Modul 3: Schaltnetze. Informatik I. Modul 3: Schaltnetze. Schaltnetze. Formale Grundlagen. Huntingtonsche Axiome.

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1 Herstsemester 2, Institut für Informtik IFI, UZH, Schweiz Modul 3: Schltnetze Informtik I Modul 3: Schltnetze Einführung in die formlen Grundlgen logischer Beschreiungen Boolesche Alger, Schltlger Vorussetzende technische Entwicklungen Relisierung von Schltnetzen uf Schlter- und Gttereene Entwurf von Schltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte ei Schltnetzen 2 Burkhrd Stiller M3 2 Burkhrd Stiller M3 2 Schltnetze Formle Grundlgen Schltnetze: Rein komintorische logische Schltungen Kein Speicherverhlten Logische Funktionen Beispiele: Licht-Aus Wrnung im Krftfhrzeug Motor us und Tür uf und Licht n Alrm Zur Untersuchung und Beschreiung der Eigenschften und des Verhltens von logischen Funktionen ist die Boolesche Alger hervorrgend geeignet. Entwickelt wurde sie von dem Mthemtiker George Boole (85 864) ls Alger der Logik. 2 Burkhrd Stiller M3 3 2 Burkhrd Stiller M3 4 Boolesche Alger Huntingtonsche Axiome Als eine Boolesche Alger ezeichnet mn eine Menge V = {,,c,...}, uf der zwei zweistellige Opertionen und derrt erklärt sind, dß durch ihre Anwendung uf Elemente us V wieder Elemente us V entstehen (Ageschlossenheit). H Kommuttivgesetz: = = H2 Distriutivgesetz: ( c ) = ( ) ( c ) ( c ) = ( ) ( c ) Ageschlossenheit: Für lle, V gilt: V V H3 Neutrles Element: Es existieren zwei Elemente e, n V, so dss gilt: e = (e wird Einselement gennnt) n = (n wird Nullelement gennnt) Weiterhin müssen die vier Huntingtonschen Axiome gelten. H4 Inverses Element: Für lle V existiert ein Element V, so dss gilt: = n = e 2 Burkhrd Stiller M3 5 2 Burkhrd Stiller M3 6

2 Schltlger Die Schltlger ist eine spezielle Boolesche Alger, die durch die folgende Korrespondenztelle definiert wird: Boolesche Alger n e Zusätzlich lterntive Schreiweise: + für zw. Benennung ODER &, für zw. Benennung UND 2 Burkhrd Stiller M3 7 V Schltlger {,} Relisierung von logischen Verknüpfungen () Für die technische Relisierung logischer Verknüpfungen knn mn sich zunächst einfche Schltermodelle für logische Busteine vorstellen. UND-Verknüpfung: Btterie Die Lmpe rennt (Funktionswert ) nur, wenn eide Schlter geschlossen sind ( UND gleich ), sonst leit die Lmpe dunkel (Funktionswert ). 2 Burkhrd Stiller M3 8 Lmpe Relisierung von logischen Verknüpfungen (2) ODER-Verknüpfung: Die Lmpe rennt, wenn einer der eiden Schlter geschlossen ist. Btterie Schltlger Die Verknüpfungen können leicht in Funktionstellen drgestellt werden: Lmpe Technische Relisierung mit Schltern 2 Burkhrd Stiller M3 9 2 Burkhrd Stiller M3 Schltlger Huntingtonsche Axiome in der Schltlger: H: = = H2: ( c) = ( ) ( c) ( c) = ( ) ( c) H3: = = H4: = = Schltlger Aus den vier Huntingtonschen Axiomen lssen sich weitere Sätze leiten: Assozitivgesetz: ( ) c = ( c) ( ) c = ( c) Idempotenzgesetz: = = Asorptionsgesetz: ( ) = ( ) = DeMorgn-Gesetz: = = 2 Burkhrd Stiller M3 2 Burkhrd Stiller M3 2

