Brückenkurs Mathematik

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1 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs

2 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche.. Definition von Brüchen.. Rechenregeln für Brüche. Potenzen 7.. Definition von Potenzen 7.. Rechenregeln für Potenzen 7. Wurzeln 0.. Definition von Wurzeln 0.. Rechenregeln für Wurzeln 0 Gleichungen. Linere Gleichungen und Ungleichungen mit gnzen Zhlen. Linere Gleichungen und Ungleichungen mit rtionlen Zhlen 7 (Bruchgleichungen).. Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine 7 Vriblen enthlten.. Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Vriblen enthlten 0 Bruchgleichungen mit einer Lösungsvriblen 0. Qudrtische Gleichungen. Wurzelgleichungen 0. Linere Gleichungssysteme 6 Trigonometrische Funktionen. Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck. Winkelmße (Grd und Bogenmß). Drehsinn eines Winkels. Drstellung der Sinus und Kosinusfunktion im Einheitskreis. Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 6.. Trigonometrischer Pythgors 6.. Additionstheoreme für die Sinus, Kosinus und Tngensfunktion 7

3 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler.. Sinusstz 7.. Kosinusstz 8 Eponentil und Logrithmusgleichungen.. Rechenregeln für Logrithmen.. Spezielle Logrithmen.. Bsiswechsel 6 Lösungen der Beispielufgben 6

4 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche.. Definition von Brüchen b ; der Quotient b ist die Bruchzhl b (, b Z; b 0 und b ) Die Bruchzhl b ist eine gnze Zhl, wenn ein Vielfches von b ist. bezeichnet mn uch ls Bruch; Zähler, b der Nenner, der Nenner gibt n, in wie viel gleiche b Teile eine Einheit zerlegt wurde. Der Zähler gibt die Anzhl der Teile n... Rechenregeln für Brüche:. Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zhl multipliziert wird: b b k k ( k 0 ) z.b.: 6. Die gleichnmigen Brüche werden ddiert oder subtrhiert: z.b.: Flls die Brüche nicht gleichnmig sind, müssen sie vor dem Addieren oder Subtrhieren gleichnmig gemcht werden, indem mn sie durch Erweitern uf den kleinsten gemeinsmen Nenner bringt:

5 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler z.b. : 7 ( ) 6 ( ) ( 7) Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert werden: c c ( b d 0 und b d b d b d ) z.b.: Brüche werden dividiert, indem der Bruch in Nenner eliminiert wird. Dies geschieht durch Erweitern von Zähler und Nenner mit einem geeigneten Wert: z.b. : Musterlösung : 9 8?

6 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler (Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert 6 und ) (Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert und Kürzen mit dem Wert ) Musterlösung : b? b b b b b b b b Bespielufgben zu. (Brüche): b b )? b s s b)? s s u c)? u u 7 6 d)? 6 6 6

7 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. Potenzen.. Definition von Potenzen In der Potenz heißt Grundzhl oder Bsis, Hochzhl oder Eponent. Der Eponent gibt n, wievielml die Bsis ls Fktor gesetzt werden soll. Ds usgerechnete Produkt heißt Potenzwert. Eine Summe von gleichen Summnden ergibt ein Produkt. Ein Produkt von gleichen Fktoren ergibt eine Potenz. n... ( n Fktoren) ist die nte Potenz von, nennt mn Bsis und n Eponent... Rechenregeln für Potenzen: Im Folgenden sei m, n N. m n m n ( Multipliktion von Potenzen mit gleicher Bsis ) m m n. (Division von Potenzen mit gleicher Bsis) n negtiver Eponent n n 0 und n. m n n m m n ( Potenzieren von Potenzen). n b n ( b) n (Multipliktion von Potenzen bei gleichen Eponenten) 7

8 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. b n n n b b 0 und b (Division von Potenzen bei gleichen Eponenten) 6. 0 Musterlösung : Vereinfchen von dem lgebrischen Ausdruck:? ( ) () Musterlösung : Vereinfchen von dem lgebrischen Ausdruck: y 8 z z 6 y z? z y 8

9 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler y 8 z z y 6 z z y y z y z y 8 z z y 6 y z y 8 z z y z 6 y z y Bespielufgben zu. (Potenzen): Vereinfchen Sie die lgebrischen Ausdrücke: 9b 0 b )? 6 m m m n m y z b)? m n m 7 z y z c)? y y 9

