Kapitel 7 INTEGRATION

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1 Kpitel 7 INTEGRATION Fssung vom 3. Ferur 6 Mthemtik für Humniologen und Biologen 97

2 7. Additive Prozesse 7. Additive Prozesse BEISPIEL Die Aufnhme von Blei us der Luft durch einen Orgnismus ist in einem kleinen eitintervll [t; t + h] ungefähr durch h f (t) gegeen, woei f (t) proportionl zur Bleikonzentrtion in der Luft zur eit t ist. Um die Gesmtufnhme in einem eitintervll [; ] nzunähern, zerlegt mn [; ], z.b. durch Einfügen von equidistnten wischenpunkten t k = + k n für k = ; : : : ; n, in Teilintervllen = t < t < : : : < t n < t n =.Eine Näherung S n für die Gesmtufnhme erhält mn durch Addition der Näherungswerte für die Aufnhme in den eitintervllen [t k ; t k+ ], lso Xn S n = f (t k ) (t k+ t k ). k= Ds mthemtische Modell für die Gesmtufnhme ergit sich, ähnlich wie in Beispiel 6., durch Grenzüergng. DEFINITION Mn de niert ds Integrl von f üer ds Intervll [; ] durch flls dieser Grenzwert existiert. f (t) dt := lim n! S n Die geometrische Interprettion des Integrls entnimmt mn der Skizze : t S n ist die Summe der Rechteck ächen 98 INTEGRATION

3 Additive Prozesse 7. BEMERKUNG Der Buchste t in R f (t) dt ist eine stumme Vrile. Mn knn uch R f (s) ds schreien, ohne die Bedeutung des Integrls zu verändern. BEMERKUNG Mn knn zeigen, dßfür stetige, sogr stückweise stetige Funktionen f : [; ]! R der Grenzwert lim n! S n R existiert, lso ds Integrl R f (t) dt de niert ist. t Grph einer stückweise stetigen Funktionen BEMERKUNG 3 Integrle treten ei der Beschreiung dditiver Prozesse uf, z.b. ei der Gesmtufnhme von Chemiklien, rdioktiver oder Röntgen-Strhlungen, ei der Berechnung der Msse eines Körpers us seiner Dichte, der Asotion us der optischen Dichte, der Areit us der Krft längs eines gerden Weges oder uch ei der Berechnung des Mittelwertes M einer Funktion f uf [; ] : M = Unmittelr us der De nition erhält mn den f (t) dt. SAT (Elementre Integrtionsregeln) Sind I ein Intervll in R, f; g : I! R stückweise stetige Funktionen, ; ; c I und R, so gilt (i) (ii) (iii) Fktorregel Summenregel erlegungsregel f (t) dt = [f (t) + g (t)] dt = f (t) dt = c f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt. c g (t) dt. f (t) dt. INTEGRATION 99

4 7. Additive Prozesse BEMERKUNG 4 erhlten, setzt mn Um die erlegungsregel für eine elieige Lge der Punkte ; und c zu f (t) dt := und f (t) dt = f (t) dt. INTEGRATION

5 Der Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung Der Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung Die oige De nition des Integrls ermöglicht die numerische pproximtive Berechnung von Integrlen. Für eine genue und prktikele Berechnung enötigen wir eine ndere Chrkterisierung. Dzu zunächst die DEFINITION Gegeen sei eine Funktion f. Eine di erenzierre Funktion F heißt Stmmfunktion von f, wenn gilt. F (t) = f (t) für lle t D f BEMERKUNG Die Aleitungstelle 6. ist lso zugleich eine Telle für Stmmfunktionen. Mn rucht nur von rechts nch links zu lesen!.b. ist die Funktion eine Stmmfunktion von F : ]; [! R : x 7! ln x f : ]; [! R : x 7! x. Weitere Stmmfunktion knn mn durch Rten und Nchprüfen mittels Di erentition erhlten, ndere Methoden werden im Folgenden ehndelt. Im Gegenstz zur Di erentition existieren jedoch keine Regeln, die ein systemtisches Aufsuchen von Stmmfunktionen ermöglichen. Üerdies git es Funktionen, z.b. x 7! e x : R! R, deren Stmmfunktionen nicht in einem geschlossenen Ausdruck drstellr sind. Ist F eine Stmmfunktion von f, so uch F + c für c R. Präziser gilt der SAT Ist I R ein Intervll und F : I! R eine Stmmfunktion von f : I! R, so ist jede weitere Stmmfunktion von f von der Form F + c mit c R. Der usmmenhng mit der Integrtion ergit sich us folgender Üerlegung. Sind f : [; ]! R und F : [; ]! R eine stetige Funktion zw. ihre Stmmfunktion, so gilt nch dem Mittelwertstz F (t k+ ) F (t k ) = F ( k ) (t k+ t k ) = f ( k ) (t k+ t k ) mit einem k ]t k ; t k+ [. D ferner Xn [F (t k+ ) F (t k )] = k= = F (t n ) F (t n ) + F (t n ) F (t n ) + : : : + F (t ) F (t ) = INTEGRATION