3 Boolescher Ausdruck () Boolescher Ausdruck (2) Ein Boolescher Ausdruck ist eine Zeichenfolge, die us inären Vrilen, den Opertoren und und Klmmern esteht und syntktische Regeln erfüllt, die durch folgendes Syntxdigrmm gegeen sind: Beispiele: syntktisch korrekte Boolesche Ausdrücke:,, ( ) c Keine Booleschen Ausdrücke, d syntktisch nicht korrekt:,, ( ) c inäre Vrile Negtion Boolescher Ausdruck Für die Konstnten und verwendet mn in der Schltlger mnchml uch in Anlehnung n die Aussgenlger die Bezeichnung Whrheitswerte: : flsch : whr Boolescher Ausdruck ( Boolescher Ausdruck Boolescher Ausdruck ) Ein Boolescher Ausdruck ht in der Regel zunächst keinen Whrheitswert, d er inäre Vrilen enthlten knn. Erst durch Belegung der inären Vrilen mit Whrheitswerten erhält der Boolesche Ausdruck einen Whrheitswert. 2 Burkhrd Stiller M3 3 2 Burkhrd Stiller M3 4 Definitionen Die Belegung einer Menge von inären Vrilen eines Booleschen Ausdrucks mit Whrheitswerten ezeichnet mn ls Interprettion. Die Interprettion eines Booleschen Ausdrucks liefert eine Aussge, die entweder whr oder flsch ist. Boolesche Funktionen Gegeen: Tupel von inären Vrilen (x,x 2,...,x n ) Eine (n-stellige) Boolesche Funktion ordnet jeder möglichen Whrheitswertelegung dieser Vrilen genu einen Whrheitswert zu: f : {,} n {,} Verschiedene Interprettionen eines Booleschen Ausdrucks können zu dem selen Whrheitswert führen. Wie viele Belegungen git es? 2 n Belegungen Ein Boolescher Ausdruck, ei dem lle möglichen Interprettionen zum Whrheitswert whr führen, heißt Tutologie. Beispiel: ist eine Tutologie (häufig uch ls T mrkiert). 2 Burkhrd Stiller M3 5 Wie viele verschiedene n-stellige Funktionen git es? 2 (2n ) Funktionen (denn es git zu jedem Argument einer Booleschen Funktion zwei verschiedene Funktionswerte) 2 Burkhrd Stiller M3 6 Negtion: Eine einstellige Boolesche Funktion f : {,} {,} Beispiele die jedem Opernden us dem Definitionsereich {,} einen Funktionswert us dem Werteereich {,} zuordnet. und : Zwei zweistellige Boolesche Funktionen: f : {,} x {,} {,} Drstellung oolescher Funktionen. Durch eine Funktionstelle 2. Durch einen lgerischen Ausdruck (symolische Form) 3. Durch einen Grphen Funktionstelle symolische Form Grph f f = (z.b. Shnnon-Bum) f 2 Burkhrd Stiller M3 7 2 Burkhrd Stiller M3 8

