1.1 Grundlagen: Reguläre Ausdrücke
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- Heini Schwarz
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1 11 Grundlgen: Reguläre Ausdrücke Progrmmtext enutzt ein endliches Alphet Σ von Einge-Zeichen, zb ASCII :-) Die Menge der Textschnitte einer Token-Klsse ist i regulär Reguläre Sprchen knn mn mithile regulärer Ausdrücke speziizieren Die Menge E Σ der (nicht-leeren) regulären Ausdrücke ist die kleinste Menge E mit: ǫ E (ǫ neues Symol nicht us Σ); E ür lle Σ; (e 1 e 2 ), (e 1 e 2 ), e 1 E soern e 1, e 2 E 125
2 11 Grundlgen: Reguläre Ausdrücke Progrmmtext enutzt ein endliches Alphet Σ von Einge-Zeichen, zb ASCII :-) Die Menge der Textschnitte einer Token-Klsse ist i regulär Reguläre Sprchen knn mn mithile regulärer Ausdrücke speziizieren Die Menge E Σ der (nicht-leeren) regulären Ausdrücke ist die kleinste Menge E mit: ǫ E (ǫ neues Symol nicht us Σ); E ür lle Σ; (e 1 e 2 ), (e 1 e 2 ), e 1 E soern e 1, e 2 E 126
3 Stephen Kleene, Mdison Wisconsin,
4 Beispiele: (( ) ) ( ) (( ) ( )) Achtung: Wir unterscheiden zwischen Zeichen, 0,, und Met-Zeichen (,, ), Um (hässliche) Klmmern zu spren, enutzen wir Opertor-Präzedenzen: und lssen weg :-) Rele Speziiktions-Sprchen ieten zusätzliche Konstrukte wie: 128
5 Beispiele: (( ) ) ( ) (( ) ( )) Achtung: Wir unterscheiden zwischen Zeichen, 0,, und Met-Zeichen (,, ), Um (hässliche) Klmmern zu spren, enutzen wir Opertor-Präzedenzen: > > und lssen weg :-) Rele Speziiktions-Sprchen ieten zusätzliche Konstrukte wie: e? (ǫ e) e + (e e ) und verzichten u ǫ :-) 129
6 Beispiele: (( ) ) ( ) (( ) ( )) Achtung: Wir unterscheiden zwischen Zeichen, 0,, und Met-Zeichen (,, ), Um (hässliche) Klmmern zu spren, enutzen wir Opertor-Präzedenzen: > > und lssen weg :-) Rele Speziiktions-Sprchen ieten zusätzliche Konstrukte wie: e? (ǫ e) e + (e e ) und verzichten u ǫ :-) 130
7 Speziiktionen enötigen eine Semntik :-) Im Beispiel: Speziiktion Semntik { n n 0} {, } {} Für e E Σ deinieren wir die speziizierte Sprche [[e]] Σ induktiv durch: [[ǫ]] = {ǫ} [[]] [[e ]] = {} = ([[e]]) [[e 1 e 2 ]] = [[e 1 ]] [[e 2 ]] [[e 1 e 2 ]] = [[e 1 ]] [[e 2 ]] 131
8 Bechte: Die Opertoren (_),, sind die entsprechenden Opertionen u Wort-Mengen: (L) = {w 1 w k k 0, w i L} L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1, w 2 L 2 } 132
9 Bechte: Die Opertoren (_),, sind die entsprechenden Opertionen u Wort-Mengen: (L) = {w 1 w k k 0, w i L} L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1, w 2 L 2 } Reguläre Ausdrücke stellen wir intern ls mrkierte geordnete Bäume dr: (ǫ) * ǫ Innere Knoten: Opertor-Anwendungen; Blätter: einzelne Zeichen oder ǫ 133
10 Finger-Üung: Zu jedem regulären Ausdruck e können wir einen Ausdruck e (evt mit? ) konstruieren so dss: [[e]] = [[e ]]; Flls [[e]] = {ǫ}, dnn ist e ǫ; Flls [[e]] = {ǫ}, dnn enthält e kein ǫ Konstruktion: Wir deinieren eine Trnsormtion T von regulären Ausdrücken durch: 134
11 Finger-Üung: Zu jedem regulären Ausdruck e können wir einen Ausdruck e (evt mit? ) konstruieren so dss: [[e]] = [[e ]]; Flls [[e]] = {ǫ}, dnn ist e ǫ; Flls [[e]] = {ǫ}, dnn enthält e kein ǫ Konstruktion: Wir deinieren eine Trnsormtion T von regulären Ausdrücken durch: 135
