Übungsaufgaben Vektoranalysis

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1 Kllenrode, Übungsufgben Vektornlysis. Bestimmen ie die Quellen des Feldes A B. Lösung: Rechenregeln (Produktregel) verwenden, du die Abkürungen C A und D B : ( A B) ( C D) D ( C) C ( D) C ( A) A ( B), () d Grdientenfelder wirbelfrei sind.. Bestimmen ie die Quellstärke eines homogen geldenen Zylinders mit Rdius R, der ein elektrisches Feld { cϱ eϱ Innenrum mit R ϱ E(ϱ) cr /ϱ e ϱ Außenrum mit R < ϱ Lösung: Divergen in Zylinderkoordinten ist llgemein A ϱ (ϱa ϱ ) ϱ + ϱ A ϕ ϕ + A. D ds Feld nur von ϱ, nicht ber von ϕ oder bhängt, verschwinden die entsprechenden Terme und es bleibt A (ϱa ϱ ). ϱ ϱ Für den Innenrum ist dnn Im Außenrum dgegen gilt E ϱ cϱ ϱ cϱ c. ϱ ϱ cr ϱ E, ϱ ϱ d.h. im Außenrum verschwindet die Quellstärke erwrtungsgemäß.. Bestimmen ie ds Geschwindigkeitsfeld einer mit der Winkelgeschwindigkeit ω ω e rotierenden cheibe. Bestimmen ie ferner die Rottion dieses Geschwindigkeitsfeldes. Lösung: Ds Geschwindigkeitsfeld v( r) gibt die Geschwindigkeit eines Teilchens n einem beliebigen Ort r uf der cheibe: v ω r x y ωy ωx, ω die Bewegung ist lso uf die xy-ebene beschränkt. Für die Rottion ergibt sich v / x / y ωy ωx ω ;. / ω ( ω) ω Ds Feld ist lso, wie uch nschulich u erwrten, ein Wirbelfeld. D es sich um ein Wirbelfeld hndelt, muss ds Geschwindigkeitsfeld quellen-frei sein, d.h. v / x / y ωy ωx. /

2 4. Bestimmen ie die Prmeter und b derrt, dss die Rottion des Vektorfeldes A x + y xy x + bxy überll verschwindet. Lösung: die Rottion des Feldes ist A / x / y x + y xy / x + bxy bxy xy 4x y 4x + by!. y y Die y-komponente liefert b, die -Komponente. Einseten in x-komponente liefert konsistentes Ergebnis. 5. Ein mgnetisches Feld ist gegeben ls H iϱ e ϕ kiieren ie ds Feld, bestimmen ie seine Wirbel. Lösung: Drstellung des Feldes in Zylinderkoordinten, ds Feld ht keine Komponente in oder ϱ-richtung, d.h. H und H ϱ. Feld ls konentrische Kreise um den Ursprung drstellbr. Für die Rottion in Kugelkoordinten gilt llgemein rot A A ( A ϱ ϕ A ϕ ) e ϱ + ( Aϱ A ϱ ) e ϕ + ϱ ( (ϱaϕ ) ϱ A ) ϱ e. ϕ In diesem speiellen Fll überleben nur der weite Term der ersten und der erste Term der letten Klmmer: H H ϕ e ϱ + (ϱh ϕ ) e i. ϱ ϱ Die tromdichte i bestimmt lso den Wirbel des Feldes, nlog u dem Ergebnis us Aufgbe. Die so gefundene Gleichung ist übrigens llgemein gültig sie ist (bis uf die Konstnten) eine der Mxwell-Gleichungen (Ampere sches Geset) in differentieller Form. 6. Bestimmen ie die Rottion des Dipolfeldes E 4πε (x + y + ) xy. Zeigen ie ferner, dss sich dieses Feld ls der Grdient des sklren Potentils V (x, y, ) x 4πε (x + y + ) mit ls dem Dipolmoment und ε ls der Permittivität drstellen lässt und bestimmen ie die Quellstärke dieses Feldes. Überlegen ie sich, ws dies für die Rottion bedeutet. Lösung: der weite Teil der Aufgbe sollte die tudierenden drn erinnern, dss sich ds Dipolfeld ls Grdient eines sklren Potentils drstellen lässt. Und d Grdientenfelder wirbelfrei sind, knn mn sich diese Rechnung spren.

3 Andererseits knn die Rechnung ber uch verwendet werden, um die obige Aussge u überprüfen: E / x / y 4πε / (x + y + ) xy. Komponentenweise erhlten wir E] x E] y E] 4πε y 4πε (x +y + ) x +y + (x +y + ) x ] ] xy (x +y + ) 8xy 4πε (...) 8xy (...), ] (x +y + ) 4πε ( x +y + )( ) (...) + (...) + x( ) (...) + ] 4 4πε (...) + 4( x +y + ) 8x (...) 4πε 4( x +y + ) (...) + 4x 4y 4 (...) ] xy 4πε x (x +y + ) + y ] x +y + (x +y + ) xy( )x 4πε (...) + y (...) + ( x +y + )( )y (...) + y ] 4y 4πε (...) + 8xy 4y( x +y + (...) ] 4y(x +y + ) 4πε (...) 4xy +4y +4y (...) (...) ] (...) ] Die Rechnung mcht deutlich, dss es Arbeit spren sein knn, sich u merken, dss Grdientenfelder wirbelfrei sind. Bleibt noch die Bestimmung des Feldes us dem Potentil: E V / x / y x 4πε (x / + y + ) 4πε (x + y + ) xy. Potentil geplottet über der xy-ebene: kie für Äquipotentil- und Feldlinien uf xy-ebene beschränken:

