Kapitel II. Beschränkte Operatoren und kompakte Operatoren. 3. Beschränkte Operatoren im Hilbertraum.

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1 Kpitel II. Beschränkte Opertoren und kompkte Opertoren. 3. Beschränkte Opertoren im Hilbertrum Definition. Seien H 1 und H 2 Hilberträume. Eine linere Abb. A : H 1 H 2 heißt ein (linerer) Opertor. Ein Opertor A heißt beschränkt, wenn es eine Konstnte C 0 gibt mit Ax H2 C x H1, x H 1. (3.1) (Vgl. mit lineren Funktionlen l : H C.) Wie im Flle linerer Funktionle l : H C zeigt mn: A stetig A stetig bei 0 A beschränkt Definition und Stz. (ÜA) Sei A ein beschr. Opertor. Ds Infimum ller Konstnten C wie in (3.1) heißt die Norm von A; in Zeichen A. Es gilt Ax A x für lle x H. Weiter ist A = sup{ Ax H2 ; x H1 1}. (3.2) Bemerkung. Aus der Linerität von A folgt sofort (Übung) sup{ Ax ; x = 1} = sup{ Ax ; x 1} = sup{ Ax ; x < 1}. Aus Gl. (3.2) folgt für die Komposition der beschränkten Opertoren A : H 2 H 3 und B : H 1 H 2, dß AB : H 1 H 3 beschränkt ist mit AB A B. (3.3) 3.3. Beispiele. (0) Sei I : H H, x x, die Identität. Dnn ist I ein beschr. Op. mit I = 1. (1) In l 2 betrchten wir den Links-Shift S(x 1,x 2,...) := (x 2,x 3,...) für lle Folgen (x k ) k N l 2. Dnn ist S ein beschränkter Opertor mit S = 1. Auch der Rechts-Shift R : l 2 l 2, definiert durch R(x 1,x 2,...) := (0,x 1,x 2,...) ist ein beschr. Op. mit Norm 1. (Bechte: Die 0 n der ersten Position von (0,x 1,x 2,...) ist die einzige Whl, die einen lineren Opertor liefert.) 32

2 (2) Sei M = M Unterrum von H. Nch dem Projektionsstz können wir jedes x H eindeutig zerlegen in der Form x = x M +x M mit x M M und x M M. Die Abb. ist liner und beschränkt mit P M : x x M P M = 1, flls M {0}. (3) Sei H = l 2 und es sei eine beschränkte Folge (m k ) k N C gegeben. Die Abb. ist ein beschränkter Opertor mit Norm A m : l 2 l 2, (x k ) k N (m k x k ) k N, A m = sup{ m k ; k N} <. A m nennt mn einen Multipliktionsopertor uf l 2. (4) Integrlopertoren uf H = L 2 (,b). Für < < b < + sei E := (C[,b],.,. ) mit dem Sklrprodukt f, g := b f(x)g(x) dx. (E ist Prä-Hilbertrum, Vervollständigung liefert L 2 (,b) (dieser Hilbertrum ist von uns ls Vervollständigung von C c (,b) definiert worden). Weiter sei eine stetige Funktion k : [,b] [,b] C gegeben ( Integrlkern ). Dnn erzeugt k einen Integrlopertor K ist ein beschr. Opertor. Mit K : C[,b] C[,b], (Kf)(x) := b k(x,y)f(y)dy. (3.4) κ := mx{ k(s,t) ; (s,t) [,b] 2 } 33

