i)((a + b) + (ā b)) + c ii ) (a c) + ((b + 0) c) iii) (a c) (ā + c) (b + c + b) iv ) (ā + (b c)) + (c (b + c))

Transkript

1 Boolsche Alger In dieser Aufge soll noch einml der Umgng mit der Boolschen Alger geuet werden. Zur Erinnerung deshl hier zunechst noch einml die grundlegenden Regeln (Nummerierung entsprechenend den GTI-Folien): Nottion: = nd ; + = or ; ā = not Axiome: GrundmengeB = {, } B Kommuttivitet, B : + = +, = B 2 Distriutivitet,, c B : ( + ) c = ( c) + ( c), ( ) + c = ( + c) ( + c) B 3 B : + =, = B 4 B : + ā =, ā = B 5, B : = Lemmt: 2. Eindeutigkeitder n B : B : + n = n = Eindeutigkeitder e B : B : e = e = 2.2 EindeutigkeitdesKomplements B : k B : [ + k = und k = k = ā] 2.3 Idempotenz B : + = = 2.4 B : + =, = 2.5 =, = 2.6 DoppeltesKomplement B : ā = 2.7 Asorption, B : + =, ( + ) = 2.8 Assozitivitet,, c B : + ( + c) = ( + ) + c ( c) = ( ) c 2.9 DeMorgn, B : + = ā = ā + Bei der Anwendung der Regeln nicht den Fehler mchen rithmetische Regeln einzusetzen. Boolsche Alger verhelt sich n einigen Stellen nders!!! Bitte ei jedem Umformungsschritt die verwendete(n) Regel(n) ngeen )Welche der folgenden 4 Boolschen Ausdruecke sind identisch? Tip: Versuchen sie lle Terme uf eine der Normlformen zu ringen i)(( + ) + (ā )) + c ii ) ( c) + (( + ) c) iii) ( c) (ā + c) ( + c + ) iv ) (ā + ( c)) + (c ( + c))

2 i) (( + ) + (ā )) + c Musterloesung: (( + ) + (ā )) + c 2.9 = ((ā ) + (ā )) + c 2.6 = ((ā ) + (ā )) + c 2.3 = (ā ) + c DNF B = 2 (ā + c) ( + c) KNF ii ) ( c) + (( + ) c) Musterloesung : ( c) + (( + ) c) B 3,2.9 = ( c) ( c) 2.9 = (ā + c) ( + c) KNF iii) ( c) (ā + c) ( + c + ) Musterloesung : ( c) (ā + c) ( + c + ) 2.3,2.9 = (ā + c) (ā + c) ( + c) 2.3 = (ā + c) ( + c) KNF iv ) (ā + ( c)) + (c ( + c)) (ā + ( c)) + (c ( + c)) 2.7 = (ā + ( c)) + c 2.9 = (ā + ( + c)) + c 2.9 = ( ( + c)) + c B 2 = ( + c) (( + c) + c ) }{{} c+c= = ( + c) ( }{{ + } ) = = + c DNF

3 Nme: Mtrikel-Nummer: Quine/McClusky Gegeen sei eine Bool sche Funktion F = c d + c d + c d + _ c d + c d () Geen Sie F in der Minterm-Normlform n. F Minterm = c d + c d + c d + c d + _ c d + c d () Bestimmen Sie eine minimle Drstellung von F mit Hilfe des Krnugh- Digrmms: Füllen Sie dzu ds uf der nächsten Seite ngegeene Digrmm zunächst entsprechend mit Einsen us. Mrkieren Sie dnn die lle gefundenen Primimpliknten. Geen Sie die minimle Drstellung hier n: F Min = P + P 2 = c d + d (c) Minimieren Sie die Funktion G = c d + c d + c d + c d + _ c d + c d mit Hilfe des Quine/McClusky Verfhrens. Ds Verfhren enötigt hier 2 Itertionen. Geen Sie die Zwischenergenisse nch den ngegeenen Aktionen des Verfhrens in eiden Itertionen n. Bei der Summe der Konsensusse sind lle (d.h. uch doppelt uftretende) nzugeen! GRA, WS 24/25,

4 Nme: Mtrikel-Nummer: Zu (): Auszufüllendes Krnugh-Digrmm: Erstzdigrmm: d d P 2 P c c Teil (c): Quine / McClusky Verfhren Nr. Aktion / Zwischenergenisse Ausgngsfunktion G _ c d + c d + c d + c d + c d + c d Summe ller Simplen Konsensusse : _ c d + c d + c d + c d + d + d + c d 2 Nch Streichen von Verlängerungen und Vereinfchen : _ c d + c d + c d + c d + d + d + c d Summe ller Simplen Konsensusse : c d + c d + d + d Nch Streichen von Verlängerungen und Vereinfchen c d + d 3 GRA, WS 24/25,