10 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. Wurzeln.. Definition von Wurzeln Unter der Qudrtwurzel us verstehen wir diejenige Zhl, deren Qudrt ergibt. Ist n für 0, dnn heißt die nte Wurzel us. Schreibweisen: n (Wurzelschreibweise) oder n (eponentielle Schreibweise). heißt Rdiknd, n Wurzeleponent... Rechenregeln für Wurzeln:. n m m n n m. m m n m n n m n m n. n n b n b n ( b) n n b n. n für b > 0; lle m, n N n b b 0

11 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Binomische Formeln:. ( ± b) ± b b. ( b)( b) b Achtung!!!: ( u v) (u) (v) u 9v!!! sondern ( u v) (u) u v (v) u uv 9v!!! t 9z t 9z t z!! sondern t 9z!! Dieser Term knn nicht vereinfcht werden!!! Musterlösung : Vereinfchung des folgenden lgebrischen Ausdrucks: 8 8?

12 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung : Vereinfchung des folgenden lgebrischen Ausdrucks: ( ) ( )? 8 ) ( ) ( ) ( ) ( 7 7 Bespielufgben zu. (Wuzeln): Vereinfchen Sie die lgebrischen Ausdrücke: )? b b b)? 8 c)? 7 6 d)? 0 0

13 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Gleichungen. Linere Gleichungen und Ungleichungen mit gnzen Zhlen Werden zwei Terme T und wir diese Verbindung eine Gleichung. T durch ds Gleichheitszeichen verbunden werden, so nennen T T z.b.: T T T T ergibt dnn Werden zwei Terme T und so nennt mn diese Verbindung eine Ungleichung. T durch ds Zeichen <, >, oder verbunden, T < T > T T T T T T z.b.: > Musterlösung für linere Gleichung: Lösung folgender Gleichungen: ) 6? 6 ( )

14 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler 6 : ( ) L Merke: Zur Umformung einer Gleichung in eine einfchere äquivlente Gleichung drf uf beiden Seiten die gleiche Zhl ddiert oder subtrhiert, mit der gleichen Zhl (z) multipliziert oder dividiert werden, ber z 0 und z. b) 8 ( ) ( ) 6 6 : ( 6 ) 6 L 6 Merke: ( b c) b c ( b c) b c (b c) b c (b c) b c ( b c) b c ( b c ) b c ( b c ) b c ( b c ) b c

15 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung für linere Ungleichung: Merke: Zusmmenstellung der wichtigsten Intervlle Bei der Beschreibung der Definitions und Wertebereiche von Funktionen benötigen wir spezielle, ls Intervlle bezeichnete Teilmengen von R.. Endliche Intervlle ( < b) [, b] { b} bgeschlossenes Intervll [, b) { < b} (, b] { < b} hlboffene Intervlle (, b) { < < b} offenes Intervll. Unendliche Intervlle [, ) { < } (, ) { < < } (, b] { < b} (, b) { < < b} (, 0) R (0, ) R (, ) R Offene Intervlle können mit gerundeten Klmmern ( ) oder nch ußen gerichteten eckigen Klmmern ] [ gekennzeichnet sein!!! Lösungsmenge folgender Gleichung: ) > > ( )

16 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler > > : ( ) < ( ) L, Merke: Durch die Multipliktion oder Division mit der negtiven Zhl ändern lle Zhlen ihre Vorzeichen. Dbei behlten sie zwr ihren ber die Richtung ändert sich: z.b.: y < 6 ( ) y > 6 Bespielufgben zu. (Linere Gleichungen): Lösen Sie die Gleichungen: ) 8 6 b) 8 c) 7 d) 9 6 e) ( ) 9 f) ( b)( c) ( b )( c ) ( b c ) 0 6

17 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. Linere Gleichungen und Ungleichungen mit rtionlen Zhlen (Bruchgleichungen).. Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Vriblen enthlten Die Regel für Äquivlenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen mit gnzen Zhlen gelten uch für Gleichungen mit rtionlen Zhlen. Zur Umformung einer Gleichung und Ungleichung drf uf beiden Seiten die gleiche Zhl ddiert oder subtrhiert, mit der gleichen Zhl multipliziert oder dividiert werden. Die Division durch null ist nicht möglich. Musterlösung für Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Vriblen enthlten: Lösung der folgenden Gleichungen? 7 6 ) (8) (Mit dem kleinsten gemeinsmen Nenner 8 multiplizieren) (7 6 ) 8 8 ( ) ( ) ( ) 78 ( ) 78 7

