Computational Intelligence

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1 Center Computtionl Intelligence nd Cognitive Systems Prof. Dr. hbil.. Gruel Josef-Stern-Weg Soest / Germny E-Mil:dolfGruel@web.de Computtionl Intelligence Fuzzy-Tutoril Msterkurs CV&CI

2 Vorwort

3 Vorwort Fuzzy Tutoril: Fuzzy-Logik in Theorie und Pris Inhltsverzeichnis: Vorwort... 5 Einleitung und Motivtion Einführung Theorie unschrfer Mengen Bsisdefinitionen Modellierung unschrfer Mengen mittels Zugehörig-keitsfunktionen Grundbegriffe unschrfer mthemtischer Objekte Unschrfer Punkt Unschrfe Reltionen: Modellierung fuzzywertiger Reltionen Unschrfe Funktionen Mengenlgebrische Opertionen Elementre Opertionen Kompenstorische Opertoren Schnittbildung: Modellierung Niveuwerte ls Teilmengen Rechengesetze für unschrfe Mengen Struktureigenschften Binäre Opertionen: Konzept t-norm Unschrfe Reltionen Mthemtische Grundbegriffe Reltionen und Rechenregeln Fuzzy-Inferenz Erinnerung klssische Logik fuzzy-logisches Schließen nlyse und Design von Fuzzy-Systemen Grundidee bei Fuzzy-Systemen Methoden des Fuzzy Control Methode von Mmdni Beispiel: Inverses Pendel Methode von Sugeno nlytische Betrchtungen für den Sugeno- Con-troller Sliding Mode Fuzzy Control (FC) nmerkungen zu Neuro-Fuzzy-Systeme Schlussbemerkung

4 Vorwort 6. Softwreprodukte Hrdwre Zeitschriften... 6 Literturverzeichnis

5 Vorwort Fuzzy-Tutoril: Fuzzy-Logik in Theorie und Pris Vorwort Dieses Tutoril ist ls Einführung in die mthemtischen Grundlgen sowie die für die Fuzzy-Logik spezifischen rbeitsmethoden gedcht. Es ist schwerpunktmäßig prisorientiert, die theoretischen Grundlgen sind uf die wichtigsten Begriffsbildungen beschränkt ktuelle Beiträge zur Fuzzy- Logik befinden sich in Tgungsbänden über dieses Them und Zeitschriften. Einleitung und Motivtion Die Fuzzy-Logik bietet reichhltige Möglichkeiten zum Beispiel technische Prozesse zu denen kein unmittelbrer mthemtischer Zugng besteht, Systeme mit nichtlinerer Chrkteristik ber uch Probleme der Dtennlyse, volks- und betriebswirtschftliche Probleme, etc. über eine linguistische Formulierung zu beschreiben. Obwohl schon technische Produkte mittels der Fuzzy-Technologie mrktreif wurden, wird die Fuzzy-Methodik noch weiter entwickelt werden müssen um mittels der Fuzzy-Technologie noch weitere Bereiche befruchten zu können. Es wird eindringlich dvor gewrnt die Fuzzy-Mthemtik insbesondere die Fuzzy-Logik ls eine Methode zu betrchten, die die herkömmliche Mthemtik oder die Systemtheorie und Dynmik kompleer Systeme überflüssig mcht. Fuzzy- Mthemtik und Fuzzy-Logik repräsentieren lediglich eine neue mthemtische Plttform innovtiv zu denken, zu modellieren, inhltberücksichtigendes Wissen und lgorithmisches Wissen in Epertensystemen geeignet zu beschreiben. uf der Ebene des menschlichen Schlussfolgerns sind viele Begriffe inhärent unschrf, so z.b. bezüglich des subjektiven menschlichen Denkens, der subjektiven Beschreibung von Schverhlten etc. ber uch uf der phänomenologischen Ebene der elementren biologischen Prozesse, finden wir Unschärfe. Beispielsweise werden bei der Generierung eines ktionspotentils uf bzw. n dem Neuron Fltungsprozesse mit unschrfer Eingngsinformtion usgeführt, bgesehen dvon, dss ds Neuron selbst ein hoch komplees dynmisches "Buelement" repräsentiert, innerhlb dessen hochprllele Prozesse blufen. ls "unschrfe Logik" (fuzzy logic) bezeichnete L.. Zdeh (/Z -3/) die von ihm schon 965 begründete Theorie zur Beschreibung und Verknüpfung unschrfer Mengen (fuzzy sets), 5

6 . Einführung die eine Verllgemeinerung der gewöhnlichen Mengenlehre drstellt. Dmit stellt die gewöhnliche Mengenlehre mit ihrem 0/-wertigen Zugehörigkeitsbegriff ein Grenzfll der unschrfen Mengenlehre dr. Ds Konzept von Zdeh für unschrfe Mengenzugehörigkeiten, wie sie oft bei einer qulittiven Beschreibung beispielsweise von Dten und Objekten uftreten, stellte sich bei vielen nwendungen in der Technik ls äußerst zweckmäßig herus. Ds Konzept eröffnet die Möglichkeit einer Opertionlisierung von qulittiv formuliertem (linguistisch formuliertem) menschlichem Wissen. In nlogie zu deterministischen Vriblen wird die linguistische Vrible durch ngbe der Werte definiert, die sie nnehmen knn. In diesem Fll sind hier die Werte keine Zhlen, sondern inhltsberücksichtigende sprchliche usdrücke, die die menschliche Sprchebene repräsentieren. Nch dem Fuzzy-Konzept werden diese Werte nun inhltlich durch unschrfe Mengen uf einer physiklisch-numerischen Skl definiert, uf der sogennnten Sprchebene eines Computers. Forml ist somit eine (inhltliche) Brückenfunktion zwischen menschlichem Wissen und einer mschinenmäßigen Drstellung geschffen.. Einführung Zdeh ht ds mthemtische Konzept der "fuzzy sets" (unschrfe Mengen) eingeführt, es beinhltet: Verllgemeinerung des normlen ("schrfen") Mengenbegriffs bzw. der Mengenlehre. Es wird ddurch möglich: schrfe ("nonfuzzy") und unschrfe ("fuzzy") Dten forml ekt zu behndeln. Die Motivtion von Zdeh wr: Die Unschärfe im menschlichen Denken bezüglich Dtenrepräsenttion und Entscheidungsfindung forml ekt zu behndeln. lgebr: Der Wertebereich einer Vriblen ist ekt (schrf) festgelegt. Beispiel: Die Menge ller ntürlicher Zhlen n zwischen und 5: {n IN < n < 5}, es sind ekt die Elemente, 3 und 4 der Menge {, 3, 4}. Umgngssprchlich verwenden wir oft unschrfe Formulierungen in der Form "Die Menge ller ntürlichen Zhlen viel größer ls " oder beispielsweise "Die Menge ller mittelgroßer Männer". Bezüglich der Mitglieder der "Elemente" ist die Formulierung "Die Menge ller mittelgroßer Männer" unschrf bezüglich einer Menge definiert. llgemeiner formuliert: Zum gewöhnlichen mthemtischen (nonfuzzy) Mengenbegriff mit schrfen Grenzen ht ein Fuzzy Set unschrfe Grenzen. Somit: Die schrfen Mengen können ls Spezilfll der unschrfen Mengen verstnden werden. Grundgednke der Fuzzy Theorie bsiert nicht uf den ussgen whr () oder flsch (0), sondern uf Zwischenwerten. D- 6

7 . Einführung nch knn jedes Element mit einer gewissen Whrscheinlichkeit zu einer bestimmten Menge gehören oder nicht. Jedes Element der "unschrfen" Menge knn mit einem Zugehörigkeitswert ("Zugehörigkeitswhrscheinlichkeit") chrkterisiert werden. Die Beschreibung erfolgt durch Einführung unschrfer Mengen und die Chrkterisierung einfcher Zusmmenhänge (Reltionen) mit unschrfen Bedingungsnweisungen (fuzzy conditionl sttements) der Form: "Wenn, dnn B". Geordnete nweisungs- bzw. Befehlsfolgen dienen dzu kompleere Beziehungen zu formulieren. Beispiel: Begriff "jung" verknüpft mit dem lter eines Menschen 0 0 lter Tg der Geburt Linguistische Beschreibung: Bis zu einem lter 0 Jhre können lle Menschen ls "jung" chrkterisiert werden. 0, 0 repräsentiert ein Crisp-Intervll: [ ] Frge: Wrum ist ein Mensch n seinem 0. Geburtstg noch jung und ein Tg dnch nicht mehr? Strukturproblem: Seprtion jung und nicht jung Elemente mit, Elemente mit 0 Verllgemeinerung des Konzeptes: Wir erluben Zwischen- I 0,. werte im Einheitsintervll [ ] lter 7

