RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Rossmanith Dreier Hark Kuinke. SS 2017 Blatt

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1 RWTH Achen Lehrgeiet Theoretische Informtik Rossmnith Dreier Hrk Kuinke SS 2017 Bltt Lösungsvorschlg zur Vorlesung Formle Sprchen, Automten und Prozesse Aufge T11 1. L, d L, er / L. L, d für lle u Σ gilt: u / L gdw. u / L. L, d L er / L. 2. L, d L, er / L. L, d / L, er L. ǫ L, d für lle u Σ gilt: u L gdw. u L. Die Äquivlenzklssen von L sind: [ǫ] L = L [] L = L [] L = Σ \(L L) = () (+)(+) Zuerst zeigen wir, dss L [ǫ] L. Sei w L. Für lle w {, gilt: ǫw = w L gdw. ww LL = L. Es folgt w L ǫ, und somit w [ǫ] L. Wir zeigen ußerdem [ǫ] L L: Sei w [ǫ] L. Es gilt w L ǫ. D ǫ L, gilt uch w L. Aus eidseitiger Inklusion folgt [ǫ] L = L. Zeigen wir nun L [] L. Sei w L. Für lle w {, gilt: ww L gdw. w () gdw. w L. Es folgt w L. Wir zeigen ußerdem [] L L: Sei w [] L. Es gilt w L. D L, gilt uch w L. Es folgt [] L = L. Es leit zu zeigen, dss [] L = Σ \ (L L) = () ( + )( + ). Die Äquivlenzklsse [] L enthält genu die Wörter, die mn nicht so ergänzen knn, dss sie in L sind. Also die Wörter, die zwei ufeinnderfolgende, gleiche Buchsten enthlten. Diese Wörter sind duch () (+)(+) chrkterisiert. Es folgt [] L = Σ \(L L). D [ǫ] L [] L [] L = Σ, knn es keine weiteren Äquivlenzklssen geen. Aufge T12 Die hier verwendete Beweismethode enutzt jeweils eine unendliche Menge N und zeigt dnn, dß lle Elemente von N in verschiedenen Äquivlenzklssen von L liegen. Drus resultiert dnn, dß L einen unendlichen Index ht, und L somit nch dem Stz von Myhill-Nerode nicht regulär sein knn. 1. Seien N = und u,v N mit u = i und v = j für irgendwelche i j. Somit gilt uu L, er vu = j i / L. Dies edeutet, dß u und v in verschiedenen Äquivlenzklssen von L liegen.

2 2. Seien N = und u,v N mit u = i und v = j für irgendwelche i > j. Somit ist i i+4 L, er j i+4 / L. Anlog zu oen liegen i und j somit in verschiedenen Äquivlenzklssen. Aufge T13 Der Mrkierungslgorithmus zur Minimierung des Automten ergit folgende Telle X X X X 1 X X X 2 X X X 3 X X X 4 X X X c,,c c, 0 {1, 2 {3, 4 Wir können nun den regulären Ausdruck lesen. Wir erhlten: c (+)((+)+c(+c) ) Aufge T14 ) Richtig: Wie in der Vorlesung gezeigt wurde, git es einen NFA mit n+2 Zuständen, der die Sprche (+) (+) n kzeptiert, gleichzeitig er jeder DFA wenigstens 2 n Zustände enötigt. ) Flsch: Wenn ein NFA mit 10 Zuständen eine Sprche kzeptiert, dnn ht der zugehörige Potenzmengenutomt höchstens 2 10 = 1024 < 1217 Zustände. c) Richtig: Wenn M ein minimler Automt für L = L(M) ist, dnn erhält mn einen Automten M mit L = L(M), indem mn Nichtendzustände und Endzustände vertuscht (siehe Vorlesung), woei die Größe des Automten sich nicht ändert. Wenn M nun nicht miniml wäre, dnn existiert M mit L = L(M) = L(M ) und M < M. Der Komplementärutomt von M wiederum, nennen wir ihn M, ht nun weniger Zustände ls M, erkennt er dennoch diesele Sprche. Ein Widerspruch zur Minimlität von M. d) Flsch: Betrchte L = {ǫ und L = Σ {ǫ. Dnn enthält L lle Wörter, die wenigstens ein Zeichen enthlten. L knn mn mit einem NFA erkennen, der nur einen einzigen Zustnd, einen Endzustnd, er keine Trnsitionen enthält. Für L enötigt mn hingegen uf jeden Fll mindestens zwei Zustände, d ǫ nicht kzeptiert werden drf.

