Vorlesung Theoretische Informatik Sommersemester 2018 Dr. B. Baumgarten

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1 Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 28 Dr. B. Bumgrten Üungen zur Wiederholung quer durch den Stoff Mit Lösungseispielen Vollständigkeit wird nicht grntiert, und einige sind klusuruntypisch umfngreich. Erläuterungen (zusätzlich zur Lösung) stehen in BLAU.. Aufge (Automten und Grmmtiken) Definieren Sie die Sprche {, } mithilfe je eines der folgenden Beschreiungsmittel: ) deterministischer endlicher Automt, ) nichtdeterministischer endlicher Automt, der kein deterministischer endlicher Automt ist, c) reguläre Grmmtik, d) kontextfreie er nicht reguläre Grmmtik, e) kontextsensitive (nicht verkürzende) er nicht kontextfreie Grmmtik, f) nicht kontextsensitive (lso irgendwo verkürzende) Chomsky-Grmmtik. Bei Grmmtiken genügen die Aleitungsregeln. Lösungseispiele ) (Zustndsnmen weggelssen, d irrelevnt. Hier ürigens Minimlutomt) ) (Zustndsnmen weggelssen, d irrelevnt. Geht z.b. uch ohne den Zustnd gnz rechts. ) c) S A, A B, B d) S A, A e) S A, A f) S,

2 2. Aufge (Minimlutomt) Es sei der folgende endliche deterministische Automt A gegeen: z z 2 z ) Zeigen oder widerlegen Sie, dss die Sprche L(A) unendlich viele Wörter enthält. ) Bestimmen Sie mit Hilfe des Minimierungslgorithmus einen minimlen Automten B mit L(B) = L(A), und zeichnen Sie den Automten B. c) Geen Sie eine reguläre Grmmtik G mit L(G) = L(A) n. Lösungseispiele ) Der Automt kzeptiert u.. (nämlich in z ) lle () n, n =,,2,..., lso unendlich viele Wörter. ) Minimierungslgorithmus, z 4 z 3, z z z4 A Z A A Z B z z4 z2 Z A Z Z B Y z2 z z3 Z Z A Y Z B z3 z4 z4 A A A B B B z4 z3 z3 A A A B B B Agekürzt: Dnch keine weitere Aufspltung der Klssen, d in jeder Klsse lle Elemente die gleiche Zukunft hen. Z Y A B, c) Strtsymol A oder kürzer: A Z B Y Z B A Z Z B Y B B B Z S Die erste Grmmtik ist nch Rezept gestrickt. Die 5 kursiven Regeln (die der Müllehndlung ) sind verzichtr, d ein B m Ende immer leit, lso drus kein -- Wort mehr entstehen knn. Die zweite Grmmtik entsteht durch Entfernung der verzichtren Regeln und die Beochtung, dss A und Y dssele tun. Zustzüung: Leiten Sie us der zweiten [einen ND-Automt, einen det. Automt und] einen Minimlutomt, den Sie mit dem in () vergleichen. Es sollte (is uf evtl. die Zustndsnmen) der gleiche sein.

3 3. Aufge (Nichtdeterministischer Automt) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten, der die gleiche Sprche kzeptiert wie der folgende NDA:, z z z 2, Ist der konstruierte Automt miniml? Lösungseispiel 2 2 Wir wenden ds Zustndsmengenrezept n. Zustnd xy steht für {z x,z y }. Hier wurde die Konstruktion der erreichren Zustndsmengen gleich grphisch drgestellt. (Ds geht uch in einer Telle. Und es geht uch mit llen Zustndsmengen, einschließlich der unerreichren, wäre er unnötige Schrei-/Mlreit.) Begonnen wird wie im NDA, hier in z. Akzeptiert wird üerll, wo der NDA kzeptieren könnte, lso wo z 2 vorkommt. Gezeichneter Automt miniml? Minimierung eginnen: A A A A A Z Z B usw. 2 Z A A Z 2 Z Z Z Y j, d die Minimierung einen Automten mit 4 Zuständen ergit, ws wir usw. wissen, denn A, B, Y, Z können nicht weiter zerlegt werden.