18 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler 66 : ( ) 6 L { 6 } b) ( ) (6) : ( 9) L { } 8

19 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Bespielufgben zu.. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Vriblen enthlten): Lösen Sie die Gleichungen: ) b) 9 0 c) 8 Musterlösung für Ungleichung mit Brüchen, deren Nenner keine Vriblen enthlten): Lösung folgender Ungleichung: 7 8 < 7 < ( ) 8 (Mit dem kleinsten gemeinsmen Nenner multiplizieren) 8 < 6 8 < 6 ( ) 6 < 6 ( ) 6 < 6 9

20 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler 6 < : ( 6) > L (, ) 6 6 Bespielufgben.. (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Vriblen enthlten): Lösen Sie folgende Ungleichungen: ( ) ( ) ( ) ) 6 b) < c) > 0 d) > Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Vriblen enthlten Bruchgleichungen mit einer Lösungsvriblen Bei Bruchgleichungen kommen die Vriblen uch im Nenner vor, z.b.:, 0

21 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Stehen Vriblen im Nenner eines Bruchterms, so knn es vorkommen, dss beim Einsetzen von Zhlen für die Vriblen der Nenner den Wert 0 nnimmt. Der Term geht in diesem Fll nicht in eine Zhl über, weil die Division durch null nicht definiert ist. Die Zhlen, die beim Einsetzen für die Vriblen den Term nicht in eine Zhl überführen, gehören nicht zum Definitionsbereich des Terms. In der Gleichung nimmt der Nenner des linken Bruchterms T beim Einsetzen von ( 0 ) den Wert 0 n, beim Einsetzen von ( 0 ) wird der Nenner des rechten Bruchterms T gleich null. Beide Zhlen gehören deshlb nicht zum Definitionsbereich D der Gleichung!!!. Die Lösung einer Gleichung mit Brüchen, deren Nenner Vriblen enthlten, beginnt mit der Festlegung des Definitionsbereiches D der Gleichung. Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung: ( ) ( ) 9 Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D R \ {, 0, } In der Gleichung (oben) nimmt beim Einsetzen von {, 0, } wird Nenner des Bruchterms gleich null. Aber Nenner drf nicht null sein ( Nenner 0 und Nenner ). Dher {, 0, } zur Lösungsmenge der Gleichung nicht gehören. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (Mit dem kleinsten gemeinsmen Nenner ( )( ) multiplizieren) ( ) ( )

22 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler L R \ {, 0, } Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichungen: Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D R \ { 0 } ( ) ( ) ( ) 6 (6 ) 6 : ( ) L Musterlösung : Lösung folgender Gleichungen?

23 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D R \ { } ( ) ( ) ( ) () ( ) dieses Element gehört nicht zur Definitionsmenge dher: L { } Bespielufgben.. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Vriblen enthlten): Lösen Sie folgende Gleichungen: 9 7 ) b) b 0 b c) b

24 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. Qudrtische Gleichungen Die llgemeine Form einer qudrtischen Gleichung lutet: b c 0 ( 0 ). Lösungsverfhren (sog. p, q Formel): Sie lässt sich stets in die Normlform p q 0 p b, q c überführen. Die (formlen) Lösungen dieser Gleichung luten (sog. p, q Formel): Lösungen einer in der Normlform p q 0 gegebenen qudrtischen Gleichung (sog. p, q Formel), p ± p q Ds bedeutet. Lösung von p p q p p. Lösung von q Eine Fllunterscheidung wird dbei nhnd der Diskriminnte D p q wie folgt vorgenommen: D > 0 : Zwei verschiedene reelle Lösungen D 0 : Eine reelle Lösung D < 0 : Keine reellen Lösungen. (Die Lösungen dnn sog. (konjugiert) komplee Zhlen)

25 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung: : ( ) 0 (p, q ) D p q D ( ) D > 0 Zwei verschiedene reelle Lösungen, p ± p q (p, q ), ± ( ), ±, ±

