Aufbau und Funktionsweise eines Computers

Transkript

1 Aufbu und Funktionsweise eines Computers Ein Überblick Vorlesung m Folien von A.Weber und W. Küchlin, überrbeitet von D. Huson

2 Digitle Logik und Boolesche Algebr Wie werden logische und rithmetische Opertionen beschrieben und in Hrdwre relisiert? Digitle Logik: AND-, OR-, NOT- Gtter Durchführung mittels Trnsistoren Mthemtisch modelliert durch Boole sche Algebr Instruction Set Architecture (ISA) Interprettion durch Mikroprogrmm Mikrorchitektur Ausführung durch Hrdwre Digitle Logik

3 Digitle Logik und Boolesche Algebr Im digitlem Rechner kommen nur die Signle und vor Eine digitle Schltung ht Eingänge e,e 2,,e p und Ausgänge, 2,, q Signle und uf den Eingängen müssen uf Signle und uf den Ausgängen bgebildet werden Eine solche Abbildung f heißt Schltfunktion: Eingänge e e e 2 e 3 e 4 e 5 f Ausgänge f : IB p -> IB q

4 Digitle Logik und Boolesche Algebr Eine Schltfunktion mit nur einem Ausgng heißt Boole sche Funktion Einfchster Fll: ein Eingng, ein Ausgng 4 mögliche Schltfunktionen, NUL, ONE, ID und NOT NUL immer, ONE immer, ID Identität ID NOT

5 Digitle Logik und Boolesche Algebr Nächster Fll: 2 Eingänge, Ausgng 4 mögliche Eingngsbitmuster, je 2 mögliche Ausgngswerte Insgesmt: 2 4 = 6 mögliche Funktionen Weniger interessnt: NUL, ONE,, NOT, b, NOT b, Interessnt: AND, OR, NAND, NOR, XOR, EQV, IMP, b NUL NOR NOT NOTb XOR NAND AND EQV b IMP OR ONE

6 Digitle Logik und Boolesche Algebr Die wichtigsten (Schlt-)Gtter: AND, OR, NOT, (XOR, NAND, NOR) Schltbilder nch IEEE Stndrd:,b OR XOR b OR b NOT b XOR b,b AND NAND AND b b b NAND b

7 Beispiel: OR Gtter b OR b

8 Beispiel: OR Gtter b OR b

9 Beispiel: OR Gtter b OR b

10 Beispiel: OR Gtter b OR b

11 Exkurs: Busteine Digitler Logik (Ebene der Elektrotechnik) Logik-Busteine (Gtter, gte) heute durch Trnsistoren relisiert Trnsistor: elementrer elektronischer Schlter schltet Strom von Kollektor zu Emitter durch Spnnung n Bsis Bsis Kollektor Emitter Trnsistoren us Hlbleitermteril Silizium (silicon) Erster Trnsistor 958

12 Exkurs: Busteine Digitler Logik (Ebene der Elektrotechnik) Die wichtigsten Gtter: AND, OR, NOT, (XOR, NAND, NOR) sind uf einfche Weise durch Trnsistoren relisierbr + zu NOT Spnnung Kollektor + + Bsis Emitter Beispiel NOT: - uf NOT Keine Spnnung

13 Exkurs: Busteine Digitler Logik (Ebene der Elektrotechnik) Die wichtigsten Gtter: AND, OR, NOT, (XOR, NAND, NOR) sind uf einfche Weise durch Trnsistoren relisierbr b + zu uf NAND b Spnnung Kollektor + + Bsis Emitter Beispiel NAND: - b uf uf NAND b Keine Spnnung, d beide Trnsistoren durchgeschltet

14 Exkurs: Busteine Digitler Logik (Ebene der Elektrotechnik) MOS-FET (Feldeffekt Trnsistor): + uf Spnnung Spnnung hier öffnet Schlter Beispiel: AND b uf AND b

15 Digitle Logik und Boolesche Algebr Verschiedene Schltungen können die selbe Schltfunktion relisieren. Beispiele mit AND, OR, NOT: NAND(,b) = NOT(AND(,b)) NOR(,b) = NOT(OR(,b)) EQV(,b) = OR(AND(,b), NOR(,b)) Beweis durch Vergleich der Funktionstbellen: NOR AND OR,b NOR XOR NAND AND EQV OR,b AND NOR OR(AND,NOR) EQV

16 EQV(,b) = OR(AND(,b), NOR(,b)) NOR AND OR ->,b NOR AND OR EQV

17 EQV(,b) = OR(AND(,b), NOR(,b)) NOR OR,b NOR AND OR EQV AND -> ->

18 EQV(,b) = OR(AND(,b), NOR(,b)) NOR OR,b NOR AND OR EQV AND -> -> ->

19 EQV(,b) = OR(AND(,b), NOR(,b)) NOR OR,b NOR AND OR EQV AND -> -> -> ->

20 Digitle Logik und Boolesche Algebr Jede Schltfunktion f ist Kollektion Boole scher Funktionen Jede Boole sche Funktion knn durch eine Kombintion von AND, OR, NOT relisiert werden Eingänge e e e 2 e 3 e 4 e 5 f Ausgänge Eine Schltfunktion wird durch eine integrierte Schltung relisiert, die us ADD, OR und NOT Gtter besteht (lterntiv: NAND bzw. NOR)

