UNKONVENTIONELLE COMPUTER Seminar SS2001

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1 UNKONVENTIONELLE COMPUTER Seminr SS Vortrg von Jn Rödling Technische Universität Brnschweig 4XDQWHQJDWWHUXQG4XDQWHQVFKDOWNUHLVH Ds Modell Qntengtter Qntenschltkreis Qntenmessngen Universelle Qntengtter Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite /6

2 Ds Modell : Ds Modell eines Qntencompters berht f einem geschlossenen qntenmechnischen System. Die Register eines konventionellen Compters entsprechen in diesem Modell den Qbitregistern, welche ls Einheitsvektoren im k C interpretiert werden. Die f diesen Qbitregistern drchgeführten Opertionen werden drch nitäre Opertionen relisiert, d.h., sie sind in jedem Flle reversibel. Wir betrchten hier nr die theoretischen nd mthemtischen Prinzipien, nch denen die Qntencompter rbeiten, ohne f die physiklischen Vorgänge einzgehen. Qntengtter Definition: Ein Qntengtter besitzt n Eingänge nd n Asgänge (mit n,, 3,... ) nd wird drch eine nitäre Mtrix (nitärer Opertor) vom Grd n drgestellt. U Entstehng der Indizes Ψ ϕ Ψ + Ψ ϕ + ϕ Ψ ϕ + + Ψ ϕ Ψ ϕ + Ψ ϕ Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite /6

3 Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 3/6 Ds Tensorprodkt: Ds Tensorprodkt wird bei den Opertionen f Qntengttern zwischen nbhängigen Qbits bzw. Teilschltkreisen verwendet. Dbei werden Vektoren nd Mtrizen gleichermßen behndelt: Jeweils prweise werden die einzelnen Elemente der Vektoren nd Mtrizen miteinnder mltipliziert. Vektoren: d c b + + ϕ φ Tensorprodkt der Vektoren : bd bc d c d c b ϕ φ Tensorprodkt der Mtrizen: db cb bb B B A h g f e B d c b A Formle Definition: ) ( ) ( : :,,, φ ϕ φ ϕ φ ϕ B A B A dnn C C C B C A n m n n m m

4 Drstellngen der Gtter: z.b. : ds Toffoligtter Die Qbits, b, c sind nbhängig nd werden drch ds Tensorprodkt miteinnder verknüpft. Der Pnkt n den sich krezenden Leitngen bedetet, dß die jeweiligen Qbits eine Kontrollfnktion erfüllen, ber selbst nicht verändert werden. Ds Symbol m Krezngspnkt vom Qbit c entspricht dem des klssischen XOR-Symbols. D in Qntencomptern nr reversible Fnktionen berechnet werden können, ist immer mindestens ein Kontrollqbit notwendig. Im obigen Beispiel heißt ds, dß Qbit c gen dnn invertiert wird, wenn die (Kontroll-)Qbits nd b den Wert nnehmen. Unitäre Mtrix : TOFFOLI CCNOT Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 4/6

5 Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 5/6 Beispiel: Die Hdmrd - Trnsformtion versetzt ein Qbit in einen Zstnd, der sich gen zwischen den zwei Bsiszständen eines Qbits befindet. Hdmrd f ein Qbit : H Im folgenden Beispiel werden Qbits einer nitären Opertion nterworfen. Ds obere Qbit erfüllt eine Kontrollfnktion, d.h., ds ntere Qbit wird gen dnn in den überlgerten Zstnd versetzt, wenn ds Kontrollqbit im Zstnd ist. controlled-hdmrd ( Qbits) : ch

6 Qntenschltkreise Ein Qntenschltkreis besteht s verschiedenen Qntengttern, die drch Qntenleitngen miteinnder verbnden sind. Dbei sind Qntenleitngen nd gtter nr bstrkte Modelle. Die Leitngen stellen einen zeitlichen Ablf dr, während die Gtter die Zstndsänderngen repräsentieren. Rechenregeln in Qntengttern nd -schltkreisen: U U U mit, U Mt U U U U Mt mit, 4 z.b.: ϕ ABC A B C U ϕ U dbei ist U ( U C I ) ϕ, U C, I C 4 x4 8x8 x Einheitsmtrix Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 6/6