8 . Einführung Fzit: Eine Person im lter von 5 Jhren, knn zu 50 % ls "jung" ngesehen werden, vorusgesetzt b einem Lebenslter von 30 Jhren werden lle Personen ls "lt" ngesehen. Beispiel: Betrchten wir einen Temperturbereich mit Temperturwerten dessen Zugehörigkeitsfunktion nur die Werte 0 und ht und dessen Stützmenge nur die Temperturwerte im Intervll [0 C, 90 C] umfsst, so sprechen wir von einem nonfuzzy set. Der Linguistikusdruck "der Momentnwert ist genu 50 C" knn ls fuzzy oder nonfuzzy Singulärset drgestellt werden. Somit wird von einer "nonfuzzy" Größe genu dnn gesprochen, wenn ihre Mitgliedsfunktion nur die Werte 0 und ht. Bem.: Bei der Fuzzy-Modellierung besteht eine wesentliche "Kunst" drin, die Zugehörigkeitsfunktion sinnvoll zu definieren. Im Sinne eines "fuzzy modelling" könnten wir festsetzen: Die universelle Menge U ist die Menge n Temperturwerten T in dem Intervll [0 C, 90 C], d.h. U { T T [ 0 C, 90 C] }. Die Fuzzy-Teilmenge {Tempertur von ungefähr 50 C} wäre dmit der Fuzzy-Subset us der universellen Menge U, dessen Mitglieder gemäß dem Tempertur-Grphen gegeben sein könnte. Seine Stützmenge { T μ (T) 0} { T [ 0 C, 90 C] } S (T) enthält lso lle Temperturwerte im Intervll[ 0 C, 90 C]. Je näher der Wert der Mitgliedschftsfunktion μ (T ) bei liegt, desto höher ist der Grd der Zugehörigkeit (Fig..). Beispiel: Es wird eine Temperturregelung in einem Regelbereich von 00 C bis 00 C betrchtet. Ein jhrelng vertruter Bediener einer nlge mcht die ussge: "Es treten Temperturen von ungefähr 50 C uf." Dieses ist eine vge ussge (grde of possibility), der Schverhlt ist modellierbr (Fig..) ls unschrfer Temperturbereich mittels einer Funktion μ(t), gennnt Zugehörigkeitsfunktion (membership function). 8

9 . Einführung μ (T) T in C Fig..: Temperturbereich ls Fuzzy Set. Im Bereich 40 C bis 60 C ht die Mitgliedschftsfunktion μ(t) den Wert und im Bereich 0 C T < 40 C sowie im Intervll60 C < T 90 C, Werte zwischen 0 und. Fuzzy Sets sind interpretierbr ls eine "Klsse" Sets mit einem Kontinuum von Zugehörigkeitsgrden. Dbei bezeichnet mn den funktionellen Zusmmenhng eines Elementes zu einer Menge ls Zugehörigkeitsfunktion μ ( ), sie bestimmt den Grd der Zugehörigkeit eines Elementes us der Menge zu der Gesmtheit der Menge. In nderen Worten, der Grd der Zugehörigkeit von zum Ereignis wird durch die Funktion μ ( ) bestimmt. Folglich knn μ ( ) uch ls Bewertungsfunktion bezüglich des Intervlls von 0 bis interpretiert werden. Die Zugehörigkeit μ ( ) besgt, dss ds Element mit einer Whrscheinlichkeit von.0 zum Ereignis gehört. Entsprechend chrkterisiert μ ( ) 0, dss Element nicht zur Menge gehört. nschulich gesprochen bewirken schlnke Mitgliedschftsfunktionen eine Konzentrtion von Zugehörigkeitswerten, dgegen breite Funktionen eine usdehnung der unschrfen Menge (Fig..). μ ().0 α 0.5 m Fig..: Wird die Zugehörigkeitsfunktion (symmetrisch bezüglich m ) in der Höhe α geschnitten, so spricht mn uch von einem α - Schnitt. 9

10 . Einführung Für die Bewertung einer Zugehörigkeit spielen die Zugehörigkeitsfunktionen eine große Rolle. Zur Vernschulichung betrchten wir die Druckverhältnisse n einem Ventil (verschiedene Ventilstellungen) bei einer Druckregelung (Fig.3). Für den Druck werden drei Bereiche festgelegt { niedrig, mittel, hoch }. μ (p).0 niedrig mittel hoch p in br Fig..3: Druckbereiche je nch Ventilstellung. Für den niedrigen Druckbereich wird ds Intervll von 0 bis 3 br definiert, wobei diese Festlegung einer subjektiven Bewertung zugrunde liegt. Der mittlere Bereich geht von br bis 6 br und der höhere Druckbereich geht von 4 br bis 7 br. Für einen Druck von.5 br erhlten wir bezüglich des niederen Druckes eine Zugehörigkeit von µ(p) 0.5 und bezüglich des mittleren Druckes eine Zugehörigkeit von µ(p) Folglich würden wir den Druck von.5 br mehr dem mittlerem Druckbereich zuordnen ls den niederen Druckbereich. In diesem Zusmmenhng und für die Chrkterisierung einer Schnittmenge von unschrfen Mengen ist der Träger einer unschrfen Menge von Bedeutung. Def. Träger: supp () : { X μ () > 0 }, es ist die Gesmtheit ller - Werte, für die die Zugehörigkeitsfunktion größer Null ist. Für die Repräsenttion von Fuzzy Mengen ist es oftmls sinnvoll α-schnitte zu definieren. ls α-schnitt bezeichnet mn eine Gerde, prllel zur - chse, die die Zugehörigkeitsfunktion in zwei Teile, einen oberen und einen unteren Bereich zerlegt. ls Zugehörigkeitsfunktion μ α ( ) wird dnn die obere der Zugehörigkeitsfunktion gewählt, es entsteht eine Schnittmenge, die die Vrible (Tempertur, Druck, Stellgröße etc.) einschränkt (Fig..4). 0

11 . Einführung μ ().0 α [ ] [ ] Fig..4: Schnittmenge des α - Schnitts: 3 μ α [ α, 4 α] 3, α fürα Zusmmenfssung: Drstellung und Interprettion von Fuzzy-Mengen ) klssischer Mengenbegriff ist zweiwertig Zu jeder Menge über einer Grundmenge X eistiert eine Funktion f : X { 0,} die für jedes Element X ngibt, ob ein Element der Menge ist f ( ), oder kein Element der Menge ist f ( ) 0 /. b) Konzept der unschrfen Mengen us logischer Sicht bsiert uf der folgenden Idee den Zugehörigkeitsgrd eines Elementes ls den grduellen Whrheitswert einer ussge im Intervll [ 0,] zu betrchten (Fig..5, Fig..6).

12 . Einführung μ ( ) Fig..5: Symmetrische Dreiecksfunktion. μ ( ) Intervll 0, [ ] ( ) Fig..6: Drstellung Tempertur. Interprettion: "Lieber eine etws zu niedrige Tempertur ls eine zu hohe Tempertur". c) Modellierung einer Fuzzy-Menge Benötigt wird eine Funktion, die nsttt in die Menge { 0,} in ds Intervll [ 0,] bbildet: μ : X [ 0,]. Jedem Element X μ 0, zugeordnet werden die dem Grd von zu repräsentiert. knn eine Zhl ( ) [ ] μ heißt Zugehörigkeitsfunktion μ n der Stelle, heißt Zugehörigkeitsgrd ( ) μ d) Fuzzy-Linguistik Nimmt eine Kenngröße Tempertur, Druck, Volumen Frequenz, Geschwindigkeit, Helligkeit, lter, bnutzungsgrd, etc. medizinische elektrische chemische oder ökologische Vrible

