dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +

Transkript

1 Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {} {} + s 1 f 1 s 3 s 2 f 2 s 4 f 4 und dnn durch Hintereinnderschlten der eiden -NDEAs einen -NDEA für die Konktention der eiden Sprchen s 1 f 1 s 3 s 2 f 2 s 4 f 4

2 . Ausdem-NDEAin. erhltenwir mitdemverfhrenusdembeweis zu Stz 2.18 den NDEA s 1 f 1 s 3 s 2 f 2 s 4 f 4 Mnechte,dssf 1 undf 2 jetzt(wieder)endzuständesind,weileide einen -üergng zum Endzustnd s 3 esßen. Schließlich ergit sich durch Entfernung der unerreichren Zustände der NDEA s 1 f 1 s 2 f 2 f 4

3 Aufge 2 Gegeenseienzwei DEAsA 1 = (Σ,Q 1,s 1,F 1,δ 1 )unda 2 = (Σ,Q 2,s 2,F 2,δ 2 ).. Gesucht ist ein DEA A mit L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ). Die Idee esteht drin, die Automten A 1 und A 2 prllel uf dem Eingewort w lufen zu lssen und ds Wort genu dnn zu kzeptieren, wenn (mindestens) einer der eiden Automten in einen Endzustnd gelngt. Eine solche Prllelusführung simuliert der folgende DEA A. A = (Σ,Q,s,F,δ) mit Q = Q 1 Q 2 s = (s 1,s 2 ) F = F 1 Q 2 Q 1 F 2 δ : Q Σ Q δ((q 1,q 2 ),) = (δ 1 (q 1,),δ 2 (q 2,)) Aus der Definition von δ folgt durch Induktion üer w, dss für lle w Σ. Also gilt ttsächlich δ (s,w) = (δ 1 (s 1,w),δ 2 (s 2,w)) (1) w L(A) δ (s,w) F per Definition des Akzeptierens (δ 1 (s 1,w),δ 2 (s 2,w)) F wegen (1) δ 1 (s 1,w) F 1 oder δ 2 (s 2,w) F 2 per Definition von F w L(A 1 ) oder w L(A 2 ) per Definition des Akzeptierens w L(A 1 ) L(A 2 ). Gesucht ist ein DEA A mit L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ). Die Idee ist die gleiche wie in. mit einem einzigen Unterschied: Ds Eingewort w wird kzeptiert, wenn eide Automten in einen Endzustnd gelngen. Dementsprechend definiert mn A = (Σ,Q,s,F,δ) mit Q,s und δ wie in., er mit Endzustndsmenge F = F 1 F 2.

4 Dmit erhält mn w L(A) δ (s,w) F (δ 1(s 1,w),δ 2(s 2,w)) F δ 1 (s 1,w) F 1 und δ 2 (s 2,w) F 2 w L(A 1 ) und w L(A 2 ) w L(A 1 ) L(A 2 ) Vergleich mit den in der Vorlesung ngegeenen Algorithmen: Durch die Verfhren us der Vorlesung entstehen zunächst nichtdeterministische Automten, die mn mit der Potenzmengen-Konstruktion wieder in deterministische umwndeln muss. D die Potenzmengen-Konstruktion im schlechtesten Fll exponentiellen Zeit- und Pltzedrf ht, sind die hier vorgestellten Verfhren wesentlich effizienter. Aufge 3 Sei A = (Σ,Q,s,F,δ). () (c) : Sei L(A) unendlich. D es in Σ nur endlich viele Wörter der Länge < Q git, enthält L(A) sogr unendlich viele Wörter der Länge Q. (c) () : Sei w L(A) mit w Q. Der Luf (s,w) A (f,) esteht us w Üergngsschritten und dmit us w + 1 > Q Konfigurtionen. D es nur Q verschiedene Zustände git, muss lso (mindestens) ein Zustnd in diesem Luf mehrmls uftreten. () () : Sei w L(A) ein Wort, in dessen Luf der Zustnd p mehrmls uftritt, d.h. es existieren x,v,y Σ mit w = xvy, v und (s,w) = (s,xvy) A (p,vy) + A (p,y) A (f,) D mn eim Lesen des Teilwortes v eine Schleife von p nch p durchläuft, knn mn durch i-mlige Wiederholung dieser Schleife uch mit jeder Potenz v i (i N) von p nch p gelngen. Also gilt uch (s,xv i y) A (p,vi y) + A (p,y) A (f,) d.h. uv i y L(A) für lle i N, und wegen v sind dies unendlich viele Wörter.