26 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler (. Lösung) oder (. Lösung) { } L, Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung z 9 z 6, 7 0 z 9 z 6, 7 0 : ( ) z z, 0 D (, ) ( p, q, ) D 0 Eine reelle Lösung z ± (, ) z, L {, } 6

27 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung? y y 0 ( p, q ) D ( ) 9 < 0 D < 0 Keine reellen Lösungen. Lösungsverfhren mit Hilfe der binomischen Formel: b ( b)( b) Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung: t 9 0 (t )(t ) 0 (t ) 0 t 0 ( ) t (. Lösung) oder (t ) 0 7

28 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler t 0 ( ) t (. Lösung) L {, }. Lösungsverfhren mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung: Wie knn mn eine Qudrtische Gleichung in eine Binomische Form bringen? Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung: ( ) ( ) 0 ( ) 9 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )( ) 0 8

29 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler ( ) 0 0 () (. Lösung) oder ( ) 0 0 ( ) (. Lösung) L {, } Bespielufgben zu. (Qudrtische Gleichungen): Lösen Sie folgende Gleichungen: ) 6 0 b) ( ) ( ) ( ) c) 7 0 d) 0 e) 0 9

30 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler f) 7 8 g) h) 0. Wurzelgleichungen In Wurzelgleichungen tritt die Unbeknnte in rtionler Form innerhlb von Wurzelusdrücken uf. Die Qudrtwurzel us einer positiven Zhl ist diejenige positive Zhl b, die mn mit sich selbst multiplizieren muss, um zu erhlten. b, wenn b (, b R ) z.b.: b 9 b oder b ( ) ( ) b Nch der Definition (so.) ist die Qudrtwurzel stets immer positiv. Es ist deshlb, weil ds Qudrieren ds negtive Vorzeichen von eliminiert. Berücksichtigen wir bei einer gnzen Zhl nur die Länge ihres Pfeils, lso nicht seine Richtung, so spricht mn vom Betrg der Zhl. 0

31 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Wir bezeichnen den Betrg der Zhl mit und lesen Betrg von. ist dher niemls negtiv. Es ist demnch: bei > 0 z. B. : bei < 0 z. B.: () 0 bei 0 z. B. : 0 0 Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung: T T ( ) (Qudrieren) : ( ) Probe bei Wurzelgleichungen unbedingt durchführen!!! uch wenn kein Rechenfehler vorliegt!!!

32 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Probe: ist die gefundene Lösung. Ist sie ber Lösung der vorgegebenen Wurzelgleichung? Diese Frge knn nur durch eine Probe, d.h. durch Einsetzen von den gefundenen Werten in die Wurzelgleichung entschieden werden: T T T T ist lso eine Lösung der Wurzelgleichung. L Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung: t

33 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler t T T ( ) t : ( ) t Probe: T T ( ) T T t ist dher keine Lösung der Wurzelgleichung!!! L { } Musterlösung : Lösungsmenge folgender Gleichung:

34 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler t t t T t T t t ( ) Achtung!!!: Allgemein: ( ± b) ± b z.b. für und b : ( ) ( ) weil ist 0 9 und t t 6 t 9 ( t) t 0t 9 0 (qudrtische Ergänzung) t 0 t t 0 t ( ) ( ) 9 0 t 0 t 9 0 ( t ) 6 0 (6) t ± 6

35 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler t ± t () t 9 t 9 oder t ( ) t t Probe: für t T T 9 9 T T t 9 ist lso eine Lösung der Wurzelgleichung. Probe : für t

36 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler T T T T t ist dher keine Lösung der Wurzelgleichung. L { 9 } Bespielufgben zu. (Wurzelgleichungen): Lösen Sie folgende Gleichungen: ) 7 b) 6 c) 0 d) 9. Linere Gleichungssysteme In diesem Abschnitt behndeln wir ds unter der Bezeichnung Gußscher Algorithmus beknnte Verfhren zur Lösung eines lineren Gleichungssystems. Ds Verfhren bzw. Algorithmus wurde von dem berühmten deutschen Mthemtiker Crl Friedrich Guß entwickelt. Er ist m 0 April 777 in Brunschweig geboren und verstrb 8 in Göttingen. 6