13 . Einführung linguistische Werte wie "niedrig", "mittel" oder "hoch" n, so wird sie ls linguistische Größe oder Vrible bezeichnet. Die durch eine Fuzzy-Menge beschreibbr ist, beispielsweise durch einen Funktionsgrphen mit einem bestimmten Träger. Die drgestellten Zugehörigkeitsfunktionen (grde of membership oder degree of membership) repräsentieren keine Whrscheinlichkeiten für ds Eintreten eines Ereignisses. Dfür ist die Whrscheinlichkeitstheorie zuständig. Die Whrscheinlichkeitstheorie mcht ussgen über ds uftreten möglicher Ereignisse bei einem sogennnten sttischen Prozess. In der Fuzzy-Logik geht es nicht um Whrscheinlichkeitsgrde (grde of probbility) für ds Eintreten eines Ereignisses sondern um Möglichkeitsgrde (grde of possibility), etws vereinfcht drgestellt: Die Unsicherheit ist zu modellieren. Theoretisch beschreibbr durch Möglichkeits- oder Possibilitätsverteilungen. Bezüglich der sogennnten Notwendigkeits- oder Necessitätsmße müssen wir uf die Litertur verweisen, ebenso ws den Glubwürdigkeitsgrd und den Plusibilitätsgrd, den Grd des Einleuchtens betrifft (/B/ Bndemer, Gottwld: Einführung in Fuzzy-Methoden, kdemie Verlg) mit dem Hinweis, dss diese Gegenstände noch theoretisch erklärt werden müssen. Eine umfssende Theorie eistiert bisher noch nicht. In der vorliegenden Drstellung lssen wir uns vom theoretischen Prgmtismus leiten. 3

14 . Theorie unschrfer Mengen. Theorie unschrfer Mengen. Bsisdefinitionen Def..: Eine unschrfe Teilmenge (fuzzy subset) einer Menge X ist gekennzeichnet durch ihre Zugehörigkeitsfunktion (membership function) [ 0,] μ : X, (.) die jedem Element us X eine Zhl μ () im Intervll [0,] zuordnet, die den Grd der Zugehörigkeit von in repräsentiert. X repräsentiert den Grundbereich, der geeignet zu wählen ist. Die schrfen Mengen werden ls spezielle unschrfe Mengen interpretiert, bei denen nur die Werte 0 und ls Zugehörigkeitswerte vorkommen. Die Gleichheit zweier unschrfer Mengen und B ist gegeben, wenn die Werte ihrer Zugehörigkeitsfunktion gleich sind: B, flls μ ( ) μb() für lle X. Es gibt verschiedene Repräsenttionsmöglichkeiten für die Beschreibung von Zugehörigkeitsfunktionen unschrfer Mengen. Diskrete Drstellung mittels Funktionstbellen in der Form 3 L n μ ( ) mit z.b. ( 3 ) 0. 8 X,,... n. Diese Drstellung können wir mit Hilfe des Begriffs einer Stützmenge verllgemeinern. μ etc. und { } Def..: Die Stützmenge von ("support von ") ist die Menge S ller Elemente ("set of points") in X mit positivem μ (). Def..3: Ein Hlbpunkt in ("crossover point") ist ein Element von X, dessen Mitgliedschft ekt 0,5 beträgt. Def..4: Ein Fuzzy-Singulärtest ("fuzzy singleton") ist ein Fuzzy Set, dessen Stützmenge genu ein Element us X umfsst. Bemerkung zur Nottion: Wenn ein Fuzzy Set ls Stützmenge {} nur ein einziges Element mit positivem µ() besitzt, dnn wird geschrieben µ/, (.) wobei µ der Mitgliedschftsgrd von in ist. Folge: Ein Nonfuzzy-Singulärtest knn ls / geschrieben werden. 4

15 . Theorie unschrfer Mengen Bemerkung: Die Verknüpfungen zwischen Fuzzy Sets sind nlog definiert zu der Definition von gewöhnlichen Mengen. Wenn die Stützmenge S {,,..., } n von diskret und endlich ist, dnn gilt die Summendrstellung: (.3) μ ( ) / + μ ( ) / + L + μ ( n ) / n : n i Summendrstellung vereinfcht geschrieben bei endlichem Grundbereich: n / μn / n μi / i i μ, (.4) μ ( ) / wobei µi, i,..., n, den Grd der Zugehörigkeit von i in bezeichnet. Ds Pluszeichen "+" bedeutet die Vereinigung gemäß Gl..3 und nicht die rithmetische Summe. nstelle von vorstehender Formulierung knn bkürzend geschrieben werden: μ () /. (.5) X Ds Summenzeichen ls uch ds nchfolgende Integrlzeichen sind bkürzende Symbole, die Zeichen werden nicht ls Opertionszeichen benutzt und ebenso ds Zeichen "/". Ist der Grundbereich X unendlich, wird ds Summenzeichen symbolisch durch ds Integrlzeichen ersetzt und geschrieben: ( ) / μ (.6) X Ein Fuzzy Set knn ls die Vereinigung seiner konstituierenden Singulärsets interpretiert werden (/Z3/), wobei ds Summenzeichen oder ds Integrlzeichen für die Vereinigung des Fuzzy Singulärsets μ () / steht. Der Zugehörigkeitsgrd μ ( ) in einem Fuzzy Set selbst, drf dort uch wieder ein Fuzzy Set sein. Fuzzy Sets deren Zugehörigkeitsfunktion selbst wieder ein Fuzzy Set ist, nennt mn nch Zdeh Ultrfuzzy Sets. i i 5

16 . Theorie unschrfer Mengen. Modellierung unschrfer Mengen mittels Zugehörig-keitsfunktionen Um die bstufungen einer Zugehörigkeit (Zugehörigkeitsgrd) zu beschreiben benutzen wir Funktionsgrphen. Es sind Grphen mit Werten zwischen 0 und, die eine grduelle Zugehörigkeit repräsentieren. Dbei ist zu bechten, dss jeder Grph für eine subjektive Modellierung von linguistischem Wissen steht. Welche Zugehörigkeitsfunktion für ein spezielles Problem optiml ist, muss von Fll zu Fll entschieden werden. Die verwendeten Funktionen besitzen oft einen einfchen mthemtischen Zugng, wie die folgenden Beispiele zeigen. ) Modellierung einer Zugehörigkeitsfunktion mittels einer Dreiecksfunktion Beh.: μ ( ) für für für für <,, < 3, > 3. μ ( ) 3 Fig..: Oft werden symmetrische Zugehörigkeitsfunktionen verwendet. Flls die Tempertur repräsentiert, knn die symmetrische Dreiecksfunktion interpretiert werden ls lieber eine etws zu niedrige Tempertur (bezüglich ) ls eine 6

17 . Theorie unschrfer Mengen zu hohe Tempertur. n der Stelle ist die Funktion zwr stetig ber nicht differenzierbr. Die Funktion ist festgelegt durch drei Prmeter. Bew.: Funktionen mit bereichsweisen Gerdenstücken, wie beispielsweise die obige Dreiecksfunktion, ber uch die linguistischen Terme bestehend us Dreiecksfunktionen für die fuzzyfizierten Eingngsgrößen oder die ggregierte Fuzzy-usgbe hben einen einfchen mthemtischen Zugng über die Zweipunkteform oder die Normlform einer Gerden. nwendung der Zweipunkteform für eine Gerde. Intervll [, ] ( ) : μ 0 0 y y y y μ ( ) Intervll [, ] ( ) : 3 μ 0 3 μ ( ) 3 3 μ 3 ( ) + Dmit ds Intervll überschneidungsfrei (disjunkt) bleibt, wird der Bereich uf, eingeschränkt. ( ] 3 Folge für die Fuzzy-Menge 7

18 . Theorie unschrfer Mengen μ ( ) für für für für < [, ] (, ] > 3 3 b) Γ - Funktion ls Zugehörigkeitsfunktion μ ( ) 0 ( ) ( ) für für für <, >., μ Α () Fig..: Repräsentiert eine Γ - Funktion mit zwei Prmetern. Die Funktion ist n der Knickstelle stetig ber nicht gltt. Geglättete Γ -Funktion: μ () 0 k( -) + k( -) für für <, <. 8

19 . Theorie unschrfer Mengen 9 ( ) μ 0 Fig..3: Geglättete Γ - Funktion: Stetige, d.h. n jeder Stelle differenzierbre Zugehörigkeitsfunktion mit den Prmetern und k. lterntiv: < μ k > 0.,, e -, für 0 ) ( ) -k ( - Zdehs S-Funktion: ( ) > + < < μ. für mit,, für, für, für

20 . Theorie unschrfer Mengen Fig..4: Zdehs S-Funktion repräsentiert eine stetige Zugehörigkeitsfunktion mit zwei Prmetern und. Bem.: Für eine geschlossene Drstellung eignet sich uch die rctn-funktion. c) L-Funktion μ ( ) 0 für für für <, >., μ () Fig..5: Die L-Funktion ist die n der vertiklen Linie gespiegelte Γ -Funktion (uch ls R-Funktion bezeichnet). 0

