Kürzeste Wege. möglich ist 6. Füge v zu S hinzu und setze d[v] d [v] (u,v) E. Datenstrukturen und Algorithmen 14. Elementare Graphalgorithmen
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- Gabriel Walter
- vor 6 Jahren
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1 Algorithmus von Dijkstr: 1. Es sei S ie Menge er enteckten Knoten. Invrinte: Merke optimle Lösung für S: Für lle v S sei [v] = δ(s,v) ie Länge es kürzesten Weges von s nch v 3. Zu Beginn: S={s} un [s]= 4. while V S o 5. Wähle Knoten v V \ S mit minestens einer Knte us S un für en [v] = min [u] + w(u,v) so klein wie (u,v) E möglich ist 6. Füge v zu S hinzu un setze [v] [v] Dtenstrukturen un Algorithmen 1
2 Wie knn mn Pfe erechnen? Wie ei BFS/DFS üer Fel π Wenn (u,v) ie Knte ist für ie s Minimum in Zeile 5 erreicht wir, nn setze π[v] u Kürzester s-u-weg P(u) ist implizit gespeichert: Für u=s hen wir en leeren Weg ls kürzesten Weg von s nch s Für u s gilt: P(u) esteht us Weg P(π(u)) gefolgt von Knte (π[u],u) Dtenstrukturen un Algorithmen
3 Stz (Korrektheit): (Invrinte) Für jees u S ist zu jeem Zeitpunkt er Ausführung es Algorithmus er Weg P(u) ein kürzester s-u-weg. Dtenstrukturen un Algorithmen 3
4 Wie knn mn Dijkstrs Algorithmus effizient implementieren? Niver Anstz: Üerprüfe für jeen Knoten us V-S lle Knten (Lufzeit O( V E ) in jeem Durchluf) Besser: Hlte [v] Werte für lle v V-S ufrecht Speichere lle Knoten us V-S in Prioritätenschlnge mit Schlüssel [v] Prolem: Ws ist, wenn sich Schlüssel veränern Dtenstrukturen un Algorithmen 4
5 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] Dtenstrukturen un Algorithmen 5
6 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 6
7 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen
8 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 8
9 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey 3 9. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 9
10 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] 5 3 i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 1
11 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] 5 3 i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 11
12 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] 3 5 i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 1
13 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] 3 i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 13
14 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] 3 i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 14
15 Heps mit Decrese-Key: Dtenstruktur Min-Hep A Lufzeit: O(log n) Neue Funktion DecreseKey(A, i, newkey): Wir ekommen Inex i es Elements es Heps, essen Wert (Schlüssel) uf en Wert newkey newkey ist kleiner ls er lte Schlüssel Decrese-Key(A,i,newkey) 1. A[i] newkey. while i>1 n A[prent[i]]>A[i] o 3. A[prent[i]] A[i] 4. i prent[i] 3 i DecreseKey(A,5,3) Dtenstrukturen un Algorithmen 15
16 Wie knn mn Dijkstrs Algorithmus effizient implementieren? Hlte [v] Werte für lle v V-S ufrecht Speichere lle Knoten us V-S in Prioritätenschlnge mit Schlüssel [v] Für jeen Knoten v speichere Zeiger uf sein Vorkommen im Hep [v] Werte vergrößern sich nie Benutze Decrese-Key, wenn sich Wert [v] verringert Dtenstrukturen un Algorithmen 16
17 Dijkstr(G,w,s) 1. for ech vertex v V o [v] ; [v] ; π[v] nil. [s] ; S ; Q V 3. while Q o 4. u Extrct-Min(Q) 5. [u] [u]; S S {u} 6. for ech vertex v Aj[u] o. if [v]>[u]+w(u,v) then [v] [u]+w(u,v); π[v] u Dtenstrukturen un Algorithmen 1
18 Dijkstr(G,w,s) 1. for ech vertex v V o [v] ; π[v] nil. [s] ; S ; Q V 3. while Q o 4. u Extrct-Min(Q) 5. S S {u} 6. for ech vertex v Aj[u] o Beochtung: Wir können Feler un urch ein Fel ersetzen, weil nur für Knoten us S enutzt wir un nur für Knoten us V-S.. if [v]>[u]+w(u,v) then [v] [u]+w(u,v); π[v] u Dtenstrukturen un Algorithmen 18
19 Dijkstr(G,w,s) 1. for ech vertex v V o [v] ; π[v] nil. [s] ; S ; Q V 3. while Q o 4. u Extrct-Min(Q) 5. S S {u} 6. for ech vertex v Aj[u] o Hier muß zusätzlich noch eine Decrese-Key Opertion urchgeführt weren, Q ein Min-Hep mit en -Werten er Knoten ls Schlüssel ist.. if [v]>[u]+w(u,v) then [v] [u]+w(u,v); π[v] u Dtenstrukturen un Algorithmen 19
