1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
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- Chantal Holtzer
- vor 8 Jahren
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1 Gliederun 1. Motivtion / Grundlen 2. Sortierverfhren 3. Elementre Dtenstrukturen / Anwendunen 4. Bäume / Grphen 5. Hshin 6. Alorithmische Geometrie 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
2 Einleitun unser Blick uf Dtenstrukturen... werden chrkterisiert durch Mene der zu verwltenden Objekte Mene der zu unterstützenden Opertionen einfche Beispiele Wrteschlnen (/* Queues */) Kellerspeicher (/* Stcks */) Prioritätswrteschlnen (/* Priority Queues */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
3 Wrteschlnen / Kellerspeicher Aufbenstellun Mene von zu verwltenden Objekten Objekte können hinzuefüt bzw. entfernt werden zeitliche Reihenfole des Einfüens ist entscheidend FIFO-Prinzip... (/* first in, first out */) Wrteschlne LIFO-Prinzip... (/* lst in, first out */) Kellerspeicher Implementierunsvrinten Arry von Objekten verkettete Liste von Objekten 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
4 Wrteschlnen / Kellerspeicher Opertionen Erzeuen einer leeren Wrteschlne bzw. eines leeren Kellerspeichers (/* crete(q) bzw. crete(s) */) Einfüen eines Objekts o in eine Wrteschlne Q bzw. einen Kellerspeicher S (/* insert(q,o) bzw. insert(s,o) */) Test, ob eine Wrteschlne Q bzw. ein Kellerspeicher S leer ist (/* empty?(q) bzw. empty?(s) */) Zuriff uf ds zuerst in die Wrteschlne Q bzw. ds zuletzt in den Kellerspeicher S einefüte Objekt (/* ccess(q) bzw. ccess(s) */) Entfernen des zuerst in die Wrteschlne Q bzw. des zuletzt in den Kellerspeicher S einefüte Objekt (/* delete(q) bzw. delete(s) */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
5 Wrteschlnen / Kellerspeicher Beschreibun der Opertionen mindestens zwei Mölichkeiten Mölichkeit 1 (/* implementierunsbhäni */) festleen, wie die Objekte intern verwltet werden (/* etw mit Hilfe eines Arrys oder einer verketteten Liste */) usprormmieren der Opertionen Mölichkeit 2 (/* implementierunsunbhäni */) ewünschte Eienschften der Opertionen forml beschreiben; de fcto wird ds Zusmmenspiel zwischen den Opertionen festelet offen: Welche Beschreibunsmittel verwendet mn hier? 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
6 Wrteschlnen / Kellerspeicher Rndbedinunen (/* implementierunsbhäni */) die zu verwltenden Objekte werden in einem Arry espeichert (/* dmit ist klr, dß die Anzhl der zu verwltenden Objekte priori beschränkt ist */) über die Indizes knn mn uf die ktuell verwlteten Objekte zureifen die Anzhl der verwlteten Objekte ist von Relevnz (/* wird sich emerkt, um die Opertionen einfcher zu relisieren */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
7 Wrteschlnen Relisierun 1 (/* uneschickt */) Arry queue zum Verwlten von mximl n Objekten Vrible nz, um sich die Anzhl der verwlteten Objekte zu merken crete(q): Anleen eines Arrys queue der Größe n; nz = 0 empty?(q): if ( nz == 0 ) return(true) else return(flse) insert(q,o): ++nz; queue[nz] = o ccess(q): return(queue[1]) delete(q): for ( i = 1; i <= nz; ++i ) { queue[i] = queue[i+1]; }; --nz... insert(), ccess() und delete() bedürfen noch eines Tests uf Anwendbrkeit 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
8 Wrteschlnen Relisierun 1 (/* uneschickt */) Opertion delete() benötit die Zeit O(n) lle nderen Opertionen benötien die Zeit O(1) Verbesserunsmölichkeit, um lle Opertionen in Zeit O(1) zu relisieren: der Index des zuerst espeicherten Objekts ändert sich (/* muß sich ber explizit emerkt werden */) (/* Relisierun 1 */) (/* Relisierun 2 */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
9 Wrteschlnen Relisierun 2 (/* eschickter */) Arry queue zum Verwlten von mximl n Objekten Vrible nz, um sich die Anzhl der verwlteten Objekte zu merken Vrible first, um sich den Index des zu erst einefüten Objekts zu merken crete(q):...; nz = 0; first = 1 insert(q,o): ++nz; z = first+nz-1; if ( z <= n ) queue[z] = o else queue[z-n] = o delete(q): if ( first == n) first = 1 else ++first... insert(), ccess() und delete() bedürfen noch eines Tests uf Anwendbrkeit 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
10 Wrteschlnen Beschreibun (/* implementierunsunbhäni */) ewünschte Eienschften der Opertionen forml beschreiben; de fcto wird ds Zusmmenspiel zwischen den Opertionen festelet... wählen bedinte Gleichunen (/* Theorie der Abstrkte Dtentypen */) empty?(crete(q)) = true empty?(insert(q,o)) = flse empty?(q) = true ccess(insert(q,o)) = o empty?(q) = flse ccess(insert(q,o)) = ccess(q) empty?(q) = flse delete(insert(q,o)) = insert(delete(q),o) empty?(q) = true delete(insert(q,o)) = Q 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
