Analysis I/II - Vorlesungs-Script

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1 Anlysis I/II - Vorlesungs-Script Prof. Michel Struwe 05/06 Mitschrift: Eveline Hrdmeier Grphics: Prisc Greminger Mthis Weylnd Corrections: Prisc Greminger $Id: nlysis.tex 1237/ :13:30 eveline/eveline$

2 Inhltsverzeichnis I Logik und Grundlgen 1 1 Logik Aussgen Logische Verknüpfungen Mengenlehre Mengen und Quntoren Verknüpfungen Funktionen Komposition von Abbildungen Urbildfunktion Reltionen Äquivlenzreltion Ordnungsreltion II Die reellen Zhlen 13 1 Axiomtische Einführung Elementre Zhlen Irrtionle Zhlen Axiome für R Supremum und Infimum Weitere elementre Folgerungen us den Axiomen Die ntürlichen Zhlen Krdinlität Der euklidische Rum und die komplexen Zhlen Der euklidische Rum Der Körper der komplexen Zhlen IIIFolgen und Reihen 33 1 Folgen Grenzwert einer Folge Monotone Konvergenz Teilfolgen, Häufungspunkte Cuchy-Folgen Metrische Vollständigkeit Folgen in R d oder C Reihen Konvergenzkriterien Absolute Konvergenz Die Exponentilreihe und die Funktion e x Bedingte Konvergenz IV Topologische Grundbegriffe 58 1 Topologie des R n Offene und bgeschlossene Mengen Der Rnd einer Menge Topologie und Konvergenz Kompkte Mengen i

3 2 Zusmmenhängende Mengen, Reltivtopologie Zusmmenhängende Mengen Reltivtopologie Husdorffräume V Stetigkeit 74 1 Der Begriff Stetigkeit Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit n einer Stelle x Äquivlente Kriterien Stetige Funktionen Stetigkeit und Kompktheit Stetige Fortsetzung Stetige Funktionen uf R Der Zwischenwertstz Monotone Funktionen Folgen stetiger Funktionen Punktweise und gleichmässige Konvergenz Monotonie und Konvergenz Der Rum C 0 Ω VI Differentilrechnung Ableitung und Ableitungsregeln Differenzierbre Funktionen Differenzierbrkeit und Stetigkeit Summen-, Produkt-, Quotientenregel Der Mittelwertstz Kettenregel Der Umkehrstz Die trigonometrischen Funktionen Folgen differenzierbrer Funktionen C 1 -gleichmässige Konvergenz Der Rum C 1 Ω; R n Höhere Ableitungen Der Rum C m Ω; R m Die Tylor Formel m-ter Ordnung Konvexe Funktionen Approximtion von C m -Funktionen durch Polynome Gltte Funktionen, nlytische Funktionen Gewöhnliche Differentilgleichungen Beispiele Existenz- und Eindeutigkeitsstz für linere Systeme gewöhnlicher Differentilgleichungen Linere Differentilgleichungen n-ter Ordnung Inhomogene Gleichungen VII Integrtion Stmmfunktion Ds unbestimmte Integrl Integrtionsregeln Integrtion der rtionlen Funktionen Stirlingsche Formel Differentilgleichungen Ds Riemnnsche Integrl Definition des Riemnn-Integrls R-integrble Funktionen Integrtionsregeln Uneigentliches R-Integrl Ds R-Integrl vektorwertiger Funktionen ii

