Darstellung von Ebenen

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Evagret Julia Schuster
vor 7 Jahren
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1 Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor von E, weil p = OP die Ebene im Punkt P stützt. Des Weiteren sind die Vektoren u und v liner unbhängig und heißen Spnnvektoren, weil sie die Ebene ufspnnen.. Koordintengleichung einer Ebene: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch x + bx + cx = d, wobei, b, c R und mindestens einer der drei Koeffizienten, b oder c ungleich ist.. Normlenform der Ebenengleichung: Sei E eine Ebene und p ein Stützvektor von E. Die Ebene lässt sich beschreiben durch die Gleichung (x p) n =. Hierbei ist n ein Normlenvektor, d.h. er ist orthogonl zu zwei gegebenen liner unbhängigen Spnnvektoren von E.

2 Umrechnen zwischen Ebenengleichungen Prmeterform Koordintenform: Alterntive : Stelle die Gleichung der Ebene in Prmeterform ls lineres Gleichungssystem dr, d.h. x = p + r u + s v x = p + r u + s v x = p + r u + s v Anschließend forme ds Gleichungssystem so um, dss in einer Gleichung die Prmeter s und r wegfllen. Die Gleichung ohne Prmeter ist eine Koordintengleichung der Ebene. Beispiel: Sei Aus x = Also: E : x = + r + s x + r + s erhält mn. = + r + s x = + r s x = + r + s x = + r + s x = + r s x = + r + s x = + r + s x = + r s x + x = 7 + r + s x = + r + s x = + r s x + x + x = 9 Somit ist x + x + x = 9 eine Koordintendrstellung der Ebene E. Alterntive : Bestimme einen Vektor n, der uf beide Spnnvektoren orthogonl steht, d.h. ds folgende Gleichungssystem erfüllt: u n + u n + u n = v n + v n + v n =

3 Dieser Vektor liefert die Koeffizienten der Koordintengleichung: n x + n x + n x = d. Zur Berechnung von d setze für x, x und x die Werte des Stützvektors ein. Beispiel: Sei Dnn: E : x = + r + s. n + n + n = n n + n = n = n n = n Wähle n =, dnn folgt n = 6 und n =. Also 6x + x + x = d Zur Bestimmung von d setze den Stützvektor ein: d = = = 6. Somit ist die Koordintengleichung: 6x + x + x = 6

4 4 Prmeterform Normlenform: Bestimme einen Vektor n, der uf beide Spnnvektoren orthogonl steht, d.h. ds folgende Gleichungssystem erfüllt: u n + u n + u n = v n + v n + v n = Somit ist die Normlenform gegeben durch: (x p) n =, wobei p der Stützvektor us der Prmeterform ist. Beispiel: Sei E : x = + r s 4. Dnn: 4 n + 7 n + n = 4 n n + n = 4 n + 7 n + n = n + n 7 n = 4 n + 7 n + n = n = 7 n Wähle n =, dnn folgt n = 7 und 4 n 7 + = n = 6 4 Somit ist die Normlenform:, x 7 = =,.

5 Koordintenform Prmeterform: Löse die Gleichung nch einer Vrible (z.b. x ) und ergänze die Gleichungen. Wir zeigen ds m Beispiel für x. Sei E : x + bx + cx = d, wobei. Dnn: x = d + bx + cx x = + x + x x = + x + x Dnn ist die Prmeterform gegeben durch: d x = + r b + s c (r, s R) Anlog knn mn dies uch für x und x mchen. Wichtig hierbei ist, dss der Koeffizient ungleich ist. Beispiel: Sei die Ebene E gegeben durch: x + x x =. Auflösen nch x liefert: x = x + x. Nun ergänze die Gleichung zu: x = x + x x = + x + x x = + x + x Somit ist die Prmeterform: x = + r + s (r, s R)

6 6 Koordintenform Normlenform: Die Koeffizienten der Koordintengleichung sind die Koordinten eines Normlenvektors n. Zur Bestimung eines Stützvektors ist es sinnvoll zwei Koordinten der Koordintengleichung zu wählen. Die fehlende Koordinte ergibt sich durch Einsetzen in die Koordintengleichung. Sei lso beispielsweise und setze x = x =. Dnn ergibt sich: x + x + x = d x = d und somit die Normlenform: x d b c = Beispiel: Seien x + x + x =. Der Normlenvektor ist gegeben durch n =. Setze x = x =. Dnn gilt: x + + = x = 6. Die Normlenform ist somit: x 6 =

7 7 Normlenform Prmeterform: Der Stützvektor p knn us der Normlenform übernommen werden. Zur Bestimmung der beiden Spnnvektoren u und v muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden: u n = v n = u n + u n + u n = v n + v n + v n = Hierbei ist zu bechten, dss die Vektoren u und v liner unbhängig sein müssen. Die Prmeterform ist dnn gegeben durch: x = p + r u + s v (t, s R). Beispiel: Sei die Ebene E gegeben durch: x = Der Stützvektor lässt sich blesen und ist p =. Zur Bestimmung der Spnnvektoren löse folgendes Gleichungssystem : u + u + u = v + v + v = Wähle u = und u =, dnn gilt: + + u = u = 6 und v = und v =, dnn gilt: + + u = u =. Die Prmeterform ist somit: x = + r + s (r, s R). 6 Ds Gleichungssystem ht Gleichungen und 6 Vriblen, lso existieren unendlich viele Lösungen und Vriblen lssen sich frei wählen. Hierbei ist zu bechten, dss die Spnnvektoren liner unbhängig sind. Also sollte mn die gewählen Koordinten von v nicht ls vielfches von den Koordinten von u wählen.

8 Normlenform Koordintenform: Zur Bestimmung der Prmeterform muss einfch nur ds Sklrprodukt in der Normlenform usgerechnet werden, d.h. x p n x n p n x p n = x n p n = x p n x n p n x n x p n = n p n x n p n Also ist die Koordintenform: n x + n x + n x = n p + n p + n p Beispiel: Sei x = x x x = x + x + x = ( ) + + = = 9 Also ist die Koordintenform: x + x + x = 9

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