Grundlagen der Informatik

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1 Grundlgen der Informtik Vorlesungsprüfung vom Gruppe B Lösung Nme: Mtrikelnummer: Zuerst itte Nme und Mtrikelnummer uf ds Titelltt schreien. Es sind keine Unterlgen und keine Temreit erlut. Hndys itte schlten! Die Areitszeit eträgt 60 Minuten. Es können nur die Angelätter gegeen werden. Dher sind lle Antworten usschlieÿlich uf dem Angeogen einzutrgen. Keinen Rotstift verwenden. Bitte sehr leserlich schreien. Ws nicht gelesen werden knn ist flsch! Bei Frgen itte klopfen und ufzeigen. Aufge Punkte erreicht Punkte möglich Logik Formel 7 Regulr Expressions Automt RegExp 6 Rekursion PL/pgSQL (für WS06) 9 Prolog (für WS05 und dvor) 9 Stisility Prolem 6 Turingmschine Anlyse 12 Allgemeine Frgen O-Nottion 4 Kontextfreie Grmmtiken 4 48

2 1 Logik 1.1 Formel [7 Punkte] Gegeen ist der Grph us Aildung 1. Jede der zehn Knten A is J ist nun mit einer von zwei Fren entsprechend 0 für die Fre Rot und 1 für die Fre Grün gefärt. Gesucht ist eine logische Formel (in den Vrilen A is J), die genu dnn whr ist, wenn der Grph kein Dreieck derselen Fre enthält. Anders usgedrückt soll die gesuchte Formel lso genu dnn 1 liefern, wenn lle im Grphen enthltenen Dreiecke sowohl eine mit 1 gefärte, ls uch eine mit 0 gefärte Knte enthlten. Besgte Formel drf (neen den Vrilen und Klmmern) nur Konjunktionen, Disjunktionen und Negtionen einhlten; insesondere lso nicht den Äquivlenzopertor =` oder dessen Negtion `. Aildung 1: Ange von Beispiel 1.1 A B D C F E H G I J Lösung Prinzipiell etrchtet mn einfch die drei enthltenen Dreiecke A B D, E F G und H I J und üerlegt sich für jedes getrennt eine Teilformel. Zum Beispiel wären für A B D unter nderem folgende Wege zielführend: Mn stelt sich Formeln, die den gewünschten Belegungen entsprechen: (A B D) ( A B D) ( A B D) ( A B D) (A B D) (A B D) Ds gesuchte Dreieck enthält sowohl (mindestens) eine Eins, ls uch (mindestens) eine Null: (A B D) ( A B D) Dreiecke, die usschlieÿlich us Nullern oder usschlieÿlich us Einsern estehen, sind unerwünscht: (A B D) ( A B D) Ntürlich sind ll diese Teilformeln logisch äquivlent. Schluÿendlich verindet mn die Teilformeln ller drei Dreiecke mit Konjunktionen. (Bei Formeln der ersten Art die Klmmern nicht vergessen!) Ein Endergenis wäre zum Beispiel... (A B D) (A B D) (E F G) (E F G) (H I J) (H I J). 2

3 2 Regulr Expressions Für lle Untereispiele von Beispiel 2 gilt Folgendes: Ds Alphet ist {,}..` (ein Punkt) mtcht genu ein elieiges Zeichen. Beispiel:..,, oder +` (ein Plus) edeutet, dss der Ausdruck dvor elieig oft (mindestens einml) uftritt. Beispiel: +,,,... *` edeutet, dss der Ausdruck dvor elieig oft (eventuell 0-ml) uftritt. Beispiel: *,,,...?` edeutet, dss der Ausdruck dvor höchstens 1-ml (eventuell 0-ml) uftritt. Beispiel:? oder ` edeutet, dss entweder der Teil links oder der Teil rechts uftritt. Beispiel: oder, er nicht (` und )` erweitern zw. eschränken den Wirkungsereich von +, * und. Beispiele: ()+,,,... ()*,,,... ( ) oder 2.1 Automt RegExp [6 Punkte] Gegeen ist der Automt us Aildung 2. Gi einen möglichst kurzen regulären Ausdruck n, der genu jene Wörter mtcht, die von diesem Automt kzeptiert werden. Aildung 2: Ange von Beispiel Lösung?++ ()++ 3 Rekursion Ds Gnze ist ein logischer Schltkreis mit durchnummerierten AND (Opertor = 1) und OR (Opertor = 0) Gttern, woei Ausgänge öfter ls einml ls Input für ndere Gtter enutzt werden können. Ddurch knn es uch zu Endlosschleifen kommen. Die Detils: Gesucht ist der Wert von erechne(2). Dieser setzt sich nun us dem Wert von Knoten 5 und dem Wert von Knoten 3 verunden durch einen AND-Opertor zusmmen. Knoten 5 wiederum ist Knoten 1 AND Knoten 6. Diese Vorgehensweise knn mn nlog fortsetzen 3

