( N. m)( n m. P(X = m) EX = n M N. 1 M ) N n

Transkript

1 Hypergeometrische Verteilung Als Referenzmodell dient die bereits beknnte Urne mit N Kugeln, von denen M Kugeln schwrz und N M Kugeln weiß sind. Wir ziehen ohne Zurücklegen n Kugeln, wobei unsere Zufllsgröße X die Anzhl der entnommenen schwrzen Kugeln ist. Dnn gilt: ( M N M ) P (X = m) = m)( n m ( N, n) wobei mx(0, n (N M)) m min(n, M) ist. Definition.3.9. Eine Zufllgröße X mit der obigen Whrscheinlichkeitsfunktion heißt hypergeometrisch verteilt und wir schreiben X H(n, N, M). P(X = m) m Erwrtungswert Der Erwrtungswert für X H(n, N, M) beträgt: EX = n M N. Vrinz Die Vrinz für X H(n, N, M) beträgt: D 2 X = n M ( M ) N n N N N..3.3 Stetige Zufllsgrößen Im Abschnitt über Whrscheinlichkeitsräume hben wir bereits die Brennduer einer Glühlmpe und die Reichweite eines Fhrzeugs bei begrenztem Treibstoffvorrt ls Beispiele für stetige Zufllsgrößen betrchtet. D stetige Zufllsgrößen überbzählbr unendlich viele Werte besitzen und somit deren Werte gnze Intervlle der reellen Achse usfüllen können, ist es nicht mehr möglich, die Whrscheinlichkeit für jeden einzelnen Wert in einer Whrscheinlichkeitsfunktion uszudrücken. Jedoch knn mn mit Hilfe sogennnter Dichtefunktionen die Verteilung der Whrscheinlichkeitsmsse uf der reellen Achse ngeben und so die Whrscheinlichkeit dfür chrkterisieren, dss der Wert der Zufllsgröße in einem gegebenen Intervll liegt. 3

2 Definition Eine Zufllsgröße X heißt stetig, wenn es eine integrierbre reelle Funktion f gibt, so dss für beliebige reelle Zhlen b gilt: P ( X b) = Die Funktion f heißt Dichtefunktion der Zufllsgröße X. Eigenschften von Dichtefunktionen f(x) 0 für lle x R, f(x) dx =. b f(x) dx. Ds Integrl ist dbei im Sinne von Riemnn oder Lebesgue zu verstehen. Als Dichtefunktionen f treten vorzugsweise stetige und stückweise stetige Funktionen uf, die uch schwche Polstellen besitzen dürfen. Die Fläche unter dem Grphen von f bleibt mit dem Wert jedoch stets endlich. Wegen P (X = ) = P ( X ) = f(x) dx = 0 ist die Whrscheinlichkeit, dss X genu einen festen Wert nnimmt, immer gleich Null. Definition.3.2. Die durch F (x) = P (X < x) = x f(t) dt definierte reelle Funktion F heißt Verteilungsfunktion der stetigen Zufllsgröße X. Eigenschften der Verteilungsfunktion lim F (x) = 0. x lim F (x) =. x x < x 2 F (x ) F (x 2 ), d.h. F ist monoton wchsend (nicht notwendigerweise streng). P ( X b) = F (b) F (). F ist stetig in llen Punkten x R. Flls die Dichtefunktion f in x 0 stetig ist, so ist F in x 0 differenzierbr und es gilt F (x 0 ) = f(x 0 ). 32

3 .3.3. Erwrtungswert und Vrinz Definition Der Erwrtungswert einer stetigen Zufllsgröße X ist gegeben durch EX ist eine endliche Zhl, wenn gilt EX := xf(x) dx. x f(x) dx <. Definition Sei X eine stetige Zufllsgröße. Der Erwrtungswert einer Funktion g(x) ist gegeben durch Eg(X) := Eg(X) ist eine endliche Zhl, wenn gilt g(x)f(x) dx. g(x) f(x) dx <. Definition Die Vrinz (oder Streuung) einer stetigen Zufllsgröße X ist wie im diskreten Fll definiert durch σ 2 := D 2 X := E(X EX) 2. Die folgenden Sätze us Abschnitt.3.2. gelten uch für stetige Zufllsgrößen: Hilfsstz.3.8: E(X + b) = EX + b. Hilfsstz.3.0: D 2 (X + b) = 2 D 2 X. Stz.3.: D 2 X = EX 2 (EX) 2. Stz.3.5 (Tschebyscheff sche Ungleichung): Für ε > 0 gilt: P ( X EX > ε) < D2 X ε 2. Beweis. Sei M := {x : x EX > ε}. Dnn gilt: D 2 X = > ε 2 (x EX) 2 f(x) dx (x EX) 2 f(x) dx M M f(x) dx = ε 2 P (M) = ε 2 P ( x EX > ε). 33