4 3 Differentilgleichungen II Die llgemeine Differentilgleichung 1.Ordnung Der Bnchsche Fixpunktstz Lokler Existenz- und Eindeutigkeitsstz Globle Fortsetzbrkeit VIII Differentilrechnung in R n Ds Differentil Definition und Beispiele Differenzierbrkeit, prtielle Differenzierbrkeit und Stetigkeit Funktionen der Klsse C Lndu-Symbole Differentitionsregeln Differentilformen und Vektorfelder Wegintegle Konservtive Vektorfelder Höhere Ableitungen Prtielle Ableitungen m-ter Ordnung Tylor-Näherung m-ter Ordnung Qudrtische Näherung, Extrem Vektorwertige Funktionen Jcobi-Mtrix, Kettenregel Der Umkehrstz Implizite Funktionen Beispiele Der Stz über implizite Funktionen Extrem mit Nebenbedingungen Geometrische Deutung Immersionen IX Integrtion im R n R-Integrl über einem Quder Elementrinhlt, Prtitionen, Verfeinerung Definition des R-Integrls uf Q Elementre Eigenschften Mehrfche Integrle Ds R-Integrl über Jordn-messbre Bereiche Ds Jordnsche Mss in R n Beispiele Jordn-messbrer Mengen Ds R-Integrl über Jordn-messbre Bereiche Die Greensche Formel im R Der Stz von Green uf einem Quder Normlbereiche Der Stz von Green für llgemeine Gebiete Chrkterisierung konservtiver Vektorfelder Substitutionsregel Trnsformtion Jordn-messbrer Mengen Substitutionsregel Integrtion über 2-dimensionle Untermnnigfltigkeiten Oberflächenmss uf Hyperflächen im R Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläcke im R Der Stz von Stokes im R K-Formen im R n Integrtion von k-formen über k-dimensionle UMF Der Stz von Stokes im R n Der Stz von Guss und Anwendungen Der Stz von Guss Prtielle Integrtion Hrmonische Funktionen iii

5 6.4 Trnsformtion des Dirichlet-Integrls Stichwortverzeichnis iv

6 Kpitel I Logik und Grundlgen 1 Logik 1.1 Aussgen Mthemtische Aussgen: 4 > 2 n N : n > 4 n > 2 5 < 3 whr whr flsch Aussgen hben einen Whrheitswert. Grundxiom -Annhme: Eine zulässige mthemtische Aussge ist entweder whr oder flsch, jedoch nie beides zugleich. Tertium non dtur. Bemerkung: i Dieses Axiom ist eine mthemtische Abstrktion, wir bewegen uns in einer künstlichen Welt. In der wirklichen Welt gibt es Grustufen, zum Beispiel hängt der Whrheitswert der Aussge Ds Wetter ist schön vom subjektiven Befinden b. ii Nicht lle Aussgen sind zulässig. Die rückbezügliche Aussge Diese Aussge ist flsch. ist weder flsch dnn wäre sie whr noch whr dnn wäre sie flsch. Anlog: Ich lüge jetzt. Aber: Ich lüge immer könnte flsch sein, flls ich je ml die Whrheit gesgt hbe. Die Axiome der Logik sind insofern unvollständig. Wir werden dies ber niemls ls Einschränkung empfinden. 1.2 Logische Verknüpfungen Seien A,B mthemtische Aussgen. Die Negtion A, und A B, oder A B, die Impliktion A B und die Äquivlenz A B sind definiert durch die Whrheitstfel. A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w Die Impliktion A B wenn A dnn B ist die für den Aufbu der Mthemtik wichtigste Verknüpfung. 1

7 Kpitel I. Logik und Grundlgen i n > 4 } {{ } A n > 2 } {{ } B Bechte: Weder die Annhme Vorussetzung x > 4 noch die Folgeussge x > 2 ist für lle x R erfüllt, die Impliktion gilt jedoch immer. Politik: Wenn wir uns dmls nders entschieden hätten, dnn... Trivil, d es nicht so ist conjunctivus irrelis. Bemerkung: i A B B C A C Die Impliktion ist trnsitiv. Prinzip des mthemtischen Beweises: Zur Herleitung des Stzes S us der Annhme A genügt eine endliche Kette logischer Impliktionen A B... S. Äquivlenz: Anstelle von A B B A schreiben wir A B. Stz 1.2.1: Prinzip des indirekten Beweises A ist hinreichend für B. B ist notwendig für A Beweis: mit der Whrheitstfel: A B B A A B A B A B B A w w w f f w w f f f w f f w w w f w f f w w w w Splten von A B und B A sind gleich. A B B A Stz 1.2.2: i A B A B Beweis: mit der Whrheitstfel A B A B A B A B A B w w w f f f f w f w f f w f f w w f w f f f f f w w w w A B A B ii A B A B 2

