Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert. Lösung

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1 Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, S. Sickert Lösung Einführung in die theoretische Informtik Klusur Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine Begründung zw. der Rechenweg nzugeen! Hinweise N ezeichnet die ntürlichen Zhlen einschließlich der 0. w mit Σ ezeichnet die Anzhl der s in w, z.b. = 3 und = 2. Aufge 1 Quiz 5P Begründen Sie, o die jeweilige Aussge korrekt oder inkorrekt ist. Beziehen Sie sich uf die entsprechenden Ergenisse us der Vorlesung. Beispiel : Behuptung: Sei A ein DFA mit n Zuständen. Dnn ht die Myhill-Nerode-Reltion zu L(A) genu n Äquivlenzklssen. Antwort: Inkorrekt. Sei A ein DFA. Konstruiere A us A durch Hinzufügen eines neuen, unerreichren Zustnds q mit δ(q, ) = q für lle Alphetszeichen. Dnn gilt L(A) = L(A ). Behuptungen: () Die Sprche L = L(( ) ) ht fünf Äquivlenzklssen ezüglich der Äquivlenzreltion L. Erinnerung : u L v ( w {, }.uw L vw L). () Sei A ein minimler DFA mit n Zuständen. Dnn ht der minimle DFA zu L(A) eenflls n Zustände. (c) Sei L eine kontextfreie Sprche und L eine deterministisch kontextfreie Sprche. Dnn ist L L eine kontextfreie Sprche. (d) Seien G 1, G 2 kontextfreie Grmmtiken. Dnn ist es entscheidr, o L(G 1 ) \ L(G 2 ) gilt. (e) Sei G eine kontextfreie Grmmtik. Dnn gilt L(G) p SAT. () Inkorrekt. Der minimle DFA für L ht vier Zustände. Somit git es genu vier Äquivlenzklssen. () Korrekt. D DFAs durch invertieren der Endzustände komplementiert werde können, ht der minimle DFA für L(A) mximl n Zustände. Angenommen er hätte m < n Zustände, dnn hätte der minimle DFA für L(A) mximl m < n Zustände. Widerspruch. Somit ht der minimle DFA für L(A) genu n Zustände. (c) Inkorrekt. Sei L 1 = { n n c m n, m N} und L 2 = { n m c m n, m N} und eide Sprchen sind sogr DCFL. Der Schnitt ist er nicht CFL (lut VL). (d) Inkorrekt: L(G 1 ) \ L(G 2 ) L(G 1 ) L(G 2 ), letzteres ist nch VL unentscheidr für kontextfreie Grmmtiken G 1, G 2. (e) Korrekt. Umwndlung in CNF und CYK sind in PTIME. Führe Algorithmus us und estimme w L(G) und reduziere dementsprechend uf true und flse. Aufge 2 Endliche Automten 7P () Konstruieren Sie zu folgenden DFAs A, B einen DFA C mit L(C) = L(A) L(B). Verwenden Sie die Produktkonstruktion us der Vorlesung, um C zu konstruieren.

2 DFA A strt q 0, q 1 q 3 q 2 q 4, DFA B strt p 0, p 1 p 2 Geen Sie C grphisch n. Konstruieren Sie nur den vom Strtzustnd von C us ttsächlich erreichren Teil von C. () Beschreien Sie, wie mn mittels der Produktkonstruktion für zwei DFAs A, B entscheiden knn, o L(A) L(B) gilt. Wenden Sie dnn Ihr Verfhren uf die Automten us () n. Sollte L(A) L(B) gelten, geen Sie ein kürzestes Wort w L(A) \ L(B) n. () Produktkonstruktion: DFA C q 3, p 1 q 4, p 1 strt q 0, p 0, q 1, p 1 q 1, p 2 q 2, p 2 q 4, p 2 () L(A) L(B) gdw. für jeden (vom Strtzustnd erreichren [nur die Zustände sollten j ngegeen werden]) Zustnd (q A, q B ) von C gilt q A F A q B F B Negiert: L(A) \ L(B) gdw. es existiert ein Zustnd (q A, q B ) in C mit q A F A q B F B Ein kürzestes Wort in L(A) \ L(B) soweit existent findet mn somit durch Anwendung z.b. von Breitensuche, um einen kürzesten Pfd vom Strtzustnd zu einem Zustnd us F A (Q B \ F B ) zu estimmen. Im oigen Beispiel gilt F A (Q B \ F B ) = {(q 4, p 1 ), (q 4, p 0 )} mit, L(A) \ L(B). Aufge 3 Pumping-Lemm 4P Zeigen Sie mittels des Pumping-Lemms für reguläre Sprchen: L = {w {, } : w = w } ist nicht regulär. Sei L regulär und n eine dnn existierende Pumping-Lemm-Konstnte für L. Wähle z = n n L. Offensichtlich gilt z L und z n und somit existiert eine Zerlegung z = uvw mit (1) uv n, (2) v ε und (3) i N: uv i w L. Wegen (1) muss uv = k mit k n gelten. Wegen (2) folgt v = j mit 1 j n. Mit (3) folgt schließlich der Widerspruch L uw = n j n, d n j < n. L ist somit nicht regulär. Aufge 4 Kontextfreie Sprchen 6P Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik für die folgende Sprchen n. Die Grmmtiken müssen jeweils höchstens 10 Vrilen und 10 Produktionen esitzen, und für jede Produktion X w muss w 3 gelten. Sie müssen nicht egründen, wrum die Grmmtik korrekt ist. () L 1 = {w {,, c, d} w + w = w c + w d } () L 2 = { 256 } (c) L 3 = {w 1 w 2 {0, 1} w 1 = w 2 w 1 w 2 }