7 Regeln für Qntenschltkreise : Es gelten drei wichtige Regeln in Qntengttern nd schltkreisen : ) Es sind nr nichtzyklische Schltkreise erlbt. Ds bedetet, dß Asgänge eines Gtters (Schltkreises) nicht wieder mit bereits bentzten Eingängen verbnden werden können. Es können lso keine Schleifen relisiert werden. Soll ein Gtter mehrmls drchlfen werden, so mß eine entsprechende Anzhl dieses Gtters hintereinnder geschltet werden. ) Im Gegenstz z klssischen Gttern ist es wegen der Reversibilität nicht möglich, mehrere Eingänge z einem Eingng zsmmenzschlten. KEIN FANIN 3) Es ist ebenflls nicht möglich, eine Qntenleitng in zwei oder mehrere identische Qntenleitngen fzteilen. KEIN FANOUT Dies wird im folgenden NO-CLONING-THEOREM bewiesen : Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 7/6

8 NO-CLONING-Theorem: Es gibt keine nitäre Opertion, mit der Qbits kopiert werden können! Annhme: Es existiert ein nitärer Opertor U, welcher beliebige Zstände kopieren knn, lso U ϕ, ϕ, ϕ für lle Zstände ϕ erfüllt. Zwei beliebige verschiedene orthogonle Bsiszstände können folgendermßen kopiert werden : α, β U ( α, ) α, α α α nd U ( β, ) β, β β β Weiterhin sei γ ein speziell gewählter Zstnd : ( α β ) γ : + Dnn ist: ( α α β ) U ( γ ) U( α + β ) + β Andererseits gilt: ( α α + α β + β α β β ) γ γ ( α + β ) ( α + β ) + Offensichtlich gilt lso : U ( γ ) γ γ, ws im Widersprch zr Annhme steht. Mn sieht, dss ds Kopieren eines beliebigen Qbits nicht möglich ist. Dher ist ds "Vervielfältigen" von Qbits nicht relisierbr. Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 8/6

9 Qntenprogrmm Um mit einem Qntenrechner Ergebnisse erzielen z können, mß ein Qntenprogrmm relisiert werden. Ein solches besteht s einem Qntenschltkreis nd einer oder mehrerer bschließender Messngen der Zstände des Qntensystems. Ein Qntenprogrmm relisiert eine probbilistische Qntentringmschine. Alle Ergebnisse der Messngen sind in geeigneter Form ls Whrscheinlichkeiten interpretierbr. Gegebenenflls mß ds Qntenprogrmm mehrfch sgeführt werden, m die Ergebnisse z verifizieren. Trotzdem liefern Qntenrechner bei Anwendng geeigneter Algorithmen sehr viel schneller Ergebnisse ls herkömmliche Compter. Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 9/6

10 Qntenmessngen Messngen beschreiben wir drch Projektionen des Zstnds f geeignete Unterräme des Qntenregisters n C. Bis zr Messng ist der Zstnd eines Systems nbestimmt. Als Ergebnis einer Qntenrechnng hben wir einen noch nbestimmten Zstnd (bler Pfeil) erhlten. Eine Messng in eine beliebige Richtng (gestrichelte Linie) verändert den Systemzstnd irreversibel in Messrichtng (roter Pfeil)! Die Koeffizienten des (hernter-)projezierten Zstnds ergeben eine ls Whrscheinlichkeit interpretierbre Größe. Beispiel : (nbestimmter Zstnd) : φ + Die Koeffizienten der Bsisvektoren sind in geeigneter Form wegen α + β ls Whrscheinlichkeiten interpretierbr. Im obigen Beispiel erhält mn drch eine Messng mit einer Whrscheinlichkeit von p,5 eine klssische. Der Zstnd ist nch der Messng in Messrichtng festgelegt: φ. Bei einer erneten Messng in die eben bentzte Messrichtng würde mn mit %-iger Whscheinlichkeit eine klssische erhlten. Ds Messen eines -Bit-Zstndes φ α ij ergibt Bits ij mit der Whrscheinlichkeit α nd zwingt φ in den Zstnd ij. ij ij Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite /6