37 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Der Gußsche Algorithmus: Linere Gleichungssysteme bestehen us m lineren Gleichungen mit n unbeknnten Größen,,...,. n Innerhlb einer jeden Gleichung treten dbei die Unbeknnten in linerer Form, d.h. in der. Potenz uf, versehen noch mit einem konstnten Koeffizienten. Definition: Ds us m lineren Gleichungen mit n Unbeknnten bestehendes System vom Typ,,..., n... n n... n n c c... m m mn n c m heißt ein lineres Gleichungssystem. Die reellen Zhlen ik sind die Koeffizienten des Systems, die Zhlen c i werden ls Absolutglieder bezeichnet (i,,...,m; k,,...,n) Musterlösung : Lösung eines lineren Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei unbeknnten Größen und y: (I) y (II) y Ds von Guß stmmende Verfhren zur Lösung eines solchen Gleichungssystems ist ein Elimintionsverfhren, ds schrittweise eine Unbeknnte nch der nderen eliminiert, bis nur noch eine Gleichung mit einer einzigen Unbeknnten übrigbleibt. In unserem Bespiel eliminieren wir zunächst die unbeknnte Größe wie folgt: 7

38 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Wir ddieren zur I. Gleichung ds ()fche der II. Gleichung. Bei der Addition fällt dnn jeweils die Unbeknnte Größe herus: (I) y (II) y (I) y ( II) y (I ( II)) 7 y 0 y 0 Durch Ersetzen dieses Wertes ( y 0 ) in eine drüber stehende Gleichung erhält mn den Wert für. Ersetzen wir y 0 in II. Gleichung: für y 0 y 0 Ergebnisse: y 0 8

39 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung : Lösung eines lineren Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei unbeknnten Größen, y und z. (I) y z 0 (II) y z (III) y z Elimintionsverfhren: Wir ddieren zur II. Gleichung die I. Gleichung und zur III. Gleichung ds fche der I. Gleichung. Bei der Addition fällt dnn jeweils die Unbeknnte Größe herus: (II) y z (I) y z 0 (I II) y z (III) y z ( I) y z 0 (III I) 6 y 9 z Dmit hben wir ds linere Gleichungssystem uf zwei Gleichungen mit den beiden Unbeknnten y und z reduziert: 9

40 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler (I II) y z (III I) 6 y 9 z Nun wird ds Verfhren wiederholt. Um die zweite Unbeknnte y zu eliminieren, ddieren wir zur Gleichung (III I) ds fche der Gleichung (I II) (III I) 6 y 9 z ( (I II)) 6 y z (III I) ( (I II)) 6 z 8 Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und (I II) bilden zusmmen mit der übriggebliebenen Gleichung (III I) ein sog. Gestffeltes Gleichungssystem, us dem der Reihe nch von unten nch oben die drei Unbeknnten, y und z berechnet werden können: (I) y z 0 (I II) y z (III I) 6 z 8 Aus der letzten Gleichung folgt z.durch einsetzen dieses Wertes in die drüber stehende Gleichung erhält mn für y den Wert. Aus der I. Gleichung schließlich ergibt sich: Ergebnis : y z 0

41 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Bespielufgben zu. (Linere Gleichungssyteme): Bestimmen Sie die Lösungsmenge des lineren Gleichungssystems: ) 7 y 7 8 y b) s t s t y c) 8 y 7 y d) 7 e) 7, 7 f) y 9 z 6 y z y 8 z 0 g) u 7v t 7 u v t u v t

42 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen (uch Winkelfunktionen gennnt) sind periodische Funktionen und dher zur Beschreibung und Drstellung periodischer Bewegungsbläufe besonders geeignet. z.b. Mechnische und elektromgnetische Schwingungen (z.b. Federpendel, elektromgnetischer Schwingkreis), Biegeschwingungen, Torsionsschwingungen, Gekoppelte Schwingungen, Ausbreitung von Wellen.. Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Die vier trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tngens und Kotngens sind zunächst nur für Winkel 0 und 90 ls gewisse Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck definiert. c : Gegenkthete b: Ankthete ß b c: Hypotenuse Trigonometrische Funktion: Umkehrfunktion im Bereich 0 β 90 : sin β Gegenkthete rcsin( ) Hypotenuse c c β cos β Ankthete b b rccos( ) Hypotenuse c c β Gegenkthete / c tn β Ankthete b b / c sin β cos β rctn( b ) β Ankthete b b / c cos β cot β Gegenkthete / c sin β b rc cot( ) β

