Mathematik III - Blatt 3
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- Meta Dagmar Pfeiffer
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1 Mthemtik III - Bltt 3 Christopher Bronner, Frnk Essenberger FU Berlin 7.November 6 Aufgbe Die Länge der Kurve, deren Bhn die Lösung der Gleichung ist, lutet x 3 + y 3 3 L( γ ds π γ γ(t dt. Abbildung : Astroide Die Prmetrisierung und ihre Ableitung: γ(t ( cos 3 t, sin 3 t : [, π] R
2 γ(t ( 3 cos t sin t 3 sin t cos t Dmit knn mn den Umfng (lso die Länge berechnen: L( γ π 3 3 π 9 cos 4 t sin t + 9 sin 4 t cos tdt π sin t cos t ( cos t + sin t dt sin t cos t dt Die Funktion sin t cos t ist zwischen und π positiv, zwischen π und π negtiv, zwischen π und 3π wieder positiv und zwischen 3π und π wieder negtiv. Dmit knn mn ds Integrl umschreiben und die Betrgsstriche weglssen. [ π L( γ 3 sin t cos tdt 3 ( [ ( 3 6 Aufgbe Für c π sin t ] π [ π π sin t 3π sin t cos tdt + sin t cos tdt π ] π + π [ ] 3π sin t π [ sin t und t [ π, π] sieht die logrithmische Spirle so us: π 3π ] π 3π sin t cos tdt ]
3 b Abbildung : logrithmische Spirle Die Prmetrisierung für einen Teil der logrithmische Spirle lutet Die Länge dieser Kurve ist γ(t ( e ct cos t, e ct sin t : [, b] R L( γ Die Ableitung der Kurve sieht so us: b γ(t dt γ(t ( ce ct cos t e ct sin t ce ct sin t + e ct cos t Also knn mn ds Integrl jetzt usrechnen. 3
4 L( γ b b b b c + (ce ct cos t e ct sin t + (ce ct sin t + e ct cos t dt c e ct cos t + e ct sin t + c e ct sin t + e ct cos tdt c e ct + e ct dt c + e ct dt [ ] b c ect + c ( e cb e c Für den Grenzfll gilt: lim L( γ + c ( e cb lim ec + c ecb c Zunächst schffen wir uns eine Prmetrisierung des Kreises, er soll Rdius R hben. γ K (s (R cos s, R sin s : [, π] R Um einzusehen, dss es genu einen Schnittpunkt von γ und γ K gibt, betrchten wir ihre Beträge. Der Betrg des Kreises γ K (s R ( cos s + sin s R ist konstnt. Der Betrg der logrithmischen Spirle ist γ(t e ct cos t + e ct sin t e ct D der Betrg der logrithmischen Kurve eine streng monoton wchsende Funktion ist, knn sie höchstens einen Schnittpunkt mit der konstnten Betrgsfunktion des Kreises hben. D e ct surjektiv uf die positiven Zhlen (ohne Null R + ist und R R + sein muss, existiert (genu ein t s, für ds der Betrg des Punktes γ(t s gerde R ist. Dnn muss dieser Punkt uch Element des Kreises 4
5 sein, ist lso in beiden Bhnen und somit der Schnittpunkt. Der Schnittwinkel α zwischen den beiden Kurven ist chrkterisiert durch cos α γ(t γ K (s γ(t γ K (s Wir wählen den Rndpunkt des einen Prmeterintervlls πn für ein pssendes n, sodss e c < R ist. Wir dürfen nun ohne Bedenken s t setzen, d s bzw. t der Winkel zwischen der x-achse und den Punkten us γ K bzw. γ ist, die die jeweils ndere Kurve schneiden. Diese Punkte sind ntürlich gleich und somit uch ihr Winkel zur x-achse. Außerdem ht s keinen Einfluss uf den Rdius von γ K, sonst