Multiplikative Inverse

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1 Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll Aufklärung drüber geben, ws erlubt ist und ws nicht. Euklid Wir beginnen mit einem der wichtigsten und uch beknntesten Sätze der Zhlentheorie, dem Euklidschen Verfhren. Stz. Für lle gnzen Zhlen, b und k gilt: ggt, b) = ggt b, kb) Beweis: Es seien t = ggt, b) und t 2 = ggt b, kb). D t und t b, gilt t kb). Somit ist t ein gemeinsmer Teiler von b und kb, knn ber nicht größer ls der größte gemeinsme Teiler sein. Es gilt dher t t 2. D t 2 b und t 2 kb), gilt t 2. Somit ist t 2 ein gemeinsmer Teiler von und b, knn ber nicht größer ls der größte gemeinsme Teiler sein. Es gilt dher t 2 t. t = t 2. Mithilfe von Stz erhlten wir ein einfches Verfhren, mit dem mn den ggt zweier gnzer Zhlen leicht berechnen knn: Teilt eine der Zhlen die ndere, so ist die teilende Zhl der ggt. Ist dies nicht der Fll, so ziehen wir die kleinere Zhl von der größeren sooft b, bis die neue Zhl kleiner ist ls die kleinere Zhl. Der ggt dieser Zhlen bleibt lut Stz gleich. Diesen Vorgng knn mn wiederholen, bis eine der Zhlen die ndere teilt. Beispiel: Ermittle ggt 200, 2006) Lösung: Nch Stz gilt: ggt 200, 2006) = ggt 2006, ) = ggt 2006, 94) = ggt 94, ) = ggt 94, 32) = ggt 32, ) = ggt 32, 30) = ggt 30, 32 30) = ggt 30, 2) D 2 30 ist 2 = ggt 200, 2006). Dieses Verfhren knn mn nicht nur mit den bloßen Zhlen, sondern uch mit Gleichungen durchführen. Als Ausgngsgleichungen nehmen wir = +0 b und b = 0 + b. Fhren wir weiter fort, so gelngen wir links nch dem obigen Verfhren irgendwnn uf ggt, b). Rechts bleibt ber immer eine Summe von gnzzhligen Vielfchen von und b. Wir kommen dher zu folgendem Schluss:

2 Stz 2. Zu llen gnzen Zhlen und b gibt es gnze Zhlen x und y, sodss ggt, b) = x + y b Beispiel: Gesucht sind gnze Zhlen x und y, sodss ggt 200, 2006) = x 200+y 2006 Lösung: I) 200 = II) 2006 = ) I + ) II = III) 94 = ) ) II + 2) III = IV ) 32 = 2) ) III + 2) IV = V ) 30 = ) 2006 ) IV + ) V = V I) 2 = 64) D 2 30 ist 2 = ggt 200, 2006). Wir erhlten dher x = 64 und y = Multipliktive Inverse Es sei nun m eine positive gnze Zhl und eine zu m teilerfremde gnze Zhl. Nch Stz 2 gibt es gnze Zhlen x und y, sodss = x + y m. Wir betrchten diese Gleichung nun modulo m. Es gilt dher x Sei nun i jene Zhl, sodss 0 i m und x i. Es gilt dher Wir kommen dher zu folgendem Schluss: i Stz 3. Ist m eine positive gnze Zhl und eine zu m teilerfremde gnze Zhl, so gibt es eine gnze Zhl i mit 0 i m, sodss i. Es seien nun i und j gnze Zhlen mit 0 i, j m, sodss i und j. Es gilt dher i j. D zum Modul m teilerfremd ist, dürfen wir die obige Kongruenzgleichung durch dividieren, es gilt dher i j D ber 0 i, j m gilt, folgt somit i = j. Wir kommen dher zu folgendem Schluss: Stz 4. Ist m eine positive gnze Zhl und eine zu m teilerfremde gnze Zhl, so gibt es genu eine gnze Zhl i mit 0 i m, sodss i. 2

3 Diese Zhl i definieren wir ls die Multipliktive Inverse zu modulo m. Diese existiert immer genu) dnn, flls zu m teilerfremd ist. Mn schreibt uch oder für diese Zhl. Die Bezeichnung dieser Zhl ls, lso jener Zhl, die mit multipliziert ergibt, ist durchus plusibel, d für gewöhnlich lso beim Rechnen mit gewöhnlichen reellen Zhlen) bezeichnet, die mit multipliziert ergibt. Weiters definieren wir uns b ls b 3 Rechenregeln für Multipliktive Inverse uch jene Zhl Nchdem wir die benötigten Definitionen durchgeführt hben, können wir einige Rechenregeln für ds Rechnen mit multipliktiven Inversen beweisen: Stz 5. Es sei m eine positive gnze Zhl und und b zu m teilerfremde gnze Zhlen. Es sei weiters n eine beliebige gnze Zhl. Es gilt:. ) Beweis:. b b b b + b + b b ) n n ist die multipliktive Inverse zu, somit ist uch die Inverse zu 2. d ggt, m) =, gilt ) ) ) ) ) w.a. 3

4 3. d ggt b, m) =, gilt b b b) b b) ) ) b b b w.a. 4. Nch Stz 5.3 gilt b b b b 5. Nch Stz 5.4 gilt + b b b + b + b) b 6. Für n = 0 ist der Stz trivil, für positive n folgt der Stz us Stz 5.3 und für negtive n folgt der Stz us Stz 5. und Stz 5.3 Betrchten wir nun die Liste der Rechenregeln, so fällt uns uf, dss wir mit den Inversen im Grunde genommen genuso rechnen können, wie mit normlen Brüchen. Grundvorussetzung ist und bleibt ber, dss im Nenner etws zum Modul teilerfremdes steht! 4 Anwendungen Aufgbe: Mn bestimme lle positiven gnzen Zhlen, die zu llen Gliedern der Folge n = 2 n + 3 n + 6 n, n teilerfremd sind. IMO 2005, Aufgbe 4) Lösung: Wir vermuten, dss ein Vielfches von jeder Primzhl p in der Folge vorkommt und somit die einzige Lösung ist. 2 = 48, wir hben hier lso bereits die Primzhlen p = 2 und p = 3. Wir nehmen nun p 5 n. Wenn mn ein wenig probiert, so kommt mn schnell zu der Vermutung, dss p 2 immer durch p teilbr ist. Dies wollen wir nun beweisen. Für den Beweis verwenden wir den kleinen) Stz von Fermt, der beknntlich folgendes besgt: Ist p eine Primzhl und eine gnze Zhl mit p, so gilt p mod p). Beweise von diesem Stz findet mn u.. in [] und [2]. Es gilt lso p mod p) und somit p 2 mod p). Somit gilt: p 2 = 2 p p p mod p) 6 q.e.d. 4

5 Litertur [] Clemens Heuberger, Zhlentheorie, [2] Yimin Ge, Die Mthemtik von RSA, 5