Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik

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1 Mitschrift Repetitorium Theoretische Informtik und Logik Teil 1: Formle Sprchen, , 1. Edit Allgemeine Hinweise für die Prüfung Ds Pumping-Lemm für kontextfreie Sprchen kommt nicht (sehr wohl er ds für reguläre Sprchen!) Üungseispiele durchgehen Stupides Auswendiglernen der Frgen der vorngegngenen Prüfungen ringt nichts Es kommen immer ndere Frgen. Es kommt lso uf ds Verständnis n. ei der Prüfung ist die Age von Zustzzetteln nicht erlut Ange genu echten und immer genu ds mchen, ws d steht (z wenn gefordert ist, einen DEA zu konstruieren, dnn soll es uch ein DEA sein und kein NEA; wenn mn eine Grmmtik ngeen soll, dnn soll die gnze Grmmtik ngegeen werden und nicht nur die Produktionen; wenn nicht gesgt ist, dss mn ei einem Automten die Flle weglssen knn, dnn soll mn sie uch nicht weglssen; ) Die im Repetorium gerchten eispiele sind us Zeitgründen sehr einfch gehlten. Ds heißt nicht, dss zur Prüfung uch unedingt so einfche eispiele kommen müssen Reguläre Sprchen eispiele für Frgen Jede endliche Menge ist regulär: Richtig Jede reguläre Menge ist endlich: Flsch Jeder deterministische endliche Automt ist uch ein nondeterministischer endlicher Automt: Richtig Jeder nondeterministische Automt ist uch ein deterministischer endlicher Automt: Flsch Es git Kontextfreie Sprchen, die regulär sind: Richtig Alle Kontextfreien Sprchen sind uch regulär: Flsch Deshl: Frgen genu lesen! Geen Sie eine reguläre Grmmtik n, welche die Sprche {c}*{c} kzeptiert Vorgehensweise: Erst endlichen Automten zeichnen c q4

2 Die Produktionen ildet mn dnn einfch in der Form (Zustnd) -> (Terminlsymol)(Nchfolgezustnd) sowie eim Endzustnd dnn uf -> ε. Hier lso P = { q 1 -> cq 2, q 2 ->q 3, q 3 -> q 1 q 4, q 4 ->ε } Die Grmmtik sieht dnn folgendermßen us: G = <{ q 1, q 2, q 3, q 4 }, {,, c }, P, q 1 > Geen Sie einen Automten n, welcher ds Komplement der Sprche {c}*{c} kzeptiert Konstruktion: Ausgehend vom ursprünglichen Automten wird ein neuer Zustnd hinzugefügt, zu dem mn von llen nderen Zuständen us mit den nderen Symolen hingelngt. Dnch werden noch die Endzustände umgekehrt und dnn sieht ds Gnze in etw so us: c,,, q5 c, c c,, c q4 Ds Komplement zu L ist {,, c } * - { c } * { c } Geen Sie einen deterministischen Automten n, der die Sprche {}*{} kzeptiert. Wenn mn jetzt ei der Prüfung intuitiv so einen Automten zeichnen würde: dnn ist ds flsch, denn der oige Automt ist nicht deterministisch (von q 1 führt nämlich zu zwei verschiedenen Zuständen) Deshl muss der Automt determiniert werden. Wer die Lösung nicht gleich seler sieht, knn mn den Algorithmus zum Determinieren nwenden, der im Skriptum ngegeen ist: Zuerst die Üergngsfunktionen ufzeichnen (Die Telle erstellt mn wie folgt: Von welchen Zuständen komme ich mit welchen Symolen zu welchen Zuständen) δ q1 {q1, q2} q2 {q3} q3 {} Nun determiniert mn ds, indem us llen nicht eindeutigen Zuständen in der rechten Splte einen neuen Zustnd spltet, der zu jenen Zuständen führt, die sich us der Vereinigung der drin enthltenen Zustände ergeen:

3 δ {q1} {q1, q2} {q1, q2} {q1, q2, q3} {q1, q2, q3} {q1, q2, q3} Drus ergit sich folgender DEA: {q1} {q1,q2} {q1, q2, q3} Minimlutomt, der {}+ kzeptiert Flsch: Wrum? Weil ein nichtdetermistischer Automt kein Minimlutomt sein knn. Der Minimlutomt sieht so us: Richtig: Kontextfreie Sprchen Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik n, welche { n n n 1} erzeugt G = <{S}, {, }, { S->S }, S> Auch hier gilt wieder: eim Test reicht es nicht, nur die Produktionen nzugeen, wenn nch der Grmmtik gefrgt ist! Grmmtik für { n n n 0 } G = <{S}, {, }, { S->S ε }, S> Linksleitungen für lle n 1 S --> n-1 n-1 --> n n Linksleitungen für lle n 0 S --> n n --> n n

4 Induktive Definition einer Sprche L ist die kleinste Menge, für die gilt: ε L L für Σ w L für Σ, w L definiert die Sprche {}* Chomsky-Normlform Wiederholung Chomsky-Normlform: Grmmtik der Form, so dss jede Produktion der Gestlt A -> C oder A -> mit A,, C Nonterminle und Terminlsymole ist. Um ds Leerwort erzeugen zu können, ist die Erzeugung us dem Strtsymol S erlut, wenn S dnn nicht mehr uf der rechten Seite der Produktion vorkommt { S -> S S ε } in Chomsky-NF: ε-produktionen weg: { S -> S S } Terminlsymole wegringen: { S -> X S X S, X ->, X -> } ε wieder rein, ds es nur vom Strtsymol weg erlut ist, wenn es dnn nicht mehr rechts vorkommt, müssen wir einen neuen Strtzustnd S ilden: { S -> X S X S ε, S-> X S X S,, X ->, X -> } Erweiterte Greich Normlform Wiederholung Erweiterte Greich-Normlform: Zu jeder Kontextfreien Grmmtik knn mn eine äquivlente kontextfreie Grmmtik konstruieren, dss jeden Produktion der Gestlt A -> w mit A Nonterminle, Terminle und w elieig ist Gegeen ist die Sprche L = { 2n-3 7k 2n+3 n, k 2 }. Drus soll mn Produktionen in erweiterter Greich-Normlform ngeen. Dzu ist es hilfreich, wenn mn sich erst ml nsieht, welche Wörter die Sprche üerhupt produziert. Zuerst fällt uf, dss ds Symol links und rechts vom gleich schnell wächst. Ds kleinste Wort, ds von dieser Sprche kzeptiert wird, ist Mit diesem Wissen knn mn sich die Produktionen nun reltiv einfch herleiten: P = { S -> 2 S 2 A 7, A -> 7 A 14 } Aufge für Zuhuse: Linksleitungen finden Grenzen von Sprchen/Aschlusseigenschften Zeigen Sie, dss die von der Grmmtik G = <{S,}, {,,c}, {S->S c, -> }, S> erzeugte Sprche nicht regulär ist Als erstes sollte mn sich üerlegen, welche Sprche die Grmmtik üerhupt erzeugt. Ds geht m esten mit einem Aleitungsum:

5 S S S... c Jetzt sieht mn deutlich, dss die Grmmtik die Sprche L = { n c 2n n 0 } erzeugt. Diese Sprche ist u.. rekursiv, rekursiv ufzählr, monoton und kontextfrei. Wir sollen er zeigen, dss die Sprche nicht regulär ist. Also ilden wir sie mit einem Homomorphismus uf die nicht reguläre Sprche L = n 2n : h:{,, c } -> {, }* h() = h() = h(c) = ε Hätte mn jetzt eine Sprche wie { n c 2n n 0 }, dnn müsste mn eine gsm verwenden, die folgendermßen ussieht: / / c/ε