3 Aufge H7 (5+5+5 Punkte) ) Mit der Potenzmengenkonstruktion erhält mn folgenden DFA ) Der Üersichthler definieren wir uns A = 1,B = 12,C = 13,D = 123,E = 124,F = 1234,G = 134. Endzustände sind dnn {E,F,G. A B C D E F G A X X X X X X B X X X X X X C X X X X X X D X X X X X X E X X X X X X F X X X X X X G X X X X X X D lle Zustände unterscheidr sind, ist der DFA ereits miniml. c) D die Zustände lle unterscheidr sind rucht mn nur sieen Wörter zu finden, die vom Strtzustnd jeweils in einen der sieen Zustände führen. Zum Beispiel {ǫ,,,,,,. D eine Verfeinerung von L ist, knn es keine größere Menge geen. Aufge H8 (15 Punkte) Eine einfche Implementierung der Klsse NFA S, A findet sich in Aildung?? Ein Progrmm, welches die Trnsitionen eines Automten mit Zustndsmenge{1,..., 34 einliest und uf dem Wort simuliert, ist in Aildung?? enthlten. Lssen wir ds Progrmm lufen, erhlten wir die Ausge [1,2,3,5,6,8,9,10,11,17,22,23,25]. Aufge H9 (5 Punkte) Wir konstruieren eine unendliche Menge N und zeigen, dss lle Elemente us N in verschiedenen Äquivlenzklssen von L liegen. Drus folgt, dss L einen unendlichen Index ht und somit mit dem Stz von Myhill Nerode nicht regulär ist. Sei N = { n n N und u,v N. Es gilt u = i und v = j für irgendwelche i j. Des weiteren gilt uu r = i i L, er vu r = j i L. Ds edeutet, dss u und v in verschiedenen Äquivlenzklssen ezüglich L liegen.

4 import jv.util. ; pulic clss NFA S,A { Set S Q = new HshSet S (); Mp S, HshMp A, HshSet S delt = new HshMp S, HshMp A, HshSet S (); pulic NFA(Set S Q) { for(s q : Q) { ddstte(q); pulic NFA() { pulic void ddstte(s q) { delt.put(q, new HshMp A, HshSet S ()); Q.dd(q); pulic Set S simulteonestep(set S qset, A ) { Set S H = new HshSet S (); for(s p : qset) { Mp A, HshSet S rho = delt.get(p); if(rho.get() null) { H.ddAll(rho.get()); return H; pulic Set S simulte(s q,list A word) { Set S R = new HshSet S (); R.dd(q); for(a : word) { R = simulteonestep(r, ); return R; pulic void ddtrnsition(s q,a,s p) { Mp A, HshSet S rho = delt.get(q); HshSet S trget = rho.get(); if(trget null) { trget.dd(p); else { trget = new HshSet S (); trget.dd(p); rho.put(, trget); Aildung 1: Implementierung eines einfchen NFAs

5 import jv.util. ; pulic clss H8 { sttic pulic void min(string rgs[]) { Set Integer sttes = new HshSet Integer (); for(int q = 1; q 34; q++) { sttes.dd(q); NFA Integer, Chrcter M = new NFA Integer, Chrcter (sttes); jv.util.scnner stdin = new jv.util.scnner(system.in); while(stdin.hsnextline()) { String line = stdin.nextline(); if(line.length() == 0) rek; String s[] = line.split(" "); int q = Integer.prseInt(s[0]); chr = s[1].chrat(0); int p = Integer.prseInt(s[2]); M.ddTrnsition(q,, p); List Chrcter word = new ArryList Chrcter (); String w = ""; for(int i = 0; i < w.length(); i++) { word.dd(w.chrat(i)); System.out.println(M.simulte(7, word)); Aildung 2: Progrmm, ds Trnsitionen einliest und uf dem gegeenen Wort simuliert.