1) Gegeben sei ein endlicher, erkennender Automat, definiert durch: f z, definiert durch das Zustandsdiagramm: a,b. z 3

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1 (Prüfungs-)Aufgen ur Automtentheorie (enthält uch Aufgen u formlen Sprchen) ) Gegeen sei ein endlicher, erkennender Automt, definiert durch: Eingelphet X = {, } Zustndsmenge Z = {,, 2, 3 } Anfngsustnd Z A = keptierender Endustnd Z E = 3 Zustndsfunktion f, definiert durch ds Zustndsdigrmm: 2 3, ) Welche Eingewörter werden von diesem Automten keptiert? (Geen Sie entweder eine mengentheoretische Drstellung n oder eine verle Beschreiung). ) Geen Sie eine linkslinere Grmmtik n, die diese Sprche ereugt. 2) Gegeen sei ein endlicher, erkennender Automt, definiert durch: Eingelphet X = {, } Zustndsmenge Z = {,, 2, 3, 4, 5, 6, F } Anfngsustnd Z A = keptierender Endustnd Z E = 6 Zustndsfunktion f, definiert durch die folgende Zustndstfel: x F F F F F F F F ) Zeichnen Sie ds Zustndsdigrmm dieses Automten. ) Welche Wörter des Exeß-3-Codes us Aufge 3 keptiert dieser Automt?

2 3) Gegeen sei ein nicht-deterministischer, endlicher Automt, definiert durch: Eingelphet X = {,} Zustndsmenge Z = {,, 2 } Anfngsustnd Z A = keptierender Endustnd Z E = 2 Zustndsfunktion f, definiert durch ds Zustndsdigrmm: 2,, ) Geen Sie die Sprche dieses Automten n (entweder ls mengentheoretische Drstellung oder durch eine verle Beschreiung). ) Geen Sie eine rechtslinere Grmmtik für die Sprche dieses Automten n. c) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten, der diesele Sprche keptiert. (Hinweis: Gehen Sie ei der Konstruktion von dem nicht-deterministischen Automten us.) 4) Gegeen sei ein endlicher Automt, definiert durch: Eingelphet X = {,} Zustndsmenge Z = {, } Anfngsustnd Menge der keptierenden Endustände Z E = { } Zustndsfunktion f, definiert durch ds Zustndsdigrmm: ) Geen Sie die von diesem Automten erknnte Sprche n. ) Geen Sie eine linkslinere Grmmtik für die Sprche dieses Automten n.

3 5) Konstruieren Sie einen endlichen Automten mit dem Eingelphet {,}, der lle Eingewörter gerder Prität, lso mit einer gerden Anhl Einser, keptiert. 6) Betrchten Sie den durch folgendes Zustndsdigrmm estimmten nicht-deterministischen endlichen Automten üer dem einelementigen Alphet {}: ) Welche Sprche wird von diesem Automten erknnt? ) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten, der diesele Sprche erkennt. 7) Konstruieren Sie einen erkennenden endlichen Automten üer dem Alphet {,,c}, der lle Wörter keptiert, die die Zeichenfolge "" nicht enthlten. Geen Sie dei eine vollständige Definition des Automten. 8) Entwickeln Sie eine Turingmschine T = ( X, Z, B,, ZE, u ) die für eine inäre Bndinschrift ds ungerde Pritätsit (Anhl der -Bits ist ungerde einschließlich des Pritätsits) ermittelt und dieses rechts von der Bndinschrift uf ds Bnd schreit und dnn hält. ) Wie lutet die vollständige Definition dieser TM einschließlich der Mschinentfel für u. u in Form einer Mschinentfel ) Zeigen Sie die Funktionsfähigkeit Ihrer TM. Beschreien Sie die einelnen Verreitungsschritte, die diese Turingmschine ei einer Einge-Bndinschrift von und durchläuft.

