FORMALE SYSTEME. Kleene s Theorem. Wiederholung: Reguläre Ausdrücke. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2.

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1 FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch Rndll Munroe, CC-BY-NC 2.5 TU Dresden, 2. Novemer 2017 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 2 von 32 Wiederholung: Reguläre Ausdrücke Kleene s Theorem Stz ( Kleene s Theorem ): Eine Sprche wird genu dnn von einem regulären Ausdruck eschrieen, wenn sie von einem endlichen Automten erknnt wird. Reguläre Ausdrücke ls Syntx für Sprchen, die durch Opertionen us endlichen Sprchen geildet werden Grundformen:, ɛ, für lle Σ Opertionen: Konktention, Alterntive ( ), Kleene-Stern ( ) Viele weitere Ausdrucksmittel in prktischen RegExps Letzte Vorlesung: regulärer Ausdruck endlicher Automt kompositionelle Methode explizite Methode Heute: endlicher Automt regulärer Ausdruck Ersetzungsmethode Dynmische Progrmmierung Stephen Cole Kleene 1978 * *) Konrd Jcos, Erlngen, c Mthemtisches Forschungsinstitut Oerwolfch, CC-BY-SA de 2.0 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 4 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 5 von 32

2 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik regulärer Ausdruck 1) komposit. 2) explizit Die Ersetzungsmethode q 1 q 2 q 1 q2 DFA NFA 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. NFA ɛ-nfa DFA konstr. NFA ɛ-elim. duler Grph ɛ-nfa Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 6 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 7 von 32 NFA regulärer Ausdruck: Vorereitung Wir vereinfchen den NFA zunächst wie folgt: Gegeen: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Entferne lle Zustände, die von keinem Zustnd in Q 0 erreichr sind Entferne lle Zustände, die von denen kein Zustnd in F erreichr ist Die Menge der von einem Zustnd us erreichren Zustände knn mit Grphlgorithmen erechnet werden, z.b. Breitensuche. Offensichtlich verändert diese Vereinfchung die Sprche nicht Beispiel: A B C D E F G H Die Ersetzungsmethode Gegeen: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Gesucht: regulärer Ausdruck α mit L(α) = L(M) Anstz: Für jeden Zustnd q Q, erechne einen regulären Ausdruck α q für die Sprche L(α q ) = {w Σ es git ein q f F mit q w q f } = {w Σ δ(q, w) F } = L(M q ) mit M q = Q, Σ, δ, {q}, F Dnn gilt: L(M) = L(α q ) q Q 0 = L(α q1 α q2... α qn ) mit Q 0 = {q 1, q 2,..., q n } Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 8 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 9 von 32

3 Nottion Ersetzungsmethode Schwierigkeit Wie knn mn die regulären Ausdrücke α q finden? Wir verwenden ls verllgemeinerte Alterntive: Für eine endliche Menge A = {α 1,..., α n } von regulären Ausdrücken schreien wir α A α ls Akürzung für α 1... α n. Beispiel: ohne Rekursion ist es einfch... A C E α A =, α C =, α E = ɛ Wir wenden diese Nottion uch in nderen ähnlichen Fällen n, zum Beispiel für den vorigen Ausdruck: q Q 0 α q = α q1 α q2... α qn Beispiel: mit Rekursion ist es weniger klr... A B α A =? C Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 10 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 11 von 32 Ersetzungsmethode Rekursion Ersetzungsmethode Gleichungen Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B C α A α B α C α B α A α C α B α C α B ɛ Ein Gleichungssystem von regulären Ausdrücken! Allgemein knn mn ds Gleichungssystem wie folgt eschreien: Für einen NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F etrchten wir die folgenden Gleichungen für Ausdrücke α q mit q Q. Für jeden Zustnd q Q \ F: Für jeden Zustnd q F: α q Σ α q ɛ Σ p δ(q,) p δ(q,) Jetzt müssen wir diese Gleichungen lediglich lösen... α p α p Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 13 von 32