4 Gleichverteilung Als erste stetige Whrscheinlichkeitsverteilung betrchten wir die recht einfche Gleichverteilung. Wir nennen eine Zufllsgröße X gleichverteilt uf dem Intervll [, b], wenn X nur Werte us dem Intervll nnehmen knn und diese gleichwhrscheinlich über ds Intervll verteilt sind. Für die Dichtefunktion ergibt sich lso: { c, x [, b] f(x) = 0, x [, b], wobei c = const eine Konstnte ist. Wegen erhlten wir c = b. c(b ) = b c dx = b f(x) dx = f(x) dx = Definition Ein stetige Zufllsgröße X mit der Dichtefunktion { f(x) = b, x [, b] 0, x [, b] heißt gleichverteilt mit den beiden Prmetern und b. f(x) b x Die Verteilungsfunktion F nimmt offensichtlich für x < den Wert 0 und für x > b den Wert n. Für x b ergibt sich: F (x) = x f(t) dt = x b dt = t b x = x b, 34

5 lso ist 0, x < F (x) = x b, x b., x > b Für den Erwrtungswert einer gleichverteilten stetigen Zufllsgröße X erhl- Erwrtungswert ten wir: EX = xf(x) dx = b x b dx = x 2 2(b ) Zur Berechnung der Vrinz benötigen wir noch EX 2. EX 2 = b x 2 b dx = x 3 3(b ) b b = b2 2 2(b ) = + b 2. = b3 3 3(b ) = 2 + b + b 2. 3 Vrinz Für die Vrinz einer gleichverteilten stetigen Zufllsgröße X erhlten wir lso: D 2 X = EX 2 (EX) 2 = 2 + b + b b + b 2 4 = 2 2b + b 2 2 = ( b) Exponentilverteilung Definition Besitzt eine stetige Zufllsgröße X die Dichtefunktion { 0, x 0 f(x) = λe λx, x > 0, so nennen wir X exponentilverteilt mit dem Prmeter λ > 0 und schreiben X Ex(λ). f(x) 0 x Aus der Dichtefunktion f erhält mn die Verteilungsfunktion { 0, x 0 F (x) = e λx, x > 0. 35

6 Zusmmenhng zwischen Exponentil- und Poisson-Verteilung Im Unterbschnitt über die Poisson-Verteilung hben wir ls Modell eine Telefonzentrle betrchtet, wobei die Zufllsgröße X t die Anzhl der Anrufe in einem Zeitintervll der Länge t beschrieb. X t wr Poissonverteilt mit dem Prmeter µ. Dbei gb µ die durchschnittliche Anrufnzhl pro Zeiteinheit n. Dieses Modell können wir uch nutzen, um die Exponentilverteilung zu vernschulichen. Betrchten wir ls Zufllsgröße T die Länge des Zeitintervlls zwischen zwei eingehenden Anrufen, so ist T exponentilverteilt mit demselben Prmeter µ wie bei der Poisson-Verteilung. Beispiel. In einer Telefonzentrle kommen im Mittel 20 Anrufe pro Stunde n. Gesucht ist die Whrscheinlichkeit, dss zwischen zwei Anrufen 3 bis 6 Minuten vergehen. Rechnen wir in Minuten, so ist µ = = 3. Wir erhlten dnn: P (3 T 6) = F (6) F (3) = ( e 6µ) ( e 3µ) = e e 2 = 0,2325. Exponentilverteilung ls Lebensduerverteilung Wrtezeiten, Reprturzeiten und die Lebensduer von Buelementen können ls exponentilverteilt ngenommen werden. Wie die folgende Überlegung zeigt, muss dbei jedoch bechtet werden, dss keine Alterungseffekte modelliert werden können: Für X Ex(λ) gilt P (X x 0 + x X x 0 ) = P (x 0 X x 0 + x) = F (x 0 + x) F (x 0 ) P (X x 0 ) F (x 0 ) ( e λ(x 0 +x) ) ( e λx 0) = ( e λx = e λx0 e λ(x0+x) 0 ) e λx 0 = e λx = P (X x), d.h. wenn wir ls Zufllsgröße X die Lebensduer eines Buelements betrchten, so ist die Whrscheinlichkeit, dss ds Buelement innerhlb einer Zeitduer x eine Störung ufweist, unbhängig dvon, ob es bereits über eine Zeitduer x 0 in Betrieb wr oder ob es neu ist. Erwrtungswert Der Erwrtungswert für X Ex(λ) beträgt: EX = xλe λx dx = te t dt = t ( e t) λ λ e t dt = λ. In ähnlicher Weise berechnet mn EX 2 = 2 λ 2. Vrinz Die Vrinz für X Ex(λ) beträgt: D 2 X = EX 2 (EX) 2 = 2 λ 2 λ 2 = λ 2. Beispiel. Als Zufllsgröße X betrchten wir die Zeitduer für eine PKW-Inspektion in einer Werksttt. Im Mittel duert eine Inspektion 2 Stunden. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss eine Inspektion länger ls 3 Stunden duert? Als Einheit für unsere Berechnung wählen wir Stunden und es sei X Ex(λ). Somit erhlten wir us EX = 2 den Prmeter λ = 2. Es 36

