ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

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1 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt krummlinig egrenzter Flächen usrechnen? Um solche Flächeninhlte uszurechen, rucht mn die Integrlrechnung, die - wie Sie sehen werden - im gewissen Sinne die Umkehrung der Differentilrechnung ist! Zur Einführung und Erfssung einer wichtigen Regel soll folgendes einfches Beispiel helfen: Gesucht ist jener Flächeninhlt, den die Funktion f mit den eiden senkrechten Gerden und und der - chse einschließt!

2 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem D die gesuchte Fläche ein Trpez ist, knn mn zunächst diesen Flächeninhlt mit der lteknnten Formel erechnen: c h f 5 c f 5 6 h d s tn d zwischen und uf der chse 6 Nun git es er uch noch eine ndere Methode den gesuchten Flächeninhlt uszurechnen, die Ihnen ei dieser ufge etws umständlich vorkommen mg, er es wird Ihnen ddurch eine wichtige Regel des Integrierens nähergercht, mit deren Hilfe mn dnn gnz llgemein den Flächeninhlt von krummlinigen Flächen usrechnen knn: Wir wollen nun den Flächeninhlt, den die Funktion f mit der Gerden, der -chse und einer weiteren elieigen senkrechten Gerden einschließt, usrechnen: f f ; ² 6 ² 6 0 ² 6 0 Wir setzen hier in die Formel c h ein 6 0 Speziell gilt für die vorher erechnete Fläche: ; Somit ergit sich ls Formel für den oigen Flächeninhlt folgende Funktion: ² 6 0 F Wenn wir ls linke Grenze nicht die Gerde gewählt hätten, sondern irgendeine ndere, dnn ergäe sich eine gnz ähnliche Funktion F, nur sttt 0 hätten wir eine ndere Konstnte erhlten! Skeptiker unter Ihnen sollten ds zu Huse nchprüfen!

3 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Somit können wir gnz llgemein festhlten: F 6 ² ist die llgemeine Formel zur Berechnung des oigen Flächeninhlts, woei die eiden Grenzen elieig gewählt werden können. Wie erechnet mn nun er den Flächeninhlt, den die gegeene Funktion f mit der - chse und den Gerden und einschließt?, f f lso knn mn wegen F uch nschreien, F F denn: Wir setzen wieder in die Formel h c ein

4 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem,

5 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Zwischenilnz: Ws rucht mn zur Berechnung eines Flächeninhlts, den eine Funktion f mit der - chse in einem Intervll [;] einschließt? F, F F Nun gilt es noch folgende Frge zu entworten: Wie kommt mn von einer gegeenen Funktion f zur gewünschten Funktion F, ohne die wir j den Flächeninhlt nicht erechnen können?! Betrchten dzu nochmls unser usgngseispiel: f F Wie knn mn von uf Lösung: Der usdruck wurde integriert!!! d c kommen? Nun müssen wir nur noch unsere eemplrische Üerlegung llgemein formulieren: Der Flächeninhlt, denn die Funktion mit der -chse im Intervll zwischen und einschließt, soll erechnet werden durch die Summe von Rechtecksflächen. Diese Rechtecksflächen erhält mn, indem mn ds Intervll [,] in gleich große Teile teilt. Diese Teilstrecken stellen dnn die Rechtecksreiten dr, die Funktionswerte n den Stellen,,... ilden die Rechteckslängen: 5

6 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Entweder: f f f oder:. f f f. Die Summe der Rechtecksflächen in ildung nennt mn die Untersumme. D wir in Intervlle zerlegt hen, kürzt mn sie ls U. Die Summe der Rechtecksflächen in ildung nennt mn die Oersumme. D wir in Intervlle zerlegt hen, kürzt mn sie ls O. Es muss nun gelten, dss die Untersumme kleiner gleich der gesuchten Fläche und diese wiederum kleiner gleich der Oersumme ist. U O Jetzt könne wir unsere Zerlegung verfeinern, dh. Dss wir den Intervll [;] in immer mehr schnitte unterteilen und ihn schließlich in unendlich viele schnitte unterteilen. d.h wir ilden den Limes der Oer- und Untersummen. Wird in diesem Fll der Limes der Oersumme gleich dem Limes der Untersumme, so muss dies folglich ekt der gesuchte Flächeninhlt sein. lim U limo limu limo n n n n n n Dher knn mn für die Summe ller Rechtecksflächen, die für elieig kleine Rechtecksreiten ttsächlich den gewünschten Flächeninhlt liefert, mthemtisch formulieren: n n 6

7 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem, f d sprich: Der Flächeninhlt im Intervll [,] ist gleich dem Integrl von nch von f von d Beispiel: Berechne den Flächeninhlt, den f 0, mit der - chse im Intervll [;] einschließt! Lösung: Die nge edeutet, dss wir den Flächeninhlt zwischen der Funktion f, den Gerden und und der -chse erechnen sollen: Wir müssen lso Folgendes erechnen:, 0 d ls Erstes müssen wir die Funktion integrieren. Dmit wir n der Schreiweise erkennen, dss wir ereits integriert hen, schreien wir nun sttt dem Integrlzeichen m Ende einen gerden strich mit den Intervllsgrenzen: 0, 7

8 Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Nun erechnen wir F F. Wir setzen lso zunächst für die oere Intervllsgrenze ein und sutrhieren dvon, wenn wir für die untere Intervllsgrenze einsetzen: 0, 0, Dies rechnen wir nun us und erhlten: 5, FE Flächeneinheiten Dmit sie sich den Zusmmenhng zwischen der theoretischen Vorgngsweise und der nun prktizierten Vorgngsweise vorstellen können, schreie ich ds Beispiel uf eide rten noch einml n: lte Schreiweise F 0, 0 F F 0 0 5, FE Neue Schreiweise 0, d 0, F F F , FE 0 0 d Beispiel: Berechne ds Integrl Lösung: Wir müssen zunächst die Funktion wieder integrieren. Dzu müssen wir er die Funktion wieder in Potenzschreiweise nführen: d d Nun integrieren wir: Bevor wir die Grenzen einsetzen schreien wir den rtionlen Eponenten wieder um: Nun gilt es wieder die Grenzen einzusetzen. lso oere Grenze für eingesetzt Minus unterer Grenze für eingesetzt: FE Üung: Üungsltt ; ufgen - 5 8