43 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. Winkelmße (Grd und Bogenmß) Winkel werden im Grd oder Bogenmß gemessen. Als Grdmß verwenden wir ds sog. Altgrd, d.h. eine Unterteilung des Kreises in 60 Grde. Ds Bogenmß definieren wir wie folgt: Definition: Unter dem Bogenmß eines Winkel β (im Grdmß) verstehen wir die Länge desjenigen Bogens, der dem Winkel β im Einheitskreis (Rdius r ) gegenüberliegt (Bild..). Bild.. Anmerkung: Ds Bogenmß lässt sich uch etws llgemeiner definieren. Ist b die Länge des Bogens, der in einem Kreis vom Rdius r dem Winkel α gegenüber liegt, so gilt (Bild..): Bogenlänge Rdius b r Ds Bogenmß ist demnch eine dimensionslose Größe, die Einheit Rdint (rd) wird meist weggelssen. Zwischen Bogenmß und Grdmß β besteht die linere Beziehung : β π 60 π 80 Sie ermöglicht eine Umrechnung zwischen den beiden Winkelmßen.

44 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung : Umrechnung vom Grdmß (α) ins Bogenmß (): π 80 α α π 6 π π π π π Musterlösung : Umrechnung vom Bogenmß () ins Grdmß (α): α 80 π 0, 0,98,6,08, π α,6 6, 9, 9,8 6, Drehsinn eines Winkels Drehsinn eines Winkels: Im Gegenuhrzeigersinn überstrichene Winkel werden positiv (positiver Drehsinn), im Uhrzeigersinn überstrichene Winkel negtiv gezählt (negtiver Drehsinn) (Bild..). v P ß ß u P' Bild.. Zur Festlegung des Drehsinns eines Winkels

45 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. Drstellung der Sinus und Kosinusfunktion im Einheitskreis Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels β versteht mn den Ordintenwert des zu β gehörenden Punktes P uf dem Einheitskreis (Bild..)..Bei einem vollen Umluf uf dem Einheitskreis (im positiven Drehsinn) durchläuft der Winkel β lle Werte zwischen 0 und 60 und die Sinusfunktion sin β dbei lle Werte im Intervll [, ], d.h. sin β Unter dem Kosinus eines beliebigen Winkels β versteht mn den Abszissenwert des Punktes P uf dem Einheitskreis wieder (Bild..). Anloge Überlegungen wie beim Sinus führen schließlich zu der für beliebige Winkel β definierten Kosinusfunktion cos β, cos β v ß cos ß P sin ß u Bild.. Drstellung von Sinus und Kosinus im Einheitskreis Es gilt lso: sin(80 β) sin β Bespielufgben zu. (Drstellung der Sinus und Kosinusfunktion im Einheitskreis): Begründen Sie folgende Ausdrücke m Einheitskreis: sin(80 β) sin β cos(80 β) cos β tn(80 β) tn β sin(80 β) sin β cos(80 β) cos β tn(80 β) tn β sin(60 β) sin β cos(60 β) cos β tn(60 β) tn β sin(60 β) sin β cos(60 β) cos β tn(60 β) tn β sin( β) sin β cos( β) cos β tn( β) tn β π sin β cos(β ) π cos β sin(β )

46 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Tbelle..: Eigenschften der Sinus und Kosinusfunktion (k Є Z) y sin y cos Definitionsbereich < < < < Wertebereich y y Periode (primitive) π π Symmetrie ungerde gerde Nullstellen Reltive Mim Reltive Minim k k π π k k π π k k π k k π k π k π k π k π. Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen.. Trigonometrischer Pythgors (sin α) (cos α) sin α cos α z.b. für den Winkel β gilt: sin β cos β v ß cos ß P sin ß u Bild.. zur Herleitung des trigonometrischen Pythgors 6