12 T [ǫ] T [] = ǫ = T [e 1 e 2 ] = cse (T [e 1 ], T [e 2 ]) o (ǫ,ǫ) : ǫ (e 1,ǫ) : e 1? (ǫ, e 2 ) : e 2? (e 1, e 2 ): (e 1 e 2 ) T [e 1 e 2 ] = cse (T [e 1 ], T [e 2 ]) o (ǫ,ǫ) : ǫ T [e ] = cse T [e] o ǫ : ǫ e 1 : e 1 T [e?] = cse T [e] o ǫ : ǫ e 1 : e 1? (e 1,ǫ) : e 1 (ǫ, e 2 ) : e 2 (e 1, e 2 ): (e 1 e 2 ) 136
13 Unsere Anwendung: Identiier in Jv: le = [-za-z_\$] di = [0-9] Id = {le} ({le} {di})* Bemerkungen: le und di sind Zeichenklssen Deinierte Nmen werden in {, } eingeschlossen Zeichen werden von Met-Zeichen durch \ unterschieden 137
14 Unsere Anwendung: Identiier in Jv: le = [-za-z_\$] di = [0-9] Id = {le} ({le} {di})* Bemerkungen: le und di sind Zeichenklssen Deinierte Nmen werden in {, } eingeschlossen Zeichen werden von Met-Zeichen durch \ unterschieden 138
15 Unsere Anwendung: Identiier in Jv: le = [-za-z_\$] di = [0-9] Id = {le} ({le}{di})* Gleitkommzhlen: Flot = {di}* (\{di}{di}\) {di}*((ee)(\+\-)?{di}+)? Bemerkungen: le und di sind Zeichenklssen Deinierte Nmen werden in {, } eingeschlossen Zeichen werden von Met-Zeichen durch \ unterschieden 139
16 12 Grundlgen: Endliche Automten Beispiel: ǫ ǫ Knoten: Knten: Zustände; Üergänge; Beschritungen: konsumierter Input :-) 140
17 12 Grundlgen: Endliche Automten Beispiel: ǫ ǫ Knoten: Knten: Zustände; Üergänge; Beschritungen: konsumierter Input :-) 141
18 Michel O Rin, Stnord University Dn S Scott, Crnegy Mellon University, Pittsurgh 142
19 Forml ist ein nicht-deterministischer endlicher Automt mit ǫ-üergängen (ǫ-nfa) ein Tupel A = (Q, Σ, δ, I, F) woei: Q Σ I Q F Q δ eine endliche Menge von Zuständen; ein endliches Einge-Alphet; die Menge der Anngszustände; die Menge der Endzustände und die Menge der Üergänge (die Üergngs-Reltion) ist 143
20 Forml ist ein nicht-deterministischer endlicher Automt mit ǫ-üergängen (ǫ-nfa) ein Tupel A = (Q, Σ, δ, I, F) woei: Q Σ I Q F Q δ eine endliche Menge von Zuständen; ein endliches Einge-Alphet; die Menge der Anngszustände; die Menge der Endzustände und die Menge der Üergänge (die Üergngs-Reltion) ist Für ǫ-nfas ist: δ Q (Σ {ǫ}) Q Git es keine ǫ-üergänge (p, ǫ, q), ist A ein NFA Ist δ : Q Σ Q eine Funktion und #I = 1, heißt A deterministisch (DFA) 144
21 Forml ist ein nicht-deterministischer endlicher Automt mit ǫ-üergängen (ǫ-nfa) ein Tupel A = (Q, Σ, δ, I, F) woei: Q Σ I Q F Q δ eine endliche Menge von Zuständen; ein endliches Einge-Alphet; die Menge der Anngszustände; die Menge der Endzustände und die Menge der Üergänge (die Üergngs-Reltion) ist Für ǫ-nfas ist: δ Q (Σ {ǫ}) Q Git es keine ǫ-üergänge (p,ǫ, q), ist A ein NFA Ist δ : Q Σ Q eine Funktion und #I = 1, heißt A deterministisch (DFA) 145
22 Akzeptierung Berechnungen sind Pde im Grphen kzeptierende Berechnungen ühren von I nch F Ein kzeptiertes Wort ist die Beschritung eines kzeptierenden Pdes ǫ ǫ 146
23 Akzeptierung Berechnungen sind Pde im Grphen kzeptierende Berechnungen ühren von I nch F Ein kzeptiertes Wort ist die Beschritung eines kzeptierenden Pdes ǫ ǫ 147