21 . Theorie unschrfer Mengen Stetige Version: μ ( ) μ () + k, k >. 0 Fig..6: Stetige Zugehörigkeitsfunktion. lterntiv: Stetige Zugehörigkeitsfunktion vom Eponentiltyp -k μ () e, k > 0. d) Modellierung einer Trpezfunktion μ ( ) 0 0 ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 4 3 für für für für für <, < < 3 > ,,,

22 . Theorie unschrfer Mengen μ () Fig.:.7: Für 3 geht dieser Grph in denjenigen einer symmetrischen Dreiecksfunktion über. μ ( ) 0 Fig..8: Stetige Zugehörigkeitsfunktion vom Eponentiltyp. -k( - ) μ () e, k > 0. lterntiv: μ () + k ( - ), k >. e) Funktion mit Senke

23 . Theorie unschrfer Mengen μ μ () ( ) für für für für für <,, < < 3, 3 4, > Fig..9: Zusmmengesetzte Zugehörigkeitsfunktion µ () 0 Fig..0: Geglättete Senkenfunktion vom Eponentiltyp μ () - e - k ( - ), k >. lterntiv: Drstellung der Senkenfunktion mittels einer rtionlen Funktion μ k () + ( - ) k ( - ), k > 0. 3

24 . Theorie unschrfer Mengen 4 ( ) μ 0 Fig..: Geglättete Senkenfunktion vom Typ rtionle Funktion. f) Modellierung mit einer verllgemeinerten Trpezfunktion ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) < < + < < < + < μ. für 0, für b, für b b b, für b b oder, für b b b, für b, für

25 . Theorie unschrfer Mengen μ () b 3 b 4 b b Fig..: Trpezfunktion mit bereichsweise stetigen Funktionsteilen g) Zugehörigkeitsfunktionen F() mit modellierbren Flnken μ ( ) F F ( ) für ( ) mit mit α, β für für mit beispielsweise F ( ) e und F ( ) < <. +,, µ () 0 [ α ] [ β ] Fig..3: Grph mit modellierbren Flnken. 5

26 . Theorie unschrfer Mengen Bemerkung: () Mit wenigen Prmetern und gewissen Einschränkungen lssen sich gnz unterschiedliche Zugehörigkeitsfunktionen chrkterisieren. () Die Zugehörigkeitsfunktionen (Fig..,.,.5,.7,.9,.,.3) sind n den Knickstellen stetig ber nicht differenzierbr, nicht so die geglätteten Funktionen. (3) Vorsicht: Die geglätteten Funktionen gehen im Limes ± in die Funktionswerte μ ( ) oder 0 über. Um einen definierten Wertebereich für μ ( ) zu erhlten wird die -chse prllel zu sich in Richtung μ ( ) > 0 verschoben oder/und μ ( ) < gewählt. (4) Betrchten wir die Figur.8 genuer, dnn repräsentiert diese Drstellung ein unschrfes Intervll. Von einem schrfen Kern us eistiert eine Verminderung der Zugehörigkeitsfunktionen symptotisch uf den Wert Null. Werden schrfen Gebieten eine unschrfe Rndzone zugeordnet, so knn mn unschrfe Gebiete im IR definie- n ren (/B/, /Go/). (5) Vorstehende Zugehörigkeitsfunktionen wurden unter der Vorussetzung disjunkter Wertebereich formuliert. Oft wird die Eigenschft disjunkter Definitionsbereiche nicht berücksichtigt. ls Ergebnis erhlten wir elegntere Formulierungen (/Bö/). (6) Eine elegnte Formulierung ergibt sich durch die Verwendung von Spline-Funktionen ls Zugehörigkeitsfunktionen (siehe (h)) oder mittels sogennnter differenzierbrer Zugehörigkeitsfunktionen (siehe (i)). h) Modellierung mittels B-Splines B-Spline-Funktionen hben eine interessnte Chrkteristik, sie sind definiert mittels einem sogennnten Knotenvektor λ, bestehend us ( k + ) -Elementen, wobei die Größe k die Ordnung der B-Splines definiert. Jedes Element des Knotenvektors definiert einen Knoten. Die Werte der B-Splines können mittels einer Rekursionsformel [/C/, /db/] berechnet werden: B B k + j j ( ) k k ( ) B ( ) + B ( ) λ, 0, λ j+ k für j λ sonst. j λ [, λ ) j j j+ λ λ j+ k j+ k λ j+ j+ mit 6

27 . Theorie unschrfer Mengen Verwendete bkürzungen: : nfngswert (input vlue) B k j ( ) : ktivierungswert der j-ten B-Splines-Funktion, definiert über dem Knoten Eigenschften der B-Splines: B k + j (i) Positivity: ( ) 0 λ j bezüglich j + k. im Def.-Bereich. k + (ii) Locl Support: ( ) 0, flls [ λ, λ ] (iii) Prtition of Unity: ( ) (iv) Derivtive of B-spline: eist. B j j j+ k. n k + B j. j 0 ctivtion Vlue knots knots knots () Order. (b) Order. (c) Order 3. Fig..4: Univrite B-Spline-Funktionen von verschiedener Ordnung. Der grüne Bereich kennzeichnet den Bereich wo die Prtition of Unity (Summe der B-Spline-Werte gleich ) gültig ist (/Re/). Im nwendungsbereich (beispielsweise Sugeno-Fuzzy- Modell) werden bei nwendung des Produkt-Opertors uch Bivrite B-Splines benötigt, die us Univrite B-Splines geformt werden können (/Re/): () ligned bivrite b-spline. (b) Displced bivrite b-spline Fig..5: Produktdrstellung Univrite B-splines. 7

28 . Theorie unschrfer Mengen ) Zentrierte Konstruktion einer Bivrite B-Spline-Funktion us zwei Univrite B-Splines der Ordnung 3 mit den Knoten- vektoren λ ( 0, 0.3, 0.6, ) λ. b) Verschobene Konstruktion einer Bivrite B-Spline- Funktion us Univrite B-Splines der Ordnung 3 mit den Knotenvektoren ( 0, 0.3, 0.6, ) λ und ( 0, 0., 0.00, ) λ. i) Modellierung mittels differenzierbrer Zugehörigkeitsfunktionen Die Übertrgungsfunktion eines Fuzzy-Controllers ist durch die Whl geeigneter Zugehörigkeitsfunktionen für die Fuzzyfizierung, Inferenzopertoren zur nwendung der Regeln in der Wissensbsis und schließlich Defuzzyfizierungsopertoren bestimmt. Bei vielen nwendungen des Fuzzy Control ist es von großem Interesse, Übertrgungsfunktionen mit günstigen Eigenschften hinsichtlich der Differenzierbrkeit zu hben. Def.: Eine Zugehörigkeitsfunktion, die günstige Eigenschften hinsichtlich der Differenzierbrkeit ht, wird hier gltte Zugehörigkeitsfunktion gennnt. Dfür ist es vor llem wünschenswert, stetig differenzierbre Zugehörigkeitsfunktionen mit nur wenigen Prmetern zu besitzen. Einerseits eistieren Opertoren für ggregtion, Impliktion und Komposition, die die Eingänge stetig differenzierbr uf die usgänge bbilden. Die meisten Opertoren, die keine Minimum- oder Mimumopertoren verwenden, hben diese Eigenschft. Von den t- und s-normen us [/GR99/ S. 358] beispielsweise sind dies ds lgebrische Produkt und die lgebrische Summe sowie die Opertoren von EINSTEIN, H- MCHER, FRNK und DOMBI. ndererseits eistieren uch Defuzzyfizierungsmethoden, die stetig differenzierbr sind: Für den SUGENO-Controller [/SUG85/] ist dies etw die gewichtete Summe. Der bleibende Schwchpunkt zur Bestimmung der Differenzierbrkeit der Übertrgungsfunktion ist dher die Zugehörigkeitsfunktion. Häufig werden Zugehörigkeitsfunktionen stückweise us lineren Funktionen zusmmengesetzt (siehe oben); dher sind sie m Ende jedes Gerdenbschnitts nicht differenzierbr. Ein Weg, dieses zu vermeiden, ist die Verwendung der Gussschen Fehlerfunktion. Diese Funktion ist jedoch stets symmetrisch und infleibel, d.h., us ihr knn nur schwer eine gewünschte Dreiecks- oder Trpezfunktion zusmmengesetzt werden. Zudem ist sie immer ungleich null, dher wird sie oft nch unten verschoben und horizontl bgeschnitten, oder zwei 8