3 () () (c) S XSY Y SX SS ε X Y c d Begründung: Zunächst können, zw. c, d ls jeweils ein Zeichen X zw. Y ufgefsst werden (dher: X zw. Y c d). Jedes Wort w {X, Y } lässt sich eindeutig (vlg. korrekte Klmmerusdrücke üer einem Klmmertyp) in minimle Blöcke mit w X = w Y fktorisieren (dher S SS), im Gegenstz zu den Klmmerusdrücken, knn jedoch uch mit ) egonnen werden (dher sowohl S XSY ls uch S Y SX). Zzgl. noch S ε. X 256 X 128 X 128 X 128 X 64 X 64 X 64 X 32 X X 2 X 1 X 1 X 1 Begründung: Iteriertes Qudrieren entsprechend schneller Exponenttion zw. direktes Codieren eines perfekten Binärums der Höhe 8 (ohne Blätter für Terminle) ls CFG. S AB BA A XAX 0 B XBX 1 X 0 1 Begründung: Stzformen sind von der Form X i AX i X j BX j = X i AX i+j BX j = X i AX j X i BX j zw. X i BX i X j AX j =... = X i BX j X i AX j mit i, j N. Jedes erzeugte Wort der Länge 2(i + j + 1) unterscheidet sich dmit zumindest in den eiden Zeichen n den Positionen i + 1 und (i + j + 1) + (i + 1) (woei die Positionen 1 nummeriert werden). Aufge 5 CYK 6P Wir etrchten die Grmmtik G = ({S, T, U, X, Y, Z}, {x, y, z}, P, S) in CNF mit den folgenden Produktionen P : S SZ T S ZT z T UT XU y U SY XY X x Y y Z z Bestimmen Sie mit dem CYK-Algorithmus, o folgende Wörter w 1, w 2 in L(G) liegen. Der CYK-Algorithmus muss entsprechend der Vorlesung drgestellt werden. Geen Sie weiterhin für jedes der eiden Wörter n, wie viele verschiedene Aleitungsäume es ezüglich G für ds jeweilige Wort git. () w 1 = yzzzy () w 2 = xxyzz () Es gilt yzzzy L(G), d S V 1,5. Somit git es keine Aleitungsäume. 15 U 14 S 25 U () Es gilt xxyzz L(G), d S V 1,5. 13 S 24 S 35 U 12 S 23 S 34 S 45 S, U 11 T, Y 22 Z, S 33 Z, S 44 Z, S 55 T, Y 15 S y z z z y 14 S T S U 34 S 45 S 11 X 22 X 33 T, Y 44 Z, S 55 Z, S x x y z z Es git zwei verschiedene Aleitungsäume, ws mn durch Anpssen des CYK-Algorithmus direkt miterechnen knn (vgl. Erweiterung des CYK zur Bestimmung der Aleitungsäume selst).

