Musteraufgaben für das Fach Mathematik

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1 Musterufgben für ds Fch Mthemtik 2012

2 Impressum Ds vorliegende Mteril wurde von einer Arbeitsgruppe mit Vertretern us den Ländern Byern, Hmburg, Mecklenburg-Vorpommern, Niederschsen, Schsen und Schleswig- Holstein errbeitet. Herusgeber: Byerisches Sttsministerium für Unterricht und Kultus Behörde für Schule und Berufsbildung Hmburg Ministerium für Bildung, Wissenschft und Kultur des Lndes Mecklenburg-Vorpommern Niedersächsisches Kultusministerium Sächsisches Sttsministerium für Kultus und Sport Ministerium für Bildung und Kultur Schleswig-Holstein

3 Inhltsverzeichnis Seite Vorbemerkungen... 1 Musterufgben für Aufgbenpool Anlysis Anlytische Geometrie Stochstik Musterufgben für Aufgbenpool Anlysis Anlytische Geometrie Stochstik...15 Vorbemerkungen Für ds Fch Mthemtik werden zwei Aufgbenpools vorgelegt, die sich ddurch unterscheiden, dss Aufgben us dem Aufgbenpool 1 unterhlb des Anforderungsbereichs III liegen, während die Aufgben us dem Aufgbenpool 2 diesen zumindest in einem Aufgbenteil erreichen. Die Aufgben der beiden Aufgbenpools sind ohne elektronische Hilfsmittel (z. B. Tschenrechner, Softwre) sowie ohne Tbellen- oder Formelsmmlung zu berbeiten. Pro Aufgbe können 5 Bewertungseinheiten (BE) erreicht werden. Die Länder wählen für die Prüfungsteilnehmer, welche uf erhöhtem Anforderungsniveu geprüft werden, ls gemeinsme Prüfungselemente drei Aufgben us dem Aufgbenpool 1 sowie eine Aufgbe us dem Aufgbenpool 2 us. Diese vier Aufgben umfssen Lerninhlte us jedem der Schgebiete Anlysis, Linere Algebr/Anlytische Geometrie und Stochstik und berücksichtigen die in der EPA Mthemtik ermöglichten Alterntiven vektorielle nlytische Geometrie und Anwendung von Mtrizen bei mehrstufigen Prozessen. Um die Schülerinnen und Schüler sowie die Lehrkräfte mit den Anforderungen der gemeinsmen Prüfungselemente in der zentrlen schriftlichen Abiturprüfung b 2014 vertrut zu mchen, wird in den beteiligten Ländern einmlig im Schuljhr 201/14 ein schriftlicher Leistungsnchweis eingesetzt. Dfür werden in nloger Weise zur zentrlen schriftlichen Abiturprüfung Aufgbenpools bereitgestellt. Die Durchführung des schriftlichen Leistungsnchweises und die Auswhl der Aufgben us den Aufgbenpools werden in den Ländern geregelt. Die vorliegenden Musterufgben sollen den Lehrkräften sowie den Schülerinnen und Schülern eine Orientierung hinsichtlich der gemeinsmen Prüfungselemente und der gemeinsmen Aufgben für den schriftlichen Leistungsnchweis geben.

4 1 Musterufgben für Aufgbenpool Anlysis A1_1 Die Abbildung zeigt den Grphen der Funktion f mit ( ) 2 = ( IR ) f x, x, x x, x. y Berechnen Sie die Koordinten des Wendepunktes des Grphen von f Begründen Sie ohne Rechnung, dss die 2 Gleichung 0 = 0, 5 x + 4, 5 x 12 x + 7, 5 genu eine Lösung ht. 1 O x -2 - Vorgben für die Bewertung 1.1 Es ist, und. Notwendig für ds Vorliegen eines Wendepunktes ist, lso und somit. Aus folgt W ( 1,5 ). Wegen ist uch die hinreichende Bedingung erfüllt. 1.2 Jede Lösung der ngegebenen Gleichung ist eine Nullstelle der Funktion f. Anhnd der Abbildung erkennt mn, dss es eine Nullstelle im Intervll [0;1] gibt. Gäbe es weitere Nullstellen von f, so müsste es n einer Stelle x < 1 einen Hoch- oder n einer Stelle x > 4 einen Tiefpunkt des Grphen von f geben. Neben den zwei in der Abbildung erkennbren Punkten mit wgerechter Tngente gäbe es lso mindestens noch einen dritten, ws ber nicht möglich ist, d die erste Ableitung der Funktion f eine gnzrtionle Funktion zweiten Grdes ist. 4

