Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Dirac sche Deltafunktion: ( =11 Punkte)

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1 Krlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Mterie Übungen zur Klssischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynmik) WS -3 Prof. Dr. Alexnder Mirlin Bltt : Lösungen Dr. Igor Gornyi Besprechung 4... Dirc sche Deltfunktion: (4+3+++= Punkte) () Zu zeigen sind jeweils, dss die definierenden Eigenschften { b f(x ) flls x (, b) f(x) δ(x x ) = sonst () und die Normierungsbedingung erfüllt sind. δ(x x ) = () Beginnen wir mit der Drstellung δ(x x ) = lim L (x x ) mit L (x) = π x +. D δ(x x ) eine Distribution ist, muss mn den lim so interpretieren, dss er immer nch dem Integrl gezogen wird, d.h. f(x)δ(x x ) = lim f(x)l (x x ), wo die Schreibweisen δ(x x ) für die Distribution selbst sowie lim L (x x ) für den Limes symbolisch zu betrchten sind. Dmit ist Ihre Norm: lim = π lim π x + = π lim dy y + = π lim [rctn (y)] = [ π ( π lim π )] =. ( x ) + (3)

2 Zeigen wir nun Eigenschft (): die Funktion L (x x ) = π ( x x ) + entspricht für festes einer Lorentzkurve um x mit Höhe, die bei x ± uf die Hälfte ihrer Höhe bfällt. Für wird die Funktion lso immer steiler bei x und fällt nch ußen hin immer schneller b. Weil die Huptbeiträge zum Integrl in () nur n Stellen sein können, n denen L (x x ) wesentlich von verschieden ist, knn mn die Funktion f(x) durch ihren Wert n dieser Stelle nähern: b lim f(x)l (x x ) = f(x ) lim b L (x x ). Im Grenzfll verschwindet ds Integrl im Prmeterbereich fern von x. Ist x nicht in [, b] enthlten, so ist dieser Bereich uf der Skl von utomtisch fern von x und ds Integrl verschwindet. Andernflls knn mn zum Integrl eine Null in Form der Bereiche ]b, [ und ], [ dzu ddieren und erhält mit der Normierungsbedingung () f(x ) lim L (x x ) = f(x ). (4) Wir wollen kurz zeigen, wrum wir die Ersetzung f(x) f(x ) durchführen dürfen. Sttt der Ersetzung verwenden wir dzu eine Tylorentwicklung von f(x) um x : b lim f(x)l (x x ) = lim b + lim b = f(x ) + f(x )L (x x ) n= n= y x x {}}{ = f(x ) + f (n) (x) x=x f (n) (x) x=x n= f (n) (x) x=x (x x ) n L (x x ) b π lim n π lim ( x ) x n ) + ( x x b x n x dy (y)n y +. Zum Integrl trgen für huptsächlich die Prmeterbereiche mit y bei. Deshlb können wir den Ausdruck bschätzen zu b f (n) b x (x) x=x lim f(x)l (x x ) f(x ) + π lim n dy (y) n x n= ( ) = f(x ) + f b (x) x=x π lim log x x f (n) (x) x=x + n= = f(x ) + n= π lim n n c n lim [ (b ) n ( ) ] n x x = f(x ). (5)

3 Als nächstes betrchten wir die Drstellung δ(x x ) = lim G (x x ) mit G (x) = e x /. π Die Norm ist / e x lim e x / = lim π π = lim dye y π = π lim π =. (6) Um Eigenschft () zu zeigen, diskutieren wir die Kurve von G (x) = π e (x x ) /. Hierbei hndelt es sich um eine Gußkurve um x mit Höhe π, die bei x ± uf ds e -fche ihres mximlen Wertes bfällt. Ab hier knn nlog zum ersten Fll rgumentiert werden: b lim f(x)g (x x ) = lim b + lim b = f(x ) + f(x )G (x x ) n= n= y x x {}}{ = f(x ) + f (n) (x) x=x f (n) (x ) n= f (n) (x ) (x x ) n G (x x ) b lim n π lim π b x n ( x x ) n e (x x ) / x dyy n e y = f(x ), (7) d b x x b x x dyy n e y < und dmit dyy n e y < Γ ( ) n+ Γ(n + ) = dy y n e y = π n nγ(n/) }{{} ( ) + n y n e y = Γ, (8) n, (9) wobei Γ(z) die Gmmfunktion ist (s. (b) zu zeigen: δ(g(x)) = n g (x n ) δ(x x n).

4 ernschulichung der Aufsplittung von delt(g(x)) in Deltfunktionen delt(x - x_n) delt(x - x_) delt(x - x_) delt(x - x_3) g(x) Dzu erinnern wir uns, dss die Deltdistribution nur in erbindung mit einer Integrtion definiert ist. Ds Integrl ht nur Beiträge in Regionen um die Nullstellen im Integrtionsbereich im Argument der Deltdistribution. Wir können ds Integrl in eine Summe über diese Teilbeiträge ufsplitten: γ δ(g(x))f(x) = n xn+ δ x n δ δ(g(x))f(x), δ Nullstellenbstände. Die Funktion g(x) können wir in dem jeweiligen Bereich um die Nullstellen Tylorentwickeln: g(x) = g(x n ) + g (x) x=xn (x x n ) + = g (x) x=xn (x x n ) + Nun können wir die einzelnen Integrtionsbereiche wieder uf den ursprünglichen Integrtionsbereich oder sogr uf [, ] usweiten. Der Grund ist, dss die Tylorentwickelten Funktionen nun linerisiert sind und keine weiteren Nullstellen mehr enthlten, sodss keine weiteren Bereiche zum Integrl beitrgen: xn+ δ n x n δ δ(g(x))f(x) = n δ(g (x) x=xn (x x n ))f(x). Den orfktor g (x) können wir durch Substitution y = g (x n )x eliminieren: Gilt g (x) > : ( ) δ(g (x) x=xn (x x n ))f(x) = dy δ (x g y (x) g x=xn x n ) f (x) x=xn g (x) x=xn = f(x n ), () g (x) x=xn