4 9) Gegeen sei eine Turingmschine T = ( X, Z, B,, ZE, u ) mit folgenden Prmetern T = { {,}, {,, 2, e }, { R, L, H }, { }, { e}, u} und u in Form einer Mschinentfel R R L 2 L L e H 2 2 L 2 L e R ) Beschreien Sie die einelnen Verreitungsschritte, die diese Turingmschine ei einer Einge-Bndinschrift von durchläuft. ) Ws leistet diese Turingmschine? ) Gegeen sei eine Turingmschine T = (X, Z, B,, Z E, u) mit folgenden Prmetern: T = { {,}, {,, 2, e}, {R, L, H},, { e}, u} mit folgender Mschinentfel für die Üergngsfunktion u: R R L 2 L L e H 2 2 L 2 L e R e e H e H e H ) Beschreien Sie die Verreitungsschritte dieser Turingmschine ei der Einge- Bndinschrift, woei der Lesekopf m Anfng üer der linken steht (und ds Bnd rechts und links des Eingewortes ds "Leereichen" enthält). ) Ws leistet diese Turingmschine im llgemeinen? c) Ws edeutet dies konkret für die speielle Bndinschrift us Teilufge )? 2) Konstruieren Sie einen erkennenden endlichen Automten üer dem Alphet {,}, der genu die folgende Sprche erkennt: L = { n m ; n>, m > } 3) Konstruieren Sie einen erkennenden endlichen Automten üer dem Alphet {,}, der genu die folgende Sprche erkennt: L = { 2n m ; n>, m > }

5 4) Gegeen sei ein erkennender, endlicher Automt A = (X, Z, Z E,, f ) mit X = {,}, Z = {,, 2, 3, 4}, Z E = { 2} und dem Zustndsdigrmm o 2 3, 4 ) Geen Sie eine verle oder mengentheoretische Beschreiung der von dem Automten A erknnten Sprche L(A). ) Der oige Automt ist nicht miniml. Geen Sie einen äquivlenten, minimlen Automten n. Hinweis: Ntürlich können Sie ds esprochene Verfhren ur Minimierung von Automten verwenden, er es geht uch sehr viel einfcher durch schrfes Hinsehen. Üerprüfen Sie ur Kontrolle Ihrer Lösung, o Ihr neuer Automt wieder diesele Sprche erkennt. c) Geen Sie eine rechtslinere Grmmtik für die Sprche dieses Automten n, die keine üerflüssigen Nichtterminle oder Regeln enthält. Hinweis: Gehen Sie evorugt von dem minimlen Automten us Teil c) us. Wenn Sie von dem Automten us Teil ) usgehen, müssen Sie nschließend die Grmmtik stärker vereinfchen. Sie dürfen er uch die Grmmtik für die Sprche ngeen, ohne sie us einem der Automten heruleiten. 5) Konstruieren Sie einen erkennenden endlichen Automten üer dem Alphet {}, der genu die folgende Sprche erkennt: L = { 2n ; n>} { 5n ; n>} Achten Sie uf die Vollständigkeit Ihrer Angen. 6) Gegeen sei ein erkennender, endlicher Automt A = (X, Z, Z E,, f ) mit X = {,}, Z = {,, 2, 3, 4}, Z E = { 2} und der durch ds folgende Digrmm definierten Zustndsfunktion f,,, 2 3 4

