Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
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- Eva Schneider
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1 3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien DFA Reguläre Grmmtik (Folie 89) Stz. Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Beweis. Nch Definition, ist eine Sprche regulär, wenn es eine reguläre Grmmtik git, die sie erzeugt. Sei ein endlicher Automt M = (Z, Σ, δ, z 0, E) gegeen. Wir müssen zeigen, dss es eine reguläre Grmmtik G git, mit L(G) = T (M). Wir konstruieren die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen enthält: Flls ɛ T (M), enthält P eine Produktion S ɛ. (Es ist dnn noch notwendig, die Grmmtik noch weiter umzuwndeln, dmit die ɛ-sonderregel nicht verletzt wird.) Für lle z 1 Z und Σ: Flls δ(z 1, ) = z 2, dnn gilt (z 1 z 2 ) P. Flls zusätzlich gilt, dss z 2 E, dnn gilt uch (z 1 ) P. Jetzt müssen wir noch eweisen, dss T (M) = L(G). Dfür git es zwei Richtungen. Angenommen, 1... n T (M). Dnn git es Zustände q 0,..., q n, so dss q 0 = z 0, q n E und q i = δ(q i 1, i ), für i {1,..., n}. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Weil ußerdem q n E, gilt uch (q n 1 n ) P. Deswegen ist z 0 1 q q n 1 q n n eine Aleitung von G, und es gilt 1... n L(G). Angenommen, 1... n L(G). Nch Definition muss es eine Aleitung z 0 1 q q n 1 q n n geen. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Ds heißt, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Nch Konstruktion gilt q i = δ(q i 1, i ). Weil ußerdem (q n 1 n ) P, git es einen q n E so dss q n = δ(q n 1, n ). Drus folgt, dss 1... n T (M). Bemerkung: Oiger Beweis ist konstruktiv. Ds heißt, dss er ein Verfhren enthält, ds wir enützen können, um eine zu einem DFA äquivlente reguläre Grmmtik zu erzeugen. Beispiel zur Umwndlung Wenn wir ds Verfhren us dem Beweis uf dem DFA der Folie 82 nwenden, ergit sich folgende reguläre Grmmtik: z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 z 1 1
2 Zu Folie 93 Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd und Alphetsymol wird eine Menge von Zuständen zugeordnet. Beispiel: der Automt uf Folie 92 wird folgendermßen textuell drgestellt: M = ({z 0, z 1, z 2, z 3 }, {, }, δ, {z 0, z 3 }, {z 3 }), woei: δ(z 0, ) = {z 1 } δ(z 1, ) = δ(z 2, ) = {z 3 } δ(z 3, ) = {z 0 } δ(z 0, ) = {z 0, z 2 } δ(z 1, ) = {z 3 } δ(z 2, ) = δ(z 3, ) = Zu Folie 94 Genuso wie ei DFAs, ist ˆδ die Erweiterung von δ von Alphetsymolen uf Wörter. Sei Z = {z 1,..., z n }. Dnn edeutet ˆδ(δ(z, ), x) z Z ds gleiche wie: ˆδ(δ(z 1, ), x) ˆδ(δ(z n, ), x) Beispiel (siehe Automt uf Folie 92): ˆδ({z 0 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ) = ˆδ({z 0, z 2 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ɛ) ˆδ(δ(z 2, ), ɛ) = ˆδ({z 1 }, ɛ) ˆδ({z 3 }, ɛ) = {z 1 } {z 3 } = {z 1, z 3 } Ds heißt, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 0 entweder in den Zustnd z 1 oder in den Zustnd z 3 führt. NFA-Beispiele (Zu Folie 96) Die vom NFA kzeptierten Sprche ist: L = {x ds 3-letzte Zeichen von x ist } Folgender NFA kzeptiert die Sprche L = {x x fängt mit n und endet mit }: z 0 z 1 z 2, 2
3 Potenzmengenkonstruktion (Folie 99) Wir wenden die Potenzmengenkonstruktion n, um den folgenden NFA (üer ds Alphet Σ = {, }) in einen DFA umzuwndeln: z 2 z 1 z 4 z 3 Mnchml ist es hilfreich, eine Telle zu erstellen. Wir fngen n mit der Menge von Anfngszuständen ({z 1, z 4 }), und gucken welche Mengen von Zuständen drus nch dem Einlesen eines Symols erreicht werden. Die erreichten Zustände werden wieder in die Telle eingefügt: {z 1, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } Für lle Mengen von Zuständen, die in die Telle ufgenommen werden, gucken wir welche Mengen von Zuständen nch dem Einlesen einzelner Alphetsymole erreicht werden, und fügen diese in die Telle ein (flls sie noch nicht vorhnden sind). Im Beispiel sieht die Telle m Ende folgendermßen us: {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 3 } {z 3 } Auf diese Weise nehmen wir nur die erreichre Zustände des DFA in die Telle uf. (Es sei ngemerkt, dss der vollständige Potenzmengenutomt 2 4 = 16 Zustände ht, von denen wir nur 4 ngegeen hen.) Die Zustände {z 2, z 3 } und {z 3 } sind Endzustände des NFA, denn sie enthlten einen Endzustnd des NFA. Der DFA, der dieser Telle enspricht, ist: 3
4 {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 }, Hier sei ngemerkt, dss Zustände des konstruierten DFAs Mengen von Zuständen des ursprünglichen NFAs sind. Hinweis: Owohl die Telle hilfreich sein knn, ist es nicht notwendig sie nzugeen. Mn knn die Zustände uch sofort ufzeichnen nsttt sie in die Telle ufzunehmen. (Insesondere drf mn ds uch in der Prüfung zw. Klusur mchen.) Mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion, wird der NFA von Seite 2 in den folgenden DFA umgewndelt (nicht erreichre Zustände, wie z.b. {z 2, z 3 }, sind nicht ngegeen). {z 0 } {z 1 } {z 1, z 2 }, Reguläre Grmmtik NFA (Folie 103) Gegeen Sei G = ({S, U}, {, }, P, S), woei P wie folgt definiert ist: S S U U U S Wir wndeln diese Grmmtik in einen NFA M = (Z, {, }, δ, S, E) um. Wir hen: Z = {S, U, X} E = {X} und δ wie folgt: 4
5 S X U 5
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