Logik und Grundlagen der Informatik

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1 Logik und Grundlgen der Informtik Üungsklusur Stephn Schulz 25. Ferur

2 Aufge 1: (2+2+3P) Sei M 1 = {2x x Z}. Sei M 2 = {5x x N}. ) Bestimmen Sie M 1 M 2. ) Bestimmen Sie M 2 \M 1 c) Geen Sie eine ijektive Funktion von M 1 M 2 n. Lösung: ) M 1 M 2 = {10x x N} ) M 2 \M 1 = {5 + 10x x N} c) Korrektur: Eine solche Bijektion ist z.b. definiert durch { 5 x flls x N f(x) = 5 ( x 1) sonst Idee: Die positiven gerden Zhlen werden uf die gerden Vielfchen von 5 geildet. Die negtiven gerden Zhlen werden uf die ungerde Vielfchen von 5 geildet. 2

3 Aufge 2: ( P) Sei A = {,, c, d, e, f} und R = {(, ), (c, ), (d, e), (e, f), (f, d)} eine inäre Reltion üer A. ) Stellen Sie R ls Telle d. ) Ist R 1. Homogen? 2. Symmetrisch? 3. Linkstotl? 4. Rechtseindeutig? c) Berechnen Sie R und stellen Sie ds Ergenis ls Grph d d) Berechnen Sie die kleinste Äquivlenzreltion, die R enthält, und stellen Sie ds Ergenis ls Telle d. Lösung: ) c d e f c d e f ) 1. Homogen: J 2. Symmetrisch: Nein, d z.b (, ) R, er nicht (, ) R 3. Linkstotl: Nein, d keinem Element zugeordnet ist 4. Rechtseindeutig: J, d keinem Element zwei verschiedene Werte zugeordnet werden. c) R ist die reflexive, trnsitive Hülle. Als Grph: c d e f d) c d e f c d e f

4 Aufge 3: (1+3+2P) Betrchten Sie den folgenden Scheme-Code: ( d e f i n e ( mystery2 r l s t ) ( i f ( n u l l? l s t ) ( r ( c r l s t ) ( mystery2 r ( c d r l s t ) ) ) ) ) ( d e f i n e ( (4 5 ) ) ) ) Ws ist der Rückgewert des folgenden Ausdrucks? ( mystery2 + ( ) 0) ) Ws ist der Rückgewert des folgenden Ausdrucks? ( mystery2 ( mp ( lmd ( x ) (+ 2 x ) ) ( ) ) 1) c) Mit welchem Scheme-Ausdruck können Sie die vorhndene Liste in (1 2 3) umuen? Lösung: mystery2 implementiert ein Reduce, d.h. es kominiert die Werte us der Eingelist prweise mit der gegeenen Funktion (und dem Strtwert ). ) ==> 0 ) ==> -360 c) (set-cdr! (cddr ) ()) 4

5 Aufge 4: (2+2+3P) Sei F = c c und G = c ( ). ) Geen sie vollständig geklmmerte Versionen von F und G n. ) Gilt F G? Verwenden Sie die Whrheitstfelmethode! c) Gilt = F G? Verwenden Sie die Tleux-Methode! Lösung: ) F = ((( ) ( c)) ( c)) G = (( ) (c ( ( )))) ) Es gilt F G, denn F und G hen die selen Modelle: c F G c) Es gilt = F G gdw. (F G) unerfüllr ist. Tleu nächste Seite. Keine Angst, in der echten Klusur kommt so ein großes Tleu nicht drn! 5

6 ( ) ( ) ( ) ( ( ( ))) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( c) c ( ) ( c) ( ( ( ))) ( ) ( (((( ) ( c)) ( c)) (( ) (c ( ( )))))) (((( ) ( c)) ( c)) ( (( ) (c ( ( )))))) (( ((( ) ( c)) ( c))) (( ) (c ( ( ))))) ((( ) ( c)) ( c)) ( ((( ) ( c)) ( c))) ( (( ) (c ( ( ))))) (( ) (c ( ( )))) ( ( )) ( (( ) ( c))) ( (c ( ( )))) ( ( c)) (( ) ( c)) ( ( )) ( ) ( ) ( ( c)) ( ( ( ))) (c ( ( ))) ( ) ( c) ( ) ( c) ( ) c ( ) ( ( )) c ( ) ( ) ( c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( ( )) (( ) ) ( ) ( ) 6