6 ) Ist der Automt A nicht-deterministisch oder deterministisch? ) Bestimmen Sie die Sprche L(A) des Automten A. (Achtung: es müssen wei Fälle unterschieden werden!) c) Ist der Automt A miniml? Begründen Sie Ihre Antwort! (Hinweis: es geht uch ohne Minimierungsverfhren.) d) Geen Sie eine rechtslinere Grmmtik ohne üerflüssige Regeln für die Sprche dieses Automten n. 7) Konstruieren Sie einen endlichen Automten, der genu diejenigen Wörter üer dem Alphet {,} keptiert, deren viertlettes Zeichen eine ist. (Achten Sie uf die Vollständigkeit Ihrer Angen.) 8) Gegeen sei eine Turingmschine T = (X, Z, B,, Z E, u) mit folgenden Prmetern: T = { {,}, {,, e}, {R, L, H},, { e}, u} mit folgender Mschinentfel für die Üergngsfunktion u: R R e H R R e H e e H e H e H ) Beschreien Sie die Verreitungsschritte dieser Turingmschine ei der Einge- Bndinschrift, woei der Lesekopf m Anfng üer der linken steht (und ds Bnd rechts und links des Eingewortes ds "Leereichen" enthält). ) Ws leistet diese Turingmschine im llgemeinen? 9) Gegeen sei ein endlicher, erkennender Automt, definiert durch: Eingelphet X = {, } Zustndsmenge Z = {,, 2, 3, 4} Anfngsustnd Menge der Endustände Z E = { 3} Zustndsfunktion f Z, definiert durch ds Zustndsdigrmm:

7 3, 4, 2 ) Welche Eingewörter werden von diesem Automten keptiert? (Geen Sie entweder eine mengentheoretische Drstellung n oder eine verle Beschreiung). ) Geen Sie eine rechtslinere Grmmtik n, die diese Sprche ereugt und die keine üerflüssigen Nichtterminle oder Regeln enthält. 2) Konstruieren Sie einen endlichen Automten üer dem Alphet {,}, der genu die Menge ller Wörter keptiert, die ds Teilwort enthlten. (Gleiche Aufge uch mit der usätlichen Forderung, dss der Automt deterministisch ist.) 2) Betrchten Sie den durch folgendes Zustndsdigrmm estimmten nicht-deterministischen endlichen Automten üer dem einelementigen Alphet {}: ) Welche Sprche wird von diesem Automten erknnt? Geen Sie whlweise eine mengentheoretische oder umgngssprchliche Beschreiung der Sprche n. ) Konstruieren Sie einen äquivlenten endlichen Automten, der nur einen einigen Endustnd ht. c) Geen Sie whlweise eine rechts- oder linkslinere Grmmtik für die Sprche dieses Automten n, die keine üerflüssigen Nichtterminle und Regeln enthält. Es folgt die Ange einer lineren Grmmtik: 22) Konstruieren Sie einen erkennenden endlichen Automten üer dem Alphet {,}, der genu die folgende Sprche erkennt: L = { 2n 2m+ ; n,m > } 23) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten üer dem Alphet {,,c}, der genu lle Wörter erkennt, die ds Teilwort c enthlten.

8 24) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten üer dem Alphet {,,2,, 9}, der lle Telefonnummern erkennt ußer denen ins Auslnd, die mit eginnen. 25) Betrchten Sie den durch folgendes Zustndsdigrmm estimmten nicht-deterministischen endlichen Automten üer dem einelementigen Alphet {}: 5 ) Geen Sie einen endlichen Automten n, der diesele Sprche erkennt und nur einen einigen Endustnd ht. ) Geen Sie entweder eine rechtslinere oder eine linkslinere Grmmtik für die Sprche dieses Automten n. 26) Betrchten Sie den durch folgendes Zustndsdigrmm estimmten nicht-deterministischen endlichen Automten üer dem Alphet {,}:, 2, ) Welche Sprche wird von diesem Automten erknnt, und von welchem Typ ist diese Sprche? ) Geen Sie ds Zustndsdigrmm eines äquivlenten minimlen deterministischen endlichen Automten n. 27)