8 Kpitel I. Logik und Grundlgen Beweis: Übung. 2 Mengenlehre 2.1 Mengen und Quntoren Georg Cntor: Eine Menge ist die ungeordnete Zusmmenfssung verschiedener Elemente zu einem Gnzen. i Für b gilt {,b} = {b,} = {,b,} ii N = {1,2,3,4,...} iii = {}: leere Menge iv {n N n teilt 15} = {1,3,5,15} Nicht lle Bildungsgesetze sind zulässig. Insbesondere müssen wir uns vor rückbezüglichen Definitionen hüten. v Bertrnd Russel: Die Menge M ller Mengen, die sich selbst ls Element nicht enthlten, gibt es nicht. Wäre M M, so gehörte M nch Definition nicht zu M; flls jedoch M M, so müsste M zu M gehören. Quntoren: : für lle z.b. n N : n > n + 1 Allquntor : es gibt z.b. n N k N : k > n Existenzquntor Mn knn den All- und Existenzquntor mit Mengen wie folgt definieren: Stz 2.1.1: x M : Ax x M : Ax i x M : Ax x M : Ax ii x M : Ax x M : Ax {x M Ax} = M {x M Ax} Beweis: i x M : Ax {x M Ax} c M {x M Ax} x M : Ax c : Komplement x : Ax M x : Ax 3

9 Kpitel I. Logik und Grundlgen ii Anlog. 2.2 Verknüpfungen Seien X,Y beliebige Mengen: X Y : Vereinigungsmenge X Y : Durschschnitt X \ Y : Differenz; X \ Y = {x x X, x Y } X Y : Teilmenge Inklusion Bemerkung: i Um die Gleichheit von Mengen zu zeigen reicht: X = Y X Y Y X ii X Y Z = X Y X Z Beweis: ii x X Y Z x X x Y Z x X x Y x Z x X x Y x X x Z x X Y x X Z x X Y X Z Bewiesen mit A B C A B A C Erzeugung weiterer Mengen: PX = {Y Y X} X Y = {x,y x X, y Y } Potenzmenge Produkt ] B A B ] ] A [ Ds Pr x,y nennen wir ein geordnetes Pr. Stz 2.2.1: de Morgn: Seien A,B X mit Komplement A c = X \ A, B c = X \ B. Dnn gilt: i A B c = A c B c ii A B c = A c B c Vergleiche Übungen 4

10 Kpitel I. Logik und Grundlgen Beweis: i x A B c x A B x A x B x A x B x A c B c 3 Funktionen Aus der Schule kennen wir Funktionen y = fx, wie zum Beispiel y = fx = x x 3. Allgemein seien X,Y Mengen. Definition 3.0.1: Eine Funktion oder Abbildung f : X Y ordnet jedem Punkt x X genu ein Bild y = fx Y zu. Ds heisst, eine Funktion wird erklärt durch die Angbe des Definitionsbereiches hier X des Bild- oder Wertebereiches hier Y der Abbildungsvorschrift hier x fx X Y i f : R R; x x x 3 Zuordnungsvorschrift ii id X : X X, x x = id X x; die Identität uf X. Wir können Funktionen durch ihren Grphen drstellen: Gf = { x,fx x X } X Y Zum Beispiel für f us Beipsiel i Komposition von Abbildungen Seien f : X Y, g : Y Z Abbildungen. Durch Komposition erhlten wir eine neue Abbildung g f : X Z, x g fx. 5

11 Kpitel I. Logik und Grundlgen Stz 3.1.1: Assozitivgesetz Für die Abbildungen f : X Y, g : Y Z, h : Z W gilt: h g f = h g f. Beweis: 1. Die Definitionsbereiche sind identisch X 2. Ebenso sind die Wertebereiche identisch W 3. Zuordnungsvorschrift: Für lle x X gilt: h g f x = h g fx = h g fx = h gfx = h g fx = h g f x Symbolisch: X f Y g Z h W Definition 3.1.1: Sei f : X Y eine Abbildung i f heisst surjektiv, flls jedes y Y mindestens ein Urbild x X ht mit fx = y, ds heisst flls gilt: y Y x X : fx = y. ii f heisst injektiv/eindeutig, flls jedes y Y höchstens ein Urbild ht, ds heisst flls gilt: y Y, x 1,x 2 X : fx 1 = fx 2 = y x 1 = x 2 oder x 1,x 2 X : x 1 x 2 fx 1 fx 2. iii f heisst bijektiv, flls f sowohl injektiv ls uch surjektiv ist, ds heisst flls es zu jedem y Y genu ein Urbild gibt. X f g f g Y In diesem Fll können wir offenbr eine Umkehrbbildung g : Y X einführen, wobei wir jedem y Y ds eindeutig bestimmte Urbild unter f zuordnen, ds heisst gy = x mit fx = y mit f g = id Y, g f = id X. Wir nennen g uch die zu f inverse Abbildung. 6