7 ergibt sich P (X > 3) = P (X 3) = P (3 X < ) = F ( ) F (3) = ( e 3λ) = e 3 2 = 0,223, d.h. in durchschnittlich 22,3 % ller Fälle duert die Inspektion länger ls 3 Stunden Normlverteilung Die Normlverteilung (oder uch Guß sche Verteilung) ist die wichtigste stetige Verteilung, d sie in der Prxis eine Vielzhl von Anwendungen ht. Definition Besitzt eine stetige Zufllsgröße X die Dichtefunktion f(x) = 2πσ e (x µ)2 2σ 2, so nennen wir X normlverteilt mit den Prmetern µ und σ 2 (σ > 0) und schreiben X N(µ, σ 2 ). Interprettion der Prmeter Die Dichtefunktion der Normlverteilung wird ufgrund ihrer Form ls Glockenkurve bezeichnet. Glockenkurven sind symmetrische, eingipfelige Kurven mit Wendestellen bei x = µ ± σ und einem uf der Symmetriechse liegenden Mximum (Top der Glocke) von 2πσ. Wir nennen µ R den Lgeprmeter, d µ die Lge der Symmetriechse ngibt, und σ 2 > 0 den Formprmeter, d σ 2 den Breitenverluf der Glockenkurve festlegt. Bei großem σ ist die Glockenkurve breit gezogen, bei kleinem σ ist sie ndelförmig. f(x) µ σ µ µ + σ x Die Verteilungsfunktion F einer normlverteilten Zufllsgröße ist gege- Verteilungsfunktion ben durch F (x) = x f(t) dt = x e (t µ)2 2σ 2 dt. 2πσ F ist nicht durch einen geschlossenen nlytischen Ausdruck drstellbr. Die Funktionswerte müssen mittels nummerischer Integrtion oder durch ndere Techniken näherungsweise bestimmt werden. Weiter unten werden wir sehen, dss es genügt, die Werte der Verteilungsfunktion für µ = 0 und σ = zu kennen. Diese sind in Tbellen erfsst. 37

8 Erwrtungswert und Vrinz Vrinz beträgt D 2 X = σ 2. Für X N(µ, σ 2 ) ist der Erwrtungswert EX = µ und die Stndrdisierung einer Zufllsgröße Die linere Trnsformtion Y := X EX D 2 X einer Zufllsgröße X heißt Stndrdisierung von X. Aufgrund der Linerität dieser Trnsformtion besitzt Y die gleiche Verteilungsrt wie X. Für den Erwrtungswert von Y erhlten wir EY = E X EX D 2 X = D 2 (EX EX) = 0 X und die Vrinz beträgt D 2 Y = EY 2 (X EX)2 = E D 2 X = D 2 X E(X EX)2 = D 2 X D2 X =. Stndrdisierung einer normlverteilten Zufllsgröße Wenden wir ds beschriebene Stndrdisierungsverfhren uf eine Zufllsgröße X N(µ, σ 2 ) n, so erhlten wir die entsprechende stndrdisiert normlverteilte Zufllsgröße Y N(0, ) mit Y = X µ σ. Als Dichtefunktion der stndrdisierten Normlverteilung ergibt sich und somit ist die Verteilungsfunktion φ(x) = e x2 2 2π Φ(x) = x 2π e t2 2 dt. Für x 0 sind die Funktionswerte von Φ tbelliert. Für x < 0 nutzt mn den us der Symmetrie der Glockenkurve resultierenden Zusmmenhng Φ( x) = Φ(x). Berechnung von Whrscheinlichkeiten In der Prxis müssen oft Whrscheinlichkeiten des Typs P ( X b) mit einer Zufllsgröße X N(µ, σ 2 ) berechnet werden. Durch Ausnutzung der Stndrdisierung einer Zufllsgröße führt mn solche Berechnungen uf die Berechnung einer Differenz zweier Werte der Verteilungsfunktion Φ der stndrdisierten Normlverteilung zurück, d diese Werte in Tbellen erfsst sind: ( µ P ( X b) = P X µ b µ ) ( µ = P Y b µ ) σ σ σ σ σ ( ) ( ) b µ µ = Φ Φ. σ σ Anwendung normlverteilter Zufllsgrößen Stetige Fehlergrößen (Messfehler usw.) können im Allgemeinen in guter Näherung ls normlverteilt ngenommen werden. Die Normlverteilung ist insbesondere dnn für die Beschreibung von stochstischen Modellen geeignet, wenn 38