11 Kellerspeicher Relisierun Arry stck zum Verwlten von mximl n Objekten Vrible nz, um sich die Anzhl der verwlteten Objekte zu merken crete(s): Anleen eines Arrys stck der Größe n; nz = 0 empty?(s): if ( nz = 0 ) return(true) else return(flse) insert(s,o): ++nz; stck[nz] = o ccess(s): return(stck[nz]) delete(s): --nz... insert(), ccess() und delete() bedürfen noch eines Tests uf Anwendbrkeit 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
12 Kellerspeicher Relisierun lle Opertionen benötien die Zeit O(1) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
13 Kellerspeicher Beschreibun (/* implementierunsunbhäni */) ewünschte Eienschften der Opertionen forml beschreiben; de fcto wird ds Zusmmenspiel zwischen den Opertionen festelet... wählen bedinte Gleichunen (/* Theorie der Abstrkte Dtentypen */) empty?(crete(s)) = true empty?(insert(s,o)) = flse ccess(insert(s,o)) = o delete(insert(s,o)) = S 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
14 Anwendunen von Kellerspeichern Beispiele Stcks Relisierun rekursiver Funktionen Auswertun rithmetischer Ausdrücke Auswertun rithmetischer Ausdrücke (/* Rndbedinunen */) nur binäre Opertionen vollständi eklmmerte Ausdrücke 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
15 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Grundlen (/* Infix- versus Postfix-Nottion */) Infix-Nottion (x+y) ((x*y)+z) ((x*(x+y))+z) Postfix-Nottion xy+ xy+z* xxy+*z+ Klmmern in der Infix-Nottion dienen zur Repräsenttion von Prioritäten von Opertoren (/* hier mchen wir uns ds Leben einfcher */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
16 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Auswertun eines rithmetischen Ausdrucks in Infix-Nottion ((x*(x+y))+z) * + vl(z) vl(x) + vl(x) vl(y)... Auswertun emäß Bumstruktur (/* ufbuen + uswerten */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
17 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Aufbenstellun eeben ein vollständi eklmmerter rithmetischer Ausdruck in Infix-Nottion (/* flls nicht, so müssen die Klmmern emäß der Prioritäten der Opertoren einefüt werden */) esucht ist der Wert des Ausdrucks (/*... die Werte der uftretenden Vriblen sind beknnt */) Hernehensweise Schritt 1: Umwndlun von Infix-Nottion in Postfix-Nottion Schritt 2: Auswertun des Ausdrucks in Postfix-Nottion 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
18 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Auswertun eines rithmetischen Ausdrucks in Postfix-Nottion von links nch rechts durchlufen; unter Verwendun eines Stcks uswerten * Ausbe: 11 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen Auszuwertender Ausdruck: ((2*(2+3))+1)
19 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Auswertun eines rithmetischen Ausdrucks in Postfix-Nottion von links nch rechts durchlufen; unter Verwendun eines Stcks uswerten x x y + * z + d d f c e b Abkürzunen: = vl(x) b = vl(y) c = +b d = +c e = vl(z) f = d+e Ausbe: f Auszuwertender Ausdruck: ((x*(x+y))+z) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
20 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Reeln für Schritt 2 führe crete(s) us rithmetischen Ausdruck von links nch rechts durchlufen flls ds ktuelle Zeichen z ein Opernd ist, so führe insert(s,vl(z)) us flls ds ktuelles Zeichen z ein Opertor ist, so bestimme = ccess(s), führe delete(s) us, bestimme b = ccess(s), führe delete(s) us, berechne c = z(,b) und führe insert(s,c) us flls der Ausdruck vollständi elesen wurde, so ib ccess(s) us 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
21 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Umwndlun von Infix-Nottion in Postfix-Nottion von links nch rechts durchlufen; unter Verwendun eines Stcks useben ( ( x * ( x + y ) ) + z ) * * * * * * Ausbe: x x y + * z + 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
22 Auswertun rithmetischer Ausdrücke Stcks Reeln für Schritt 2 führe crete(s) us rithmetischen Ausdruck von links nch rechts durchlufen flls ds ktuelle Zeichen z ds Zeichen ( ist, so inoriere z flls ds ktuelle Zeichen z ein Opernd ist, so ebe z us flls ds ktuelle Zeichen z ein Opertor ist, so führe insert(s,z) us flls ds ktuelles Zeichen z ds Zeichen ) ist, so bestimme y = ccess(s), ib y us und führe delete(s) us 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