6 7. Der Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung = F () F (), lso Xn F () F () = f ( k ) (t k+ t k ) ' S n, knn mn zeigen, dß k= f (t) dt = lim n! S n = F () F (). Dies ist der erste Teil des folgenden zentrlen Resultts : HAUPTSAT (der Di erentil- und Integrlrechnung) ; I und f : I! R eine stetige Funktion. Dnn gilt Seien I R ein Intervll, (i) (ii) Ist F eine Stmmfunktion von f, so ist Die Funktion ist eine Stmmfunktion von f. f (t) dt = F () F () =: x 7! f (t) dt h i h i F = F (t) t=. BEISPIEL D sin = cos, ist cos tdt = cos tdt = h i sin h i sin = sin sin = =, = sin sin = = und cos tdt = h i sin = sin sin = =. INTEGRATION

7 Der Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung 7. BEISPIEL Flls 6= ist lso gilt p tdt = + t+ = t, t dt = + t + = 3 3. BEISPIEL 3 Der momentne Nährsto verruch einer exponentiell wchsenden Bkterienkultur ist proportionl zur Anzhl, lso durch eine Funktion der Form u (t) = c e t gegeen. Der Gesmtverruch im eitintervll [; T ] ist dnn T T h c i T u (t) dt = c e t dt = et = c et. t= BEISPIEL 4 Wird ein Körper uf einer Strecke (von nch ) mit eine konstnte Krft K verschoen, so ist die Verichtete Areit A (oder gegeene Energie) gegeen durch A = K ( ). Hängt K vom Ort x, so ddiert sich die Areit zu A = K (x) dx. Ein ideles Gs werde ei konstnter Tempertur durch einen Kolen mit Querschnitt S zusmmengedrückt. Dnn ist K (x) = S p (x), und nch der llgemeinen Gsgleichung gilt für den usmmenhng von Druck p, Volumen V und soluter Tempertur : p V = R T, woei R die Gskonstnte ist. D V (x) = S x erhlten wir p (x) = R T V (x) = R T S x, INTEGRATION 3

8 7. Der Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung lso K (x) = S R T S x = R T. x Die geleistete Areit ei der Verschieung des Kolens von nch ist somit durch R T h i A = dx = R T x x dx = R T ln x = R T ln x= gegeen. 4 INTEGRATION

9 Prtielle Integrtion Prtielle Integrtion In diesem Aschnitt und den folgenden werden Methoden zur Umformung von Integrlen ehndelt. iel dieser Unformung ist eine urückführung uf direkt lösre (durch Ange einer Stmmfunktion) oder in Tellen nchschlgre Integrle. Wir eginnen mit der Interprettion der Produktregel ls Integrtionsregel. HAUPTSAT gilt Sind f; g stetige Funktionen und F; G Stmmfunktionen von f zw. g, so f (t) G (t) dt = h i F G F (t) g (t) dt. oder D folgt us der Summenregel Stz 7..ii f (t) G (t) dt = (F G) = F G + F G = f G + F g (F G) (t) dt f G = (F G) F g F (t) g (t) dt = h i F G F (t) g (t) dt. BEISPIEL Die ellen einer sich exponentiell vermehrenden Popultion mögen in der eit T > einen ellzyklus durchlufen. Nch Alerghin u.. (98) gilt für den mittleren RNA- Gehlt im eitintervll [; T ] : woei = ln und c > ist. T Nch der Summenregel Stz 7..ii ist lso Für ds zweite Integrl erhlten wir T e t dt = e t R = c T T (t + T ) e t dt, R = c T T t e t dt + c = T ln T t= e ln T e t dt. = e T = T ln e ln = = T ln = T ln. Ds erste formen wir durch prtielle Integrtion um : Wir setzen f (t) := e t und G (t) = t. Als Stmmfunktion von f können wir F (t) = e t wählen und es ist g (t) = G (t) =. Drus ergit sich T t e t dt = T e t t t= T e t dt = INTEGRATION 5