9 sich die betrchtete Zufllsgröße ls Summe einer großen Anzhl von unbhängigen Einflüssen ergibt (z.b. ls Summe zhlreicher kleiner Fehler oder Störungen). Stz.3.28 (Additionsstz). Seien X i N(µ i, σi 2 ) für i =, 2,..., n vollständig unbhängige normlverteilte Zufllsgrößen. Dnn gilt ( n n ) n Z := X i N µ i,, d.h. die Summe Z ist wieder eine normlverteilte Zufllsgröße. i= Beispiel. Der Kern eines Trnsformtors bestehe us 25 Blechen und 24 zwischen diesen Blechen liegenden Isolierschichten. Für die Dicken (in Millimeter) X i der Bleche und Y j der Isolierschichten gelte X i N(0,8; 0,04 2 ) und Y j N(0,2; 0,03 2 ). Uns interessieren die folgenden beiden Frgen:. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss zwei Bleche und eine Isolierschicht zusmmen dicker ls,85 mm sind? 2. Die Spulenöffnung sei 25,3 mm breit. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss der Kern zu dick ist? Wir wissen us dem vorhergehenden Stz, dss Z := X + Y + X 2 N(,8; 0,004) ist. Somit erhlten wir ls Antwort uf Frge : ( ) Z,8,85,8 P (Z >,85) = P = Φ(0,7809) = 0,274. 0,004 0,004 Mit Z := 25 i= i= i= X i + 24 Y j N(24,8; 0,066) ergibt sich für Frge 2: j= P (Z > 25,3) = P ( ) Z 24,8 25,3 24,8 = Φ(2,05) = 0,022. 0,066 0,066 σ 2 i Schiefe und Exzess Wir betrchten neben der Vrinz σ 2 = D 2 X, d.h. neben dem zweiten zentrlen Moment µ 2 (siehe Definition.3.2), nun uch die dritten und vierten zentrlen Momente µ 3 = E(X EX) 3 und µ 4 = E(X EX) 4 einer Zufllsgröße X. Definition Sei X eine Zufllsgröße. Dnn heißen Schiefe von X und Exzess von X. γ := µ 3 σ 3 = µ3 ( µ2 ) 3 und γ 2 := µ 4 σ 4 3 Die Schiefe γ ist ein Mß für die Asymmetrie der Verteilung, lso für die Abweichung des Verhltens der Zufllsgröße X von dem einer symmetrischen Verteilung. D bei einer symmetrischen stetigen Zufllsgröße X für lle x R f(µ x) = f(µ + x) gilt, wobei x = µ = EX 39

10 die Symmetriechse der (symmetrischen) Dichtefunktion f ist, erhlten wir µ 3 = E(X EX) 3 = = 0 x 3 f(µ x) dx + (x µ) 3 f(x) dx = 0 µ x 3 f(µ + x) dx = 0 (x µ) 3 f(x) dx + µ (x µ) 3 f(x) dx und somit ist die Schiefe γ einer symmetrischen Zufllsgröße gleich Null. Der Exzess γ 2 ist ein Mß für die Abweichung der Zufllsgröße X von der Normlverteilung. Den Quotienten µ 4 nennt mn Wölbung. Der Exzess ist lso die um 3 verminderte Wölbung. σ 4 Wie wir weiter unten sehen werden, gilt für eine normlverteilte Zufllsgröße µ 4 = 3σ 4. Somit ist der Exzess einer normlverteilten Zufllsgröße gleich Null. Stz Schiefe und Exzess einer Zufllsgröße X bleiben bei Stndrdisierung unverändert, d.h. mit Y := X µ σ gilt γ (X) = γ (Y ) und γ 2 (X) = γ 2 (Y ). Beweis. D Y eine stndrdisierte Zufllsgröße ist, gilt EY = 0 und D 2 Y =. Somit erhlten wir γ (Y ) = ( ) E(Y EY )3 X µ 3 ( ) 3 = EY 3 = E = D 2 σ Y E(X EX)3 σ 3 = µ 3 σ 3 = γ (X). Der Beweis für γ 2 erfolgt nlog. Stz.3.3. Existieren für eine Zufllsgröße X die ersten vier zentrlen Momente, so gilt γ 2 γ 2 2. Stz Sei X N(µ, σ 2 ) eine normlverteilte Zufllsgröße. Dnn gilt für k =, 2,... und γ = γ 2 = 0. µ 2k = 0, µ 2k = (2k)! 2 k k! σ2k Die chrkteristische Funktion Zur Chrkterisierung der Verteilung einer Zufllsgröße X knn neben der Verteilungsfunktion F (x) uch die (komplexwertige) chrkteristische Funktion φ X (t) verwendet werden. Wir betrchten dies für stetige Zufllsgrößen X. Definition Sei X eine stetige Zufllsgröße. Dnn heißt φ X (t) := Ee itx (t R) = e itx f(x)dx chrkteristische Funktion von X. Dbei bezeichnet f(x) die Dichtefunktion von X. 40