4 und erhält somit folgende Ausdrücke: 0 = F 1 = T 7 = F 4 = 0 1 = F T = F 6 = 4 1 = F T = T 5 = 1 6 = T T = T 3 = A 5 = A T = A 2 = 5 3 = T A = A Und ds wr uch schon der gnze Zuer. Der gesuchte Wert des Knoten 2 ist gleich dem Wert von A: Für A {1, 6, 5}: Für A {0, 7, 4}: Für A = 3: TRUE FALSE Der Wert von 2 ist der von 3. Um diesen zu erechnen enötigt mn den Wert von 3: endlos Für A = 2: Um den Wert von 2 zu erechnen enötigt mn den Wert von 2: endlos 3.1 PL/pgSQL (für WS06) [9 Punkte] Achtung Dieses Beispiel ist prinzipiell für jene Studenten gedcht, die die Vorlesung im Wintersemester 2006/07 esucht hen! In diesem Fll ist dieses Beispiel sttt des Prolog-Beispiels 3.2 (Seite 6) zugeen. Studenten, die die Vorlesung in einem früheren Semester esucht hen, können sttt diesem Beispiel die Prolog-Vrinte geen, müssen dies er nicht: Es drf genusogut ds SQL-Beispiel nstelle des Prolog-Beispiels gegeen werden. Wichtig ist, dss es nichts ringt eide Beispiele uszureiten! In diesem Fll wird nur die SQL-Lösung ewertet. Gegeen ist der SQL-Code us Aildung 3 (Seite 5). Trge in Telle 1 jene Resultte ein, die... SELECT erechne(2);... liefert, wenn im Code A durch den entsprechenden Wert ersetzt wurde. Gi ls Resultt endlos n, flls die Berechnung nicht terminiert. Achtung: Flsche Antworten führen zu Punktezug! Telle 1: Lösung von Beispiel 3.1 A Resultt 0 FALSE 1 TRUE 2 endlos 3 endlos 4 FALSE 5 TRUE 6 TRUE 7 FALSE 4

5 Aildung 3: SQL-Befehle für Beispiel 3.1 CREATE TABLE formelteil ( oer_knoten INTEGER, linker_knoten INTEGER, opertor INTEGER, rechter_knoten INTEGER ); INSERT INTO formelteil VALUES (2,5,1,3); INSERT INTO formelteil VALUES (3,A,1,5); INSERT INTO formelteil VALUES (4,0,1,1); INSERT INTO formelteil VALUES (5,1,1,6); INSERT INTO formelteil VALUES (6,4,0,1); -- replce A CREATE OR REPLACE FUNCTION erechne (INTEGER) RETURNS BOOLEAN AS ' DECLARE momentner_oer_knoten ALIAS FOR $1; momentner_linker_knoten INTEGER; momentner_opertor INTEGER; momentner_rechter_knoten INTEGER; BEGIN IF momentner_oer_knoten = 0 THEN RETURN FALSE; ELSIF momentner_oer_knoten = 1 THEN RETURN TRUE; END IF; SELECT linker_knoten, opertor, rechter_knoten INTO momentner_linker_knoten, momentner_opertor, momentner_rechter_knoten FROM formelteil WHERE oer_knoten = momentner_oer_knoten; IF NOT FOUND THEN RETURN FALSE; END IF; IF momentner_opertor = 0 THEN RETURN ( erechne(momentner_linker_knoten) OR erechne(momentner_rechter_knoten) ); ELSE RETURN ( erechne(momentner_linker_knoten) AND erechne(momentner_rechter_knoten) ); END IF; END; ' lnguge plpgsql; 5

6 3.2 Prolog (für WS05 und dvor) [9 Punkte] Achtung Dieses Beispiel ist nur für jene Studenten gedcht, die die Vorlesung im Wintersemester 2005/06 (oder dvor) esucht hen! In diesem Fll knn es sttt des SQL-Beispiels 3.1 (Seite 4) gegeen werden. Es ringt nichts eide Beispiele uszureiten. (In diesem Fll wird nur die SQL-Lösung ewertet.) Eenso wird dieses Beispiel für Studenten, deren Mtrikelnummer mit 06` eginnt, nicht gewertet. Gegeen ist der Prolog-Code us Aildung 4. Trge in Telle 2 (Seite 7) jene Resultte ein, die...?- erechne(2).... liefert, wenn im Code A durch den entsprechenden Wert ersetzt wurde. Gi ls Resultt endlos n, flls die Berechnung nicht terminiert. Achtung: Flsche Antworten führen zu Punktezug! Aildung 4: Prolog-Befehle für Beispiel 3.2 formelteil(2,5,1,3). formelteil(3,a,1,5). formelteil(4,0,1,1). formelteil(5,1,1,6). formelteil(6,4,0,1). % replce A erechne(1). erechne(knoten) :- formelteil(knoten,links,opertor,rechts), Opertor = 0, ( erechne(links) ; erechne(rechts) ). erechne(knoten) :- formelteil(knoten,links,opertor,rechts), Opertor = 1, erechne(links), erechne(rechts). 6

