Monte-Carlo-Integration

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1 Monte-Crlo-Integrtion von Dietmr Herrmnn, Anzing Kurzfssung: An Hnd eines einfchen Beispiels wird gezeigt, dß jedes Integrl ls Erwrtungswert einer reellen Zufllsgröße ufgefßt werden knn. een einer symptotischen Fehlerschätzung werden 4 Methoden zur Reduktion der Vrinz diskutiert: Verfhren der wesentlichen Stichproe, Geschichtete und ntithetische Zufllszhlen, Control- Vrite-Methode.. Ein einführendes Beispiel / I sin x () Der exkte Wert des Integrls ist eknntlich. D die Riemnnsche Summe des Integrls nicht von der speziellen Zerlegung des Integrtionsintervlls hängt, knn mn die Funktionswerte n zufälligen Aszissen uswerten und so erhält mn einen Monte-Crlo (MC)-Schätzwert des Integrls. Um Zufllszhlen us dem Bereich [;[ verwenden zu können, wird ds Integrl [;] mit Hilfe der Trnsformtion x u () uf ds Einheitsintervll [;[ trnsformiert. Die Sustitution () u x du trnsformiert () zu I / sin x sin( u) du Durch Auslosen der Zufllszhlen ergit sich us (3) die Berechnungsformel I sin( i ) (4) i Durch eine ndere Whl der verwendeten Zufllszhlen ändert sich uch der numerische Wert von (4) stochstisch. Um nicht von den Zufllszhlen einer Telle oder eines Rechners hängig zu sein, werden hier die ersten (Pseudo-)Zufllszhlen x,..., x des einfchen Zuflsszhlen-Genertors x x.7; e + + x i xi [ e ]; i i {,..., } (3) Stochstik in der Schule (99), r., -7

2 9 verwendet, der uch equem mit dem elektronischen Tschenrechner uszuwerten ist. Mit diesen Zufllszhlen ergit sich die Berechnung von (4) us Telle. Der (solute) Fehler eträgt hier lso.65.. Eine stochstische Interprettion des Integrls Ist X eine im Intervll [; / ] gleichverteilte Zufllsgröße mit der Dichtefunktion p, so ist ihr Erwrtungswert definiert durch Ds gegeene Integrl Zufllsvrilen Telle / sin ( / ) Mittel.65 E ( X ) x (5) / I f ( f ( X ) X ) / schreien. / läßt sich somit ls Erwrtungswert einer f ( E ( ) I (6) Der Verschieungsstz Vr () E( ) E () liefert dmit die Vrinz / f ( Vr( ) I (7) Auf dem Intervll [; / ] stellt die Funktion p ( (sonst ) wegen / eine Dichtefunktion dr. Dmit knn für eine Zufllszhl [;[ ein Wert der Zufllsgröße X usgelost werden.

3 X X Für ein Integrl ergit sich dmit die äherung I E( ) i i i f ( X für eine hinreichend große Zhl von Werten X i. Für Beispiel () folgt drus I i 3. Eigenschften der MC-Integrtion sin( i ) Ist f eine uf [;] definierte Funktion und eine Zufllsvrile mit E( ) f ( I; Vr( ) < und sind,,..., stochstisch unhängige Relisierungen von, so heißt i i ds MC-Integrl von f. ht die Eigenschften (vgl. Frühwirth und Regler 93, 35): () ist erwrtungstreue Schätzung von I () ist konsistente Schätzung von I; d.h. mit Whrscheinlichkeit gilt lim P( I > ε ) ; ε > (3) ist symptotisch normlverteilt (4) Vr( ) Vr( ) 4. Auswhl der Dichtefunktion Wie ei Gleichung (7) ersichtlich, läßt sich durch geeignete Auswhl der Dichtefunktion p die Vrinz reduzieren. Es läßt sich zeigen, dß die Vrinz Vr() miniml wird, wenn proportionl zu f( ist. Ein Beweis dzu findet sich ei Sool (97, 7). D die Sinusfunktion in der ähe des Ursprungs wegen sin x x etw liner verläuft, ist für die Dichtefunktion der Anstz Cx nheliegend. Integrtion uf [;/ ] liefert i ) () (9)

4 / C x Dmit wurde die linere Dichtefunktion X mit Hilfe einer Zufllszhl ergit für ds Integrl die äherung X C p x X sin( ) i I ( x gefunden. Auslosen von () Einsetzen der gegeenen Zufllszhlen in () liefert die Werte in Telle. Wie zu erwrten wr, liefert die monoton steigende Dichtefunktion eine kleinere Vrinz. Der Fehler ist noch.93. Die Vrinz-Reduktion mittels einer geeigneten Dichtefunktion wird die Methode der wesentlichen Stichproe gennnt. 5. Fehlerschätzung Um einen Üerlick üer den symptotischen Fehler zu erhlten, soll Gleichung (7) für die konstnte Dichtefunktion p ( geschätzt werden: Vr( ) / f ( sin I x.34 / Telle sin ( / / Mittel.997 ) Die Stndrdweichung Vr( ).44 σ verhält sich dher wie. Der zentrle Grenzwertstz, der ei nur pproximtiv gilt, liefert für den Ein- Sigm-Bereich (dem Fehler im Sinne der Meßtechnik) die Fehlerwhrscheinlichkeit P( E( ) I < σ ).63