3 knn mn seine Norm durch K (b )κ (3.5) bgeschätzen; für eine schärfere Abschätzung, vgl. ÜA???. Weiter besitzt K eine (eind. bestimmte) stetige Fortsetzung zu einem beschr. Opertor K : L 2 (,b) L 2 (,b). (Vgl. Stz 3.4, BLT -Theorem.) Beweis von (3.5): Für bel. f E schätzen wir b b b 2 b Kf 2 = (Kf)(x) 2 dx = k(x, y)f(y)dy dx ( b 2 b k(x,y) f(y) dy) dx d 1 2 = b 12 dx = b. ( b ) 2 b b κ 2 f(y) 1dy dx = κ 2 f, 1 2 dx CSU κ 2 f (b ) = κ 2 f 2 (b ) 2, (5) Unendliche Mtrizen. (vgl. ÜA 29) Sei H = l 2. () Zu jedem (beschr.) Opertor A : l 2 l 2 gehört die unendliche Mtrix := ( ij ) i,j N, ij := Ae j, e i, e j = j-ter Bsiseinheitsvektor in l 2. Für jedes x l 2 gilt dnn (Ax) i = ij x j, i N; j=1 die Reihen konvergieren für lle i N, denn nch Bessel sind die Zeilen und Splten der MtrixElementevonl 2. (ZumBeweisfür diespltenbenötigtmndenzuadungierten Opertor A, s.u.!) Aus der Beschränktheit von A : l 2 l 2 (bzw. von A ) erhält mn zwei notwendige Bedingungen n die Mtrix ( ij ), nämlich: Es gibt Zhlen α,β 0 mit j=1 ij 2 α <, i N, i=1 (3.6) ij 2 β <, j N. Bem.: Eine Mtrix mit (3.6) wird i.. keinen beschr. Opertor von l 2 nch l 2 erzeugen! (b) Eine hinreichende Bedingung dfür, dß eine gegebene unendl. Mtrix von einem beschränkten Opertor herstmmt: Sei (α ij ) i,j N eine unendl. Mtrix mit i,j=1 α ij 2 <. 34

4 Dnn gibt es einen beschr. Opertor A : l 2 l 2 mit Ae j, e i = α ij, i,j N. (c) Ds Lemm von Schur. (ohne Bew.) Seien ij 0, p i > 0, q j > 0 (für i,j N) und es gebe β,γ > 0 mit i ijp i βq j, j N, j ijq j γp i, i N. (3.7) Dnn gibt es einen beschr. Opertor A : l 2 l 2 mit Ae j, e i = ij, i,j N. (d) Beispiel: Hilbertmtrix. Sei ij := 1 i+j+1, für i,j N 0. Die Mtrix ( ij ) erzeugt dnn einen beschr. Opertor in l 2. (Lemm von Schur nwenden!) (e) Eine wichtige Klsse von unendlichen Mtrizen bilden die Tridigonl-Mtrizen oder Jcobi-Mtrizen, bei denen nur die Digonle und die beiden Nebendigonlen besetzt sind; lle nderen Mtrixelemente sind Null (d.h., us i j > 1 folgt ij = 0). Die Jcobi-Mtrizen sind in der Spektrtheorie intensiv untersucht worden, insbesondere uch dnn, wenn die Koeffizienten zufällig sind. Häufig kennt mn einen Opertor zunächst nur uf einem dichten Teilrum und will ihn, nch Möglichkeit, uf den gnzen Rum fortsetzen. Hier hilft ds BLT-Theorem : 3.4. Stz. Sei D H ein dichter Teilrum des Hilbertrums H (d.h., D = H), und sei A : D H ein beschränkter Opertor. Dnn gibt es (genu) einen beschränkten Opertor B : H H mit B D = A. Weiter ist B = A. Bezeichnung: A := B. [RS-I] bezeichnen diesen Stz ls ds BLT-Theorem (Bounded Liner Trnsformtion, oder bcon-lettuce-tomto -Sndwich...) Bew.: ÜA 24. Der djungierte Opertor. Idee: Sei A : H H beschr. Opertor. Wir suchen einen beschr. Opertor A : H H mit Ax, y = x, A y, x,y H. (3.8) 3.5. Stz und Definition. Sei A : H H beschränkt. Dnn gibt es (genu) einen beschr. Opertor A : H H mit (3.8). A heißt der zu A djungierte Opertor. Es gilt A A. 35

5 Beweis. Für festes y H wird durch l y (x) := Ax, y, x H, ein stetiges lineres Funktionl uf H definiert, denn nch Schwrz gilt d.h., l y A y. Riesz = l y (x) Ax y A x y, 1 y H : l y (x) = x, y, x H. Setze A y := y. Die Abb. A : y y ist liner, denn für x,y 1,y 2 H und α,β C gilt x, A (αy 1 +βy 2 ) αa y 1 βa y 2 = Ax, αy 1 +βy 2 α Ax, y 1 β Ax, y 2 = Ax, αy 1 +βy 2 Ax, αy 1 Ax, βy 2 = 0. Wegen x H beliebig ist A (αy 1 +βy 2 ) αa y 1 βa y 2 = 0. Schließlich ist (vgl. (2.7)) A y = y = l y A y Stz. (ÜA 26) Seien A,B : H H beschränkte Opertoren im Hilbertrum H und sei α C. Dnn gilt: () (A+B) = A +B und (αa) = ᾱa, (b) (AB) = B A, (c) A = A. (d) Sei A invertierbr und A 1 sei ebenflls beschränkt. Dnn ist uch A invertierbr und es gilt (A ) 1 = (A 1 ) Stz. A = A = A A 1/2. Beweis. Für x H mit x = 1 gilt nch (3.3). Es folgt Ax 2 = Ax, Ax = A Ax, x A Ax x A A A A, A 2 = ( sup Ax ) 2 = sup Ax 2 A A A A, x 1 x 1 ( ) d.h., A A. Mit Stz 3.5 folgt A = A. Dher ergibt sich nun us ( ) die Abschätzung A 2 A A A 2. Bemerkung. Wegen A = A gilt mit Stz 3.5 A = A A. Dies ergibt einen besonders einfchen Beweis für A = A. 36