23 Prioritätswrteschlnen Stcks Aufbenstellun Mene von zu verwltenden Objekten, wobei jedem Objekt eine Priorität zueordnet ist Objekte können hinzuefüt bzw. entfernt werden in der verwlteten Mene will mn schnell ein Objekt mit der höchsten Priorität bestimmen können... betrchten Vrinten der Relisierun mit Hilfe eines Arrys, d.h. die Anzhl der zu verwltenden Objekte ist priori berenzt 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
24 Prioritätswrteschlnen Opertionen Stcks Erzeuen einer leeren Prioritätswrteschlne P (/* crete(p) */) Einfüen eines Objekts o in eine Prioritätswrteschlne P (/* insert(p,o) */) Zuriff uf ein Objekt in der Prioritätswrteschlne P mit minimler Priorität, wobei dieses Objekt leichzeiti us P estrichen werden soll (/* cc_del(p) */) Erzeuen einer Prioritätswrteschlne P, die lle Objekte einer Objektmene O enthält (/* init(p,o) */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
25 Prioritätswrteschlnen Stcks Anwendunen Steuerun von Druckerwrteschlnen (/* den Benutzern werden Gruppen zueordnet,... */) ls zurunde lieende Dtenstruktur diverser Alorithmen (/* sehen wir später */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
26 Prioritätswrteschlnen Stcks Relisierun 1 (/* uneschickt */) Arry pqueue zum Verwlten von mximl n Objekten Vrible nz, um sich die Anzhl der verwlteten Objekte zu merken crete(p): Anleen eines Arrys pqueue der Größe n; nz = 0 insert(p,o): ++nz; pqueue[nz] = o cc_del(p): bestimme i mit p(pqueue[i]) ist mximl; return(queue[1]); for ( j = i; j < nz; ++j ) { pqueue[j] = pqueue[j+1]; }; --nz init(p,o): führe erst crete(p) und dnn ncheinnder für jedes Objekt o O die Opertion insert(p,o) us... insert(), cc_del() und init() bedürfen noch eines Tests uf Anwendbrkeit 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
27 Prioritätswrteschlnen Stcks Relisierun 1 (/* uneschickt */) Opertionen crete(p) und insert(p,o) ehen in Zeit O(1) Opertionen cc_del(p) und init(p,o) benötien Zeit O(n) Verbesserunsmölichkeit Arry pqueue zum Verwlten von mximl n Objekten Vrible nz, um sich die Anzhl der verwlteten Objekte zu merken ds Arry pqueue, in dem die Objekte verwltet werden, bildet einen Hep (/* Ordnun der Objekte bzl. der zuehörien Prioritäten */) 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
28 Prioritätswrteschlnen Beispiel Stcks O = {,b,c,d,e,f, } p() = p() = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 2 e e d b f c d b f c Ein Knoten o mit den Söhnen o l und o r ht die Hep-Eienschft, flls p(o) p(o l ) und p(o) p(o r ) ilt.... jeder Knoten muß die Hep- Eienschft hben 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
29 Prioritätswrteschlnen insert()-opertion... eht in Zeit O(lo(n)) ++nz; pqueue[nz] = o uf dem We von pqueue[1] zu pqueue[nz] ds neue Objekt o n die richtie Position steien lssen O = {,b,c,d,e,f, } p() = p() = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 6 d f f c e b c e b d c e b f f c e b f c e b d d c e b f 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
30 Prioritätswrteschlnen cc_del()-opertion... eht in Zeit O(lo(n)) y = pqueue[1]; pqueue[1] = pqueue[nz]; --nz Objekt n Position pqueue[1] n die richtie Position sinken lssen; return(y) O = {,b,c,d,e,f, } p() = p() = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 2 c e e e c d b f c d b f d b f e d b f c c e d b f e c d b f 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
31 Prioritätswrteschlnen init()-opertion... eht in Zeit O(n) Arry pqueue mit llen Objekten in O initilisieren (/* ohne die Ordnun bzl. der Prioritäten zu bechten */) Arry pqueue wie in Phse 1 von HepSort in einen Hep überführen (/* Ordnun bsteiend bzl. der Prioritäten */) O = {,b,c,d,e,f, } p() = p() = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 6 d b c d e f b e f c b c d e f d b e f c 3/1, Folie Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
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Überblick: Teil C Systemnhe Softwreentwicklung Einordnung: Zeiger (Pointer) Literl: Drstellung eines Wertes 0110 0001 12 Progrmmstruktur und Module Vrible: Bezeichnung chr ; eines Dtenobjekts Behälter
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Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:
komplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
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Algorithmus von Dijkstr: 1. Es sei S ie Menge er enteckten Knoten. Invrinte: Merke optimle Lösung für S: Für lle v S sei [v] = δ(s,v) ie Länge es kürzesten Weges von s nch v 3. Zu Beginn: S={s} un [s]=
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