10 7.3 Prtielle Integrtion = T e T e + T e t dt = T Insgesmt erhlten wir R = c T T ln ln Dies zeigt, dßr proportionl zu T ist. = T ln ln + c T ln = c T ln ln. ln e ln + T ln T ln = + = c T (ln ). BEISPIEL Durch prtielle Integrtion erhlten wir h sin tdt = sin t sin tdt = cos t sin t lso folgt d.h. = cos x sin x + = cos x sin x + h t i x i x cos tdt = cos x sin x + sin tdt = x cos x sin x sin tdt = x cos x sin x, sin tdt = (x cos x sin x). Der Huptstz 7..ii ermöglicht die Proe. In nderen Worten muß ( cos t) cos tdt = sin t dt = sin tdt, x 7! (x cos x sin x) eine Stmmfunktion von sin sein. In der Tt ist (x cos x sin x) = ( [ sin x sin x + cos x cos x]) = = cos x + sin x = sin x. 6 INTEGRATION

11 Sustitutionsregel Sustitutionsregel Die zweite wichtige Methode zur Umformung von Integrlen erhält mn us der Kettenregel. HAUPTSAT Seien f eine stetige Funktion und h eine Funktion mit stetige Aleitung, so dßf h de niert ist. Dnn gilt f (x) dx = f (h (t)) h (t) dt, flls ; so gewählt sind, dß = h () und = h () gilt. Mn sieht sofort : Ist F eine Stmmfunktion von f, so folgt us der Kettenregel f (h (t)) h (t) dt = F (h (t)) h (t) dt = = F (h ()) F (h ()) = F () F () = (F h) (t) dt = F hj = f (x) dx. Merkregel Mn spricht von der Sustitution (oder Vrilenänderung) x = h (t) und merkt sich, dß dx = d (h (t)) = h (t) dt. Dei drf mn ntürlich nicht vergessen, dßsich die Integrtionsgrenzen ändern. BEISPIEL Wir erechnen x p x + dx. ur Vereinfchung setzt mn x+ = t, d.h. x = t und sowie Es folgt = x = () t = x = () t = +. x + t p dx = p dt = x + t 3 t 3 + = 3 ( + ) 3 4 ( + ) t = ( = h (t) ). Dmit ergit sich dx = dt t t dt = 3 t 3 4 t + = = 3 ( + ) 3 4 ( + ) + 3. INTEGRATION 7

12 7.4 Sustitutionsregel BEISPIEL Wir erechnen die Fläche des Hlkreis mit Rdius r. Für y > ist y +x = r äquivlent zu y = p r x, lso ist diese Fläche gegeen durch r p r x dx. r Setze x = r cos t, lso ist dx = r sin t dt und es gilt r = r cos ; r = r cos. D t [; ] folgt sin t > und somit p r x = p r r cos t = p r ( cos t) = r p sin t = r sin t. Mit der Sustitutionsregel und Beispiel erhlten wir r p r x dx = r sin t ( r sin t) dt = r = r sin tdt = r ( r sin cos ) =. 8 INTEGRATION

13 Prtilruchzerlegung Prtilruchzerlegung Eine weitere Integrtionstechnik esteht in der Prtilruchzerlegung rtionler Funktionen. Dzu BEISPIEL Für lle ; ; c R mit c 6= und ; c = [; x] wollen wir t (t c) dt erechnen. Wir mchen folgenden Anstz : t (t c) = A t + B t c. Drus erhält mn t (t c) = A (t c) + B t t (t c) und diese Gleichung gilt, flls A + B = und = (A + B) t A c t (t c) A c =, lso für A = c und B = c. Dmit folgt t (t c) dt = c = c t + t c ln + ln c c = c dt = c h i ( ln jtj + ln jt cj) = ln ( c) ( c). INTEGRATION 9

14 7.6 Uneigentliche Integrle 7.6 Uneigentliche Integrle Wir erechnen hier einige Integrle üer uneschränkte Integrtionsintervlle I, z.b. I = [; [ oder I = R. BEISPIEL lso Es ist h e t dt = e t i = e, e t dt := lim! e =. Trotz der unegrenzten Länge ist die Gesmt äche lso endlich. BEISPIEL Es gilt t dt = lim! h i t dt = lim! ln t = lim! ln =. BEISPIEL 3 t s dt = lim! Für s R r fg gilt t s dt = lim! 8 < = : s + t s+ s > flls s s <. = lim! = s s INTEGRATION

15 Uneigentliche Integrle 7.6 BEISPIEL 4 uerst ist + t dt = lim! + t dt = lim! tn = lim! tn () tn ( ) = und d = lim! tn () lim! tn () lim! tn = folgt mit der Vrilenänderung = tn + t dt = lim! tn (tn ) lim! = lim! lim! = + =. tn (tn ) = BEISPIEL 5 Ohne Begründung sei noch ein Resultt ngegeen, ds für die Sttistik (vgl. Kpitel ) von Bedeutung ist : e t dt = p. INTEGRATION