6 3.8. Beispiele. (vgl. Beispiele 3.3.) () Für den Links-Shift-Opertor S : l 2 l 2 gilt S (y 1,y 2,...) = (0,y 1,y 2,...) = R(y 1,y 2,...), (3.9) R = Rechts-Shift, für lle Folgen y = (y j ) j N l 2. Für x = (x j ) l 2 ist nämlich Sx, y = x j+1 y j = j=1 x j y j 1 = x, Ry. (b) Für die Projektionsopertoren P M gilt P M = PM ; Beweis später! (c) A m ist Multipliktion mit der Folge m = (m k ) k N. (d) K ist der Integrlopertor mit Kern k(y,x). (e) Sei A : l 2 l 2 beschränkt und sei ( ij ) die zu A gehörige unendliche Mtrix. Zum djungierten Opertor A gehört dnn die Mtrix ( ji ) i,j N. j= Definition. Sei H HR. Wir bezeichnen den VR der beschränkten lineren Opertoren A : H H mit L(H). Mit der Norm ist L(H) ein normierter VR Stz. L(H) ist vollständig, lso ein Bnchrum. Beweis. Sei (A n ) n N eine CF in L(H), d.h., Für lle f H ist dnn (A n f) n N H CF. H vollst. = g = g f H : A n f g. Definiere einen Opertor A : H H durch A = sup{ Ax ; x 1} (3.10) A n A m 0, n,m. Af := g f, f H. Zu zeigen: A L(H) und A n A 0. (i) A liner: klr. (ii) A beschr.: Wegen (A n ) CF in L(H) ist ( A n ) n N beschränkt. (Denn: Sei n 0 N so, dß A n A n0 1, für lle n n 0. Dnn folgt A n A n0 + A n A n0 A n0 +1, für n n 0.) Sei C := sup A n (< ). n 37

7 Für f H folgt Af = lima n f = lim A n f limsup A n f C f, lso A C <. (iii) Beh.: A n A 0 mit n. Sei ε > 0. Dnn gibt es N N mit A n A m < ε, für lle n,m N. Dnn gilt für bel. f H (A n A)f = A n f lim A mf = lim A n f A m f m m limsup m lso A n A ε, für lle n N. A n A m f ε f, n N, Bemerkungen. (1) L(H) ht noch mehr Struktur: genuer ist (L(H),. ) eine Bnchlgebr mit Eins und Involution (nämlich der Abbildung A A ). ( Algebr wegen AB A B.) Abgesehen von den trivilen Fällen H = {0} und H = C sind die Bnchlgebren L(H) nicht kommuttiv. (2) Wenn H nicht endlich-dimensionl ist, ist L(H) nicht seprbel (ÜA). (3) Aus A n A 0 folgt A n A. (ÜA) Besonders wichtig in Theorie und Anwendung sind die symmetrischen Opertoren: Definition. Ein OpertorA L(H) heißt () symmetrisch (oder: selbstdjungiert), flls A = A ist; (b) norml, flls A A = AA. Beispiele. (0) Für A symmetrisch und α R ist αa symmetrisch, während αa für α C \ R nur norml ist. (1) Multipliktion m : l 2 l 2 mit einer beschränkten Folge (m k ) k N ist norml, und symmetrisch genu dnn, wenn lle m k reell sind. (2) Der Links-Shift S : l 2 l 2 ist nicht norml. (3) Der Integrlopertor K mit Kern k(s,t) ist genu dnn symmetrisch, wenn k(t,s) = k(s,t), für lle s,t gilt. Mn sieht leicht, dß ein Opertor A L(H) genu dnn symmetrisch ist, wenn die Sesquilinerform H H (x,y) Ax, y C symmetrisch ist. Dies ist wiederum äquivlent dmit, dß die qudrtische Form reellwertig ist (vgl. Pr. 1). Dher gilt H x Ax, x A = A x H : Ax, x R. 38

