Zulassungsprüfung Stochastik,

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1 Zulssungsprüfung Stochstik, Wir gehen stets von einem Mßrum (Ω, A, µ) bzw. einem Whrscheinlichkeitsrum (Ω,A,P) us. Die Borel σ-algebr uf R n wird mit B n bezeichnet, ds Lebesgue Mß uf R n wird mit λ n bezeichnet. Sollten Ihnen in Teilufgben Ergebnisse fehlen, dnn treffen Sie eine plusible Annhme dfür. Aufgbe (8 Punkte) Sei f : R, f(x) ke kx. Beweisen Sie: () f ist messbr bezüglich der durch B induzierten σ-algebr uf. (b) Es gilt f(x)dλ(x) ke kx dλ(x). (c) Es gilt f(x)dλ(x) e. Aufgbe 2 (8 Punkte) Die Zuckersüß AG füllt Zucker in Pckungen b. Ds Abfüllgewicht X einer Pckung sei normlverteilt mit Erwrtungswert kg und Stndrdbweichung 0,05 kg. Eine Pckung ist unverkäuflich, wenn sie weniger ls 0,935 kg wiegt. Die Wochenproduktion beträgt n Pckungen. () Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit, dss eine Pckung unverkäuflich ist. (b) Sei Y die Zufllsvrible reltiver Anteil der unverkäuflichen Pckungen der Wochenproduktion. Bestimmen Sie den Erwrtungswert und die Vrinz von Y. (c) Mit welcher Whrscheinlichkeit sind mehr ls 0 % der Wochenproduktion unverkäuflich. Verwenden Sie dzu eine geeignete Approximtion. (d) Welcher Anteil der unverkäuflichen Pckungen n der Wochenproduktion wird mit einer Whrscheinlichkeit von 95 % nicht überschritten. Aufgbe 3 (8 Punkte) Gegeben seien die Zufllsvriblen N und mit U(,b) wobei < b, [,b] (0,). Für θ [,b] sei N NB(,θ), d.h. N besitzt die Zähldichte f(n θ) θ( θ) n, n N 0. () Bestimmen Sie E ( ) ( und E ) [ Ergebnis: 2 b ln( ) b, b (b) Bestimmen Sie E(N ) und Vr(N ). (c) Bestimmen Sie E(N) und Vr(N). (d) Bestimmen Sie P(N 0). ]

2 Aufgbe 4 (8 Punkte) Seien X,...,X n, Y,...,Y n und W,...,W n unbhängige Zufllsvriblen mit X i iid N(µ,), Y i iid N(µ2,), W i iid N(µ +µ 2,) mit µ,µ 2 R und Relisierungen x,...,x n, y,...,y n und w,...,w n. () Beweisen Sie, dss die Mximum Likelihoodschätzwerte ˆµ, ˆµ 2 für µ, µ 2 notwendigerweise ds linere Gleichungssystem 2nˆµ +nˆµ 2 nˆµ +2nˆµ 2 x i + y i + w i w i erfüllen. (b) Bestimmen Sie die ML-Schätzer für µ und µ 2. Sie können ohne Beweis ihre Existenz vorussetzen. Aufgbe 5 (8 Punkte) In einer Studie wurde der Blutdruck von Ruchern und Nichtruchern untersucht. Bei Ruchern ergb sich ein mittlerer Blutdruck von 30. Bei 4 Nichtruchern wurde ein Mittelwert von 23 festgestellt. Bei beiden Messreihen ergb sich eine empirische Vrinz von 32,49. Es wird ngenommen, dss der Blutdruck bei Ruchern und Nichtruchern jeweils normlverteilt ist. () Bestimmen Sie us obigen Dten ein Schätzintervll für den Erwrtungswert des Blutdrucks von Ruchern zum Niveu α 0,95. (b) Bisher ging mn bei Nichtruchern von einem Blutdruck von 20 us. Wird diese Beobchtung bei einem Niveu von 0,05 widerlegt? (c) Testen Sie unter geeigneten Annhmen uf dem Niveu von α 0,05 die Hypothese, dss sich der Erwrtungswert des Blutdrucks bei Ruchern und Nichtruchern nicht unterscheidet. 2

3 Lösungsvorschläge Aufgbe Zu () Für n N sei f n : R, f n (x) : n ke kx. f n ist ls Summe stetiger Funktionen stetig, lso uch messbr. Lut Definition ist lim n f n f, lso ist f ls punktweiser Grenzwert messbrer Funktionen uch messbr. Sei f n wie in (). Es gilt für lle n N f n (x)dλ(x) ke kx dλ(x) ke kx dλ(x) und f n 0. Wegen f n+ (x) f n (x) (n+)e (n+)x > 0 ist die Funktionenfolge (f n ) n N monoton wchsend. Dmit erfüllt (f n ) n N die Vorussetzungen des Stzes von der monotonen Konvergenz, und die Behuptung folgt nun wegen f(x)dλ(x) lim f n(x)dλ(x) n lim f n (x)dλ(x) n ([, ) lim ke kx dλ(x) n ke kx dλ(x). Zu (c) Wir wenden (b) n. Hierzu berechnet mn mittels des uneigentlichen Riemnn- Integrls ke kx dλ(x) ke kx dx e kx e k. Mit (b) und der geometrischen Reihe folgt ke kx dλ(x) ke kx dλ(x) e k ( e ) k e e. Aufgbe 2 Zu () ( ) 0,935 P(X < 0,935) Φ Φ(,3) Φ(,3) 0,0968 0,05 3