20 s c 5 Dtenstrukturen un Algorithmen
21 s 4 c Dtenstrukturen un Algorithmen 1
22 s s 4 c c Dtenstrukturen un Algorithmen
23 s s 4 c c Dtenstrukturen un Algorithmen 3
24 s 4 c c Dtenstrukturen un Algorithmen 4
25 s 4 c c Dtenstrukturen un Algorithmen 5
26 s 4 c c Dtenstrukturen un Algorithmen 6
27 s 4 c c Dtenstrukturen un Algorithmen
28 s 4 c c Dtenstrukturen un Algorithmen 8
29 c 4 1 s 6 8 c 5 Dtenstrukturen un Algorithmen 9
30 c 4 1 s 6 8 c 5 Dtenstrukturen un Algorithmen 3
31 c 4 1 s 6 8 c 5 Dtenstrukturen un Algorithmen 31
32 c 4 1 s 6 8 c 5 Dtenstrukturen un Algorithmen 3
33 c s 6 8 c 5 Dtenstrukturen un Algorithmen 33
34 c s 6 8 c 5 Dtenstrukturen un Algorithmen 34
35 c s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 35
36 c s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 36
37 c s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 3
38 c s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 38
39 c s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 39
40 c s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 4
41 4 4 1 s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 41
42 4 4 1 s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 4
43 4 4 1 s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 43
44 4 4 1 s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 44
45 4 4 1 s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 45
46 4 4 1 s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 46
47 4 4 1 s 6 8 c 5 4 Dtenstrukturen un Algorithmen 4
48 4 4 1 s 6 8 c Dtenstrukturen un Algorithmen 48
49 4 4 1 s 6 8 c Dtenstrukturen un Algorithmen 49
50 4 4 1 s 6 8 c Dtenstrukturen un Algorithmen 5
51 4 4 1 s 6 8 c Dtenstrukturen un Algorithmen 51
52 4 4 1 s 6 8 c Dtenstrukturen un Algorithmen 5
53 4 4 1 s 6 8 c Dtenstrukturen un Algorithmen 53
54 Dijkstr(G,w,s) 1. for ech vertex v V o [v] ; π[v] nil. [s] ; S ; Q V 3. while Q o 4. u Extrct-Min(Q) 5. S S {u} 6. for ech vertex v Aj[u] o 4 1 s c if [v]>[u]+w(u,v) then [v] [u]+w(u,v); π[v] u Lufzeit: O(( V + E ) log V ) Dtenstrukturen un Algorithmen 54
55 Dijkstrs Algorithmus Kürzeste Wege von einem Knoten un mit positiven Kntengewichten Lufzeit O(( V + E ) log V ) Bessere Lufzeit von O( V log V + E ) möglich mit esseren Prioritätenschlngen Frgen: Ws pssiert ei negtiven Kntengewichten? Wie knn mn s kürzeste Wege Prolem für lle Pre von Knoten effizient lösen? Dtenstrukturen un Algorithmen 55
56 Ds trnsitive Hülle Prolem: Gegeen sei ein gerichteter, ungewichteter Grph G=(V,E) Gesucht: Die trnsitive Hülle G*=(V,E*) von G, woei E*={(u,v): es git Weg von u nch v in G} G G* Dtenstrukturen un Algorithmen 56
57 Trnsitive Hülle: In O( V ²+ V E ) Zeit mit Breiten- oer Tiefensuche von jeem Knoten Geht s uch schneller? Dtenstrukturen un Algorithmen 5
58 Grphen un Mtrixmultipliktion: Sei A ie n n-ajzenzmtrix von Grph G mit Knotenmenge {1,,n} Ws ist A A? Behuptung 14.15: Sei Z= A A. Dnn gilt z >, g..w. es in G einen Pf er Länge von Knoten i zu Knoten j git. ij Dtenstrukturen un Algorithmen 58
59 Behuptung 14.16: Sei Z = A A + A. Dnn gilt, ss z ij >, g..w. es einen Weg er Länge 1 oer von Knoten i zu Knoten j git. Konstruiere Mtrix B mit: =1 z > ij Behuptung 14.1: ij Mtrix B ht einen Weg von Knoten i nch j, g..w. Mtrix A einen solchen Weg ht. Dtenstrukturen un Algorithmen 59
60 Behuptung 14.18: Sei P ein Weg er Länge k>1 in G. Dnn ht P mximl Länge /3 k in em von Mtrix B eschrieenen Grph G. Konsquenz us Beh un 14.18: Wenn wir ie Berechnung von B log n ml iterieren, hen wir ie trnsitive Hülle erechnet 3/ Dtenstrukturen un Algorithmen 6
61 TrnsitiveHülle(A) 1. for i 1 to log n o 3/. Z A A+A 3. for i 1 to n o 4. for j 1 to n o 5. if z ij > then ij 1 else ij 6. A B. return A Dtenstrukturen un Algorithmen 61
62 Stz 14.19: Der Algorithmus TrnsitiveHülle erechnet ie trnsitive Hülle eines Grphen G in O(M(n) log n) Zeit, woei M(n) ie Lufzeit zur Mtrixmultipliktion ezeichnet. Dtenstrukturen un Algorithmen 6
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