5 Nme: Mtrikel-Nummer: Ginsurg/Huffmn ) Reduktion nch dem Ginsurg/Huffmnn-Verfhren: Äquivlenzklssenzuordnung im. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt δ/λ S S5/ S6/ A 2 A 2 B 2 B 2 C 3 C C 3 S2 S6/ S5/ A 2 A 2 B 2 B 2 C 3 C A 3 B S3 S7/ S6/ A 2 A 2 B 3 B 2 C 4 C 3 C 2 S4 S8/ S5/ A 2 A 2 B 3 B 2 C 4 C 3 S5 S/ S4/ A A B B C C 2 B C 3 2 S6 S2/ S3/ A A B B C C 2 A 2 S7 S4/ S6/ A A 2 B B 2 C 2 C B 3 3 C 4 S8 S4/ S5/ A A 2 B B 2 C 2 C 3 A = { S, S2, S3, S4 }, B = { S, S2, S3, S4 }, A 2 = { S5, S6, S7, S8 }, B 2 = { S5, S6 }, C = { S, S2 }, B 3 = { S7, S8 }, C 2 = { S3, S4 }, C 3 = { S5, S6 }, C 4 = { S7, S8 } GRA, WS 24/25,

6 Nme: Mtrikel-Nummer: ) Die Zustndsüergngsgrphen des minimierten Mely-Automten und dzu äquivlenten Moore-Automten : / C C3 / / / / / C2 / / C4 C3 C C3 C2 C4 C2 5 GRA, WS 24/25,

7 Nme: Mtrikel-Nummer: CMOS- und Gtterschltungen ) Zeichnen Sie sierend uf den unten drgestellten Schltsymolen von nmos und pmos Trnsistoren die Gtter NOT, NAND und NOR ls CMOS Gtter. Tipp: Ein pmos Anreicherungstyp leitet, wenn m Gte eine logische, lso GND nliegt. Ein nmos Anreicherungstyp leitet, wenn m Gte eine logische, lso VCC nliegt. pmos nmos VCC GND NOT NAND NOR i o y y ) Zeichnen Sie sierend uf den Schltsymolen der Gtter NOT, NAND und NOR einen Hlddierer, der die eiden Eingngsits und zu einer Summe s und einem Üerluf c ddiert. Stellen Sie dzu zunächst die Booleschen Funktionen für s und c uf. _ s = xor = A B A B c = nd = _ A + B i o & y > y HALF ADDER & & s & c GRA, WS 24/25,

8 Nme: Mtrikel-Nummer: VHDL Signltiming und Vrile Gegeen sei folgende VHDL-Beschreiung mit gemischten Signl- und Vrilennweisungen. ) Trgen Sie für jede Signlzuweisung von (Zeilen 4 is 7) die jeweiligen Werte in die Trnsktionsliste ein. Achten Sie uf die unterschiedlichen Verzögerungsrten (trnsport-dely, inertil-dely). Hinweis: Wenn nichts vor der Signlzuweisung steht, dnn wird inertil-dely enutzt! rchitecture TEST of AUFGABE is 2 signl, : integer := ; 3 egin 4 <= 6 fter ns, 8 fter 2 ns, 8 fter 3 ns, 22 fter 4 ns, fter 5 ns; 5 <= trnsport 4 fter 4 ns; 6 <= 8 fter 3 ns; 7 <= trnsport 3 fter 2 ns; 8 9 process (, ) vrile c, d : integer := ; egin 2 <= +; 3 c := *4 + 3; 4 d := + + c; 4 end process; 6 end TEST; ) Trgen Sie die Werte von,, c und d für lle gegeenen Zeitpunkte in die entsprechende Signltrce-Telle ein. Es reicht, wenn Sie nur zu den Zeitpunkten, n denen sich etws ändert, Werte eintrgen. D in der Sensitivliste des Prozesses die Signle und stehen, wird der Prozess ei jeder Signländerung dieser eiden Signle usgeführt. Um die Werte in der Signltrce-Telle uszurechnen, können die Gleichungen us den Zeilen 2, 3 und 4 folgendermßen geändert werden: = +; c = (+)*4+3 = 4+7 d = = 6+8 Um nochmls VHDL zu wiederholen, ist zum einen ds Vorlesungsskript geeignet, zum nderen ds Buch VHDL Eine Einführung von Pul Molitor und Jörg Ritter (ISBN: ). 7 GRA, WS 24/25,