4 Gleichungssysteme Lösen Beispiel: Gleichungssysteme Lösen α A α B α C α B α A α C α B α C α B ɛ Wie können wir solche Gleichungssysteme lösen? Methode 1: Gleichungen ineinnder Einsetzen und ds Ergenis vereinfchen Beispiel: Setzen wir die Definition von α C in die Gleichung für α A ein, so erhlten wir α A α B (α B ɛ) α B α B ( )α B. Prolem: rekursive Gleichungen lssen sich so nicht vereinfchen... Methode 2: Rekursive Gleichungen direkt Lösen Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ c (4) α 2 ɛ Arden (2) (5) α 1 cα 3 (4) in (1) (6) α 1 c (3) in (5) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 α 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. regulärer Ausdruck für NFA ist q Q 0 α q = α 1, lso c Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 14 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32 Korrektheit der Ersetzungsregel (1) Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Regel von Arden : Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Beweis: Wir ehupten: Wenn L(α) = L(β) L(α) L(γ) mit ɛ L(β) dnn gilt L(α) = L(β) L(γ). Wir zeigen: dies gilt nicht nur für L(α), L(β) und L(γ), sondern für elieige Sprchen L, K und H: Wenn L = KL H und ɛ K dnn L = K H Wir zeigen die eiden Richtungen der geforderten Gleichheit einzeln. nch Den N. Arden der ds Resultt 1961 pulizierte; uch eknnt ls Lemm von Arden Teilehuptung 1: K H L Sei w K H elieig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Wegen v L, u n K und KL L gilt u n v L Wegen u n v L, u n 1 K und KL L gilt u n 1 u n v L... Wegen u 2 u n v L, u 1 K und KL L gilt u 1 u n v L } {{ } w Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 16 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

5 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilehuptung 2: L K H Sei w L elieig. Wir eweisen w K H durch Induktion üer n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Weil ɛ K gilt ɛ KL D w = ɛ L und L = KL H gilt lso ɛ H Also gilt w K H. Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn git es u K und v L mit w = uv Wegen ɛ K ist u ɛ und lso v < w = n Lut IH gilt lso v K H Wegen u K gilt lso uch uv = w K H Dmit ist der Beweis geschlossen. Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32 Zusmmenfssung Ersetzungsmethode Die Umwndlung NFA regulärer Ausdruck ist lso wie folgt: (1) Vereinfche den Automten (entferne offensichtlich unnötige Zustände) (2) Bestimme ds Gleichungssystem (eine Gleichung pro Zustnd) (3) Löse ds Gleichungssystem (durch Einsetzen und Ardens Regel) (4) Gi den Ausdruck für die Sprche des NFA n (Alterntive der Ausdrücke für lle Anfngszustände) Ermittlung regulärer Ausdrücke durch dynmische Progrmmierung Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 20 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 21 von 32

6 Drstellungen von Typ-3-Sprchen Idee reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit Gegeen: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Gesucht: regulärer Ausdruck α mit L(α) = L(M) Anstz: Für jedes Pr von Zuständen q, p Q, erechne einen regulären Ausdruck α q,p für die Sprche DFA DFA NFA konstr. Potenzm.- NFA ɛ-nfa NFA ɛ-elim. duler Grph Syntxdigrmm ɛ-nfa Dnn gilt: L(α q,p) = {w Σ q w p} = {w Σ p δ(q, w)} = L(M q,p) mit M q,p = Q, Σ, δ, {q}, {p} L(M) = L(α q,p) = L q Q 0 p F q Q 0 p F α q,p Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 22 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 23 von 32 Dynmische Ermittlung von α q,p Gegeen: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Annhme: Zustände sind nummeriert: Q = {q 1,..., q n } (o..d.a.) Gegeen M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es git einen Luf q i p1... pl 1 qj, woei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Gesucht: Reguläre Ausdrücke α k [i, j] mit L(α k [i, j]) = L k [i, j]. Der Fll k = n Gegeen M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es git einen Luf q i p1... pl 1 qj, woei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Für k = n ist die zweite Bedingung immer erfüllt, d {q 1,..., q n } = Q L n [i, j] ist die Menge ller Wörter zwischen q i und q j α n [i, j] = α qi,q j sind die regulären Ausdrücke, us denen wir letztlich die Lösung ermitteln wollen Wir wollen dynmische Progrmmierung nwenden, um α k [i, j] für immer größere Werte k zu erechnen. Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 24 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 25 von 32