21 Digitle Logik und Boolesche Algebr Jede Boole sche Funktion knn durch eine Kombintion von AND, OR, NOT relisiert werden Beispiel: Eingänge e..e 4, Ausgänge.. 4, Schltfunktion f: f = e e 2 e 3 e Bool sche Funktion f für : f =, genu dnn, wenn: e = AND e 2 = AND e 3 = AND e 4 = OR e = AND e 2 = AND e 3 = AND e 4 =... OR e = AND e 2 = AND e 3 = AND e 4 =

22 Relisierung von Schltfunktion mittels Bool sche Funktionen Schltfunktion f : (e,e 2,...,e p ) --> (, 2,..., q ) ist gegeben durch die Bool sche Funktionen: f : (e,e 2,...,e p ) --> f 2 : (e,e 2,...,e p ) --> 2... f q : (e,e 2,...,e p ) --> q, wobei jeder diese Funktionen f i mittels AND, OR und NOT relisierbr ist.

23 Digitle Logik und Boolesche Algebr Arithmetik mittels Schltfunktionen relisierbr Intuition: endlich viele Ziffern endlich viele Fälle Beispiel: Eine Splte der Addition c = +b Übertrg von rechts: c in (crry in); Übertrg nch links c out Kompletter Addierer ist Reihe dvon: ripple crry dder, b, Cin Cout c (( XOR b) AND Cin) OR ( AND B) ( XOR b) XOR Cin

24 Digitle Logik und Boolesche Algebr Definition: Sei B eine Menge und \/, ^ seien zwei Verknüpfungen uf B und, B zwei feste Elemente. Es gelte:. \/ und ^ sind ssozitiv und kommuttiv. 2. Es gelten die Distributivgesetze: x \/ (y ^ z) = (x \/ y) ^ (x \/ z) und x ^ (y \/ z) = (x ^ y) \/ (x ^ z). 3. x ^ =, und x ^ = x für lle x, 4. x \/ = x, und x \/ = für lle x, 5. Zu jedem x gibt es genu ein ~x mit x ^ ~x = und x \/ ~x =. ( ~ ist ein einstelliger Opertor, NOT) Dnn heißt [B; \/,^,~,, ] (kürzer: B) eine Boolesche Algebr.

25 Digitle Logik und Boolesche Algebr Boole sche Schltfunktionen bilden eine Boole sche Algebr Schltlgebr [{,}; OR, AND, NOT,, ] Beweis: rechne Axiome über Funktionstbellen nch endliche Fllunterscheidung, d nur und Beispiel: x OR (y AND z) = (x OR y) AND (x OR z) x,y,z y AND z x OR (y AND z) x OR y x OR z (x OR y) AND (x OR z)

26 Digitle Logik und Boolesche Algebr Weitere Gesetze (Sätze) der Boole schen Algebr. Doppelte Negtion: ~(~x) = x 2. Idempotenz: x \/ x = x, und x ^ x = x 3. Absorption: x \/ (x ^ y) = x und x ^ (x \/ y) = x x \/ (y ^ z) = (x \/ y) ^ (x \/ z) und x ^ (y \/ z) = (x ^ y) \/ (x ^ z). 4. Impliktion: (x => y) = ~x \/ y [in Schltlgebr ist => die Funktion IMP] 5. de Morgn Regeln: ~(x \/ y) = (~x ^ ~y) ~(x ^ y) = (~x \/ ~y)

27 Beweis mittels Whrheitstbelle Beweis von de Morgn Regel : ~(x \/ y) = (~x ^ ~y) x y ~x ~y x \/ y ~(x \/ y) ~x ^ ~y

28 Beweis mittels Whrheitstbelle Beweis von de Morgn Regel 2: ~(x ^ y) = (~x \/ ~y) x y ~x ~y x ^ y ~(x ^ y) ~x \/ ~y

29 Digitle Logik und Boolesche Algebr Mit den Gesetzen der Boole schen Algebr lssen sich Boole sche Audrücke in gleichwertige (äquivlente) umformen Gleichwertige Ausdrücke stellen dieselbe Schltfunktion dr Ddurch funktionl gleichwertiges Ersetzen möglich: Vereinfchung: weniger Logik-Gtter Beschleunigung: schnellere Schltungen Kosten: billigere/kleinere Buteile Boole sche Opertoren AND, OR, NOT in Jv: &&,,! günstigen Jv Ausdruck für gewünschte Funktion finden