4 15 (S, 2) 14 (S, 1) (T, 1) (S, 2) (U, 1) 34 (S, 1) 45 (S, 1) 11 (X, 1) 22 (X, 1) 33 (T, 1), (Y, 1) 44 (Z, 1), (S, 1) 55 (Z, 1), (S, 1) x x y z z Aufge 6 Primitiv rekursive Funktionen 4P Zeigen Sie: Wenn f, g : N N primitiv rekursiv sind, dnn sind uch die folgenden Funktionen h 1, h 2 : N N primitiv rekursiv. () h 1 (x) = { 1 flls f(x) = g(x) 0 sonst f(x) () h 2 (x) = g(i) Bechten Sie: h 1, h 2 müssen unter Verwendung des (erweiterten) Schems der primitiven Rekursion und der (erweiterten) Komposition jeweils explizit us den primitiv rekursiven Bsisfunktionen zzgl. der primitiv rekursiven Funktionen +, und konstruiert werden. i=0 () Wir definieren die Funktion eq(x, y): Und somit ist h 1 (x): eq(x, y) := 1 ((x y) + (y x)) h 1 (x) := eq(f(x), g(x)) () Setze g sum (0) := 0 und g sum (m + 1) := g sum (m) + g(m) (primitive Rekursion) und somit gilt: m g sum (m + 1) = g(k) k=0 Und somit ist h 2 (x): f(x) h 2 (x) := g sum (f(x) + 1) = g(i) i=0 Aufge 7 Entscheidrkeit 4P Begründen Sie entsprechend Aufge 1, o die jeweilige Aussge korrekt oder inkorrekt ist. Wenn die Sprche L entscheidr (semi-entscheidr) ist, eschreien Sie einen Algorithmus, der die chrkteristische Funktion χ L (die Funktion χ L ) erechnet. Wenn L unentscheidr ist, leiten Sie einen Widerspruch zu einem Ergenis der Vorlesung. Behuptungen: () Wenn A und B entscheidre Sprchen sind, dnn ist A B entscheidr. () Wenn A und A B entscheidr sind, dnn ist B entscheidr. (c) Ds Prolem, o L(M) für eine gegeene Turingmschine M gilt, ist semi-entscheidr. (d) Ds Prolem, o L(M) = für eine gegeene Turingmschine M gilt, ist semi-entscheidr.

5 () Korrekt. Sei T A DTM, die A entscheidet, T B DTM, die B entscheidet. DTM zu A B: Gegeen x, erechne T A (x). Flls T A (x) = 0, lehne x, nsonsten erechne T B (x). Gilt T B (x) = 0, lehne x, sonst kzeptiere x. D T A, T B die jeweiligen Mengen entscheiden, terminieren eide DTM immer, womit uch die DTM zu A B stets mit dem korrekten Ergenis terminiert, womit A B entscheidr ist. () Inkorrekt. Sei B = H 0 {0, 1} ds Hlteprolem uf leere Einge und A = {0, 1}. Dnn sind A und A B entscheidr, er B nicht. (c) Korrekt. Dove-Tiling : NTM, die ein Wort in L(M) rten knn, soweit es existiert, determinisieren. (d) Inkorrekt. Knn nicht semi-entscheidr sein, sonst wäre L(M) entscheidr, womit ds Hlteprolem uf leere Einge entscheidr wäre mittels der Reduktion: Bilde TM-Codierung w uf Codierung w der TM Flls x ε, lehne x, sonst wrte, is M w (ε) terminiert ht, und kzeptiere dnn ε. Offensichtlich kzeptiert M w höchstens ε und ds genu dnn, wenn M w uf ε terminiert. Aufge 8 NP-Schwere 4P Zeigen Sie, dss folgendes Prolem NP-schwer ist, indem Sie eine Reduktion von 3KNF-SAT uf ds Prolem ngeen. Gegeen: Reguläre Ausdrücke r 1, r 2,..., r n. Entscheide: L(r 1 ) L(r 2 )... L(r n ). Vernschulichen Sie Ihre Reduktion nhnd der Formel (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 4 ). Hinweis : Konstruieren Sie für jede Klusel C i einer gegeenen Formel ϕ = k i=1 C i in 3KNF einen geeigneten regulären Ausdruck r i. Identifiziere minimle pssende Belegungen β für gegeene 3KNF-Formel ϕ (obd üer den Vrilen {x 1,..., x n }, insesondere kommt jede Vrile mindestens einml in ϕ vor, d.h. n ϕ ) mit Wort β(x 1 )β(x 2 )... β(x n ) {0, 1} n. Bilde jede Klusel uf den regulären Ausdruck, der genu die Wörter/minimlen Belegungen kzeptiert, unter denen die Klusel erfüllt ist Bsp: n = 4 und Klusel x 1 x 2 x 4 wird uf 1(0 1)(0 1)(0 1) (0 1)0(0 1)(0 1) (0 1)(0 1)(0 1)1 geildet. (Bemerkung: 1(0 1) n muss vollständig usgeschrieen werden, nsonsten wird Prolem schwieriger.) Der reguläre Ausdruck ht dei mximl die Länge 3 (5(n 1)+1)+2 und knn dmit in der Zeit O( ϕ ) konstruiert werden. Dmit lssen sich in Zeit O(kn) O( ϕ 2 ) zu einer Formel mit n Vrilen und k Klusen k reguläre Ausdrücke konstruieren, deren Schnitt gerde lle Wörter/minimlen Belegungen codiert, welche die Formel erfüllen. Der Schnitt ist dher genu dnn nicht leer, wenn die gegeene Formel erfüllr ist. Dmit ist ds Prolem NP-schwer.