Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. von speziellem Interesse: Polynomialzeitreduktion

Transkript

1 Reduktion Seien A Σ und B Γ. Mn sgt A ist reduzierr uf B (A B) gdw. f : Σ Γ. x Σ.x A f(x) B Í* * A B von speziellem Interesse: Polynomilzeitreduktion ( pol ), logrithmische-pltz- Reduktion ( log ). F3 01/02 p.353/380

2 Reduktion (2) Zurückführen der Entscheidrkeit von A uf die Entscheidrkeit von B: Vorussetzung A B. w DTM f(w) fla DTM flb F3 01/02 p.354/380

3 K-Vollständigkeit Eine Menge A Σ heißt hrt (oder esser: schwer) für eine Klsse K gdw. K.B A Eine Menge A Σ heißt vollständig für eine Klsse K gdw. A K K.B A K K F3 01/02 p.355/380

4 N P-Vollständigkeit esonders interessnnter Spezilfll der Vollständigkeit: Eine Menge A Σ heißt N P-vollständig gdw. A N P B N P.B pol A Ein N P-vollständiges Prolem ist somit eines der schwersten zw. umfssendsten Proleme innerhl der Klsse N P. Wichtige Eigenschft: Trnsitivität von pol. Ist A ein N P-vollständiges Prolem und gilt A pol B, so ist uch B N P-vollständig. F3 01/02 p.356/380

5 N P-hrt Eine Menge A Σ heißt N P-hrt gdw. N P.B pol A ist NP-hrt NP gdw. für lle us NP gilt pol F3 01/02 p.357/380

6 N P-vollständig Eine Menge A Σ heißt N P-vollständig gdw. A N P N P.B pol A ist NP-vollständig NP gdw. 1. liegt in NP und 2. ist NP-hrt F3 01/02 p.358/380

7 Ein N P-vollständiges Prolem Bisher nur Definition der N P-Vollständigkeit Aer: Git es üerhupt solche Proleme? Diese Frge wr lnge Zeit ungeklärt! Nch dem ersten folgten er sofort viele N P-vollständige Proleme. Wrum?! Idee für ein erstes N P-vollständiges Prolem: Codierung ller Polynomilzeit-TM-Rechnungen ls Formel (SAT) ls Kchelprolem (2D-Domino) F3 01/02 p.359/380

8 Ds Kchelprolem ist in N P Gegeen: Eine Menge von r Kcheltypen R = {K 1, K 2,..., K r }, n IN (elieig viele Kcheln von jedem Typ) Gesucht: Knn mn eine Fläche der Größe n n korrekt kcheln? Antwort: JA oder NEIN nur gleichfrige Seiten dürfen neinndergelegt werden! Steine dürfen nicht gedreht werden! F3 01/02 p.360/380

9 Ds spezielle Kchelprolem endlicher Stz von Kcheln endliches Spielfeld der Größe n n erste Zeile festgelegt hier: duch die Anfngskonfigurtion einer (polynomilzeiteschränkten) TM Zeilenwechsel entspricht Konfigurtionswechsel der TM Dieser Spezilfll des Kchelprolems wird nun ls N P-vollständig nchgewiesen. F3 01/02 p.361/380

10 Ds spezielle Kchelprolem p,,r q,p p p,q p,q p,q F3 01/02 p.362/380

11 Ds spezielle Kchelprolem ktueller Zustnd ktuelles Bndsymol p,,r q neues Bndsymol,p p p,q p,q p,q F3 01/02 p.363/380

12 Ds spezielle Kchelprolem p,,r q,p p p,q p,q Zustndswechsel & Änderung der Kopfposition p,q F3 01/02 p.364/380

13 Ds spezielle Kchelprolem p,r p p,,r,,r q r,p p p,q p,r,q p p,r,q F3 01/02 p.365/380

14 Ds spezielle Kchelprolem p,r p p,,r,,r q r,p p p,q p,r,q p,r Zustndswechsel & Änderung der Kopfposition p,q F3 01/02 p.366/380

15 Ds spezielle Kchelprolem p,r p,r p,,r,,l q r,p p p,q p,q p,r,p p p,q F3 01/02 p.367/380

16 Formle Trnsformtion Für lle fl : Für lle qflzend und fl :,q Für Strtzustnd s und lle fl :,s F3 01/02 p.368/380

17 Eine TM M mit L(M) P,,R,,R,3,4,,R,,L,,H ,1 1 1,2 1,2 1,2,2 1 1,2 1,2 1,2 F3 01/02 p.369/380

18 Beispiel-TM (2),1,1 1 1,2,2 2 2,2,2 2 2,2,2 2 2,2,2 2 2,3,3,4,4 2,2,2 2 F3 01/02 p.370/380

19 Beispiel-TM (3),1,1 1 1,2,2 2 2,2,2 2 2,2,2 2 2,2,2 2 2,3 2,2,2 2 2 F3 01/02 p.371/380

20 SAT Definition: SAT := {w X w ist ein erfüllrer oolescher Ausdruck } ist ds Erfüllrkeitsprolem: Gegeen: Eine Menge V von Vrilen und eine oolesche (ussgenlogische) Formel B X mit X = {x, 0, 1,,,, (, )}. Gesucht: Antwort: Git es eine Belegung der Vrilen mit TRUE (1) und FALSE (0), so dß B zu TRUE (1) evluiert? JA oder NEIN F3 01/02 p.372/380