4 Boolesche Funktionen Wie kommt mn von der symolischen Drstellung zur Funktionstelle? Durch rekursive Auswertung des symolischen Ausdrucks! Konvention: Negtion vor Konjunktion und Konjunktion vor Disjunktion Durch Klmmern knn eine ndere Reihenfolge der Auswertung festgelegt werden Wie viele zweistellige Funktionen git es? Wie viele dreistellige Funktionen git es? 6 mögliche zweistellige oolesche Funktionen x verle Form symolische Bezeichnung x Drstellung f konstnt Kontrdiktion, Symol: (unerfüllr) f x und x x x Konjunktion f 2 nicht x, er x x x Inhiition f 3 identisch x x Identität f 4 nicht x, er x x x Inhiition f 5 identisch x x Identität f 6 x ungleich x x x Antivlenz, XOR f 7 x oder x x x Disjunktion f 8 nicht (x oder x ) x x NOR-Funktion, Peircescher Pfeil f 9 x gleich x x x Äquivlenz f nicht x x Negtion f wenn x, dnn x x x Impliktion f 2 nicht x x Negtion f 3 wenn x, dnn x x x Impliktion f 4 nicht (x und x ) x x NAND-Funktion, Shefferscher Strich f 5 konstnt Tutologie, Symol: T (llgemeingültig) T 2 Burkhrd Stiller M3 9 2 Burkhrd Stiller M3 2 Vollständige Opertorensysteme Vollständige Opertorensysteme Ein System von Opertoren, mit dem lle ooleschen Funktionen drgestellt werden können, heißt vollständiges Opertorensystem. Opertorensystem Drstellung der... Negtion Konjunktion Disjunktion Die Opertoren (,, ) ilden ein vollständiges Opertorensystem. (,, ) (, ) (, ) Beispiel: liefert ds gleiche Ergenis wie ( ) ( ). ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) läßt sich durch die Grundopertionen, und ersetzen Hinweis: wird häufig weggelssen, Bsp: 2 Burkhrd Stiller M3 2 2 Burkhrd Stiller M3 22 Tutologie () Tutologie (2) Wnn repräsentieren zwei Ausdrücke A und B diesele Boolesche Funktion? Gleichedeutend: Ist A B eine Tutologie? Gegeen zwei Boolesche Funktionen: f (,) = ( ) ( ) f 2 (,) = ( ) ( ) Ist f identisch mit f 2 oder ist ( ) ( ) ( ) ( ) eine Tutologie? Beweis mit Hilfe von Funktionstellen oder mittels Umformungen von Ausdrücken unter Verwendung der lgerischen Gesetze. Zwei Ausdrücke sind äquivlent, flls die Ergenisse ihrer Auswertung für lle möglichen Komintionen von Vrilenelegungen identisch sind. ( ) ( ) ( ) ( ) x y 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 24

5 Tutologie (3) Normlformen Mittels lgerischer Umformung: ( ) ( ) = [ ( ) ] [ ( ) ] (Distriutivgesetz) (Distriutivgesetz) (Inverses Element) (Neutrles Element) (Kommuttivgesetz) = [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] = [ ( ) ] [ ( ) ] = ( ) ( ) = ( ) ( ) Eine oolesche Funktion knn durch verschiedene oolesche Ausdrücke eschrieen werden. Eine Stndrddrstellung oolescher Funktionen im vollständigen Opertorensystem (,, ) ist die konjunktive (KNF) und die disjunktive Normlform (DNF). Ein Literl L i ist entweder eine Vrile x i oder ihre Negtion x i d.h., L i {x i, x i } 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 26 Produktterme Ein Produktterm K(x,...,x m ) ist die Konjunktion von Literlen L i = L L m i {,...,m} oder die Konstnte "" oder " " Literle und Produktterme Flls L h = x, L j = x, h j (mehrfch ejhtes Auftuchen) L h L j = x m K(x,...,x m ) = L i i= Mehrfches Auftuchen von x knn nch Idempotenzgesetz gestrichen werden ( x x = x). Beispiele: x i x i Jeder Produktterm K(x,...,x m ) = L i knn so drgestellt i {,...,m} werden, dß eine Vrile x in höchstens einem Literl vorkommt. Flls L h = x und L j = x (gemischtes ejhtes und negiertes Auftreten) L h L j = K(x,...,x m ) = (Produktterm wird zu ) 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 28 Impliknt und Minterm Minterme Ein Produktterm K(x,...,x n ) heißt Impliknt einer Booleschen Funktion y(x,...,x n ), wenn K y Ds heißt, für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn K(B) =, dnn ist uch y(b) = Minterme einer Booleschen Funktion y(x,...,x 4 ): x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 Keine Minterme der Booleschen Funktion y(x,...,x 4 ): Ein Impliknt einer Booleschen Funktion y(x,...,x n ) heißt Minterm, wenn ein Literl jeder Vrilen x i der Funktion y im Impliknten genu einml vorkommt. x x 2 x x 2 x 3 x 3 x 4 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 3