5 A1_2 Ds Rechteck ABCD mit A ( 1 0), B ( 4 0), C ( 4 2) und ( 1 2) Funktion f mit ( ) = ( IR 0) f x x x, x in zwei Teilflächen zerlegt. D wird durch den Grphen der Ermitteln Sie ds Verhältnis der Inhlte der beiden Teilflächen. 5 BE Vorgben für die Bewertung Der Grph von f schneidet ds Rechteck in den Punkten ( 11) sowie ( 4 2 ) und teilt die Rechteckfläche in zwei Teile. Hierbei entspricht der Flächeninhlt des unteren Teils A U genu dem Inhlt der Fläche zwischen dem Grph von f und der x-achse über dem Intervll [1,4] = = = = A U x dx x Berechnung des Flächeninhltes A O oberhlb des Grphen von f: 14 4 AO= AR AU = 6 =, mit A R ls Flächeninhlt des Rechtecks. Ds Verhältnis beträgt lso 7 : 2 5

6 1.2 Anlytische Geometrie G1_1 Gegeben sind die Ebene : = 0 E x x x sowie der Punkt ( 0 2) P. 1.1 Zeigen Sie, dss der Punkt P nicht in der Ebene E liegt. 1.2 Spiegelt mn den Punkt P n der Ebene E, so erhält mn den Punkt P. Ermitteln Sie die Koordinten von P. 4 BE Vorgben für die Bewertung 1.1 Wegen 2 ( ) = 12 0 liegt der Punkt P nicht in der Ebene E ur ur D = 1 g : x = 0 + r 1 r IR eine Lotgerde zu E durch P. Der Lotfußpunkt F ist der Schnittpunkt der Gerden g mit der Ebene E. Es ist 2 ( + 2 r ) + (0 + r ) (2 r ) 4 = 0, n ein Normlenvektor zu E ist, ist g mit ( ) lso r + r 2 + r = 4 6 r = 12 r = uuur Dher gilt OF = = Für den Spiegelpunkt P gilt 1 ( ) 8 5 uuuur uuur uuur OP = OP + 2 PF = = = Dmit ist der gesuchte Punkt ( 5 4 2) P. Alterntiv knn in die Gleichung der Gerden g für r der Wert 4 eingesetzt werden, dnn muss F nicht bestimmt werden. 6

7 G1_2 Gegeben ist ds Viereck ABCD mit den Eckpunkten A ( 0 0 0), ( 1 4) C ( ) und D ( 5 5 0). B, 1.1 Weisen Sie nch, dss ds Viereck ABCD ein Prllelogrmm, ber kein Rechteck ist. 1.2 Geben Sie die Koordinten des Mittelpunktes und den Rdius eines Kreises n, der durch die Punkte A und C verläuft. Vorgben für die Bewertung 1.1 Ein Viereck ist genu dnn ein Prllelogrmm, wenn zwei gegenüberliegende Seiten uuur uuur gleich lng und prllel sind. Deshlb ist der Nchweis erbrcht, wenn AB = DC gilt. 2 5 uuur uuur uuur uuur Es ist AB = 1 und DC = 4 5 = 1, lso AB = DC Ein Prllelogrmm ist genu dnn kein Rechteck, wenn ein Innenwinkel ein rechter ist. uuur uuur Deshlb ist der Nchweis erbrcht, wenn AB AD 0 gilt. 5 5 uuur uuur uuur Es ist AD = 5 und AB AD = 1 5 = = Die Mittelpunkte ller möglichen Kreise liegen uf der Mittelsenkrechten der Strecke AC. Ein Kreismittelpunkt knn der Mittelpunkt der Strecke AC sein. uuur uuuur uuur AC 1 = + = = OM OA, lso ist M ( ) Für den Rdius r gilt uuur 1 AC 2 ( ) 2 2 r = = 2 = =

8 1. Stochstik S1_1 Die Zufllsvrible X ist binomilverteilt mit n = 10 und p = 0, Geben Sie n, welche der Abbildungen die Verteilung von X drstellt. Begründen Sie Ihre Auswhl. 1.2 Geben Sie mithilfe der von Ihnen usgewählten Abbildung näherungsweise die Whrscheinlichkeit P ( 4 < X < 7) und die Whrscheinlichkeit P ( X 5) n. Vorgben für die Bewertung 1.1 Abbildung zeigt die Verteilung von X. Es gilt E ( X ) = n p = 10 0, 6 = 6. Dmit können die Abbildungen 1 und 4 nicht die richtige Verteilung von X zeigen, d die Zufllsgröße für k = 6 nicht ihren mximlen Wert nnimmt. D n = 10 ist, knn nicht P ( X = 11) > 0 sein, somit stellt Abbildung 2 uch nicht die Verteilung dr. 1.2 Es gilt P ( 4 < X < 7) = P ( X = 5) + P ( X = 6) = 0, 2 + 0, 25 = 0, 45. Es ist P ( X 5) = 1 P ( X = 5) = 1 0, 2 = 0, 8. 8