47 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler.. Additionstheoreme für die Sinus, Kosinus und Tngensfunktion sin ( ± ) sin( )cos( ) ± cos( )sin( ) cos( ± ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) tn( ± ) tn( ) ± tn( ) tn( )tn( ) Aus ihnen lssen sich weitere wichtige Beziehungen herleiten. Setz mn in den Additionstheoremen von Sinus und Kosinus jeweils und nimmt ds obere Vorzeichen, so erhält mn folgende Formeln: sin ( ) sin()cos() cos ( ) cos () sin () Aus diesen wiederum ergeben sich zusmmen mit dem trigonometrischen Pythgors die Beziehungen: sin () [ cos( ) ] cos ( ) [ cos( ) ].. Sinusstz Für ein beliebiges Dreieck (Bild..) gilt: sin(a) b sin(b) c sin(c) 7

48 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler B C c b A Bild.. Beliebiges Dreieck.. Kosinusstz Für ein beliebiges Dreieck (Bild..) gelten die folgenden drei Beziehungen: b c b c cos(a) b c c cos(b) c b b cos(c) Musterlösung : Gegeben: sin (α ) Gesucht: cos(α) sin. Qudrnten / /. Qudrnten / / / cos. Qudrnten. Qudrnten 8

49 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Trigonometrischer Pythgors (sin α ) (cos α ) cos α cos α cos α cos α cos α ( ) ( ) ( ) cos α cos α ( ) cos ( α ) ± cos ( α ) π α π k cos ( α ) π α π k ( k Z) 9

50 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung : Gegeben: 8 m, α 6 und β Gesucht: c b h p c q ß α β θ 80 (Winkel Summe eines Dreiecks) θ 80 ( α β ) θ 6 sinθ sin β c c sinθ sinα sin 6 c 8 c sin 6 6, 8 m Musterlösung : Gegeben: Gesucht: sin α, sin ß und 0 m c 0

51 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler b b h c ß p c q ß ( sin α) ( cosα) cos α 6 cos α 6 cos α 6 cos α 6 cos α 6 cos α 9 cos α ± gemäß Skizze cos α ( sin β) ( cos β)

52 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler cos β 9 cos β 9 cos β 9 cos β 9 cos β 9 6 cos β cos β ± sin α, sin ß und 0 m gemäß Skizze cos β b cos α cos β c () b sinα sin β () b 0 b 97, m (Einsetzen in ()) 97, 0 c c 6, m

53 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Bespielufgben zu (Trigonometrische Funktionen): ) Wie hoch ist ein Turm, der unter dem Winkel von in der Ferne erscheint und nch der Knte km entfernt ist? ) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen ) sin sin 0 b) sin 7 cos ) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme: ) sin( α ) sin( α )cos( α ) b) sin ( α ) ( cos (α )) c) sin( α ) sin( α ) sin ( α ) d) cos( α ) cos ( α ) sin ( α ) e) cos ( α ) ( cos (α ))

54 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Eponentil und Logrithmusgleichungen sich Eine Eponentilgleichung liegt vor, wenn die Unbeknnte Größe nur im Eponenten von Potenzusdrücken uftritt. Ein llgemeines Lösungsverfhren für Gleichungen dieser Art lässt leider nicht ngeben. In vielen Fällen gelingt es jedoch, die Eponentilgleichung nch elementren Umformungen und nschließendem Logrithmieren zu lösen. Für lle R gilt; b b log ; ( b > 0; > 0 und ) für den Eponenten führt mn die Bezeichnung Logrithmus von zur Bsis ein Beispiele: () 0 log ( ) 0 log 0 0 () log log () 0, 0 log ( ) 0 log 0 0. Rechenregeln für Logrithmen Für lle R gilt ) log ( y) log log y ) log log log y y

55 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler ) log n n log ) log n n log n (log ) ) log 0 Beispiele für die Rechenregeln für Logrithmen: ) log ( 8 ) log 8 log log log 8 ) log log 8 log 7 7 log log ) log (log ) (log ). Spezielle Logrithmen log r e ln r log r 0 lg r log r ld r (Ntürlicher Logrithmus) (Zehnerlogrithmus) (Zweierlogrithmus)

56 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler. Bsiswechsel b log b r log r log b ( ) log r log b K K log r So gilt beispielsweise für die Umrechnung zwischen dem Zehnerlogrithmus und dem ntürlichen Logrithmus: ln r lg r lg e lg r 0,,06 lg r lg r ln r ln0 ln r,06 0, ln r Musterlösungen : ) log 8 log b) log 6 log c) log 0,00 log 00 log log 6