6 Disjunktive Normlform Disjunktive Normlform Dmit läßt sich die disjunktive Normlform definieren: Beispiele Es sei eine Boolesche Funktion y(x,...,x n ) gegeen. Ein Boolescher Ausdruck heißt disjunktive Normlform (DNF) der Funktion y, wenn er us einer disjunktiven Verknüpfung ller Minterme K i esteht: y = K K... K k, k 2 n - Es drf dei keine zwei Konjunktionen K i, K j mit i j geen, die zueinnder äquivlent sind. f (,,c ) = c c c ist in DNF. f (,,c ) = c c ( c c ) ist nicht in DNF, denn: enthält nicht lle Vrilen c und c sind äquivlent ( c c ) ist keine reine Konjunktion 2 Burkhrd Stiller M3 3 2 Burkhrd Stiller M3 32 Implikt Mxterm Es sei D(x,...,x m ) eine Disjunktion von Literlen L i = L L m oder die Konstnte "" oder "" i {,...,m} Ein Implikt einer Booleschen Funktion y(x,...,x m ) heißt Mxterm, wenn ein Literl jeder Vrile x i der Funktion y im Implikten genu einml vorkommt. Der Term D (x,...,x m ) heißt Implikt einer Booleschen Funktion y(x,...,x m ), wenn D y Mxterm-Beispiele für die Booleschen Funktion y(x,...,x 3 ): x x 2 x 3 x x 2 x 3 Ds heißt für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn D(B) =, dnn ist uch y(b) =. 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 34 Konjunktive Normlform Deutung: Disjunktive/Konjunktive Normlform Es sei eine Boolesche Funktion y(x,...,x m ) gegeen. Ein Boolescher Ausdruck heißt konjunktive Normlform (KNF), wenn er us einer konjunktiven Verknüpfung ller Mxterme D i esteht: y = D D... D k, k 2 n - Es drf dei keine zwei Disjunktionen D i, D j mit i j geen, die zueinnder äquivlent sind. Jeder Minterm einer DNF entspricht einer Zeile in der Funktionstelle, die den Funktionswert liefert. Jeder Mxterm einer KNF entspricht einer Zeile in der Funktionstelle, die den Funktionswert liefert. Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! Bis uf Permuttionen (z.b. c, c, c, c, c, c sind äquivlent) 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 36

7 DNF und KNF In einer Funktion mit n Vrilen können is zu 2 n Minterme zw. Mxterme uftreten. Für n = 3 sind diese: Minterm c c c c c c c c 2 Burkhrd Stiller M3 37 Mxterm c c c c c c c c Beispiel: DNF und KNF Um eine Funktion zu eschreien, reicht die Ange ller Minterme (oder ller Mxterme) us. c c 2 Burkhrd Stiller M3 38 y Minterme c c c Mxterme c c c c DNF: y = ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) KNF: y = ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) Herkunft der Bezeichnungen Funktionen us genu einem Minterm liefern für genu eine Belegung den Funktionswert, d.h., gesehen von der trivilen Nullfunktion hen sie eine minimle Anzhl n Einsen. Entsprechend liefern Funktionen us nur einem Mxterm für genu eine Belegung ls Ergenis, d.h., sie hen gesehen von der Einsfunktion die mximle Anzhl n Einsen. 2 Burkhrd Stiller M3 39 DNF oder KNF us der Funktionstelle DNF: Aus der Funktionstelle einer Funktion erhält mn die Minterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvrilen mit verknüpft und dei Eingngsvrilen mit dem Wert negiert. Durch die disjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolescher Funktionsusdruck in DNF hergeleitet werden. KNF: Aus der Funktionstelle einer Funktion erhält mn die Mxterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvrilen mit verknüpft und dei Eingngsvrilen mit dem Wert negiert. Durch die konjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolescher Funktionsusdruck in KNF hergeleitet werden. 2 Burkhrd Stiller M3 4 DNF oder KNF us elieiger Form Um Funktionen us der DF zw. KF in die DNF zw. KNF zu üerführen, ist der Shnnonsche Entwicklungsstz ehilflich. Entwicklung nch der Vrilen x i : die Vrile wird in der Funktion uf den Wert gesetzt, der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft, und -verknüpft mit: die Vrile wird in der Funktion uf den Wert gesetzt und der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft y = f(x,..., x n ) = [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] y = c c Shnnon-Entwicklung nch und Beispiel: = [ c c ] [ c c ] H4: = und H3: x = x = [ c c ] [ c ] Syntktische Anpssung der Terme, Sortierung von nch nicht- und negierten Literlen und H3: x = x = [ ( c ) ( c ) ] [ ( c ) ( ) ] Erweiterung von c im letzten Term üer H4: c c = = [ ( c ) ( c ) ] [ c ( c c ) ] Distriutivgesetz (Ausmultiplizieren) = c c c c c 2 Burkhrd Stiller M3 4 2 Burkhrd Stiller M3 42

