Grundbegriffe der Informatik

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1 Grundegriffe der Informtik Üung Simon Wcker Krlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2015/2016 GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 1 / 9

2 Regex-Bäume Anzhl A = {, } Frge: Anzhl Regex-Bäume üer A der Höhe 0? Antwort: GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 2 / 9

3 Regex-Bäume Anzhl A = {, } Frge: Anzhl Regex-Bäume üer A der Höhe 0? Antwort: 3 O/ GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 2 / 9

4 Regex-Bäume Anzhl A = {, } Frge: Anzhl Regex-Bäume üer A der Höhe 1? Antwort: GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 2 / 9

5 Regex-Bäume Anzhl A = {, } Frge: Anzhl Regex-Bäume üer A der Höhe 1? Antwort: = 21 *.????? GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 2 / 9

6 Regex-Bäume Anzhl A = {, } Frge: Anzhl Regex-Bäume üer A der Höhe 2? Antwort: GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 2 / 9

7 Regex-Bäume Anzhl A = {, } Frge: Anzhl Regex-Bäume üer A der Höhe 2? Antwort: 21 + ( ) + ( ) = 1155 *. GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 2 / 9

8 Regex-Bäume Kleinste Anzhl Knoten A = {, } Frge: Kleinste Anzhl Knoten von Regex-Bäumen der Höhe n? Antwort: GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 3 / 9

9 Regex-Bäume Kleinste Anzhl Knoten A = {, } Frge: Kleinste Anzhl Knoten von Regex-Bäumen der Höhe n? Antwort: n + 1 * * GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 3 / 9. *

10 Regex-Bäume Größte Anzhl Knoten A = {, } Frge: Größte Anzhl Knoten von Regex-Bäumen der Höhe n? Antwort: GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 4 / 9

11 Regex-Bäume Größte Anzhl Knoten A = {, } Frge: Größte Anzhl Knoten von Regex-Bäumen der Höhe n? Antwort: n 2 i = Num 2 (1 n+1 ) i=0 = Num 2 (10 n+1 ) 1 = 2 n GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 4 / 9

12 Distriutivgesetz A Alphet R 1, R 2, R 3 reguläre Ausdrücke üer A Behuptung: (R 1 R 2 )R 3 = R 1 R 3 R 2 R 3 Beweis: Es gilt (R 1 R 2 )R 3 = (R 1 R 2 ) R 3 = ( R 1 R 2 ) R 3 = ( R 1 R 3 ) ( R 2 R 3 ) = R 1 R 3 R 2 R 3 = R 1 R 3 R 2 R 3. GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 5 / 9

13 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

14 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* 0 (...)* Akzeptierender Anfngszustnd GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

15 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* Zwei Teile GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

16 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* Mit in neuen Zustnd GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

17 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* ()*... Mit in neuen Zustnd, mit zurück GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

18 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* ( ) Mit oder zurück zu 0 GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

19 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* Mit in neuen Zustnd GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

20 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* ()*... Mit in neuen Zustnd, mit zurück GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

21 Regulärer Ausdruck Akzeptor Konstruiere endlichen Akzeptor A so, dss L(A) = (()*( ) ()*( ))* ( ) Mit oder zurück zu 0 GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 6 / 9

22 Endlicher Akzeptor Rechtslinere Grmmtik Gegeen: Endlicher Akzeptor A = (Z, z 0, X, f, F ) Gesucht: Rechtslinere Grmmtik G mit L(G) = L(A) Idee: G = (Z, X, z 0, P) so, dss lso z 0 x 0 x 1... x n z gdw. f (z 0, x 0 x 1... x n ) = z z 0 x 0 x 1... x n gdw. f (z 0, x 0 x 1... x n ) F (z 1 xz 2 ) P gdw. f (z 1, x) = z 2 (z ϵ) P gdw. z F Konkret: P = {z x f (z, x) z Z, x X } {z ϵ z F } GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 7 / 9

23 Endlicher Akzeptor Rechtslinere Grmmtik Gegeen: Endlicher Akzeptor A = (Z, z 0, X, f, F ) Gesucht: Rechtslinere Grmmtik G mit L(G) = L(A) Konkret: P = {z x f (z, x) z Z, x X } {z ϵ z F } Beispiel: G = ({0, 1, 2}, {, }, 0, P) mit P = {0 1 2 ϵ } GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 7 / 9

24 Zhl in Binärdrstellung um 1 inkrementieren Einge: w {0, 1} Ausge: u {0, 1} so, dss Num 2 (w) + 1 = Num 2 (u) Beispiel: Num 2 (100111) + 1 = Num 2 (101000) Lösungsidee: Niederwertige Bits is zur ersten 0 kippen 0 0R, 1 1R 1 0L L 0 1L r c 0 h 1L GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 8 / 9

25 Turingmschine R, 0 0R, 1 1R R R, 0 0R, 1 1R R z 0 z 1 R 0L 1L In z k ußer ei Kopf nch rechts In z 0 ei schreie, gehe in z 1 In z 1 ei gehe in z 0 k in z k ist Anzhl gelesener mod 2 In z k ei schreie k, gehe in l In l Kopf nch links is zum ersten, dnn nch w, und hlt ei In w zum Wortnfng, dnn in z 0 w L l L, L, 0 0L, 1 1L L, 0 0L, 1 1L GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 9 / 9

26 Turingmschine R, 0 0R, 1 1R R R, 0 0R, 1 1R R z 0 z 1 R 0L 1L Kopf läuft von links nch rechts Beginnend mit dem ersten wird jedes zweite durch ersetzt Bei gerder Anzhl von wird 0 ns Wortende geschrieen Bei ungerder Anzhl 1 Flls kein mehr uf dem Bnd, Ende! Ansonsten zurück zum Wortnfng und lles noch einml w L l L, L, 0 0L, 1 1L L, 0 0L, 1 1L GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 9 / 9

27 Turingmschine R, 0 0R, 1 1R R R, 0 0R, 1 1R R z 0 z 1 R 0L 1L Einge w {, } Anzhl der hliert sich ei jedem Durchluf Ans Wortende wird geschrieen 1. N(w) mod 2 2. N (w ) 2 mod 2 3. N (w ) 4 mod 2 4. usw. w L l Binärdrstellung von N(w) wird gespiegelt ns Wortende geschrieen L, L, 0 0L, 1 1L L, 0 0L, 1 1L Am Ende steht uf dem Bnd: w R(Repr 2 (N(w))). GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 9 / 9