29 . Theorie unschrfer Mengen Intervllgrenzen werden eingeführt, n denen die Funktion vertikl bgeschnitten wird. In beiden Fällen entstehen zwei Unstetigkeitsstellen der bleitung, die eine nlytische Betrchtung verhindern. uch bei der Whl von sinusförmigen Zugehörigkeitsfunktionen liegt eine symmetrische Form mit zwei Unstetigkeitsstellen der bleitung vor. In diesem bschnitt wird eine Klsse symmetrischer und symmetrischer eponentieller Zugehörigkeitsfunktionen sowie eine Klsse drus bgeleitet, fleiblerer Zugehörigkeitsfunktionen vorgestellt [/GL99/]. Eine gltte Funktion knn beispielsweise zweiml stetig differenziert sein durch die nwendung geeigneter Opertoren ht die Übertrgungsfunktion dieselben Eigenschften. Von dieser Übertrgungsfunktion können dnn prtielle bleitungen gebildet werden, mit deren Hilfe ds Ein-/usgbeverhlten untersucht werden knn. Eine solche gltte Übertrgungsfunktion ist somit die Vorussetzung zur Untersuchung des Stbilitätsverhltens eines Fuzzy- Controllers. i.) Einfche gltte Zugehörigkeitsfunktionen Ein interessnter Repräsentnt gltter Zugehörigkeitsfunktionen ist die Funktion 0 ( ) ep( / p( ) ) für f für < < b () 0 für b mit einem Polynom p mit Nullstellen in und b sowie p ( ) > 0 in ( ;b). Dnn ist f ( ) beliebig stetig differenzierbr in ( ;), ( ;b) und ( b ; ). In ( ;b) ist die n-te bleitung f ( n) ds Produkt ep( / p( ) ) eines Polynoms und p( ) n, dies ist eine stetige Funktion in ( ;b), und ußerhlb des Intervlls [ ;b] beträgt f ( n ) ( ) 0. Um die Stetigkeit von f ( n) uf IR zu beweisen, muss gezeigt werden, dss f ( n ) 0 für ( > ) b ( < b) gilt. und Der erste Fktor von f ( n) ist ein Polynom, lso ist er beschränkt für und b. Der Nenner des zweiten Fktors konvergiert gegen null, ber der Zähler mit der Eponentilfunktion konvergiert wesentlich schneller gegen null ls / p divergiert, ws mithilfe der Regel von L HOSPITL ( ) n 9

30 . Theorie unschrfer Mengen gezeigt werden knn. Mithin konvergiert dieser Fktor und ds gnze Produkt gegen null, ws zu zeigen wr. Dher ist f beliebig oft stetig differenzierbr und null ußerhlb eines gegebenen Intervlls [ ;b]. Durch die Whl p ( ) ( )( b ) knn eine Fuzzy-Menge n einer beliebigen Stelle definiert werden. Für [ ;b] [ 0;] ist die normierte Funktion f mit einer gestrichelten Linie in der folgenden Grfik drgestellt (Fig..6). Diese Funktion nimmt ihr Mimum für m ( + b) / n, ist streng monoton steigend in [ ; m ] und ;b. Die Funktion f wurde nor- streng monoton fllend in [ m ] miert durch Multipliktion mit f ( ) ep 4 /( b ) m ( ) b b Fig..6: f ( ) modifiziert durch Multipliktion von p ( ) mit den Konstnten 0, und 0.. Die Funktion f ( ) besitzt (siehe p ( ) ) nur die Prmeter und b. Whl in bbildung: 0 und b. Die Funktion f erfüllt zwei der drei geforderten Eigenschften: Sie ist gltt und null ußerhlb eines gegebenen Intervlls. Die verbleibende Eigenschft ist die einfche Modifizierbrkeit. Mögliche Modifiktionen sind die Multipliktion des Polynoms p mit einer positiven Konstnten oder die Whl von Polynomen höherer Ordnung. Durch die Multipliktion von p mit einer Konstnten größer ls eins wird die Form breiter, die Multipliktion mit einer Konstnten kleiner ls eins mcht die Form schmler, wie in obiger Grfik drgestellt (Fig..6). Die Multipliktion erhält die Symmetrie und verändert die Position des Mimums nicht. Wenn p zu einem symmetrischen Polynom verändert wird, so wird uch f symmetrisch, und die Position des Mimums wird verschoben. Um p ( ) > 0 in [ ;b] zu gewährleisten, muss p mit positiv gltten Funktionen ohne Nullstellen in [ ;b] 30

31 . Theorie unschrfer Mengen multipliziert werden, z. B. mit ( c ) mit c > b oder mit ( + c) mit c >. Ein Beispiel für [ ;b] [ 0;] ist in folgender Grfik drgestellt (Fig..7), wo p( ) ( ) mit ( ) multipliziert wurde, ws ds Mimum nch links verschiebt, und mit ( + ), ws ds Mimum nch rechts verschiebt Fig..7: f ( ) für die Polynome p( ) ( )( ) p ( ) ( )( + ) und, mit spezieller Whl für die Prmeter und b. Dies sind zwei einfche Möglichkeiten, die Funktion f zu verändern llerdings knn weder lediglich eine Seite der Funktion verändert noch ihre Form so ngepsst werden, dss die häufig verwendeten, stückweise lineren Zugehörigkeitsfunktionen pproimiert werden können. i.) Zusmmengesetzte gltte Zugehörigkeitsfunktion Fleiblere Zugehörigkeitsfunktionen resultieren us einer Klsse von zusmmengesetzten Funktionen bsierend uf dem mthemtischen Prinzip, dss jede stetige Funktion durch eine Summe von Stufenfunktionen pproimiert werden knn. In diesem bschnitt wird eine Klsse von Zugehörigkeitsfunktionen vorgestellt, die wie Stufenfunktionen zusmmengesetzt werden können. Wie sich zeigen lässt, können diese Funktionen Gerden sehr gut pproimieren. Dmit können die bisherigen Fuzzy-Regeln mit den üblichen dreiecks- und trpezförmigen Fuzzy-Mengen verwendet werden, und gleichwohl knn der Fuzzy Controller durch eine gltte nlytische Übertrgungsfunktion beschrieben werden. Diese Klsse von Funktionen ist definiert durch 3

32 . Theorie unschrfer Mengen f ( t( u) ) du F t ( ) () b f ( t( u) ) du mit der normierten Funktion f us Gl. (), dem Polynom p( ) ( )( b ) und einer gltten Trnsformtion t in [ ;b]. Wird die Identitätsfunktion t ( ) id( ) ls Trnsformtion t gewählt, so ergibt sich die Funktion F id, die mit einer fetten Linie in der folgenden Grfik drgestellt ist (Fig..8) Fig..8: Die Funktionen F q0, Fq, Fq und Fq3 konvergieren zu einer Gerden. Wenn t eine gltte Trnsformtion in [ ;b] ist d.h., wenn t beliebig oft stetig differenzierbr in [ ;b] ist, dnn ist F t gltt, d f und t gltt sind und die Gleichung gilt, wobei eine Konstnte ist. ( ) G f ( t( ) ) F (3) t t b ( t( u) ) G / f du (4) t [ ] [ ] Die Trnsformtion t bietet hervorrgende Möglichkeiten, die Form der Zugehörigkeitsfunktion zu beeinflussen. t muss streng monoton steigend oder fllend und gltt in [ ;b] sein, dher sind Polynome dfür geeignet. Im Folgenden sei ;b 0;, ( ) 0; ; (lso muss t streng monoton steigend in [ ;] t für { } 0 sein) und ( ) ( ) t + t + +, 3