4 und bitte noch einml druf hinweisen, dss die Feldlinien senkrecht uf den Äquipotentillinien stehen. Für die Quellstärke ergibt sich E / x / y 4πε / (x + y + ) xy x(x y ) x π(x + y + ) + ε π(x + y + ) ε x x π(x + y + ) + ε π(x + y + ) ε xy π(x + y + ) ε x π(x + y + ) ε 7. Bestimmen ie den Mssenstrom xy π(x + y + ) ε + x π(x + y + ) x(x y ) ε π(x + y + ) + ε J ϱv k( ϱv e ) x π(x + y + ) ε x π(x + y + ) ε mit ϱ ls Dichte und v k ls Geschwindigkeit durch eine Hlbkugel mit Rdius wobei die Hlbkugel uf der xy-ebene ufliegt. Lösung: Der Fluss eines Feldes A durch eine (Ober)Fläche ist definiert ls Φ A d. Um dieses Integrl u lösen wird ds Flächenelement d über den Normleneinheitsvektor n und die Größe des Flächenelements d du dv geschrieben d n d ndu dv mit u und v ls den bei der Drstellung der Fläche verwendeten Prmetern. Für den Fluss lässt sich dher uch schreiben Φ A d A n d A n dudv. Die Gleichung der Oberfläche ist in diesem Fll x y. Wir können die Oberfläche ls Isolinie eines Feldes Ψ x y interpretieren und erhlten für den Normlenvektor x/ y/ x y n Ψ Ψ r, 4

5 d ( ) x Ψ + y + (x + y + ). Der Normlenvektor eigt, wie uch nschulich klr, rdil nch ußen. Dmit wird ds Produkt J n ϱv und für den Fluss ergibt sich ϱv Φ d ϱv ) / ( + x + y dx dy, x y ϱv dx dy ϱv dx dy ϱv o π, x y der Fluss durch die Hlbkugel ist genuso groß wie der Fluss durch die projiierte Fläche der Hlbkugel, den Kreis. Alterntiv hätte mn hier uch Kugelkoordinten verwenden können mit den Winkeln ls Prmeter ur Drstellung der Kurve. Die Formulierung ist nicht wesentlich elegnter, d sich wr die Fläche, nicht ber ds Feld in Kugelkoordinten geschickter drstellen lssen. 8. Gegeben ist ds Feld F (x, y, ). Überprüfen ie die Gültigkeit des Guß schen tes für eine ylindrische Oberfläche mit x + y 4 und 4. Lösung: der Guß sche t (Divergentheorem) ist F d F dv. () Der Geometrie ngemessen sind Zylinderkoordinten. Für die rechte eite dieser Gleichung erhlten wir R π 4 ϱ ϕ ( Fx x + F y y + F ) ϱ d dϕ dr x y π 4 ϱ ϕ ϱ d dϕ dr 4 π 48π. () Zur Auswertung der linken eite müssen wir ds Integrl in drei Teile erlegen: die Mntelfläche des Zylinders mit Φ x + y 4, die obere Deckfläche bei 4 und die untere bei. Auf den beiden Deckflächen ist der Normlenvektor jeweils prllel ur -Achse, bei der oberen Deckfläche nch oben weisend, bei der unteren nch unten. Vom Produkt F n bleibt jeweils ± bestehen. Den Normlenvektor uf der Mntelfläche können wir durch Überlegen bestimmen. Er muss rdil von der -Achse weg weisen, d.h. er ht die Richtung (x, y, ). D die Fläche, uf der dieser Vektor steht, einen Abstnd von von der -Achse ht, muss gelten n x y. (4) Alterntiv hätten wir den Normlenvektor uch bestimmen können ls n Φ Φ x e x + y e y 4x + 4y x y. (5) Ds Produkt us Feld und Normlenvektor wird dmit F n x y x y x + y 4. (6) 5

6 Dmit ergibt sich für die linke eite von () L F n d d + d + π ϱ ϕ OD ϱdϕdϱ + 4 M π ϕ ϱdϕd UD d π ϱ ϕ ϱdϕdϱ 4 π + π 4 π 6π + π 48π, (7) rechte und linke eite stimmen lso überein. 9. Gegeben ist ds Vektorfeld F ( y, x, ). Verifiieren ie den tokes schen t für eine uf der xy-ebene ufliegende Hlbkugel mit 4 x y. Lösung: der tokes sche t besgt F d r F d. (8) Die Hlbkugel, und dmit uch der Kreis, der sich in der xy-ebene bildet, hben einen Rdius von. Der Normlenvektor uf der Hlbkugel ist dmit gegeben ls n x y. (9) Für ds Linienintegrl ist der Kreis in der xy-ebene dher gegen den Uhreigersinn u umlufen. In Prmeterform lässt sich der Kreis schreiben ls x cos ϕ und y sin ϕ () mit ϕ π. Dmit erhlten wir für ds Feld sin ϕ F cos ϕ, () für r r cos ϕ sin ϕ () und für seine Ableitung nch dem Prmeter ϕ sin ϕ d r dϕ cos ϕ. () Die linke eite von (8) wird dmit L F d r sin ϕ dϕ dϕ cos ϕ (4 sin ϕ + 4 cos ϕ) dϕ Für die rechte eite erhlten wir R / x / y y x d / π ϕ ϱ π ϕ ϱ sin ϕ cos ϕ dϕ 4 dϕ 8π. (4) ϱ dϱ dϕ ϱ dϱ dϕ 8π. (5) 6