9 S1_2 In den Urnen U 1 und U 2 befinden sich Kugeln, die sich nur in ihren Frben unterscheiden: U 1: 6 rote und 4 blue Kugeln U 2 : 1 rote und 4 blue Kugeln 1.1 Aus der Urne U 1 werden zwei Kugeln ncheinnder ohne Zurücklegen zufällig gezogen. Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Frbe hben. 1.2 Es wird eine der beiden Urnen zufällig usgewählt. Aus dieser wird eine Kugel zufällig gezogen. Die gezogene Kugel ist rot. Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss diese Kugel us der Urne U 1 stmmt. Vorgben für die Bewertung 1.1 E 1 sei ds Ereignis, dss bei zweimligem Ziehen ohne Zurücklegen us der Urne U 1 beide Kugeln die gleiche Frbe hben P E Es gilt ( ) = + = = U 1 5 rot U rot 1 10 Gesucht ist die Whrscheinlichkeit, dss die Kugel us U 1 stmmt,unter der Bedingung, dss sie rot ist, lso. P ( U1 rot) Prot ( U1 ) = = 10 =. P ( rot) Die Whrscheinlichkeit, dss die rote Kugel us Urne U 1 stmmt, beträgt 4. 9

10 2 Musterufgben für Aufgbenpool Anlysis A2_1 Ein quderförmiges Speicherbecken für eine Flüssigkeit ht eine 2 Grundfläche von 5 m und ist zunächst leer. Der nebenstehende Grph gibt die m Zufluss- bzw. Abflussrte in h der Flüssigkeit über einen Zeitrum von 5 Stunden wieder. 2.1 Bestimmen Sie näherungsweise ds Volumen der in den ersten drei Stunden zufließenden Flüssigkeit. 2.2 Skizzieren Sie in ds nebenstehende Koordintensystem einen möglichen Grphen, der die Höhe (in m) des Flüssigkeitsstndes im Speicherbecken in Abhängigkeit von der Zeit (in h) beschreibt. 10

11 Vorgben für die Bewertung 2.1 Wenn der Grph zu der Funktion f gehört, so liefert ds Integrl ( ) 0 f x dx einen Wert, der dem zugeflossenen Volumen in m entspricht. Diesen Wert knn mn näherungsweise ermitteln, indem mn die Flächeneinheiten für den Inhlt der Fläche zwischen der Zeitchse und dem Grphen über dem Intervll [0,] bschätzt. Es sind c. 9 FE, lso sind etw 9 m zugeflossen. (Ein Wert zwischen 8 m und 10 m wird kzeptiert.) 2.2 Für die Skizze ist Folgendes zu bechten: - Der Grph verläuft durch ( 0 0 ), - lle Punkte liegen im ersten Qudrnten, - ein Hochpunkt liegt n der Stelle (Funktionswert 1,8), - ein Tiefpunkt n der Stelle 5, der Funktionswert muss größer ls Null sein ( 0,5), - n den Stellen x 1,7 und x 4,2 befinden sich Wendepunkte. 11

12 A2_2 Für jedes positive, reelle ist eine Funktion x f gegeben durch ( ) = e ( IR ) 2 f x x. ( ) Zeigen Sie, dss die Tngente t n den Grphen der Funktion f im Punkt P 1 ( 1) f durch die Gleichung ( ) = 2 + ( 1 2 ) t x e x e beschrieben werden knn. 5 BE Vorgben für die Bewertung Mögliche Lösung: Die erste Ableitung von f(x)n der Stelle x = 1 ht den Wert 2e, weil 2 x = f(x) e 2x f( 1) = 2e gilt. Es bleibt zu zeigen, dss die Koordinten des Punktes ( 1 1 ) Gleichung erfüllen. Es ist f( 1) = e. Eingesetzt in die Gleichung von t( 1) = 2e + e( 1 2) t( 1) = 2 + ( 1 2) e t( 1) = e t(x) ergibt sich: P f( ) die gegebene 5 BE 12

13 2.2 Anlytische Geometrie/Linere Algebr G2_1 Im Rum sind eine Gerde g und ein Punkt A, der nicht uf der Gerden g liegt, gegeben. Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinten zweier Punkte B und C der Gerden g, die zusmmen mit A ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck bilden. 5 BE Vorgben für die Bewertung Mn bestimmt diejenige Ebene E, die den Punkt A enthält und orthogonl zur Gerden g verläuft. Der Schnittpunkt der Ebene E mit der Gerden g ist der Fußpunkt des Lots durch A uf g und wird ls Punkt B gewählt. Mit d = uuur r uuur uuur v AB erhält mn die Koordinten des Punktes C durch OC = OB + d r, v wobei v ein Richtungsvektor der Gerden g ist. 1