9 Betrchten Sie den durch folgendes Zustndsdigrmm estimmten endlichen Automten üer dem Alphet {,}: 2 ) Ist der Automt deterministisch oder nicht-deterministisch? ) Welche Sprche wird von diesem Automten erknnt? c) Geen Sie eine rechts-linere oder eine links-linere Grmmtik n, die die von diesem Automten erknnte Sprche ereugt. Eine -linere Grmmtik für diese Sprche ist: 28) Eine fiktive Progrmmiersprche erlut Vrilennmen nur mit folgendem Aufu: ds erste Zeichen ist ein x, nschließend kommt eine Nummer estehend us einer oder mehreren (elieig vielen) Ziffern -2. ) Geen Sie eine rechts-linere oder eine links-linere Grmmtik üer dem Alphet {x,,, 2} n, die genu die Vrilennmen dieser Progrmmiersprche ereugt. Eine -linere Grmmtik für diese Sprche ist: ) Geen Sie ds Zustndsdigrmm für einen endlichen Automten üer dem Alphet {x,,, 2} n, der genu die Vrilennmen dieser Progrmmiersprche keptiert. 29) Konstruieren Sie einen deterministischen, erkennenden endlichen Automten üer dem Alphet {,}, der genu die folgende Sprche erkennt: L = { 2n 2m+ ; n,m > } 3) Betrchten Sie den durch folgendes Zustndsdigrmm estimmten endlichen Automten üer dem Alphet {,}:

10 ) Ist der Automt deterministisch oder nicht-deterministisch? ) Welche Sprche wird von diesem Automten erknnt? (In Mengenschreiweise!) c) Geen Sie einen äquivlenten endlichen Automten mit einem einigen Endustnd n. d) Geen Sie eine rechtslinere Grmmtik ohne üerflüssige Nichtterminle und Regeln n, die die Sprche dieses Automten ereugt. (Wenn der Plt nicht usreicht, verwenden Sie die Rückseite des vorhergehenden Blttes.) 3) Sei Pl ger die Sprche der Plindrome gerder Länge üer dem Alphet {,}. ) Von welcher Art Automt knn Pl ger erknnt werden? ) Beschreien Sie die Areitsweise eines Automten, der Pl ger erkennt. Eine korrekte formle Drstellung des Automten ist nicht verlngt (er ntürlich erlut). Sie können.b. die einelnen Areitsschritte (Lese- und/oder Schreiopertionen, Zustndswechsel, ) in Worten eschreien (er hinreichend präise!). 32) Gegeen sei die Turingmschine T = (X, Z, B,, Z E, u) mit X = {,}, Z = {,, 2, e}, B = {R, L, H}, =, Z E = { e} und folgender Mschinentfel für die Üergngsfunktion u: R R L 2 L L e R 2 2 L 2 L e R e e H e H e H ) Beschreien Sie die Verreitungsschritte dieser Turingmschine ei der Einge- Bndinschrift, woei der Lesekopf m Anfng üer der linken steht (und ds Bnd rechts und links des Eingewortes ds "Leereichen" enthält). ) Ws leistet diese Turingmschine im llgemeinen? (Es git 2 Zustpunkte, wenn Sie nicht nur eschreien, ws die Turingmschine tut, sondern uch ngeen, welches in der Informtik wichtige Konstrukt ddurch erechnet wird.) c) Welche Sprche wird von dieser Turingmschine erknnt?

11 33) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten üer dem Alphet {,,c}, der genu diejenigen Wörter erkennt, die genu ein und genu ein c enthlten. 34) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten üer dem Alphet {,,c}, der genu diejenigen Wörter erkennt, die die Zeichenfolge c nicht enthlten. 35) Ein nicht-deterministischer endlicher Automt he die Zustndsmenge Z mit n Elementen. Welche Zustndsmenge wird ei dem in der Vorlesung ehndelten Verfhren für die Konstruktion eines äquivlenten deterministischen Automten verwendet und wieviele Elemente ht diese? 36) Wie strk wächst der Aufwnd um Erkennen eines Wortes durch einen deterministischen endlichen Automten in Ahängigkeit von der Länge des Wortes? 37) ) Wie ist ds Erkennen eines Wortes durch einen nicht-deterministischen endlichen Automten definiert? ) Ws muss mn lso tun um festustellen, dss ein estimmtes Wort von einem nichtdeterministischen endlichen Automten nicht erknnt wird?