12 Kpitel I. Logik und Grundlgen iii f : R R; x x x 3 f ist surjektiv, ber nicht injektiv. 0.5 y x 0.5 Stz 3.1.2: Sei f : X Y eine Abbildung. Dnn gilt: i f injektiv g : Y X mit g f = id X. ii f surjektiv g : Y X mit f g = id Y. iii f bijektiv g : Y X mit f g = id Y, g f = id X. Beweis: i Für lle y fx = {fx x X} Y gibt es genu ein Urbild x =: gy. Fixiere x 0 X und setze gy = x 0 für y fx. Dnn ist g : Y X wohldefiniert und g f = id X. X Y ii Zu y Y ist Ay = {x X fx = y}. Wähle ein beliebiges x Ay und setze gy = x funktioniert durch ds Auswhlxiom. Dnn ist g : Y X wohldefiniert und f g = id Y. X Y 3.2 Urbildfunktion Sei f : X Y eine Abbildung, A X, B Y. Setze fa = {fx x A} Y f 1 B = {x X fx B} X. Auf diese Weise wird eine Funktion f 1 : PY PX definiert, die Urbildfunktion. Achtung: f muss nicht bijektiv sein. 7

13 Kpitel I. Logik und Grundlgen Stz 3.2.1: Für B,C Y gilt: i f 1 B C = f 1 B f 1 C ii f 1 B C = f 1 B f 1 C Vergleiche Übung 1. Beweis: i x f 1 B C fx B C fx B fx C x f 1 B x f 1 C x f 1 B f 1 C ii Anlog. Stz 3.2.2: f ist bijektiv genu dnn, wenn f 1 {y} für jedes y Y genu ein Element enthält. Flls f bijektiv ist, so bezeichnen wir mit f 1 : Y X uch die Umkehrfunktion entsprechend Stz iii und f 1 {y} } {{ } Urbildfkt. = {f 1 y}. } {{ } Umkehrbb. 4 Reltionen Elemente einer Menge können zueinnder in vielfältiger Weise in Beziehung stehen. Zum Beispiel können Aussgen zueinnder äquivlent sein. Ein weiteres Beispiel ist die Ordnung ntürlicher Zhlen nch ihrer Grösse. 4.1 Äquivlenzreltion Sei X eine beliebige Menge. Definition 4.1.1: Eine Beziehung uf X heisst Äquivlenzreltion uf X, flls gilt: i Reflexivität: x X : x x ii Symmetrie: x,y X : x y y x iii Trnsitivität: x,y,z X : x y y z x z. i = uf beliebiger Menge ii logische Äquivlenz von Aussgen vergleiche Übung iii Reste modulo p. Sei p N fest. Für m,n Z setze m n, flls m = n + kp für ein k Z. Wir schreiben: m = n mod p. Behuptung: definiert eine Äquivlenzreltion. 8

14 Kpitel I. Logik und Grundlgen Beweis: i Reflexivität: m m wähle k = 0 ii Symmetrie: m n, ds heisst m = n + kp, dnn n = m kp = m + kp, lso n m iii Trnsitivität: Sei m n, n l, ds heisst m = n + kp, n = l + jp, dnn m = n + kp = l + jp + kp = l + pj + k; ds heisst m l. Sei eine Äquivlenzreltion uf X, x X. heisst Äquivlenzklsse von X. Es gilt: Behuptung 1: y [x] : [y] = [x] Beweis: Wir zeigen und. [x] := {y X x y} Sei z [y]; ds heisst y z. D x y folgt mit Trnsitivität x z, lso z [x]. D y [x], lso x y, folgt mit Symmetrie uch y x, lso x [y], und folgt mit i. Behuptung 2: y X : y / [x] [y] [x] =. Beweis: indirekt Sei z [x] [y]. Mit Behuptung 1 folgt [x] = [z] = [y] y. Widerspruch. [x 1 ] [x 3 ] [x 2 ] Stz 4.1.1: Eine Äquivlenzreltion uf X definiert eine disjunkte Zerlegung von X in Äquivlenzklssen. Bemerkung: i Umgekehrt definiert eine disjunktive Zerlegung X = ι I X ι von X in disjunkte Mengen X ι eine Äquivlenzreltion mittels x y ι I : x,y X ι 9