4 4. Aufge (Reguläre Sprchen) Es seien Σ = {,} und L = Σ* \{} ) Geen Sie einen deterministischen endlichen Automten A mit L ( A) = L n. ) Geen Sie einen regulären Ausdruck R üer Σ mit L ( R) = L n. c) Geen Sie eine Sprche L 2 üer Σ n, für die L L2 nicht regulär ist. (ohne Begründung, er erkennr so, dss die Prüfung uf Zugehörigkeit zur Sprche uneschränkten Speicher erfordert) d) Geen Sie eine Sprche L 3 üer Σ n, für die L L3 nicht regulär ist. (mit kurzer Begründung) Lösungseispiele ) Lösungsweg: Wir zeichnen den Automten für {} und verwndeln ihn dnn nch Rezept in den Automten für ds Komplement , 3,,, ) ε (+) (+) (+) (+)* (d.h. lle Wörter der Längen, oder >2, sowie die drei der Länge 2 ohne, oder uch nders, z.b.) ε + + (+)* + (+(+))(+)* (d.h. nch einem Anfngs- knn lles kommen ußer nur ein ) c) zum Beispiel { n n n>} (Ein Algorithmus für ds Wortprolem muss sich immer merken, wie viele `s hintereinnder zuletzt gelesen wurden; ds erfordert unegrenztes Gedächtnis.) d) L3 : = {w Σ* # (w) # (w)}. Wäre L 3 regulär, dnn ds Komplement {w Σ* # (w) = # (w)} uch; ds ist es er nicht (erfordert unegrenztes Gedächtnis). Also ist L 3 nicht regulär. Und L L3 = L3 \ {} = L3. lterntiv ähnlich z.b. mit n n L : = { n IN} (egründen!) 3

5 5. Aufge (Reguläre Sprchen) Im Folgenden sind 9 reguläre Sprchen definiert, und zwr durch Automten (deterministische und nichtdeterministische), die sie kzeptieren: L : L 2 : L 4 : L 3 :,, reguläre Ausdrücke: L 5 : ( )*( + ε ) L : ( )*( + ε) 6 Chomsky-Grmmtiken üer {,} und mit Strtsymol S, die sie erzeugen: L 7 : S ε T 8 L : S ε T L 9 : S ε T T A T A T A A T B A B A B B A B C B C C T C T Schreien Sie jede Sprchezeichnung ( L 2,, L 9 ) in genu eine der unteren Boxen, und zwr so, dss jeweils identische Sprchen in der gleichen Box und unterschiedliche Sprchen in verschiedenen Boxen stehen. Evtl. leien Boxen leer. Tipp: Welche drei is vier kürzesten Wörter werden jeweils kzeptiert zw. produziert? L L2 L3 L6 L5 L4 L9 L8 L7 ε,,, ε,,, ε,,,

6 6. Aufge (Restsprchenutomt) Sei L die Sprche ller Wörter üer Σ = {}, die nirgendwo zwei ufeinnderfolgende enthlten, d.h. L = {w {,}* es git keine u,v {,}* mit w = u v}. ) Zeichnen Sie einen endlichen Automten für L mit möglichst wenigen Zuständen. ) Geen Sie einen regulären Ausdruck für L n. c) Trgen Sie reguläre Ausdrücke so in den Automten us () ein, dss Sie den Restsprchenutomt von L erhlten. Lösungseispiel ), ) * (*)* ( ε) nch den letzten s evtl. noch ein einzelnes null, ein- oder mehrmls: ein, gefolgt von mind. einem evtl. s vor dem ersten c) * (*)* ( ε) *(*)* ( ε) (mind. ein vor dem ersten, sonst wie oen), Restsprchen-Schritte, z.b. vom oersten zum mittleren Zustnd: Welche Wörter eginnen mit? (*)* ( ε) (ußer ε) Welche leien nch Entfernung des Anfngs-? Wenn ein * vorkm: Ds * vom ersten *, dnn immer noch elieig viele * und dnn ( ε), lso *(*)* ( ε). Wenn kein * vorkm (lso ds einsme hinten gestrichen wurde): ε, und ds wird durch *(*)* ( ε) (lle * null-ml wählen) mit gedeckt.