5 Gilt g (x) < : ( ) δ(g (x) x=xn (x x n ))f(x) = dy δ (x g y (x) g x=xn x n ) f (x) x=xn g (x) x=xn = f(x n ). () g (x) x=xn ergleichen wir nun die Integrnden: (c) Berechne Nullstellen: Ableitung: (d) Berechne γ δ(g(x))f(x) = n δ(g(x)) = n f(x)δ(g(x)) = g (x) x=xn δ(x x n )f(x) γ g (x) x=xn δ(x x n). () x δ(x 6x + 8). = g(x) = x 6x + 8 = (x ) (x 4) x =, x = 4. (3) Nullstellen (existieren nur für b > ): g (x) x= = g (x) x=4 =. (4) f(x)δ(g(x)) = + 4 =. f(x)δ(x b + x + ). x + = b x = x b + x + x + = (b x) x = b. (5) b x nur im Prmeterbereich, wenn b >. Ableitung: g x (x) x=x = + x + x= b b = + b b + = b b + (6)

6 ( ) f(x)δ(g(x)) = θ(b)θ(b ) b + b f. b b (e) Zeigen wir zunächst die erste Eigenschft. Es gilt: f(x) = x R f(x) =. (7) xδ (x) = = x δ (x) xδ (x) =. (8) Hierbei verwendeten wir, dss die Deltdistribution durch den Grenzwert von positiv semidefiniten Funktionen drgestellt werden knn. Die zweite Eigenschft zeigen wir mit Hilfe der prtiellen Integrtion und der Ttsche, dss x x bei ± keine Nullstellen ht: δ (x x )f(x) = [δ(x x )f(x)] δ(x x )f (x) = f (x ). (9). Coulomb-Krft: ( Punkte) kein Mteril ngegeben r =. SI: Guß ( esu sttcoulomb): e F C,SI = 4π r (, 6 9 A s) = 4 π 8.85 A s m 8 m =.37 N. () F C,G = e r ( 4.83 esu = 7 cm ) =.37 5 dyn. () C esu (C/ 4π = esu) esu C dyn = g cm/s = 5 kg m/s = 5 N

7 3. Guß scher Stz: (3+3+6= Punkte) Zunächst geben wir die llgemeine Formel des Elektrischen Feldes in Abhängigkeit von der Ldungsverteilung n, bevor wir für die konkreten Ldungsverteilungen die Felder berechnen. Mxwell (Kugelsymmetrie Größen hängen nur vom Betrg des Ortes b): ) ( E (r) = ρ (r) d 3 r E (r ) = d 3 r ρ (r ). Wir wenden den Stz von Guß uf der linken Seite der Gleichung n. Wegen der Rottionssymmetrie ist ds elektrische Feld rdil und somit prllel zum Normlenvektor der Kugeloberfläche usgerichtet. Es knn lso mit den Beträgen gerechnet werden: da E (r ) = 4πr E (r) = E (r) = 4πr E (r) = 4πr E (r) = r d 3 r ρ (r ) d 3 r ρ (r ) r r d 3 r ρ (r ) dr π dr r ρ (r ). π r dφ r d cos (θ) ρ (r ) π

8 () leitende Kugel Ldungen sitzen gleichmäßig verteilt uf der Oberfläche ρ (r) = Q δ (r R) 4πR Q r E (r) = dr r δ (r R) 4πR r Aufgbe, Gl. () : x = R, f(x) = x, =, b = r { Q R flls R (, r) E (r) = 4πR r sonst = Q 4πR r R Θ (r R) () = Q Θ (r R), (3) 4π r wobei Θ(x x ) = die Heviside-Funktion ist. { flls x x, sonst rho dθ(x) = δ(x), (4) E ~ /r^ E = R r

9 (b) gleichmässig verteilte Ldung ρ (r) = Q 4 Θ (R r) πr3 3 3 Q r E (r) = dr r Θ (R r ) 4πR 3 r ( 3Q = 4πR 3 r 3 R3 Θ (r R) + ) 3 r3 Θ (R r) = Q Θ (r R) + Q r Θ (R r). (5) 4π r 4π R3 E ~ r E ~ /r^ rho R r

10 (c) Ldungsdichte, die mit r n vriiert (n > 3, Skizze für n = ±): Wie in den vorherigen Aufgben uch, muss die Ldungsdichte so normiert werden, dss ds Integrl über die Gesmtldung Q ergibt: ρ (r) = Q N rn Θ (R r), Q = N = R = Q N R R dr4πr ρ (r) dr4πr n+ dr4πr n+ Dmit können wir ds Elektrische Feld berechnen: = 4πRn+3 n + 3. (6) Q (n + 3) ρ (r) = 4πR n+3 rn Θ (R r) Q (n + 3) r E (r) = dr r r n Θ (R r ) 4πR n+3 r ( Q (n + 3) = 4πR n+3 r n + 3 Rn+3 Θ (r R) + ) n + 3 rn+3 Θ (R r) = Q Q Θ (r R) + 4π r 4π R n+3 rn+ Θ (R r). (7) E ~ /r E ~ /r^ rho ~ /r^ E ~ /r^ rho ~ r^ E ~ r^3 R r R r