33 . Theorie unschrfer Mengen d.h., t soll punktsymmetrisch bzgl. (,5;0,5) 0 sein. Ds kleinste Polynom, ds diese Bedingungen erfüllt, ist die einfche Identitätsfunktion t ( ) id( ) ; ds nächstgrößere Polynom ist t 3 ( ) c 3 c + ( + c) [ ] mit einer Konstnten c ;4. Wird beispielsweise c 4 für mimle Krümmung gewählt, so ergibt sich q 3 ( ) : (5) Mit der rekursiven Definition q0 id, q q o q0, L und qi+ q o qi für i IN ergibt sich eine Folge von gltten Funktionen. Durch die Identifiktion t( ) q0 ( ) id( ) gilt mit Gl. f ( u) du 0 q ( ) Fid ( ) f ( u) du 0 Im Flle ( ) q ( ) q( ) q ( ) q( ) F 0. (6) t o 0 ergibt sich 3 ( 4u 6u + 3u) 3 ( 4u 6u + 3u) f du 0 Fq 0 ( ) Fid ( ). (7) f du 0 Im nächsten Schritt wird q q o q q o q verwendet, ws q q ist, usw. Für diese Folge sind F, F, äquivlent zu ( ( )) q 0 q F q und F q 3 in obiger Grfik drgestellt (Fig..8). Die Funktionenfolge F q n konvergiert zur Identitätsfunktion für n und ( 0;). Um dies zu zeigen, wird die zweite bleitung von F q n berechnet: Fq ( ) Gq f ( qn ( ) ) q n ( ). (8) n n D Gq n > 0, ist diese Funktion genu dnn null, wenn f qn oder q n ( ) 0. Nun ist die Ttsche ( ( )) 0 q ( ) für { 0; ;} (9) wichtig. Dmit ist q für 0; ;. (0) n ( ) { } 33

34 . Theorie unschrfer Mengen q ( ) ist genu dnn null, wenn Gl. (0) ist und, und wie- qn ( ) q ( qn ( ) ) q n ( ) n. ( ) derum wegen Gl. (0) ist f ( q ( ) ), und wegen Gl. (9) und genu dnn null, wenn f ist genu dnn null. Wenn { 0; ; } { 0;, }. n genu dnn null, wenn Mithin eistieren genu drei Nullstellen von 0, und. Wegen Gl. (3) und () gilt ( ) 0 Fq n F q n, nämlich 0 ;, und in [ ] unter Verwendung von Gl. (0) folgt drus F 0 F. Deshlb ist F streng monoton steigend q ( ) ( ) 0 n q n in [ ; ] Gq n q n q n 0, nimmt n ihr Mimum F ( ) q n f ( ( ) ( 4 G f ) G n und ist streng monoton fllend in [ ;] q e n. Weiterhin ist q n ( ) für q n, F n ws in GL99 (Gruel, Ludwig: Construction of differentible membership functions) gezeigt wird. Entsprechende Drstellungen für trpez- und stufenförmige Zugehörigkeitsfunktionen lssen sich ebenflls konstruieren (/GL99/). Mit der drgestellten Konstruktionsmethodik konnte eine Klsse von gltten Zugehörigkeitsfunktionen erzeugt werden, die dreiml stetig differenzierbr sind. Diese Klsse enthält symmetrische und symmetrische eponentielle Funktionen, die es erluben, einen Fuzzy-Controller durch eine nlytische Übertrgungsfunktion zu beschreiben. Diese Funktionen sind den prktisch verwendeten Zugehörigkeitsfunktionen sehr ähnlich. Die drgelegte Methode ermöglicht dher die Untersuchung von Fuzzy-Controllern mit beknnten mthemtischen Werkzeugen. Fuzzy-Controller können sowohl linere ls uch nichtlinere bbildungen relisieren, die durch die Definition der Fuzzy- Mengen, -Regeln und Inferenzmethoden bestimmt werden. Von den Fuzzy-Controllern knn besonders der SUGENO- Controller [/SUG85/] ls Interpoltionssystem eingesetzt werden [/UYMN93/, /KOC94/, /JOU9/, /WN9/]. Wie GRUEL und MCKENBERG gezeigt hben, ht eine zweidimensionle Interpoltion mit komplementären sinusförmigen Zugehörigkeitsfunktionen unter Verwendung des Produkt- oder Minimumopertors gute Interpoltionseigenschften [/GM97/]. 34

35 . Theorie unschrfer Mengen Ähnliche Ergebnisse können bei der Verwendung der vorgestellten eponentiellen gltten Zugehörigkeitsfunktionen erwrtet werden. 35

36 . Theorie unschrfer Mengen. Grundbegriffe unschrfer mthemtischer Objekte.3. Unschrfer Punkt Für die Eistenz von zwei oder mehr Eingngsgrößen ist der n Begriff des unschrfen Punktes im IR von Bedeutung. Es sei n 0 IR der Kern von dem die Zugehörigkeitsfunktion nch beiden Seiten z.b. monoton bnimmt (Fig..9). μ (, ). 0 IR Fig..9: Funktionle bhängigkeit der Zugehörigkeitsfunktion für einen unschrfen Punkt 0 im IR. Diese qulittive Beschreibung sei durch die Funktion f gegeben. Die bweichung vom Kern lssen sich durch ein bstndsmß d (, 0 ) beschreiben, durch ds der Wert der Funktion f, d.h. der Grd der Zugehörigkeit mittels μ (, ) f ( d(, ),), IR 0 beschrieben werden knn. Wählt mn ds elliptische Hyperprboloid, so ist die funktionle bhängigkeit wie folgt festgelegt: μ { } T (, B) m,- ( - ) B( - )

37 . Theorie unschrfer Mengen B chrkterisiert eine positive definierte m-reihige Mtri über dem Hyperellipsoid T : { IR ( - ) B ( - ) <}. E 0 0 Unschrfe Punkte können uch durch die folgenden funktionlen Beschreibungen drgestellt werden: - symmetrische bzw. symmetrische Pyrmidenfunktion mit dreiecksförmigem Querschnitt und qudrtischer oder rechteckiger Grundfläche, - glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen, - kegelförmige Pyrmidenfunktion, etc..3. Unschrfe Reltionen: Modellierung fuzzy-wertiger Reltionen Für die Pris spielen unschrfe bzw. fuzzy-wertige Reltionen eine große Rolle, beispielsweise wenn ungefähr gleich im wesentlichen kleiner im wesentlichen größer, etc. beschrieben werden soll. Üblich: Erklärung ls Reltionen zwischen Zhlen in der Ebene IR Modellierung Gleichheit lässt sich ls Menge erklären {(, y) IR } y durch eine Gerde Ebene y in der Modellierung der Reltion R 0 ungefähr gleich linguistische ussge knn ngrenzend n ein schrfes Gebiet (hier gekennzeichnet durch eine Gerde) eine unschrfe Übergngszone zugelssen werden und verlngt werden, dss die Zugehörigkeitsfunktion in einer gewünschten rt (liner oder qudrtisch) mit bnehmender Zugehörigkeit gegen Null geht. Modellierung linere bnhme durch: μ R (, y) m{ 0, y } 0 lineres bklingen mit Fktor. Modellierung: linguistische ussge im wesentlichen kleiner ls durch Reltion R 37

38 . Theorie unschrfer Mengen Für diese Reltion R im wesentlichen kleiner ls wird mn von der schrfen Reltion usgehen, zu der die Wertemenge {(, y) IR y} Unschärfesum y y gehört. Interprettion: schrfe Reltion y y im wesentlichen kleiner ls y Hlbrum unter y Ds im wesentlichen kleiner soll hier bedeuten, dss geringe Überschreitungen im gewissen Sinne toleriert werden. Deshlb: Hlbebene wird nch oben mit einem Unschärfesum versehen. Modellierung: linguistische ussge im wesentlichen größer ls durch Reltion R Für die Reltion R im wesentlichen größer ls wird mn von der schrfen Reltion usgehen, zu der die Wertemenge {(, y) IR y} y y y gehört. Interprettion: schrfe Reltion y Unschärfesum y im wesentlichen größer ls Im wesentlichen größer soll hier bedeuten, dss geringe Überschreitungen im gewissen Sinne toleriert werden. Deshlb: Hlbebene wird nch unten mit einem Unschärfesum versehen. μ R (, y) m für { 0, y } y. für y < mit IR + 38