11 Bemerkung. ) Aus der trigonometrischen Drstellung einer komplexen Zhl folgt = φ X (t) φ X (t) = E(cos tx + i sin tx) = E} cos {{ tx} +i E} sin {{ tx} Relteil Imginärteil e itx }{{} = cos 2 φ+sin 2 φ= b) φ X (t) = φ X ( t) = E cos tx + ie sin tx f(x)dx = $ f(x)dx = t R c) Sei Y = X + b. Dnn ist φ Y (t) = Ee it(x+b) = e itb Ee itx = e itb φ X (t) Speziell bei der Stndrdisierung: b = µ σ, = σ : φ Y (t) = e µit σ φ X ( t σ d) φ X (t) ist eine gleichmäßig stetige Funktion, d. h. es gilt φ X (t) φ X (t ) < ε, sobld t t < δ(ε) Beispiel. Sei X N(0, ). Unter Benutzung des komplexen Integrls gilt φ X (t) = = 2π = e t2 2 e itx 2π e x2 2 dx = 2π e (x it)2 2 e t2 2 dx x2 itx e 2 dx (x it) 2 e 2 dx = 2π Drus berechnet mn die chrkteristische Funktion für X N(µ, σ), X = σx + µ: φ X(t) = e itµ φ X (σt) = e itµ e σ2 t 2 2 = e itµ σ2 t 2 2 (reellwertig für µ) Die chrkteristische Funktion wird zudem zur Berechnung von Momenten genutzt: φ X (t) = φ X(t) = φ X(0) = i e itx f(x)dx ixe itx f(x)dx xf(x)dx = iex m = EX = φ X (0) i 4

12 Anlog folgt: [ ] m k = EX k = φ(k) X (0) i k (k =, 2,...) Bemerkung. D 2 X = m 2 m 2 = φ X (0) i 2 ( φ X(0) ) 2 [D 2 X = φ X(0) + (φ X(0)) 2 ] Beispiel. Sei X N(µ, σ) eine normlverteilte Zufllsgröße. Die zugehörige chrkteristische Funktion ist und die erste Ableitung ist φ X (t) = e itµ σ2 t 2 2 φ X(t) = (iµ σ 2 t)e itµ σ2 t 2 2. Mit obiger Formel berechnet sich der Erwrtungswert durch EX = φ X (0) i sowieso nlog die Vrinz ls D 2 X = σ 2. = iµ i = µ Die chrkteristische Funktion ist uch interessnt für Summen von Zufllsgrößen: Stz Seien X und Y stochstisch unbhängige Zufllsgrößen mit den chrkteristischen Funktionen φ X (t) und φ Y (t). Dnn gilt für die chrkteristische Funktion der Zufllsgröße Z = X + Y φ Z (t) = φ X (t)φ Y (t). Beispiel. Seien X N(µ X, σx 2 ) und Y N(µ Y, σy 2 ) normlverteilte Zufllsgrößen mit den chrkteristischen Funktionen φ X (t) = e iµ Xt σ 2 X t2 2 und φ Y (t) = e iµ Y t σ2 Y t2 2. Dnn folgt φ Z (t) = e i(µ X+µ Y )t (σ 2 X +σ2 Y )t2 2 Stz Existieren lle Momente, so gilt Z N(µ X + µ Y, σ 2 X + σ 2 Y ). φ X (t) = + k= m k k! (it)k = k=0 φ (k) X (0) t k, k! 42