4 Sei N die Zufllsvrible Anzhl der unverkäuflichen Pckungen einer Wochneproduktion. Dnn ist N B(n,p) mit p 0,0968 und n Somit ist E(N) np und Vr(N) np( p). Es gilt Y N n mit ( ) N E(Y) E n n E(N) np p 0,0968 n ( ) N Vr(Y) Vr n n 2Vr(N) p( p) n2np( p) 0,08743 n 0000 Zu (c) 0, Näherungsweise giltn N(np,np( p)) und dmit uchy N Es folgt ( p, p( p) ). n P(Y > 0,) P(Y 0,) ( ) ( ) 0, 0,0968 0, 0,0968 Φ Φ n p( p)/n p( p) Φ(,08) 0,8599 0,40. Zu (d) Gesucht ist y mit P(Y y) 0,95. Mit der Normlverteilungsnnhme folgt ( ) y p Φ(u 0,95 ) 0,95 P(Y y) Φ n lso p( p) y p p( p) n u0,95,64 und dmit y p+u 0,95 0,06. p( p) n Der Anteil, der mit einer Whrscheinlichkeit von 95 % nicht überschritten wird, beträgt 0,6 %. Aufgbe 3 Zu () Wegen U[,b] folgt ( ) E ( ) E 2 b b θ dθ b b b ln b θ 2 dθ b ( b ) b. Zu (c) E(N θ) θ θ Vr(N θ) θ θ 2 θ E(N ) Vr(N )

5 Mit dem Stz von der iterierten Erwrtung folgt ( ) ( ) E(N) E(E(N )) E E ( ) Vr(N) Vr(E(N ))+E(Vr(N )) Vr ( ) ( ) ( ) ( Vr +E 2 E E 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2E 2 E E ) E ( +E ( 2 ) 2 +E ) ( 2 ) ( ) E Dmit folgt mit () Zu (d) E(N) ( ) b b ln Vr(N) 2 b (b ) 2 ln2 ( ) b b ln ( ) b. P(N 0) b b P(N 0 θ)dθ b b θdθ b+ 2. Aufgbe 4 Zu () Wegen der Unbhängigkeit der Zufllsvriblen lutet die gemeinsme Dichte f(x,...,x n,y,...,y n,w,...,w n ) n ( ) 3 ( exp [ (xi µ ) 2 +(y i µ 2 ) 2 +(w i (µ +µ 2 )) 2]). 2π 2 Drus ergibt sich für die Prmeter µ,µ 2 die Likelihood ( ) ( 3n L(µ,µ 2 ) exp [ (xi µ ) 2 +(y i µ 2 ) 2 +(w i (µ +µ 2 )) 2]). 2π 2 Durch Logrithmieren und nschließendes Differenzieren nch µ folgt l(µ,µ 2 ) lnl(µ,µ 2 ) ( ) 3n ln 2π 2 ((x i µ ) 2 +(y i µ 2 ) 2 +(w i (µ +µ 2 )) 2 ), l µ (µ,µ 2 ) 2 2 ((x i µ )+(w i (µ +µ 2 ))) 2nµ nµ 2 + (x i +w i ). 5

6 Aus Symmetrieüberlegungen folgt nlog in dem mn µ, x i durch µ 2, y i ersetzt l µ2 (µ,µ 2 ) 2nµ 2 nµ + (y i +w i ). Nullsetzen des Grdienten führt zu den behupteten Gleichungen. Mit x n x i, y n y i, w n w i erfüllen die ML Schätzwerte ˆµ, ˆµ 2 ds linere Gleichungssystem Auflösen ergibt 3ˆµ 2 x w 2y ˆµ 2 3 x+ 3 w+ 2 3 y 2ˆµ + ˆµ 2 x+w (I) ˆµ +2ˆµ 2 y +w. (II) (I 2 II) ˆµ 2 3 x 2 3 w 4 3 y +y +w 3 y + 3 w+ 2 x. (in II eingesetzt) 3 Dmit ergeben sich die ML-Schätzer mit X n X i, Y n ˆµ 3 Y + 3 W X ˆµ 2 3 X + 3 W Y Y i, W n W i. Aufgbe 5 Sei X N(µ x,σ 2 x) bzw. Y N(µ y,σ 2 y) die Zufllsvrible Blutdruck bei Ruchern bzw Nichtruchern. Die Vrinz ist unbeknnt, us diesem Grund benötigen wir die Quntile der Student-Verteilungen. () Als Konfidenzintervll ergibt sich ein symmetrisches Intervll um x. Wegen 5,7 t 0, ,83 }{{} 2,228 erhlten wir [26, 7; 33, 83]. (b) Beim t-test ergibt sich die Testgröße t ,96. Die Hypothese wird nicht verworfen wegen t 3;0, und t < t 3;0,975. 5,7 (c) Bei unbeknnter Vrinz und zwei unbhängigen Stichproben wird der t-test verwendet. Zu prüfen ist H 0 : µ x µ y. Testgröße ist T(x,y) x y 4 s +4, mit s2 0s2 x +3s 2 y 0+3 T(x,y) 3,05 5,7 2 lso Wegen T(x,y) / [t 23; α/2,t 23; α/2 ] [ 2,069;2,069] wird H 0 verworfen. 6