8 Beispiel: Shnnon-Bum c c c c c DNF und KNF Wiederholung: Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! is uf Permuttionen (z.b. c, c, c, c, c, c sind äquivlent) c c c c c c c c c c c Nchdem die Funktion nch llen Vrilen entwickelt wurde, können die Minterme durch Verfolgen der Äste des Bums gefunden werden, die zu einer führen. Beispiel: y = c DNF: y = c c c c c KNF: y = ( c ) ( c ) ( c) 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 44 Minimlformen () Minimlformen (2) Ziele: Möglichst kurze Boolesche Ausdrücke für eine gegeene Boolesche Funktion. Technische Relisierung einer Schltung mit möglichst geringen Kosten. Ähnlich zum Aufu der disjunktiven und konjunktiven Normlform git es eine disjunktive (DMF) und konjunktive (KMF) Minimlform. Ds Auffinden einer Minimlform ist insesondere für Funktionen mit einer größeren Anzhl von Vrilen keine trivile Aufge. Oft können nur suoptimle Lösungen unter Verwendung von Heuristiken gefunden werden. Es knn mehrere disjunktive und konjunktive Minimlformen für die gleiche Funktion geen. Beispiel: y = c c und y = c c stellen diesele Funktion dr, eides sind disjunktive Minimlformen. Bei Minimierungsverfhren geht mn in zwei Schritten vor: Es wird eine Menge von Impliknten zw. Implikte der Funktion y mit einer möglichst geringen Anzhl von Literlen geildet. Aus dieser Menge wird eine möglichst geringe Anzhl von Impliknten zw. Implikte herusgesucht, deren Disjunktion zw. Konjuktion die Funktion y ergeen. 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 46 NAND/NOR-Konversion NAND-Konvertierung (Beispiel:. Fll) ( )-System (NAND-System) und ( )-System (NOR-System) sind vollständige Opertorensysteme elieige disjunktive und konjunktive Ausdrücke können mit NAND- und NOR-Verknüpfungen drgestellt werden. Üerführungen (vier Fälle):. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 2. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 3. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System 4. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System Wrum sind diese Üerführungen relevnt? Einfche Implementierung in Hrdwre! NANDs/NORs sind sehr einfch in Schltungen relisierr. 2 Burkhrd Stiller M3 47. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System Gegeen sei eine Funktion in disjunktiver Form. Üerführung:. Doppelte Negtion 2. Anschließende Anwendung der DeMorgnschen Regeln Dnn erhält mn einen Ausdruck, der nur noch NAND ls Opertor enthält. 2 Burkhrd Stiller M3 48

9 Beispielrechnung y= c c c c = c c c c = c c c c = NAND 4 (NAND 3 (,, c ), NAND 3 (,, c), NAND 3 (,, c ), NAND 3 (,, c )) NAND 2 -Funktion Drstellung der NAND 2 -Funktion durch den Opertor: Prolem: Die Opertoren und sind nicht ssozitiv. ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) Dei ist NAND k (x,...,x k ) eine k-stellige Funktion, für die gilt: NAND k (x,...,x k ) für x =... = x k = sonst NAND 3 (x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 = (x x 2 ) x 3 (x x 2 ) x 3 = x x 2 x 3 x ( x 2 x 3 ) = x x 2 x 3 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 5