13 flls die chrkteristische Funktion in t 0 = 0 in eine Potenzreihe entwickelt werden knn. Bemerkung. Die chrkteristische Funktion ist die Fourriertrnsformierte der Dichtefunktion. Die Rücktrnsformtion ist möglich: f X (x) = 2π e itx φ X (t)dt..4 Ds Gesetz der großen Zhlen und Grenzverteilungssätze In vielen Anwendungen, vor llem in der mthemtischen Sttistik, treten Folgen von Zufllsgrößen X, X 2,..., X n und deren Linerkombintionen uf. Dbei gilt nch Hilfsstz.3.4 Y n := X + 2 X n X n EY n = n i EX i i= und, flls X,..., X n vollständig unbhängig sind, D 2 Y n = n 2 i D 2 X i. i= Definition.4.. Die Zufllsgrößen X,..., X n heißen unbhängig und identisch verteilt oder vom Typ i.i.d. (von independent nd identiclly distributed ), wenn sie vollständig unbhängig sind, identische Verteilungen ufweisen und die Erwrtungswerte und Streuungen existieren. Es gilt lso EX = = EX n =: µ R, D 2 X = = D 2 X n =: σ 2 <. Sind X,..., X n Zufllsgrößen vom Typ i.i.d. und ist ihr rithmetisches Mittel, so gilt X n = X + + X n n E X n = n i= n µ = µ, D2 Xn = n i= n 2 σ2 = σ2 n. (.4.).4. Ds Gesetz der großen Zhlen Stz.4.2 (schwches Gesetz der großen Zhlen). Sind X,..., X n Zufllsgrößen vom Typ i.i.d. und ist µ = E X n = EX i deren einheitlicher Erwrtungswert, so gilt für lle ε > 0 lim P ( X n µ ε ) =, n 43

14 d.h. ds rithmetische Mittel Xn konvergiert für wchsendes n im Sinne der Whrscheinlichkeit gegen den einheitlichen Erwrtungswert der Zufllsgrößen X,..., X n. Beweis. Mit σ 2 = D 2 X = = D 2 X n erhlten wir us der Tschebyscheff schen Ungleichung und den Formeln (.4.): P ( X n µ ε ) = P ( X n E X n > ε ) > D2 Xn ε 2 Für n gegen unendlich ergibt sich lso: lim P ( X n µ ε ) ) lim ( σ2 n n nε 2 =. = σ2 nε 2. Am Ende von Abschnitt.3.2. hben wir die Aussge des obigen Stzes bereits verwendet, um zu zeigen, dss die reltive Häufigkeit H n (A) = X n eines Ereignisses A für wchsendes n (Versuchsnzhl) gegen die Whrscheinlichkeit p = P (A) strebt. Dbei wren X,..., X n mit {, wenn A im i-ten Versuch eintritt X i = 0, wenn A im i-ten Versuch nicht eintritt Zufllsgrößen vom Typ i.i.d. und es glt µ = E X n = p und σ 2 = D 2 Xn = p( p) n. Also ist nch obigem Stz lim P ( H n(a) p ε) =. n Beispiel. Uns interessiert, wie viele Versuche zu einer Zufllssitution durchgeführt werden müssen, dmit mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 95 % die reltive Häufigkeit H n (A) und die Whrscheinlichkeit p = P (A) eines Ereignisses A bis zwei Stellen nch dem Komm übereinstimmen. Wir setzen lso ε = 0,005 und erhlten mit p( p) = (p 2 ) nlog zum obigen Beweis: P ( H n (A) p ε) > D2 (H n (A)) p( p) ε 2 = nε 2 4nε 2 = 0000 n. Wenn für ein n die Gleichung 0000 n = 0,95 erfüllt ist, so können wir lso sicher sein, dss P ( H n (A) p ε) 0,95 gilt. Wir erhlten somit ls Lösung n = (oder größer). Wie wir weiter unten sehen werden, ist diese Abschätzung sehr grob..4.2 Grenzverteilungssätze.4.2. Zentrler Grenzverteilungsstz Ds schwche Gesetz der großen Zhlen liefert nur eine Aussge über den stochstischen Grenzwert des rithmetischen Mittels X n einer Folge von Zufllsgrößen X,..., X n. In vielen Anwendungen wird ber uch die Grenzverteilung des stndrdisierten rithmetischen Mittels benötigt. Ȳ n = X n E X n = X n µ D 2 σ = X n µ n. Xn n σ 44

