F - 2 Unendliche Wahrscheinlichkeitsräume

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1 Diskrete Whrscheinlichkeitsräume Diskrete Whrscheinlichkeitsräume F - Definition F.45 (Diskreter Whrscheinlichkeitsrum) Seien Ω eine höchstens bzählbre Menge und P : P(Ω) [0, ] eine Funktion. Dnn heißt (Ω, P) ein diskreter Whrscheinlichkeitsrum, wenn folgendes gilt: P(Ω) =. (4) Für jede Folge A, A,... prweiser disjunkter Teilmengen von Ω ist P ( ) A i = P(A i ). (5) i= Eigenschft (5) heißt -Additivität. i= E Σ 0 E E Σ Vorsicht: bei der Summtion ist die Summierbrkeit (bsolute Konvergenz) i.. nicht gewährleistet E Σ E 3 E Σ 4 5 Abbildung: Stbdigrmme von Poisson-Verteilungen mit den Prmetern λ = und T =, bzw. T = 75 Diskrete Whrscheinlichkeitsräume Diskrete Whrscheinlichkeitsräume Beispiel F.46 (für einen unendlichen diskreten Whrscheinlichkeitsrum) (Poisson-Verteilung) Eine bestimmte Msse einer rdioktiven Substnz zerfällt. Die Anzhl der Zerfälle X [0,T ] im Zeitintervll [0, T ] ist eine Zufllsvrible. Dbei nehmen wir n, dss die Gesmtzhl der rdioktiven Teilchen sich im betrchteten Zeitrum nicht wesentlich ändert. Als mthemtisches Modell nehmen wir die Verteilung Es gilt für den Erwrtungswert, ds zweite Moment und die Vrinz der Verteilung: E(X [0,T ] ) = λt (λt )k k P λ (X = k) = k e k! k=0 = λt e λt k= k=0 (λt ) k (k )! = λt e λt e λt = λt, = λt e λt (λt ) l l=0 l! λt (λt )k P λ (X [0,T ] = k) = e k! für k {0,,,...}, (6) mit einem Prmeter λ > 0, die in der folgenden Abbildung illustriert ist. E((X [0,T ] ) ) = k P λ (X = k) =... = (λt ) + λt k=0 (Übungsufgbe 6, Serie 6) 74 76

2 Diskrete Whrscheinlichkeitsräume Vr(X [0,T ] ) = E((X [0,T ] ) ) (E(X [0,T ] )) = λt. Des weiteren gilt de(x [0,T ] ) = λ, dt d.h. λ ist die Zerfllsrte = mittlere Anzhl der Zerfälle. Zeit. Ds zur Dichte f gehörende Whrscheinlichkeitsmß P ist uf Intervllen durch 0 P([ 0, b 0 ]) = definiert, wie in der folgenden Abbildung illustriert. 0 f (ω) dω (7) Beispiel für eine Verteilung ohne endlichen Erwrtungswert siehe Übungsufgbe 7, Serie 6. 0 b 0 b Abbildung: Whrscheinlichkeitsdichte: Die Fläche über dem Intervll [ 0, b 0] ist gleich der Whrscheinlichkeit dieses Intervlls hier: Ω Intervll, z.b. [0, ], [0, [, ], [. Definition F.47 (Whrscheinlichkeitsmße mit einer Dichtefunktion) Sei Ω = [, b] ein Intervll mit < b.. Eine Whrscheinlichkeitsdichte uf Ω ist eine integrierbre Funktion f : Ω R mit. Nicht-Negtivität: f 0, d.h. f (ω) 0 für lle ω Ω. 3. Die Integrlfunktion F von f, definiert durch heißt Verteilungsfunktion von P. x F (x) = f (ω) dω,. Normiertheit: f (ω)dω =. Die Definition im Flle von (hlb-) offenen Intervllen Ω ist nlog

3 4. Eine reelle Zufllsvrible ist eine Funktion X : Ω R. Ihr Erwrtungswert ist E(X ) := X (ω)f (ω) dω, (8) flls ds Integrl in (8) existiert, und ihre Vrinz ist Vr(X ) := (X (ω) E(X )) f (ω) dω, (9) sofern die Integrle in (8) und (9) existieren. Beispiel F.48 (Gleichverteilung uf einem beschränkten Intervll) Die Gleichverteilung uf [, b] ist durch die Dichtefunktion gegeben. f : [, b] R, x b, Abbildung: Gleichverteilung uf dem Intervll [, ] 8 83 Bemerkung: Erwrtungswert und Vrinz einer Whrscheinlichkeitsverteilung uf R Wir bezeichnen mit µ = den Erwrtungswert der Verteilung und mit = ihre Vrinz, sofern diese Integrle existieren. x f (x) dx (30) (x µ) f (x) dx (3) (Formler Bezug durch die Zufllsvrible X (x) = x.) Es gelten und f (x) = b > 0 f (x) dx =, d.h. f ist lso ttsächlich eine Whrscheinlichkeitsdichte. Sei X eine Zufllsvrible, deren Verteilung die Dichte f ht, lso X = x. Der Erwrtungswert ist E(X ) = b x dx = b (b ) = b +, lso gleich dem Mittelpunkt des Intervlls [, b]. 8 84