21 N P-Vollständigkeit von SAT Theorem: SAT ist N P-vollständig. Beweisidee: Es ist einfch zu sehen, dß SAT N P gilt. Zu einer gegeenen Formel B mit den Vrilen x 1, x 2,... x n wird in Linerzeit nichtdeterministisch eine Belegung der Vrilen mit TRUE oder FALSE gerten. Es wird geprüft, o B mit dieser Belegung den Wert TRUE ekommt. Dies ist in Polynomzeit möglich. Bleit zu Zeigen, dß jedes ndere Prolem us N P polynomzeitreduzierr ist uf SAT. F3 01/02 p.373/380

22 Reduktion uf SAT FELD(i, j, t) ˆ= In Konfigurtion k t steht ds Zeichen x j in Feld i. ZUSTAND(r, t) ˆ= In der Konfigurtion k t efindet sich die TM A L im Zustnd z r. KOPF(i, t) ˆ= In der Konfigurtion k t steht der LSK uf dem Feld i. Anzhl dieser Vrilen in O(p(n) 2 ), wenn p(n) die Zeitschrnke ist. Wir definieren die Formel ( 1, 2,..., r ) := ( r ) i j ( i j ). Die Länge dieser Formel ist von der Ordnung O(r 2 ). Die Formel F w ht die Form F w := A B C D E F G. F3 01/02 p.374/380

23 Reduktion uf SAT (2) Die einzelnen Teilformeln edeuten: A ˆ= In jeder Konfigurtion k t steht der LSK uf genu einem Feld. B ˆ= In k t enthält jedes Feld genu ein Zeichen. C ˆ= In k t efindet sich A L in genu einem Zustnd. D ˆ= Bei jedem Üergng wird genu ds Feld verändert, uf ds der LSK zeigt. E ˆ= Jeder Üergng entspricht der Turing-Tfel. F ˆ= Die erste Konfigurtion ist k 0 = q 0 w.... G ˆ= Der Zustnd in der letzten Konfigurtion k p(n) ist Endzustnd us Z end. F3 01/02 p.375/380

24 Beispiel einer Teilformel Es ist A := A 1 A 2... A p(n) und t p(n).a t := (KOPF(1, t), KOPF(2, t),..., KOPF(p(n), t)) Auch B und C sind zusmmengesetzte Formeln: B := B(i, t) mit 1 i,t p(n) B(i, t) := (FELD(i, 1, t),..., FELD(i, m, t)), m := Y C := C t mit 1 t p(n) C t := (ZUSTAND(1, t),..., ZUSTAND(s, t)), s := Z F3 01/02 p.376/380

25 Einfche Folgerungen Lemm: Sei L N P-vollständig, L pol N P. Dnn ist uch M N P-vollständig M und M Beweis: Ds Lemm folgt direkt us der Definition von N P-Vollständigkeit und der Trnsitivität der Polynomzeitreduktionen. Beispiel im Skript: KNF ist N P-vollständig. KNF := {w X w ist eine erfüllre oolesche Formel in konjunktiver Normlform} F3 01/02 p.377/380

26 Weitere N P-vollständige Proleme Definition: Ds Erfüllrkeitsprolem oolescher Formeln in konjunktiver Normlform drgestellt ls Sprche: KNF := {w X w ist eine erfüllre oolesche Formel in konjunktiver Normlform} Theorem: KNF ist N P-vollständig. Definition: Die Sprche 3-SAT / KNF / SAT ist gegeen durch: 3 -SAT := {w X w ist erfüllre oolesche Formel in konjunktiver Normlform mit genu 3 Literlen in jeder Klusel }. Theorem: 3-SAT ist N P-vollständig. F3 01/02 p.378/380

27 N P-vollständige Proleme (2) Theorem: Ds Hmilton-Kreis Prolem H c ist N P-vollständig. Ds Prolem L w ( Längster Weg zwischen zwei Knoten ) ist NP-vollständig. Ds Rucksckprolem ist N P-vollständig. Ds Prtitionierungsprolem von Grphen ist N P-vollständig. Ds Prolem CLIQUE ist N P-vollständig. F3 01/02 p.379/380

28 N P-vollständige Proleme in P? Dß P N P gilt ist klr! Könnte uch ds Gegenteil, lso P N P, gelten? Mn räuchte nur von einem einzigen N P-vollständigen Prolem A zeigen, dß es in P liegt! Dnn würde nämlich sofort folgen: B N P.B pol A B N P.B P Dies ist islng noch niemndem gelungen!!! F3 01/02 p.380/380