7 Der Fll k = 0 Die regulären Ausdrücke α 0 [i, j] Gegeen M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es git einen Luf q i p1... pl 1 qj, woei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Für k = 0 knn die zweite Bedingung für keinen Zustnd p i erfüllt werden L 0 [i, j] eruht nur uf Läufen ohne Zwischenzustände Flls i j, dnn kommen nur Läufe q i qj in Frge Flls i = j, dnn kommen Läufe q i qi (w = ) oder q i (w = ɛ) in Frge reguläre Ausdrücke α 0 [i, j] können direkt us M gelesen werden Für k = 0 können wir α 0 [i, j] direkt us M lesen: Sei { 1,..., m } = { Σ q i qj } die Menge der Beschriftungen von direkten Üergängen von q i zu q j. Flls i j, dnn ist α 0 [i, j] = 1... m Flls i = j, dnn ist α 0 [i, j] = 1... m ɛ Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 26 von 32 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 27 von 32 Die regulären Ausdrücke α k+1 [i, j] Zur Bestimmung von α k+1 [i, j] verwenden wir Ausdrücke α k [i, j ] 1 2 l 1 l es git einen Luf q i p1... pl 1 qj, woei für jedes p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } zwei Möglichkeiten für Läufe ei k + 1: (1) kein p i ist q k+1, d.h. p i {q 1,..., q k } (2) einige p i sind q k+1 ; dnn ht der Luf die Form: Dher gilt: q i {q 1,..., q k } q k+1 ( {q1,..., q k } q k+1 ) {q 1,..., q k } q j Teilläufe: q i q k+1 ( q k+1 q k+1 ) q k+1 q j α k+1 [i, j] = α k [i, j] ( α k [i, k + 1](α k [k + 1, k + 1]) α k [k + 1, j] ) } {{ }} {{ } Fll (1) Fll (2) Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 28 von 32 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) c Fll k = 1: α 1 [1, 1] = α 0 [1, 1] } {{ } ɛ α 1 [1, 2] = α 0 [1, 2] } {{ } Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 1]) ɛ } {{ } ɛɛ ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 2]) } {{ } ɛɛ... syntktische, er keine semntische Änderungen α 1 [i, j] α 0 [i, j] (Grund: es git keine Pfde zu 1 oder von 1 zu 1) Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

8 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) Beispiel: Dynmische Progrmmierung (3) 1 2 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c 1 2 Fll k = 2: α 2 [1, 1] ɛ α 2 [1, 2] α 2 [1, 3] c c 3 α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ c 3 α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ ( ) ɛ α 2 [1, 2] = α 1 [1, 2] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 2]) = (( ɛ) ( ɛ)) α 2 [1, 3] = α 1 [1, 3] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 3]) = c ( ) c... α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32 Fll k = 3: syntktische, er keine semntische Änderungen: (Grund: es git keine Pfde von 3 zu 3) α 3 [i, j] α 2 [i, j] Dmit sind lle α 3 [i, j] = α n [i, j] estimmt und wir erhlten den folgenden regulären Ausdruck für den Automten: α 3 [1, 2] α 3 [1, 3] c Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 31 von 32 Zusmmenfssung und Auslick Reguläre Ausdrücke sind eine prktisch wichtige Methode zur Beschreiung (elieiger) regulärer Sprchen Die Ersetzungsmethode definiert und löst ein Gleichungssystem, um us einem NFA einen regulären Ausdruck zu erzeugen Die Methode der dynmischen Progrmmierung erechnet reguläre Ausdrücke für Wörter zwischen Zustndspren, woei immer größere Teilmengen von Zwischenzuständen verwendet werden dürfen Offene Frgen: Wie ufwändig sind diese Umformungen im schlimmsten Fll? Welche Sprchen sind nicht regulär? Wie knn mn Automten systemtisch vereinfchen? Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme Folie 32 von 32