8 3.12. Stz. (ÜA 30) Sei A L(H) symmetrisch. Dnn gilt A = sup Ax, x. x = Bemerkung. Für A L(H) gilt R(A) = N(A ), R(A ) = N(A), N(A ) = R(A), N(A) = R(A ). Beweis: Wegen Ax, y = x, A y gilt offenbr y N(A ) x : x, A y = 0 x : Ax, y = 0 y R(A). Dies beweist die erste Aussge. Die zweite folgt, wenn wir A durch A ersetzen, die 3. und die 4. ergeben sich durch Anwendung von uf die 1. und die 2. Gleichung. Für symmetrische Opertoren (d.h., A = A ) vereinfchen sich diese Reltionen zu R(A) = N(A), R(A) = N(A). Projektionen. Projektionen liefern die Möglichkeit, bgeschlossene Teilräume des Hilbertrums durch Opertoren eindeutig zu beschreiben; vgl. Beispiel 3.3, (2) Definition. Ein beschränkter Opertor P : H H mit P 2 = P heißt Projektion, und Orthogonlprojektion, flls P 2 = P = P, d.h., wenn P idempotent und symmetrisch ist. Im weiteren Verluf soll ber Projektion stets Orthogonlprojektion bedeuten Lemm. Für P L(H) mit P 2 = P = P gilt: () Ds Bild R(P) ist bgeschlossen. (b) Px = 0 x R(P). (c) Px = x x R(P). Bew. in den Übungen! Folgerung. Die Beschreibung von Projektionen in Beispiel 3.3,(2), ist konsistent mit Def Genuer gilt für P L(H): P 2 = P = P P = P M mit M := R(P). Beweis. (1) = : Sei P L(H) mit P 2 = P = P und sei M := R(P). Nch Lemm 3.15 ist M = M. Nch dem Projektionsstz besitzt jedes x H eine (eind.) Zerlegung 39

9 x = x M +x M mit x M M und x M M. Sei P M der linere Opertor, der x uf x M bbildet. Nch Lemm 3.15 gilt P M x = x = Px, x M, P M x = 0 = Px, x M, lso P = P M. (2) = : Sei umgekehrt M = M H ein bgeschl. Unterrum und sei P M : x x M wie oben. Zu zeigen: P M ist Projektion mit R(P M ) = M. Bew.: Wegen P M x = x M und P M x M = x M ist lso P 2 M = P M. Für x,y H gilt weiter Also gilt P 2 M = P M = P M. P 2 M x = P M(P M x) = P M x m = x m = P M x, P M x, y = P M x, P M y +y P M y = P M x, P M y (d y P M y M ) = x+p M x x, P M y Bemerkung. Sei P 2 = P = P L(H). Dnn: Weiter ist P 0, d.h., Px, x 0, x H. = x, P M y (d x P M x M ). P = 0 P = 0, P = 1 P Definition. Seien A,B L(H) symmetrisch. Wir schreiben A B, flls Ax, x Bx, x, x H Lemm. (ÜA) Für zwei Projektionen P,Q gilt P Q R(P) R(Q) PQ = QP = P. Wichtiges Beispiel für Projektionen: FürG R d offenbetrchtenwirdenhilbertruml 2 (G),denmndurchVervollständigung des Prä-Hilbertrums (C c (G),.,. ) mit dem Sklrprodukt f, g := G 40 f(x)g(x)dx.

10 erhält. Für Ω G, Ω meßbr (zb Ω offen oder bgeschlossen), sei χ Ω (x) = 1, für x Ω, und χ Ω (x) = 0, sonst. Dnn ist f χ Ω f, f L 2 (G), eine Projektion. Anwendung in der Quntenmechnik. Sei f normiert, d.h., f = 1. Wir können dnn f(x) 2 ls Whrscheinlichkeitsdichte interpretieren: χ Ω f 2 = Ω f(x) 2 dx gibt die Whrscheinlichkeit dfür n, ds Teilchen in Ω nzutreffen. (Typischerweise wäre hier G = R 3 ). 41