15 Stz.4.3 (Zentrler Grenzverteilungsstz von Lindeberg/Levy). Sei X n ds rithmetische Mittel einer Folge X,..., X n von Zufllsgrößen vom Typ i.i.d., µ = EX i R und 0 < σ 2 = D 2 X <. Weiter sei F n (x) die Verteilungsfunktion der Zufllsgröße Ȳn = X n µ σ n, d.h. ( ) ( ) Xn µ X + + X n nµ F n (x) = P n < x = P σ nσ 2 für lle x R. Dnn gilt für lle x R lim n F n(x) = Φ(x), wobei Φ die Verteilungsfunktion der stndrdisierten Normlverteilung bezeichnet. Die Stndrdisierung Ȳn von X n ist lso symptotisch N(0, )-verteilt (Schreibweise: Xn N(0, )). Anwendung Ds rithmetische Mittel einer Folge von Zufllsgrößen knn lso in guter Näherung ls normlverteilt ngenommen werden. Somit motiviert der zentrle Grenzverteilungsstz die Annhme, dss eine durch Überlgerung zhlreicher unbhängiger Einzeleinflüsse entstehende Zufllsgröße (z.b. Messfehler) ls normlverteilt ufgefsst werden knn Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce Wir betrchten nun einen Spezilfll des zentrlen Grenzverteilungsstzes. Zu einer Zufllssitution werden n Versuche durchgeführt, wobei die Zufllsgrößen X i ngeben, ob ds Ereignis A im i-ten Versuch eingetreten ist (X i = ) oder nicht (X i = 0). Wir setzen p = P (A) = P (X i = ) und Y n = X + +X n. Die Zufllsgröße Y n gibt lso n, wie oft ds Ereignis A bei n Versuchen eingetreten ist. Es gilt Y n B(n, p) und somit EY n = np und D 2 Y n = np( p). Für genügend große n erhlten wir mit X n = X + +X n n = Yn n us dem zentrlen Grenzverteilungsstz die Beziehung N(0, ) X n E X n D 2 Xn n = Xn p p( p) n = Y n np np( p) = Y n EY n D 2 Y n, d.h. Y n N(np, np( p)). Dmit hben wir die Aussge des Grenzverteilungsstzes von Moivre/Lplce hergeleitet. Stz.4.4 (Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce). Sei X B(n, p) eine binomilverteilte Zufllsgröße und F n (x) die Verteilungsfunktion der stndrdisierten Zufllsgröße Y = X np. Dnn gilt für lle x R np( p) lim F n(x) = Φ(x), n wobei Φ die Verteilungsfunktion der stndrdisierten Normlverteilung bezeichnet. Die binomilverteilte Zufllsgröße X ist lso symptotisch N(np, np( p)) verteilt. Fustregel Der Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce ist in guter Näherung nwendbr, wenn np( p) > 9 gilt. Selbst für np( p) > 4 erhält mn noch eine bruchbre Näherung. 45

16 Anwendung Die Berechnung von Whrscheinlichkeiten ist bei binomilverteilten Zufllsgrößen extrem rechenufwändig. Mit Hilfe des obigen Stzes knn mn diese ufwändigen Rechnungen uf die einfcher hndhbbre Normlverteilung zurückführen. Beispiel. Nun hben wir eine weitere Möglichkeit zur Lösung des Problems us dem vorhergehenden Beispiel. Gesucht wr die Versuchsnzhl n, die benötigt wird, dmit mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 95 % die reltive Häufigkeit H n (A) und die Whrscheinlichkeit p = P (A) eines Ereignisses A bis zwei Stellen nch dem Komm übereinstimmen. Wir suchen lso ein n, so dss P ( H n (A) p ε) 0,95 gilt, wobei ε = 0,005 ist. Unter Verwendung des Grenzverteilungsstzes von Moivre/Lplce und den Bezeichnungen us dessen Herleitung erhlten wir zunächst: P ( H n (A) p ε) = P ( X n p ε) = P ( Y n np nε) ( ) Y n np nε = P np( p) np( p) ( ) nε = P Y n np nε np( p) np( p) np( p) = Φ ( nε ) ( Φ p( p) nε p( p) ) = 2Φ ( nε p( p) ). ( nε ) ( nε ) Es muss lso 2Φ 0,95 gelten, d.h. Φ 0,975. Dies ist äquivlent p( p) p( p) zu nε,96. D p( p) = (p p( p) 2 ) , ist letztere Beziehung erfüllt, wenn 2 nε,96 gilt. Als Ergebnis erhlten wir lso n = 3846 (oder größer). Diese Abschätzung ist deutlich besser ls die vorhergehende, die wir mit Hilfe der Tschebyscheff schen Ungleichung erhlten htten. Methode der Stetigkeitskorrektur Mit der hier vorgestellten Methode erhält mn bessere numerische Ergebnisse bei Verwendung des Grenzverteilungsstzes von Moivre/Lplce zur näherungsweisen Berechnung von Whrscheinlichkeiten der Form P ( Y n b) einer binomilverteilten Zufllsgröße Y n B(n, p), wobei und b positive gnze Zhlen sind. Es gilt lso Y n N(np, np( p)). Die Idee der Methode der Stetigkeitskorrektur ist, die Grenze um 2 zu verringern und b um 2 zu erhöhen. Wir erhlten lso: ( b + P ( Y n b) P ( 2 Y n b + 2 ) = Φ 2 np ) ( 2 Φ np ). np( p) np( p) Beispiel. Wir wollen nun die Verbesserung der Ergebnisse durch die Methode der Stetigkeitskorrektur n konkreten Zhlen demonstrieren. Sei dzu Y n B(00; 0,25), = 5 und b = 30. D np( p) = 8,75 > 9 gilt, ist der Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce in guter Näherung nwendbr. Es gilt lso Y n N(25; 8,75). Als exktes, ber sehr rechenufwändiges Ergebnis erhlten wir: P (5 Y n 30) = 30 k=5 0,25 k 0,75 00 k = 0,