11 Beispiel : φ Ds Ergebnis wird mit einer Whrscheinlichkeit erzielt. Nch der Messng in Richtng φ ' ist der Zstnd des -Qbit-Systems im Meßrichtng festgelegt nd wird wieder f einen Einheitsvektor normiert. φ' α ( φ' ) Beispiel 3: Zstnd des Systems vor Messng sieht wieder wie folgt s : φ Ds erste Qbit ist mit Whrscheinlichkeit + im Zstnd. Die Messng führt z der Änderng des Gesmtzstndes φ nch : φ ' + + Ach hier wrde der Bildvektor f einen Einheitsvektor normiert. Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite /6

12 Vorgehensweise der Zstndsmessng: Wir können ns f folgenden Stndpnkt stellen : Wenn ϕ z.b. in der Form ϕ α + α + α + α + α + α + α + α vorliegt, dnn existiert eine Meßvorschrift, die den Zstnd mit der Whrscheinlichkeit p α liefert. Drch geeignete Algorithmen können drch Interferenz einzelner Amplitden (Fktoren der Bsisvektoren) die Whrscheinlichkeiten einzelner Bsiszstände beeinflsst werden. Die zgehoerige Messng koennen wir ns wie folgt vorstellen: Die Messpprte erzegen eine klssische Anzeige s {,} für jeweils eine Qntenleitng (entspricht einem Qbit). Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite /6

13 Universelle Qntengtter Klssische (boolesche) Schltkreise können s wenigen Grndgttern fgebt werden. So genügt eine geeignete Verschltng von NAND-Gttern für die Relistion eines beliebigen Schltkreises. Für Qntenschltkreise sind solche Zerlegngen in niverselle Gtter ebenflls sinnvoll. Definition: Eine Menge M von Qntengttern heißt niversell, wenn jede beliebige nitäre Trnsformtion U ls Qntenschltkreis mit Qntengttern s M relisiert werden knn. Die Menge M ist niversell: x M { CNOT} { U C : U ist nitär} CNOT ist ds Controlled-NOT-Gtter, d.h. ds Zielqbit wird gen dnn invertiert, wenn ds Kontrollqbit den Wert ht. Es gibt überbzählbr viele nitäre C x Mtrizen, dher ist M nendlich groß. Eine Approximtion von nitären Abbildngen bzw. Qntenschltkreisen liefert oft sreichende Ergebnisse. Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 3/6

14 ε - Approximtion von niversellen Qntengttern Motivtion : Eine nendliche Zhl von Qntenopertionen soll drch möglichst wenige Grndgtter relisiert werden. Die Qntenrechnng ist fgrnd der Messngen immer probbilistisch, d.h., die Ergebnisse sind nicht mit beliebiger Genigkeit bestimmbr. D effiziente Implementierngen von beliebigen Gttern erwünscht sind, genügt oft eine entsprechende Approximtion drch niverselle Qntengtter. Die Mtrix M ist eine Approximtion des geschten nitären Opertors U, wenn gilt : U M ε mit ε Der Gtterfwnd eines pproximierten Schltkreises knn im günstigsten Fll polynomil sein, im schlechtesten Fll erhlten wir einen exponentiellen Afwnd. Der Afwnd ist ntürlich bhängig von der gewünschten Genigkeit ε. Beispiel einer niversellen ε-pproximierenden Menge: {,, } 4 M CNOT H W wobei W iπ e Die Menge M wird in der Qnteninformtik häfig verwendet. Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 4/6

15 Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 5/6 Beispiel eines pproximierten Schltkreises mit M : Geschte Fnktion : F, F z.b.: ) ( F φ F φ H W H Hinweis : 4 W Der Afwnd (hier 6 Gtter) ist ziemlich hoch, d die geschte Fnktion drch ein einziges Gtter XOR relisiert werden könnte. Die Approximtion eines beliebigen Schltkreises f n Qbits mit einer Genigkeit ε ht einen Afwnd n Gttern von ) 4 log 4 ( ε n n n n O Es ist lso nicht in jedem Fll sinnvoll (s.o.), einen Schltkreis drch niverselle Qntengtter z relisieren.

16 Litertr JOZEF GRUSKA, Qntm Compting, McGrw-Hill, London, 999 JOHANNES BLÖMER, Skript zr Vorlesng Qntencompter, Universität Pderborn, SS MICHAEL A. NIELSEN, ISAAC L. CHUANG, Qntm Compttion nd Qntm Informtion, Cmbridge University Press, Cmbridge, Qntengtter nd Qntenschltkreise Seite 6/6