5 Mit 6.3% Whrscheinlichkeit gilt somit für die Fehler-Schrnke I.65±. Diese Aschätzung ist, verglichen mit dem empirischen Fehler.65 etws pessimistisch; dies gilt er für viele Ergenisse, die us Grenzwertsätzen resultieren. Die (Stichproen-)Streuung σ von Telle ist.39. dies liefert.39 den Fehler Geschichtete Zufllszhlen Eine weitere Vrinz-Reduktion erhält mn durch die Verwendung von geschichteten Zufllszhlen. Dies edeutet, dß die Zufllszhlen us Teilintervllen von [;[ usgelost werden. Teilt mn [;[ in gleich große Teilintervlle, so müssen sich ei Zufllszhlen je zwei Zhlen in einen Teilintervll efinden. Dies geschieht m einfchsten durch Trnsformtion: Ist [;+[ ds jeweilige Intervll, so wird die Zufllszhl trnsformiert zu + Dies liefert mit den gewählten Zufllszhlen die Telle 3. Der Fehler ist nur noch.5; die Vrinz wurde lso wesentlich reduziert. Telle 3 / sin ( / ) Mittel Verwendung von ntithetischen Zufllszhlen Auf dem Intervll [;[ wird der Zufllszhl mittels ihre ntithetische Zhl zugeordnet. Für streng monotone Funktionen knn durch Verwendung von ntithetischen Zufllszhlen die Vrinz verkleinert werden. Mit der ersten Hälfte der gewählten Zufllszhlen ergit sich Telle 4. Telle 4 / sin ( / ) / sin ( / ( )) Mittel.9

6 3. Die Control-Vrite-Methode Die Control-Vrite-Methode knn eingesetzt werden, wenn ds Integrl einer pproximierenden Funktion φ( eknnt ist. Ds gesuchte Integrl knn dnn zerlegt werden in ( f ( ( x ) f ( φ ( + φ ) () Wählt mn etw im gegeenen Beispiel ds kuische Tylor-Polynom x3 ( x 6 φ der Sinus-Funktion, so gilt / / ( ) 4 φ x x x.9 4 () 34 Mit Hilfe der gegeenen Zufllszhlen wird ds zweite Integrl in () üer die Differenzfunktion geschätzt zu / ( ( φ( ). 5 4 f (3) Die Summe us () und (3) liefert gemäß () den Wert I.995. Der Fehler ist hier Zusmmenfssung Die Monte-Crlo-Integrtion ist eine interessnte Anwendung für ds Rechnen mit Zufllszhlen. Es ergeen sich hierei zhlreiche Betätigungsfelder für Schülerreiten, Referte u.ä. Sie liefert insesondere prktische Anwendungen zu den Vrinz- und Grenzwertsätzen. Verglichen mit der Genuigkeit, die ei numerischer Integrtion erzielt werden knn, ist die MC-Methode wenig effektiv. Jedoch knn, wie gezeigt wurde, mit einfchen Mitteln die Vrinz reduziert werden. Hinzu kommt, dß die ngegeenen Methoden der Vrinz-Reduktion uch miteinnder kominiert werden können. In der Prxis wird die MC-Integrtion eingesetzt, wenn nur eine geringe Genuigkeit verlngt wird oder wenn mehrdimensionle Integrle zu erechnen sind. Bei mnchen physiklischen Simultionen stellt sie sogr die einzige Integrtionsmethode dr, d die Stützstelle-Methoden der umerik dort versgen. Ein Beispiel für ein einfches mehrdimensionles Integrl ist

7 4 e x + y + z dydz e3 3e + 3e 5.73 Die MC-Methode liefert hier ei 4 Funktionsuswertungen des Integrnden (lso mit den ersten Zufllszhlen des ngegeenen Genertors) den Wert Den eiden Gutchtern dnke ich für die wertvollen Hinweise. Litertur Hengrtner, W.; Theodorescu, R. (97): Einführung in die Monte-Crlo- Methode. München: Hnser Ermkow, S.M. (975): Die Monte-Crlo-Methoden und verwndte Frgen. München: Oldenourg Frühwirth, R.; Regler, M. (93): Monte-Crlo-Methoden. Mnnheim: Biliogrphisches Institut Sool, I.M. (97): Die Monte-Crlo-Methode. Berlin: VEB Deutscher Verlg der Wissenschften