17 Ohne Stetigkeitskorrektur liefert die stndrdisierte Normlverteilung: ( ) ( ) P (5 Y n 30) Φ Φ = 0, ,75 8,75 Unter Verwendung der Methode der Stetigkeitskorrektur erhlten wir: ( ) ( ) 4, ,5 25 P (4,5 Y n 30,5) Φ Φ = 0, ,75 8,75 Wir sehen lso deutlich, dss durch die Methode der Stetigkeitskorrektur eine bessere Näherung erreicht wird Grenzverteilungsstz von Poisson Wir hben bereits zur Herleitung der Whrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung einen Zusmmenhng zwischen Binomil- und Poisson-Verteilung hergestellt. Allgemeiner erhlten wir den folgenden Stz. Stz.4.5 (Grenzverteilungsstz von Poisson). Gegeben sei eine Folge von binomilverteilten Zufllsgrößen Y n B(n, p n ) mit p n 0 und np n λ > 0 für n. Dnn gilt lim P (Y n = k) = π λ (k), n d.h. die Zufllsgrößen Y n sind symptotisch Poisson-verteilt mit dem Prmeter λ. Beweis. Es gilt ( ) n lim P (Y n = k) = lim p k n n k n( p n ) n k = lim n n(n ) (n k + ) } n{{ k } = λk k! e λ = π λ (k). (np n ) k ( np ) n n }{{ k! }}{{ n } e λ λk k! ( p n ) k } {{ } Fustregel Den Grenzverteilungsstz von Poisson knn mn ohne Bedenken nwenden, wenn die Ungleichungen np 0 und 500p n erfüllt sind. Anwendung Wie der Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce, so verringert uch der Grenzverteilungsstz von Poisson den Rechenufwnd bei einer binomilverteilten Zufllsgröße erheblich. Sollte der Prmeter p der Binomilverteilung zu klein sein, um mit dem Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce eine usreichend gute Näherung zu erzielen, so knn der Grenzverteilungsstz von Poisson genutzt werden. Beispiel. Für eine binomilverteilte Zufllsgröße X B(00; 0,0) soll die Whrscheinlichkeit P (2 X 0) berechnet werden. Wegen np( p) = 0,99 < 4 sollte der Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce nicht genutzt werden. Jedoch liefert der Grenzverteilungsstz von 47

18 Poisson eine gute Näherung, d np = 0 und 500p = 5 00 = n. Wir erhlten somit ls Näherung 0 P (2 X 0) = π (k) = 0, Exkte Rechnung ergibt P (2 X 0) = 0 k=2 ( 00 k k= Bemerkung zur hypergeometrischen Verteilung ) 0,0 k 0,99 00 k = 0, Es lssen sich uch Grenzverteilungssätze für eine hypergeometrisch verteilte Zufllsgröße X H(n, N, M) formulieren. Wenn z.b. N, M und M N p für n gilt, so nutzt mn die Näherung ( M )( N M ) ( ) k n k n P (X = k) = ( N p n) k ( p) n k, k d.h mn ersetzt die hypergeometrische Verteilung näherungsweise durch eine entsprechende Binomilverteilung. Es gibt jedoch keine hndhbbren Fustregeln für die Nutzung dieser Approximtion. Um die so erhltene Binomilverteilung uszuwerten, knn mn dnn den Grenzverteilungsstz von Moivre/Lplce oder den Grenzverteilungsstz von Poisson verwenden..5 Mehrdimensionle Verteilungen Bisher wurden usschließlich reellwertige, d.h. eindimensionle, Zufllsgrößen betrchtet. Wir hben lso stets nur ein Merkml des zu beobchtenden Objekts bei unseren Untersuchungen berücksichtigt. Häufig sind ber bei prktischen Modellierungsproblemen mehrere Merkmle der Beobchtungsobjekte gleichermßen von Interesse. Somit benötigen wir mehrdimensionle Zufllsgrößen..5. Einführung Definition.5.. Sei X = (X, X 2,..., X n ) eine Zusmmenfssung von n Zufllsgrößen X, X 2,..., X n. Dnn heißt ds Objekt X n-dimensionle Zufllsgröße oder zufälliger Vektor. Definition.5.2. Die durch F (x,..., x n ) := P (X < x,..., X n < x n ) für lle Vektoren (x,..., x n ) R n definierte reelle Funktion F heißt Verteilungsfunktion des zufälligen Vektors X = (X,..., X n ). Wir werden im Folgenden nicht immer den llgemeinen Fll X = (X,..., X n ) betrchten, sondern uns uf n = 2, d.h. X = (X, Y ), beschränken, wenn dies ds Verständnis erleichtert. Ein Großteil der Aussgen gilt dnn nlog für llgemeines n. 48