39 . Theorie unschrfer Mengen Setzt mn für eine Vrible einen festen Wert ein, z.b. y y0, dnn folgt us dieser modellmäßigen Beschreibung: R knn ls unschrfe Schrnke bezüglich der nderen Vriblen interpretiert werden. Bemerkung: Unschrfe Schrnken besitzen im Bereich der unschrfen Optimierung, der qulittiven Dtennlyse und der Muster-Klssifiktion prktische Bedeutung..3.3 Unschrfe Funktionen Betrchtet mn den Grph f: IR IR einer schrfen Funktion ls Kern einer unschrfen Menge, bei der z.b. die Zugehörigkeitswerte mit wchsendem bstnd vom Kern monoton bnehmen, dnn ist durch eine unschrfe Funktion definiert. ) Eplizite Funktion Betrchtet mn ls eine Schr von unschrfen Zhlen Y ( ) und ls Schrprmeter sowie ls Kern { f ( ) }, so erhlten wir eine Zugehörigkeitsfunktion μ Y() (y) μ Die Zugehörigkeitsfunktion (, y) (, y). μ us Gl.(.7) repräsentiert eine unschrfe Funktion, ihr Kern ist durch Gl.(.6) gegeben. b) Implizite Funktion Eine implizite Funktion f { f (, y) 0 (, y) IR } repräsentiert im Grph, der ls Kern einer unschrfen impliziten Funktion betrchtet werden knn. Beispiel hierzu sei ein Kreis {(, y) IR + y r 0} K. Modellierung eines unschrfen Rndgebietes knn mit { + y r }, 0 μ K ep >, 39

40 . Theorie unschrfer Mengen erfolgen..4 Mengenlgebrische Opertionen.4. Elementre Opertionen Es seien,b,c, etc. unschrfe Mengen, für die mengenlgebrische Opertionen definiert werden können ( /Z/ ). Die folgenden Verknüpfungen für unschrfe Mengen können ls Verllgemeinerungen der entsprechenden Opertionen für gewöhnliche Mengen verstnden werden. Opertionen mit unschrfen Mengen werden in den nwendungen benötigt, um z.b. zwei unschrfe Mengen, einer linguistischen Beschreibung von physiklischen Größen, in einer Wenn- Dnn- Regel miteinnder zu verknüpfen. Im folgenden seien zunächst die elementre mengenlgebrische Opertion mit ihren zugehörigen Grphen drgestellt. Def. Union: Die Vereinigung B ("union") zweier fuzzy sets und B definiert durch die Mimumopertion m(..,..) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen μ ( ) und μ B ( ) : C : ( μ ( ), μ ( ) ), X B und μ () : m,, flls b wobei m(,b). b, flls < b C Die Vereinigung ls logische ODER-Verknüpfung knn durch verschiedene Repräsenttionsformen interpretiert werden. ) ODER-Opertion zweier Zugehörigkeitsfunktionen B μ( ) μc ( ) m{ μ ( ), μ ( ) } B μ ( ) μ B ( ) 40

41 . Theorie unschrfer Mengen Fig..0: Interprettion: Der Vereinigung entspricht einer logischen ODER-Verknüpfung. μ C () definiert den mimlen Wert der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktion μ ( ) oder μ B (). Mit Hilfe der beschränkten, lgebrischen und drstischen Summe lssen sich weitere Verknüpfungen ls Ergänzung zur Vereinigungsbildung für lle X wie folgt definieren: Beschränkte Summe: C : B und μ lgebrische Summe: C : + B und μ drstische Summe: C C : min{, μ : μ () + μ () + μ B B () - μ ()} () μ B () m C : B und μc : sonst. { μ (), μ ()}, B wenn oder μ () 0 μb() 0 b) ODER-Opertion zweier Zugehörigkeitsfunktionen: beschränkte Summe (bounded sum) μ( ) μ ( ) μ C ( ) μ B ( ) Fig..: μ C() repräsentiert die Zugehörigkeitsfunktion von der beschränkten Summe: μ C( ) min {, μ () + μb() }. 4

42 . Theorie unschrfer Mengen c) ODER-Opertion zweier Zugehörigkeitsfunktionen: lgebrische Summe μ( ) μ ( ) μ C ( ) μ B ( ) Fig..: Die Zugehörigkeitsfunktion μ C () chrkterisiert die lgebrische Summe, sie ist definiert durch μ ) μ () + μ () - μ () μ (). C( B B d) ODER-Opertion zweier Zugehörigkeitsfunktionen: drstische Summe Zugehörigkeitsfunktion der drstischen Summe ist definiert durch m{ μ (), μb()}, wenn μ () 0 oder μb() 0 μc() sonst. Def. Intersection: Die Schnittmenge B ("intersection") zweier fuzzy sets und B ist definiert durch die Minimumopertion min(.,.) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktion μ () und μ B ( ) : C: B und μ C (): min( μ (), μ B ()), X, wobei min(, b), flls b, flls b. > b nders usgedrückt: B min( μ (), μb ()) / 4

43 . Theorie unschrfer Mengen Bem. Die Schnittmengenbildung entspricht der logischen Verknüpfung UND. e) UND-Opertion zweier Zugehörigkeitsfunktionen μ( ) μ B ( ) μ ( ) μ C ( ) Fig..3: Interprettion: Die Schnittmengenbildung entspricht der logischen UND-Verknüpfung. Die Zugehörigkeitsfunktion μ C () definiert den minimlen Wert von μ ( ) oder μb(). nlog dem erweiterten Summenbegriff für die Vereinigungsbildung ergeben sich für die Durchschnittsbildung mit Hilfe des beschränkten, lgebrischen und drstischen Produktes die entsprechenden Erweiterungen. Die Produkte sind für lle X wie folgt definiert: beschränktes Produkt: C : B und μ C ( ) : m{ 0, μ () +μb() }, lgebrisches Produkt: C : B und μ C ( ) : μ () μb(), drstisches Produkt : C : B und { μ (), μ ()}, min B wenn μ () μc ( ) : oder μb () sonst. 43

44 . Theorie unschrfer Mengen f) UND-Opertion zweier Zugehörigkeitsfunktionen: beschränktes Produkt (bounded product) μ( ) μ B ( ) μ ( ) μ C ( ) Fig..4: μ C() repräsentiert die Zugehörigkeitsfunktion des beschränkten Produkts: { 0, μ () +μ () } μ C ( ) m B. g) UND-Opertion zweier Zugehörigkeitsfunktionen: lgebrisches Produkt μ( ) μ B ( ) μ ( ) μ C ( ) Fig..5: Die Zugehörigkeitsfunktion μ C () chrkterisiert ds lgebrische Produkt durch die folgende Definition: μ ) μ () μ (). C( B Def.: Ds Komplement C eines fuzzy sets ist definiert durch die Negtion seiner Zugehörigkeitsfunktion (siehe Fig..5): μ C μ () bzw. 44

45 . Theorie unschrfer Mengen ( ())/ C μ h) Grphische Drstellung der Negtion für eine Zugehörigkeitsfunktion μ( ) μ ( ) μ C ( ) Fig..6: Die Negtion von Zugehörigkeitsfunktionen wird beschrieben durch die entsprechenden Komplemente. μ () ist ds Komplement der Zugehörigkeitsfunktion μ ( ). C Die Differenz von zwei Zugehörigkeitsfunktionen ist gegeben durch ( 0, μ () μ ()) μ C ( ) μ () μb() m B. Der Wertebereich ist definiert durch C() [ 0,] und μ () [ 0,]. B μ, flls μ ( ) i) Differenzbildung von Zugehörigkeitsfunktionen μ( ) μ B ( ) ( ) μ C μ ( ) 45

46 . Theorie unschrfer Mengen Fig..7: Durch Differenzbildung ergibt sich eine neue Zugehörigkeitsfunktion μ C (), mit Werten zwischen [0,]..4. Kompenstorische Opertoren Kompenstorische Opertoren sind Opertoren die zwischen einem reinen UND und einem reinen ODER liegen. ) Def.: Lmbd-Opertor μ λ B ( ) λ[ μ ( ) μb( ) ] + ( λ) [ μ ( ) + μb ( ) μ ( ) μ ( )] ODER-Opertor für λ 0, UND-Opertor für λ. λ 0, Grenzwerte: [ ] B b) Def.: Gmm-Opertor μ γ B ( ) [ μ ( ) μ ( ) ] γ [ ( μ ( ) ) ( μ ( ) )] γ ODER-Opertor für γ, μ B UND-Opertor für ( ) μ ( ) μ ( ) für γ 0 γ B B. γ 0 γ Grenzwerte: [ 0, ] B c) Def.: Gmm-Opertor uf beliebig viele unschrfe Mengen: μ n i γ ( ) Π μ ( ) Π ( μ ( ) ) i n i i γ..4.3 Schnittbildung: Modellierung Niveuwerte ls Teilmengen Bem.: In der Pris begegnen uns verhältnismäßig häufig Mengen mit bewerteten Elementen und Bewertungen ob ein Schwellenwert erreicht bzw. drüberliegt. In solchen Fällen ist 46