ginge ds nicht. Jetzt ein pr Rechnungen: γ K (t γ K (t ( R sin t R cos t R sin t + R cos t R In Aufgbe b hben wir schon (unter dem Integrl usgerechnet, dss ist. γ(t c + e ct γ(t γ K (t R sin t ( ce ct cos t e ct sin t + R cos t ( ce ct sin t + e ct cos t Rce ct sin t cos t + Re ct sin t + Rce ct sin t cos t + Re ct cos t Re ct Jetzt können wir den Kosinus des Schnittwinkels berechnen. cos α γ(t γ K (t γ(t γ K (t Re ct c + e ct R c + 5
6 Aufgbe 3.3 Als erstes soll der Mssenpunkt entlng der direkten Verbindung von nch b bewegt werden. Als Prmetrisierung ergibt sich: r (t mitt [, ]. t r (t Für die Energie gilt folgende Beziehung: E Gerde f (x, y, z d r f x ( r r dx + f y ( r dy + f z ( r dz r c. cx(tẋ(t cy(tẏ(t cz(tż(tdt ( cz(tż(tdt [ ] ct dt ct b Nun soll entlng der Schrubenlinie integriert werden, so wird die Prmetrisierung zu: r (t cos(πt sin(πt mitt [, ]. t r (t sin(πt cos(πt Nun wieder einfch in die Gleichung ( einsetzen: E Schrube c. c cos(πt sin(πt c sin(πt cos(πt ct dt [ ] ct dt ct Die Energien sind lso gleich, ws den Physiker nicht verwundert, d es sich um ds Krftfeld des Potentils φ(x, y, z c [x + y + z ] + const. hndelt. Und 6
7 wir wissen, ds solche Grdientenfelder konservtiv sind, lso geschlossene Wegeintegrle null sind, bzw. der Integrtionweg für unterschiedliche Wege gleiche Energiewerte liefert. Abbildung 3: Die beiden Wege im Vergleich Aufgbe 3.4 Hier Soll nun von einem Punkt (,b zum Punkt (c,d ds Arbeitsintegrl des Vektorfeldes ( y f (x, y berechnet werden. Als erstes die Prmetrisierung: x ( t + ct r (t mitt [, ]. b bt + dt r ( c (t d b 7
8 Um ds Integrl zu bestimmen müssen wir nur in Gleichung ( einsetzen und es ergibt sich: f (x, y d r f x ( r r dx + f y ( r dy r b y(t(c + x(d bdt (b bt + dt(c + ( t + ct(d bdt bc + b + bct bt cdt + dt + (d b dt + bt + dct bctdt ( bc + ddt d bc. ( Hier soll nun entlng folgender Kurve intigiret werden. Abbildung 4: Integrtionsweg Durch Glecihung ( wissen wir, dss die Integrle von (, (cos(b, sin(b und von (, (, null seien müssen. Es bleibt lso nur über den Kreisbogen zu integrieren. Dfür bietet sich folgende Prmetrisierung n: ( cos(ϕ r (ϕ mit ϕ [, b]. sin(ϕ d ( sin(ϕ r (ϕ dϕ cos(ϕ Für ds Integrl über den Kreisbogen ergibt sich nun wieder nch Gleichung 8
9 (, durch einfches einsetzen von f und der Prmetrisierung: c Kreis b f (x, y d r sin(ϕ sin(ϕ + cos(ϕ cos(ϕdϕ b dϕ b. Nun soll schließlich entlng des Dreiecks, ws von der Einheitshyperbel ufgespnnt wird integriet werden. Abbildung 5: Integrtionsweg Für die beiden gerden Verbindungsstrecken ergibt sich nch Gleichung ( wieder null. Wir müssen lso wieder nur den Bogen integrieren. Die pssende Prmetrisierung ist: ( cosh(ϕ r (ϕ mit ϕ [, ub]. sinh(ϕ d ( sinh(ϕ r (ϕ dϕ cosh(ϕ Ds Integrl wird jetzt gnz nlog zu Aufgbe 3b brechnet: u f (x, y d r sinh(ϕ + cosh(ϕ dϕ Hyperbel u dϕ u. 9
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