4 Zur Berechnung der Vrinz benutzen wir Vr(X ) = E ( (X E(X )) ) = E(X ) ( E(X ) ). Wir müssen lso noch ds zweite Moment E(X ) von X berechnen. E(X ) = Dmit erhlten wir b x dx = b 3 (b3 3 ) = 3 (b + b + ). Vr(X ) = 3 (b + b + ) 4 (b + b + ) = (b ). Beispiel F.50 (Normlverteilungen) Die Normlverteilung N (µ, ) mit Erwrtungswert µ und Vrinz ht die Dichte f µ, (x) = ( π e (x µ) ). (3) Die Normlverteilung N (0, ) mit Erwrtungswert 0 und Vrinz heißt Stndrd-Normlverteilung. Die Vrinz hängt lso nur von der Intervlllänge b. Physiklisch knn mn den Erwrtungswert von X ls Schwerpunkt bei homogener Mssenverteilung interpretieren, und die Vrinz ist proportionl zum Trägheitsmoment, lso proportionl zum mittleren qudrtischen Abstnd zum Schwerpunkt. 85 Abbildung: Die Stndrd-Normlverteilung mit ihrem -, - und 3-Intervll 87 Beispiel F.49 (Exponentilverteilungen uf [0, )) Die Exponentilverteilung mit Prmeter λ > 0 ist gegeben durch die Dichte f λ : [0, ) R, t λe λt. Sie tritt z.b. beim durch den Poisson-Prozeß modellierten rdioktiven Zerfll uf (s. Beispiel F.46) Die Wrtezeit bis zum ersten Zerfll ist eine Zufllsvrible, deren Verteilung die Dichte f λ ht. (siehe uch Übungsufgbe 8, Serie 6) Durch die Normlverteilung werden viele gestreute Größen, wie z.b. Körperlängen von Personen in einer Bevölkerung beschrieben, llerdings nur in einem hinreichend kleinen Intervll um die Durchschnittsgröße herum, denn ntürlich gibt es keinen Menschen mit negtiver Größe oder von 3m Länge. Solche Verteilungen hben mit den Normlverteilungen die typische Glockenform gemeinsm. Mthemtisch wird der Zustnd zwischen der Normlverteilung und mehrfch wiederholten Experimenten (z.b. mehrfcher Münzwurf) durch den zentrlen Grenzwertstz (Stz F.53) hergestellt

5 Erwrtungswert und Vrinz einer N (µ, )-verteilten Zufllsvriblen X µ, : E(X µ, ) = x f µ, (x) dx = µ Vr(X µ, ) = E(X0, ) E(X 0, ) = 0 = (invrint bezüglich Verschiebung) 89 9 f µ, (x) ist eine Whrscheinlichkeitsdichte, d.h. f µ, (x) 0 x und Normiertheit ist erfüllt: Ds uneigentliche Integrl 0 < e x dx < existiert (Mjornte). Zu der Funktion e x gibt es keine elementre Stmmfunktion. Mn knn ber berechnen: (Trnsformtion in Polrkoordinten) e x dx = π Wir erhlten die Normiertheit der Dichtefunktion: ( π e (x µ) )dx = Verteilungsfunktion der Stndrd-Normlverteilung Definition F.5 Die Verteilungsfunktion (s. Definition F.47) der Stndrd-Normlverteilung ist Φ : R R, Φ(z) = z f 0, (x) dx. Grphen der Dichte f 0, und von Φ siehe Abbildung. 90 9