24 Dzu deinieren wir den trnsitiven Aschluss δ von δ ls kleinste Menge δ mit: (p,ǫ, p) δ und (p, xw, q) δ soern (p, x, p 1 ) δ und (p 1, w, q) δ eschreit ür je zwei Zustände, mit welchen Wörtern mn vom einen zum ndern kommt :-) δ Die Menge ller kzeptierten Worte, dh die von A kzeptierte Sprche können wir kurz eschreien ls: L(A) = {w Σ i I, F : (i, w, ) δ } 148
25 Stz: Für jeden regulären Ausdruck e knn (in linerer Zeit :-) ein ǫ-nfa konstruiert werden, der die Sprche [[e]] kzeptiert Idee: Der Automt verolgt (konzepionell mithile einer Mrke ), wohin mn in mit der Einge w gelngen knn e 149
26 Beispiel: () () * 150
27 Beispiel: w = : * 151
28 Beispiel: w = : * 152
29 Beispiel: w = : * 153
30 Beispiel: w = : * 154
31 Beispiel: w = : * 155
32 Beispiel: w = : * 156
33 Beispiel: w = : * 157
34 Beispiel: w = : * 158
35 Beispiel: w = : * 159
36 Bechte: Gelesen wird nur n den Blättern Die Nvigtion im Bum erolgt ohne Lesen, dh mit ǫ-üergängen Für eine ormle Konstruktion müssen wir die Knoten im Bum ezeichnen Dzu enutzen wir (hier) einch den drgestellten Teilusdruck :-) Leider git es eventuell mehrere gleiche Teilusdrücke :-( == Wir numerieren die Blätter durch 160
37 im Beispiel: * 161
38 im Beispiel: *
39 im Beispiel: *
40 Die Konstruktion: Zustände: r, r r Knoten von e; Anngszustnd: e; Endzustnd: e ; Üergngsreltion: Für Blätter r i x enötigen wir: ( r, x, r ) Die ürigen Üergänge sind: 164
41 r Üergänge r 1 r 2 ( r,ǫ, r 1 ) ( r,ǫ, r 2 ) (r 1,ǫ, r ) (r 2,ǫ, r ) r 1 r 2 ( r,ǫ, r 1 ) (r 1,ǫ, r 2 ) (r 2,ǫ, r ) r r 1 r 1? Üergänge ( r,ǫ, r ) ( r,ǫ, r 1 ) (r 1,ǫ, r 1 ) (r 1,ǫ, r ) ( r,ǫ, r ) ( r,ǫ, r 1 ) (r 1,ǫ, r ) 165
42 Diskussion: Die meisten Üergänge dienen dzu, im Ausdruck zu nvigieren :-( Der Automt ist i nichtdeterministisch :-( Strtegie: == (1) Beseitigung der ǫ-üergänge; (2) Beseitigung des Nichtdeterminismus :-) 166
43 Diskussion: Die meisten Üergänge dienen dzu, im Ausdruck zu nvigieren :-( Der Automt ist i nichtdeterministisch :-( Strtegie: == (1) Beseitigung der ǫ-üergänge; (2) Beseitigung des Nichtdeterminismus :-) 167
44 Beseitigung von ǫ-üergängen: Zwei einche Ansätze: p q 1 q 2 q Wir enutzen hier den zweiten Anstz Zur Konstruktion von Prsern werden wir später den ersten enutzen :-) 168
45 Beseitigung von ǫ-üergängen: Zwei einche Ansätze: p q 1 q 2 q Wir enutzen hier den zweiten Anstz Zur Konstruktion von Prsern werden wir später den ersten enutzen :-) 169
46 1 Schritt: empty[r] = t gdw ǫ [[r]] im Beispiel: *
47 1 Schritt: empty[r] = t gdw ǫ [[r]] im Beispiel: *
48 1 Schritt: empty[r] = t gdw ǫ [[r]] im Beispiel: *
49 1 Schritt: empty[r] = t gdw ǫ [[r]] im Beispiel: t *
50 1 Schritt: empty[r] = t gdw ǫ [[r]] im Beispiel: t *
... in unserem Fall: Scanner. Generator. Spezifikation. Spezifikation von Token-Klassen: Reguläre Ausdrücke;
in unserem Fll: Speziiktion Genertor Scnner Speziiktion von Token-Klssen: Reguläre Ausdrücke; Generierte Implementierung: Endliche Automten + X :-) 11 in unserem Fll: 0[1-9][0-9]* Genertor 0 [1 9] [0 9]
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