn der Beobchtung lso zum Zeitpunkt 0 sind 000 Bkterien vorhnden. Dmit kommt der Grph d ebenflls nicht ls Lösung in Betrcht. Übrig bleibt der Grph b, der zum Zeitpunkt 0 Stunden 000 Bkterien ufweist. Der Zunhme der Bkterien um 0% pro Stunde entspricht der leicht gekrümmte und nsteigende Verluf des Grphen.

57 Themenbereich XVII Grenzwerte In diesem Themenbereich werden grundlegende Kenntnisse über Grenzwerte von Folgen und Funktionen erwrtet. Insbesondere sollen Aussgen über ds Verhlten einer Folge/ Funktion im Unendlichen bzw. n einer konkreten Stelle getroffen werden. Eine Unterscheidung in links- und rechtsseitige Grenzwerte wird ber nicht erwrtet. Auch die Grenzwertregeln von Bernoulli und de L Hospitl sind hier nicht prüfungsrelevnt.

58 Aufgbe 66 lim / Der Grenzwert knn vom Zähler und Nenner getrennt berechnet werden. lim lim (3 (6 4) ) / Sowohl der Zähler ls uch der Nenner enthlten einen gnzrtionlen Term. Bei gnzrtionlen Termen entscheidet ds mit dem höchsten Eponenten über ds Verhlten im Unendlichen. Für den Zähler gilt lim (3 4) und für den Nenner lim (6 ). Zusmmen gefsst lässt sich schreiben: lim Der Ausdruck wird ls unbestimmter Ausdruck bezeichnet, d n dieser Stelle noch nicht gesgt werden knn, ws ds Ergebnis dieses Ausdrucks ist. Um ds Ergebnis bestimmen zu können, sind Umformungen erforderlich. Ds mit dem höchsten Eponenten wird sowohl im Zähler ls uch im Nenner usgeklmmert. lim / kürzen von

59 lim / Die Brüche, und werden ls Nullfolgen bezeichnet, d sie für gegen null streben. Übrig bleiben die 3 im Zähler und die 6 im Nenner. 3 6

60 Aufgbe 67 Besonders interessnt ist die Berechnung eines Grenzwertes n einer konkreten Stelle, wie hier n der Stelle =, wenn diese Stelle nicht definiert ist. Mit der Berechnung des Grenzwertes n einer nicht definierten Stelle möchte mn herusfinden, wie sich der Grph der Funktion n dieser besonderen Stelle verhält / wie er dort ussieht. Die gegebene Funktion lutet ( ) f. D es sich um eine gebrochenrtionle Funktion hndelt, drf der Nenner nicht null werden. Für = wird der Nenner dieser Funktion ber null: Dmit hndelt es sich bei = um eine nicht definierte Stelle. Anmerkungen zu den nderen Lösungsmöglichkeiten: zu ) zu c) zu d) Den Grenzwert einer Funktion n einer Nullstelle zu berechnen mcht keinen Sinn, d mn weiß, dss die y-koordinte dort null ist. Im Übrigen ist = bei dieser Funktion keine Nullstelle, d zwr der Zähler für = null wird, ber die Funktion insgesmt für = nicht definiert ist. Eine willkürliche Aufgbenstellung gibt es in der Mthemtik im Allgemeinen nicht. Die Höhe eines Eponenten stellt keinen Grund für die Untersuchung eines Grenzwertes n einer konkreten Stelle dr. Die richtige Lösung ist Antwort b.

61 Themenbereich XVIII Grundkenntnisse der Differentilrechnung In diesem Themenbereich werden folgende Grundkenntnisse der Differentilrechnung erwrtet: Ws ist eine Ableitung und ws knn mit ihrer Hilfe berechnet werden? Berechnung einfcher Ableitungen (ohne Produkt-, Quotienten- und Kettenregel) Berechnung von Etremstellen einfcher Funktionen

62 Aufgbe 68 Die Ableitung einer Funktion f() gibt die Steigung der Tngente des Grphen n einer Stelle n. Erläuterung: Die Ableitung einer Funktion f() gibt die Steigung des Funktionsgrphen im Punkt P (, f() ) n. Wenn es sich bei der Funktion um eine linere Funktion (der Funktionsgrph ist dnn eine Gerde) hndelt, knn die Steigung entweder direkt us der Funktionsvorschrift (der Gerdengleichung) bgelesen werden oder sie knn reltiv einfch mit Hilfe eines Steigungsdreiecks berechnet werden. Hndelt es sich bei dem Funktionsgrphen ber um eine gekrümmte Kurve, dnn ist die Bestimmung der Steigung n einer bestimmten Stelle schon wesentlich komplizierter. Eine Lösung für dieses Problem besteht drin, dss im Punkt P (, f() ) eine Tngente n den Grphen gelegt wird. In diesem Punkt P stimmt dnn die Steigung der Tngente mit der Steigung des Funktionsgrphen überein.

63 Aufgbe 69 Bei dieser Aufgbe werden die folgenden Ableitungsregeln benötigt: ) Für die Ableitung f '( ) einer Potenzfunktion f n ( ) gilt: f n ( ) f '( ) n n ) Für die Ableitung von Summen- oder Differenzfunktionen gilt: f ( ) u( ) v( ) f ( ) u'( ) v'( ) 3 3 Die Funktion f ( ) 4 5 besteht us Summen und Differenzen. Die.Ableitungsregel besgt, dss jeder Term einzeln bgeleitet werden drf: f '( ) ( 3 3 )' (4 )' ()' (5)' Nch der.ableitungsregel gilt dnn: ( )' 3 (4 )' ()' ( )' 0 0 (5)' (5 )' 05 0 Zusmmengefügt lutet die.ableitung: f '( ) 8 Anmerkungen: 0

64 Themenbereich XIX Grundkenntnisse der Integrlrechnung In diesem Themenbereich sollen einfche Aufgben zur Integrlrechnung gelöst werden. Die Berechnung von Flächeninhlten knn Bestndteil dieser Aufgben sein. Es werden jedoch keine speziellen Verfhren wie z.b. Substitution, prtielle Integrtion oder Prtilbruchzerlegung erwrtet.

65 Aufgbe 70 Die gru hervorgehobene Fläche lässt sich mit Hilfe der Formel 4 A f ( ) d berechnen. Dbei stellen die Zhlen - und 4 Nullstellen der Funktion dr. Die richtige Lösung lutet b. Erläuterungen zu den nderen Antwortmöglichkeiten: Eine lterntive Lösung besteht drin, die Fläche A in zwei Teilflächen ufzuteilen, die dnn ebenflls über Integrle berechnet werden können: 0 A f ( ) d und 4 f ) 0 A ( d. Die Gesmtfläche A errechnet sich dnn us der Summe der beiden Teilflächen: A A A. Bei den Formeln c und d werden diese Teilflächen ber subtrhiert. Dmit sind die Antwortmöglichkeiten c und d uszuschließen. Mit Hilfe des Integrls 4 f ( ) d wird lediglich der Teil der gruen Fläche berechnet, der von = und = 4 begrenzt wird. Dher ist uch die Antwortmöglichkeit uszuschließen.

66 Aufgbe 7 Für die Berechnung des Integrls knn die folgende Formel verwendet werden: d n n n c d 4 d / Die 4 3 dürfen vor ds Integrl gezogen werden. / Anwendung der Integrtionsformel d n n n c 3 c c 4 3 / zusmmenfssen / kürzen der Brüche 3 c 4