6 Einige spezielle Werte von Φ: Φ(0) = 0.5, Φ() f 0,(y) dy 0.686, Φ() f 0,(y) dy , Φ(3) f 0,(y) dy Aus der zweiten Zeile folgt z.b., dss bei irgendeiner Normlverteilung dem Intervll [µ, µ + ] mit Rdius (Streuung) um den Erwrtungswert µ herum eine Whrscheinlichkeit von etw 68% zugeordnet wird. Bei einem Experiment mit vielen voneinnder unbhängigen N (µ, )-verteilten Messungen liegen ungefähr 68% der Meßwerte in diesem Intervll. Abbildung: Die Stndrd-Normlverteilung und ihre Verteilungsfunktion Bemerkung zur Verteilungsfunktion der Stndrd - Normlverteilung Es gibt keine Drstellung von Φ durch elementre Funktionen. Werte von Φ lssen sich ber beliebig genu numerisch berechnen, und für diskrete Werte von z liegen die Funktionswerte tbellrisch vor (z.b. Bronstein, Tschenbuch der Mthemtik). Ddurch knn mn schnell Integrle der Form uswerten. Wegen f 0, (x) dx = Φ(b) Φ() Φ( z) = Φ(z) enthlten solche Tbellen z.b. nur die Werte für nicht-negtive z. Für symmetrische Intervlle [ z, z] (mit z > 0) gilt: z z f 0, (x) dx = Φ(z) Φ( z) = Φ(z) ( Φ(z)) = Φ(z). 94 Abbildung: Die Stndrd-Normlverteilung mit ihrem -, - und 3-Intervll 96

7 Definition F.5 (α-quntile der N (µ, )-Verteilung) Sei α ]0, [. Ds α-quntil der Stndrd-Normlverteilung ist die Zhl z R mit lso α = z f 0, (x) dx = Φ(z), z = Φ (α). Bemerkung: Quntile für llgemeine Verteilungen, Medin Mn knn α-quntile llgemein für (diskrete oder kontinuierliche) reelle Verteilungen definieren. Ds -Quntil heißt Medin der Verteilung. Im Flle einer kontinuierlichen Verteilung uf einem Intervll [, b] mit überll positiver Dichte f ist der Medin m die durch die Bedingung P([, m]) = eindeutig festgelegte Zhl. Der Medin ist im llgemeinen vom Erwrtungswert verschieden. Whrscheinlichkeit: Sei X N (µ, )-verteilt. P(X [; b]) = = = µ µ f µ, (x)dx ( x µ f 0, f 0, (z)dz ) dx Verteilungsfunktion: z Φ(z) = f 0, (z)dz ( ) ( ) b µ µ P(X [; b]) = Φ Φ (Anwendung in Übungsufgbe 5, Serie 6) Trnsformtion einer beliebigen Normlverteilung in die Stndrd-Normlverteilung Normlverteilung N (µ, ) (Erwrtungswert µ, Vrinz: ) f µ, (x) = ( π e (x µ) ) Stndrd-Normlverteilung N (0, ) (Erwrtungswert 0, Vrinz: ) Umrechnung: f µ, (x) = ( π e (x µ) ) f 0, (x) = π e = e π ( x ) ( ( x µ ) ) = f 0, ( ) x µ Der zentrle Grenzwertstz, den wir hier in einer speziellen Version formulieren, erklärt die herusrgende Bedeutung von Normlverteilungen für die Whrscheinlichkeitstheorie und Sttistik. Stz F.53 (Zentrler Grenzwertstz) Sei X, X,... eine Folge von uf demselben Whrscheinlichkeitsrum (Ω, P) definierten, prweise unbhängigen reellen Zufllsvriblen, die lle dieselbe Verteilung hben mit E(X i ) = µ, Vr(X i ) = > 0. Sei X (n) = X +... X n, und sei Z (n) = X (n) nµ. (Somit ht Z (n) den n Erwrtungswert 0 und die Vrinz.)

8 Dnn gilt für jedes Intervll [ 0, b 0 ] R: lim P(Z (n) [ 0, b 0 ]) = n 0 0 f 0, (x) dx. wobei f 0, die Dichte der Stndrd-Normlverteilung ist. Äquivlent dzu können wir schreiben: ( X (n) ) lim P nµ b0 n [ 0, b 0 ] = f 0, (x) dx. n Abbildung: Histogrmm der Binomilverteilung für n = 00 und p = 0.3, verglichen mit der N (np, np( p)) Verteilung Beispiel F.54 (Binomilverteilung für große n) Die Binomilverteilung mit gegebenem Erfolgsprmeter p wird für große n ungefähr gleich einer N (np, np( p)) Normlverteilung: ( ) n P(k) = p k ( p) n k e (k µ) k mit µ = np und = np( p). π Dieser Schverhlt, der für p = 0.3 und n = 00 in der folgenden Abbildung illustriert ist, folgt direkt us dem zentrlen Grenzwertstz, denn die binomilverteilte Zufllsvrible K knn ls Summe vieler unbhängiger Zufllsvriblen X i ufgefsst werden, die jeweils nur die Werte 0 oder (jeweils mit Whrscheinlichkeit ( p) bzw. p) nnehmen, und die den Erwrtungswert p und die Vrinz p( p) hben. 30