7 Aufge 5: (2+3+3P) Betrchten Sie folgende Beschreiung: Ds System ist genu dnn im Multiuser-Sttus, wenn es norml reitet. Wenn ds System norml reitet, funktioniert der Kernel. Entweder der Kernel funktioniert nicht, oder ds System ist im Interrupt-Modus. Wenn ds System nicht im Multiuser-Sttus ist, dnn ist es im Interrupt-Modus. Ds System ist nicht in Interrupt-Modus. ) Ws sind die tomren Aussgen? ) Stellen Sie eine Menge von ussgenlogischen Formeln uf, die den Schverhlt repräsentieren. c) Ist die Formelmenge erfüllr? Begründen Sie Ihre Aussge! Lösung: ) Ds System ist im Multiuser-Sttus: m Ds System reitet norml: n Der Kernel funktioniert: k Ds System ist im Interrupt-Modus: i Formelmenge: 1. m n 2. n k 3. (k i) 4. m i 5. i Die Formelmenge ist erfüllr mit der Interprettion {k, i, m, n} - ndere Schreiweise: I(k) = 1, I(i) = 0, i(m) = 1, i(n) = 1. Ich he ds mit einem Tleux (von Hnd) gelöst. 7

8 Aufge 6: (6P) Zeigen Sie: {, } ist eine Bsis der Aussgenlogik. Sie können vorussetzen, dss {,, } eine Bsis ist. Lösung: D {,, } ls Bsis gegeen ist, müssen wir nur zeigen, dss für lle F F or0 Σ, die nur,, ls Opertoren enthlten, ein äquivlented F existiert, dss nur, enthält. Wir zeigen dies mit Induktion üer den Aufu. IA: Sei F eine elementre Formel, lso F = für ein Σ 1. Dnn gilt: F = F ist offensichtlich äquivlent zu F und enthält keine Opertoren (lso uch keine ußer, ). Dmit ist der Induktionsnfng gesichert. IV: Die Behuptung gelte für A, B F or0 Σ (die nur,, enthlten), d.h. es git A, B F or0 Σ so dss A A, B B, und A, B enthlten nur,. IS: Sei F eine zusmmengesetzte Formel. Wir unterscheiden drei Fälle. Fll 1: F = A: Dnn etrchte F = A. Es gilt: F enthält nur,. Außerdem I(A) I(A ) I(F ) I(F ) gilt: , lso F F Fll 2: F = A B: Anlog mit F = (A ) B Fll 3: F = A B: Anlog mit F = (A (B )) D in llen Fällen ein entsprechendes F existiert, ist der Induktionsschritt vollständig und dmit gilt die Behuptun. q.e.d. 1, kommen j nch Vorussetzung nicht vor! 8

9 Aufge 7: (3+4P) ) Bestimmen Sie die konjunktive Normlform der folgenden Formel: ((p q) (p r)) (p r) ) Betrchten Sie die Menge K der folgenden Kluseln: 1. p q r s 2. p r s 3. q r 4. p s 5. p r 6. r Zeigen Sie per Resolution dss K unerfüllr ist. Lösung: ) KNF-Trnsformtion: ((p q) (p r)) (p r) Originlformel ((p q) ( p r)) ( p r) Elimintion ( (p q) ( p r)) ( p r) De-Morgn (( p q) (p r)) ( p r) De-Morgn - NNF erreicht ( p q) ((p p r) ( r p r)) Distriutivität (innen) ( p q) ( ) A A ( p q) A A A ) 7. p (5,6) 8. s (7,4) 9. q (6,3) 10. q r s (7,1) 11. r s (10, 9) 12. r (11, 8) 13. (6,12) 9

10 Aufge 8: (3+3P) Betrchten Sie die folgende Menge von prädiktenlogischen Kluseln. K = {(niml(x0) wolf(x0)), (niml(x1) ird(x1)), (niml(x2) snil(x2)), (wolf(wolf)), (ird(ird)), (snil(snil)), (grin(grin)), (plnt(x3) grin(x3)), (ets(a, P lnt) ets(a, S) niml(a) plnt(p lnt) niml(s) plnt(op lnt) muchsmller(s, A) ets(s, OP lnt))}, ) Geen Sie eine geeignete Signtur (mit Stelligkeiten) für die Kluselmenge n. Vrilen (und nur Vrilen) eginnen mit Großuchsten. ) Potentiell komplementäre Literle hen verschiedene Vorzeichen und Atome, die gemeinsme Instnzen hen. Finden Sie zwei Pre von potentiell komplementären Literlen in verschiedenen Kluseln. Geen Sie diese n und estimmen Sie jeweils den llgemeinsten Unifiktor der entsprechenden Atome. ) Σ = {P, F, V } mit P = {niml/1, wolf/1, ird/1, snil/1, grin/1, plnt/1, ets/2, muchsmller/2} F = {wolf/0, ird/0, snil/0, grin/0} V = {X0, X1, X2, X3, A, S, P lnt, OP lnt,...} ) wolf(wolf) und wolf(x0) sind komplementär mit σ = {X0 wolf} ird(ird) und ird(x1) sind komplementär mit σ = {X1 ird} 10