57 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung : 7 (Auflösung nch ) 7 ( ) 7 0 : ( ) log ( ) (Logrithmieren) log log Musterlösung : ( Auflösung nch ) () 6 : ( ) ld ( ) (Logrithmieren) ld ld 7

58 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler ld ld ld ld Musterlösung : ( ) 6 ln ( ) (Logrithmieren) ln ln6 ln6 ln Musterlösung : e e ln( ) (Logrithmieren) ln e ln log e log e e 0 0 8

59 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Musterlösung 6: 0 0 (Substitution z ) z z 0 (z ) ( z 0 und z ) z z 0 (z ) 0 z 0 ( ) z z log ( ) (Logrithmieren) log ( ) ist nicht definiert!!! dher: { } Weil b b log ( b > 0, > 0 und ) 9

60 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Bespielufgben zu (Eponentil und Logrithmusgleichungen): ) Berechnen Sie mit Hilfe von lg( ) 0, 77 ohne Rechner: ) lg( 9 ) b) lg( 0 ) c) lg( 0,9 ) d) ( ) lg e) lg f) lg 0 ) Lösen Sie folgende Gleichungen ) 7 b) 0 c) 6 0, d) e) 0 b 9 7 b 7 f) 8 8 g) log 6 ( ) 60

61 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Lösungen der Beispielufgben Bespielufgben zu. (Brüche): ) b b b) s c) u u d) Bespielufgben zu. (Potenzen): ) 9 0b b) m 8 y z m c) z ( y ) Bespielufgben zu. (Wurzeln): ) ( b b ) 6

62 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler b) 6 c) 8 d) Bespielufgben zu. (Linere Gleichungen): ) 6 b) c) d) e) f) Bespielufgben zu.. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Vriblen enthlten): ) b) 7 c) 8 6

63 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Bespielufgben zu.. (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Vriblen enthlten): ), 8 b), c), 9 c), Bespielufgben zu.. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Vriblen enthlten): ) b) b c) ( b ) Bespielufgben zu. (qudrtische Gleichungen): ) Zwei verschiede reelle Lösungen 6

64 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler b) Keine reellen Lösungen (Die Lösungen sind sog. (konjugiert) komplee Zhlen) i i c) Zwei verschiede reelle Lösungen 6 d) Zwei verschiede reelle Lösungen e) Eine reelle Lösung 7 f) Zwei verschiede reelle Lösungen g) Eine reelle Lösung 6

65 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler h) Zwei verschiede reelle Lösungen Bespielufgben zu. (Wurzelgleichungen): ) b) 9 c) 0 d) Bespielufgben zu. (linere Gleichungssysteme): ) y b) s t c) y 7 6

66 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler d) e) keine Lösung f) 6 y 0 z 6 g) u 9 v 6 t 9 Bespielufgben zu. (Drstellung der Sinus und Kosinusfunktion im Einheitskreis): sin(80 β) sin β cos(80 β) cos β tn(80 β) tn β sin(80 β) sin β cos(80 β) cos β tn(80 β) tn β sin(60 β) sin β cos(60 β) cos β tn(60 β) tn β sin(60 β) sin β cos(60 β) cos β tn(60 β) tn β sin( β) sin β cos( β) cos β tn( β) tn β π sin β cos(β ) π cos β sin(β ) 66

67 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Bespielufgben zu (Trigonometrische Funktionen): ) 7,6 m ) Lösung der trigonometrischen Gleichungen mit Hilfe des Einheitskreises: ) 0 π k, π πk ( k Z ) π πk b) π π πk, πk ( k Z ) π πk, π πk ) Herleitung mit Hilfe der Additionstheoreme: ) sin( α ) sin( α )cos( α ) b) sin ( α ) ( cos (α )) c) sin( α ) sin( α ) sin ( α ) d) cos( α ) cos ( α ) sin ( α ) e) cos ( α ) ( cos (α )) 67

68 Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Bespielufgben zu (Eponentil und Logrithmusgleichungen): ) Berechnung mit Hilfe von lg( ) 0, 77 ohne Rechner: ) 0,9 b) c) 0, 06 d) 0, e) 0, 8 f), 8 ) Lösung der Eponentil und Logrithmusgleichungen: ) b) ln( 0 ) ln( ) c) d) e) f) 80 ln ln( ) g) 68