47 . Theorie unschrfer Mengen es üblich, Schwellen- oder Niveuwerte zu erklären und Teilmengen zu bilden. In der Fuzzy-Logik führen diese Überlegungen zu den α- Schnittmengen. Def.: Sei eine Fuzzy-Menge über der Grundmenge X und α 0,, dnn heißt die Menge >α [ ] { X μ ( ) > α} eine α-schnittmenge (α-level set, α-cut) von und C >α ( ) X μ ( ) { α} die Komplementbildung. μ ( ) α α >α Bem. () Spezilfll α 0 : heißt Stütze oder Träger (support) von. >α () >α α α α, α [ 0, ] (3) μ ( ) m( min( α, μ > α ( ) )) α ussge (3) bedeutet: Jede Fuzzy-Menge knn durch ihre Schnittmengen drgestellt werden. Für ein X lässt sich der Wert μ ( ) berechnen, wenn mn für jedes α [ 0, ] den μ kennt. Wert ( ) > α Erinnerung: 47

48 . Theorie unschrfer Mengen min m (, b) (, b) b b b,flls > b b,flls < b μ ( ) α Bereich: μ ( ) > α α > Bereich: α μ ( ) > α.4.4 Rechengesetze für unschrfe Mengen Erinnerung: { X} () (, μ ( ) ) Jedes Element der Grundmenge X ht einen Zugehörigkeitsgrd, drgestellt durch ds Pr, μ. ( ( )) () Durch diese Pre sind die "unschrfen" Mengen ls eine neue Qulität von Mengen, die Fuzzy-Mengen, erklärt und beschrieben. Def.: Über der gemeinsmen Grundmenge X seien für die Elemente die Fuzzy-Mengen mittels μ und B mittels μ B erklärt. Es gelte B genu dnn, wenn μ ( ) μb( ) X. B genu dnn, wenn μ ( ) μ ( ) X. Zwei Fuzzy-Mengen sind ls gleich, wenn gleiche elemente gleichen Zugehörigkeitsgrd hben. B 48

49 . Theorie unschrfer Mengen Folge () Fortsetzung bsierend uf der Gleichheitsbeziehung zwischen Fuzzy-Mengen: Refleivität: Symmetrie: B B Trnsitivität: B B C C Folge () Entsprechend setzen sich die eine Ordnungsreltion bestimmenden Eigenschften der " "-Beziehung von IR uf die "C"-Beziehung zwischen Fuzzy-Mengen fort: Refleivität: μ ( ) μ ( ) ntisymmetrie: B B B μ ( ) μb ( ) μb ( ) μ ( ) μ ( ) μb ( ) Trnsitivität: B B C C μ μ μ μ μ μ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B B Bem.: Wie in der klssischen Mengenlgebr gilt für Fuzzy- Mengen, B gnz llgemein. () B B μ μ C ( ) ( ) min( μ ( ), μ ( ) ) μ ( ) B () B U B B μ μ m μ, μ μ. ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) B B B C B.4.5 Struktureigenschften Definitionsgemäß wurde der Fuzzy-Durchschnitt uf die Minimumopertion, die Fuzzy-Vereinigung uf die Mimumopertion zurückgeführt. Sie bedürfen keines weiteren Beweises! () Neutrlelemente min m (, μ ( ) ) μ ( ) X ( 0, μ ( ) ) μ ( ) 0/ () Kommuttivität min m ( μ ( ), μb( ) ) min( μb ( ), μ ( ) ) B B ( μ ( ), μ ( ) ) m( μ ( ), μ ( ) ) B B B B 49

50 . Theorie unschrfer Mengen Plusibel ufgrund Definition: m (, b) b, m ( b,) b b b b, flls < b b, flls b < (3) ssozitivität min m ( min( μ ( ), μb( ) ), μc ( ) ) min( μ ( ),min( μb( ), μc ( ) )) ( B) C ( B C) ( m( μ ( ), μb ( ) ), μc ( ) ) m( μ ( ),m( μb ( ), μc ( ) )) ( B) C ( B C) (4) Monotonie μ ( ) μ ( ) μ ( ) μ ( ) min( μ ( ), μ ( ) ) min( μ ( ), μ ( ) ) C B D C B D B C D m ( μ ( ), μ ( ) ) m( μ ( ), μ ( ) ) C B D B C D B B C D C D (5) Idempotenz min m ( μ ( ), μ ( ) ) μ ( ) ( μ ( ), μ ( ) ) μ ( ) (6) Distributivität min m ( μ ( ),m( μb ( ), μc ( ) )) m( min( μ ( ), μb ( ) ),min( μ ( ), μc ( ) )) ( B C) ( B) ( C) ( μ ( ),min( μ ( ), μ ( ) )) min( m( μ ( ), μ ( ) ),m( μ ( ), μ ( ) )) B C ( B C) ( B) ( C) B C (7) bsorption min ( μ ( ), m( μ ( ), μ ( ) )) μ ( ) ( B) B 50

51 . Theorie unschrfer Mengen m ( μ ( ), min( μ ( ), μ ( ) )) μ ( ) ( B) B (8) DE MORGN-Gesetze ( μ ( ), μb ( ) ) m( μ ( ), μ ( ) ) C C C ( B) B ( μ ( ), μb ( ) ) min( μ ( ), μ ( ) ) C C C ( B) B min B m B (9) Gesetze der Komplementbildung doppeltes Komplement: μ ( ) C ( ) μ ( ) ( ) Komplement von Grnd- und leerer Menge: 0 0 Inklusion: B B C C C Vereinigung: ( ) B C B C C Schnittmenge: ( ) C B Es gilt: / 0/ C / X C B ufgrund der Eigenschften unschrfer Mengen. Beispiel: Whl μ ( ) 0. 4 C C ( X) 0/ C ( 0/ ) X Folge: min( μ ( ), μ ( ) ) min( 0.4, 0.6) 0.4 / 0 m( μ ( ), μ ( ) ) m( 0.4, 0.6) 0.6 / (0) Definition für Fmilien unschrfer Mengen Es sei Fmilien ( j J) j unschrfer Mengen X definiert: Vereinigung: C : U mit μ ( ) : supμ ( ) j J j C j J Durchschnitt: D : I mit μ ( ) : inf μ ( ) j J mit J ls Indemenge. j D j J j j () Stz über α-schnitte 5

52 . Theorie unschrfer Mengen Für die Fuzzy-Mengen, B über X (Grundmenge) gilt für je- α 0, : des [ ] >α >α > α ( B) B >α >α > α ( B) B Interprettion: Der α-schnitt des Durchschnitts (der Vereinigung) ist gleich dem Durchschnitt (der Vereinigung) der α- Schnitte. Bem. Zur Bezeichnung: ODER [Disjunktion " " lies oder] μ B μ B ( ) μ ( ) μ ( ) m( μ ( ), μ ( ) ) B ( ) μ ( ) μ ( ) min( μ ( ), μ ( ) ) B ODER [Konjunktion " " lies und] B B.4.5 Binäre Opertionen: Konzept t-norm Neben dem Minimum- und Mimum-Opertor eistieren weitere Opertionen, die für eine ggregtion unschrfer Mengen Verwendung finden. Diese Opertoren gennnt Dreiecks- Normen bzw. Dreiecks-Conormen sind seit lngem beknnt. Sie wurden ls t-normen und t-conormen in die Fuzzy-Theorie eingeführt und ls Opertoren für Durchschnitt und Vereinigung von Fuzzy Sets vorgeschlgen (/Hö/). Hinsichtlich der zu relisierenden Verknüpfung sind sie ktegorisierbr in t- Normen (Durchschnitt) in t-conormen (Vereinigung). Es knn mit Hilfe der t-norm konzeptionell ein Überbu geschffen werden. Def. t-norm: Eine binäre Opertion t in [0,] heißt t-norm, es ist eine bbildung t: [0,] [0,] [0,]. In nderen Worten, die t-norm ist eine zweistellige Funktion t in [0,]. Diese Funktion ist symmetrisch, ssozitiv und monoton wchsend, sie ht 0 ls Nullelement und ls neutrles Element. Für beliebige, y, z, v, w 0, gelten die Eigenschften: [ ] (E) Symmetrie : t (, y) t(, y), (E) ssozitivität : (, t( y, z) ) t( t(, y), z) t, (E3) Opertionen mit dem neutrlen Element und dem Nullelement: t (,) und wegen ( E) t(, ), t,0. ( ) 0 5