14 G2_2 Gegeben sind die Ebenen E 1 und E 2 mit E1: 6 x1 x2 4 x = 12 und E : x + 5 x + 2 x = Die Punkte ( 2 0 0) A und ( 0 0 ) B liegen in beiden Ebenen. 2.1 Begründen Sie, dss die Ebenen E1 und E 2 nicht identisch sind. 2.2 Ermitteln Sie die Koordinten eines von A und B verschiedenen Punktes, der ebenflls in beiden Ebenen liegt. 2. In der Gleichung von E 2 soll genu ein Koeffizient so geändert werden, dss eine Gleichung der Ebene E 1 entsteht. Geben Sie diese Änderung n und begründen Sie Ihre Antwort. Vorgben für die Bewertung 2.1 Die Ebenen sind nicht identisch, weil P ( 0 120) in E 1, ber nicht in E 2 liegt. Andere Begründungen z.b. über die Normlenvektoren sind ebenflls zu kzeptieren. 2.2 Mn stellt z.b. eine Gleichung der Gerden durch A und B uf und gibt einen weiteren Punkt dieser Gerden n. 2 2 ur g AB:x = 0 + r 0 Mit r = 1 erhält mn den Punkt Q ( 40), 0 der ebenflls in beiden Ebenen liegt. 2. Mn ändert in E 2 den Koeffizienten 5 vor x 2 in 0,5. Begründung: Multipliziert mn die geänderte Koordintengleichung für E 2 mit 2, dnn ergibt sich die Koordintengleichung für E 1. 14

15 2. Stochstik S2_1 Verteilungen von Zufllsgrößen werden durch Prmeter chrkterisiert. 2.1 In den Klssen 10 und 10b, die jeweils us 25 Schülern bestehen, wurden die Leistungen jedes Schülers im Weitsprung ermittelt. Die Zufllsgrößen A und B ordnen jeweils einem Schüler der Klsse 10 bzw. 10b seine Sprungweite in Meter zu. Für die Erwrtungswerte der beiden Zufllsgrößen gilt E ( A) = E ( B ), für die Stndrdbweichungen σ ( A) < σ ( B). Erklären Sie nschulich, ws diese beiden Beziehungen für die Verteilungen der Sprungweiten bedeuten. 2.2 Geben Sie eine Whrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X, die fünf unterschiedliche Werte nnehmen knn, so n, dss der Erwrtungswert zwischen dem kleinsten und dem zweitkleinsten Wert dieser Zufllsgröße liegt. Vorgben für die Bewertung 2.1 Der Durchschnitt der Sprungweiten der Schüler der Klsse 10 stimmt mit dem der Schüler der Klsse 10b überein. Die Sprungweiten der Schüler der Klsse 10 streuen weniger um den Durchschnittswert ls die der Schüler der Klsse 10b. 2.2 Die Tbelle zeigt die Whrscheinlichkeitsverteilung von X. x i P ( X = x i ) 0,6 0,1 0,1 0,1 0,1 (Eine BE wird vergeben, wenn die Summe der Whrscheinlichkeiten 1 ergibt.) Für den Erwrtungswert gilt E ( X ) = 0,6 ( 10) + 0,1 1+ 0, ,1 + 0,1 4 = 5, lso 10 < E ( X ) < 1. 15

16 S2_2 Eine verbeulte Münze wird mehrfch geworfen. Die Whrscheinlichkeit dfür, dss bei einem Wurf Wppen fällt, beträgt p. 2.1 Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Whrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse A und B n: A: Bei fünf Würfen fällt genu dreiml Wppen. B: Bei fünf Würfen fällt genu dreiml Wppen, drunter bei den ersten beiden Würfen zweiml. 2.2 Die Whrscheinlichkeit dfür, dss bei drei Würfen dreiml Wppen fällt, ist 0,216. Untersuchen Sie, ob ds Ergebnis Wppen whrscheinlicher ist ls ds Ergebnis Zhl. Vorgben für die Bewertung 2.1 Whrscheinlichkeit für Ereignis A: ( ) ( ) 2 Whrscheinlichkeit für Ereignis B: ( ) ( ) 2 5 P A = p 1 p P B = p p 1 p Wenn beide Ergebnisse gleichwhrscheinlich wären, wäre die Whrscheinlichkeit dfür, dss bei drei Würfen dreiml Wppen fällt, 0, 5 = 0, 125. D 0, 216 > 0, 125 ist, ist ds Ergebnis Wppen whrscheinlicher ls ds Ergebnis Zhl. (Es ist uch möglich, die Whrscheinlichkeit direkt zu berechnen.) 16