5 Aufge 4 Sei A = (Σ,Q,s,F,δ).. liegt genu dnn in L(A), wenn s ein Endzustnd ist.. Nch Aufge 3 gilt L(A) ist unendlich w L(A). w Q (2) D es unendlich viele Wörter der Länge Q git, liefert uns (2) noch keinen Entscheidungs-Algorithmus. Wir enötigen dzu noch ds Ergenis us Aufge 5 von Üungsltt 4: Wenn L(A) ein Wort der Länge Q enthält, dnn enthält L(A) sogr ein Wort, dessen Länge zwischen Q und 2 Q liegt. Also gilt sogr L(A) ist unendlich w L(A). Q w < 2 Q (3) Mit (3) erhlten wir einen Entscheidungslgorithmus: Um zu testen o L(A) unendlich ist, rucht mn nur zu üerprüfen, o eines der endlich vielen Wörter w Σ mit Q w < 2 Q von A kzeptiert wird. c. Gesucht ist ein Algorithmus, der üerprüft o L(A). Lut Vorlesung existiert ein Algorithmus, der üerprüft o L(A) =. Drus erhält mn den gewünschten Algorithmus, indem mn die Antworten j und nein vertuscht. (In der Terminologie der Berechenrkeitstheorie: Ds Komplement einer entscheidren Menge ist eenflls entscheidr.) d. L(A) enthält genu dnn ein Wort mit drei ufeinnder folgenden Nullen, wenn es Zustände p,q Q git mit - p ist erreichr - δ (p,000) = q - q ist leendig D mn die Menge der erreichren Zustände und (gnz nlog) die Menge der leendigen Zustände von A erechnen knn, ht mn den gewünschten Algorithmus: Für jeden erreichren Zustnd p estimmt mn q = δ (p,000) und üerprüft o q leendig ist. Einen lterntiven Algorithmus erhält mn mit Hilfe von Aufge 2: L(A) enthält genu dnn ein Wort mit drei ufeinnder folgenden Nullen, wenn der Durchschnitt von L(A) mit der regulären Sprche

6 L 0 = {w Σ w enthält 000} nicht leer ist. Sei lso A 0 ein DEA, der L 0 erkennt. Dnn reitet der gewünschte Algorithmus wie folgt: Mit dem Verfhren us Aufge 2 konstruiert er einen DEA A mit L(A ) = L(A) L(A 0 ) und üerprüft mit dem Algorithmus us c. o L(A ) ist. (In der Terminologie der Berechenrkeitstheorie: Ds Entscheidungsprolem d. wird uf ds Entscheidungsprolem c. reduziert.) e. Nch Aufge 3 gilt: Wenn L(A) endlich ist, dnn enthält L(A) nur Wörter der Länge < Q. Also git es im Flle L(A) 2 nur folgende Alterntiven: entweder L(A) ist endlich und enthält mindestens zwei Wörter der Länge < Q oder L(A) ist unendlich Dmit ht mn den gewünschten Entscheidungs-Algorithmus: Zuerst üerprüft mn, o unter den endlich vielen Wörtern der Länge < Q ereits zwei existieren, die von A kzeptiert werden. Wenn dies nicht der Fll ist, so knn L(A) 2 nur noch gelten, wenn L(A) unendlich ist, und ds knn mn mit. üerprüfen. Aufge 5 Alle Frgestellungen us Aufge 4 eziehen sich nur uf die Sprche L(A) und nicht uf den Automten A selst. Um eine solche Frgestellung für einen -NDEA A zu entworten, konstruiert mn mit den Verfhren us der Vorlesung einen zu A äquivlenten DEA A und entwortet die Frge für A. Wegen L(A) = L(A ) ist ds dnn uch die richtige Antwort für A. (In der Terminologie der Berechenrkeitstheorie: Ds Entscheidungsprolem für -NDEAs lässt sich jeweils uf ds entsprechende Entscheidungsprolem für DEAs reduzieren.)