7 Telle 2: Lösung von Beispiel 3.2 A Resultt 0 no 1 yes 2 endlos 3 endlos 4 no 5 yes 6 yes 7 no 4 Stisility Prolem [6 Punkte] Es ist eknnt, dss ds Stisility Prolem (SAT ) NP -vollständig ist. Bentworte hierzu folgende Frgen: SAT lässt sich in polynomieller Zeit uf ds Prolem A reduzieren. Ws knn üer A usgesgt werden? A ist mindestens so schwer wie SAT. Im Klrtext: A ist NP -hrt. (NP -hrt NP - vollständig!) A knn lso NP -vollständig sein. Gezeigt wurde llerdings nur, dss A NP -hrt ist. Für die NP -Vollständigkeit eine stärkere Aussge, d die Menge der NP -vollständigen Proleme eine Teilmenge der Menge der NP -hrten Proleme ist fehlt noch etws. Ds Prolem C lässt sich in polynomieller Zeit uf SAT reduzieren. Ws knn üer C usgesgt werden? C ist us NP. (Nicht vergessen: NP P! Ds ht zwr nichts mit der Antwort selst zu tun, edeutet er, dss C eventuell uch nur in P liegt. Alles ws wir wissen ist C NP.) SAT lässt sich in polynomieller Zeit uf ds Prolem B reduzieren. Wie knn gezeigt werden, dss B NP -vollständig ist? Noch zu zeigen: B ist us NP. Also: Die Lösung ist in polynomieller Zeit verizierr. Äquivlent dzu: Die Lösung lässt sich uf einer nicht-deterministischen Turingmschine in polynomieller Zeit erechnen. (Dher uch NP `.) 5 Turingmschine Die Progrmme ller hier vorkommenden Turingmschinen estehen us Tripel der Form Ausge Bewegung nächster Zustnd : Ausge Ds Symol, ds vom Schrei- / Lesekopf uf ds Bnd geschrieen wird. Beispiele: 0, 1, 2, 3, etc. 7

8 Bewegung Die Richtung, in die sich der Schrei- / Lesekopf ewegt. Möglichkeiten: L (ein Schritt nch links) R (ein Schritt nch rechts) S (stehenleien) nächster Zustnd Der Zustnd, in den nch Ausge` und Bewegung` gewechselt wird. Beispiele: Strt, Z0, Z1, etc. Eventuell knn zusätzlich zu gültigen Tripel uch der Eintrg HALT` vorkommen. Dieser Befehl eendet sofort die Areitung des Progrmms. Felder, die niemls erreicht werden, können freigelssen werden. 5.1 Anlyse [12 Punkte] Gegeen ist die Turingmschine mit dem Eingend und dem Progrmm us Aildung 5. Trge nun eenflls in Aildung 5 ds Bnd, wie es nch Aluf des eschrieenen Progrmms ussieht, ein. Vergiss nicht eenflls den Endzustnd zu mrkieren! Aildung 5: Progrmm, Einge und Ausge von Beispiel Strt 1 - S - Ende 1 - R - Z1 2 - R - Strt Z1 2 - R - Ende 2 - R - Z1 2 - R - Strt Ende HALT HALT HALT Strt (Bnd vor dem Progrmmluf) (Bnd nch dem Progrmmluf) Ende 6 Allgemeine Frgen 6.1 O-Nottion [4 Punkte] Gesucht ist die Ordnung folgender Funktionen in n. Gi dei jeweils eine möglichst lngsm wchsende Funktion n: 27n n 3 = O ( n 5) n 3 n + 13n = O (n) (25n + π n ) 5 = O ( π 5n) 12 3 n2 + e n 3 7n = O ( e n 3) 8

9 6.2 Kontextfreie Grmmtiken [4 Punkte] Gegeen sind die Buchsten ` und `. Gi die Produktionsregeln für eine kontextfreie Grmmtik für S Ausdrücke n, die folgende Form hen: n m 2n woei: n, m Z n, m 0 m gerde Verwende Groÿuchsten, wenn Du neue Non-Terminlsymole einführst! Einige korrekte und inkorrekte Ausdrücke sind in Telle 3 drgestellt. Telle 3: Beispiele zu Aufge 6.2 korrekt: inkorrekt: Lösung S S S B B B B ε 9