15 Kpitel I. Logik und Grundlgen Ordnungsreltion Definition 4.2.1: Eine Beziehung uf einer Menge X heisst prtielle Ordnungsreltion, flls gilt: i Reflexivität: x X : x x ii Trnsitivät: iii Identitivität: x,y,z X : x y y z x z x,y X : x y y x x = y i N mit der ntürlichen Ordnung ii PM mit A B : A B. Zum Beispiel sei M = {,b} mit PM = {, {}, {b}, {,b}} Bemerkung: b {,b} = M i Mn knn X, durch einen gerichteten Grphen, den Ordnungsgrphen vernschulichen. N, : P,b, b {,b} = M Ein Ordnungsgrph drf keine Zyklen enthlten, sonst folgt mit x y und y x sofort x = y für lle Elemente des Zyklus. x y Sei X, prtiell geordnet. Definition 4.2.2: m X heisst mximl, flls gilt: x X : m x x = m. Ds heisst genu dijenigen m X sind mximl, zu denen keine grösseren Elemente existieren. Jedoch muss ein mximles m X nicht grösser sein ls lle x m. 10

16 Kpitel I. Logik und Grundlgen iii Sei X = N {} mit dem Ordnungsgrphen ist mximles Element, ber 3. Definition 4.2.3: X, heisst totl oder liner geordnet, flls gilt: x,y X : x y oder y x. iv N, ist totl geordnet v PM, ist im Allgemeinen nicht totl geordnet. Zornsches Lemm: Sei X, prtiell geordnet und es gelte I.1 Zu jeder totl geordneten Teilmenge L von M gibt es ein m M mit l m, l L, eine obere Schrnke für L Dnn gibt es zu jedem x X ein mximles Element m M mit x m. N, ht kein mximles Element: m x Ds Zornsche Lemm ist ein Axiom, äquivlent zum Auswhlxiom. Auswhlxiom: Zermelo, NZZ Für jede Fmilie A ι ι I von Mengen A ι M, ι I gibt es eine Funktion g : I M mit gι A ι, ι I. Wir zeigen eine Richtung der Äquivlenz. Stz 4.2.1: Zornsches Lemm Auswhlxiom Beweis: Sei Dh der Definitionsbereich von h und mit X = {h : Dh I M hι A ι, ι Dh} h l : Dh Dl lι = hι, ι Dh, h,l X. Behuptung 1: definiert eine prtielle Ordnung uf X. Beweis: 11

17 Kpitel I. Logik und Grundlgen i Reflexiv: h h ii Trnsitiv: Seien h k und k l mit h,k,l X. Dnn gilt Dh Dk Dl und lι = kι = hι, ι Dh Dk, lso h l. iii Identitiv: Seien h l und l h mit h,l X. Dnn gilt Dh Dl Dh, lso Dh = Dl und lι = hι, ι Dh = Dl, lso h = l. Behuptung 2: X, erfüllt die Annhme I.1. Beweis: Sei L X totl geordnet. Setze J = l LDl I. Für ι J existiert l L mit ι Dl, und h L mit ι Dh gilt h l, lso lι = hι, oder b l h, lso hι = lι. Also ist m : J M mit mι = lι, ι Dl wohldefiniert und offenbr gilt für lle l L: Dl J = Dm, mι = lι, ι Dl. Also ist m obere Schrnke für L Mit dem Zornschen Lemm folgt nun, dss X ein bezülgich mximles Element g besitzt. Behuptung 3: Dg = I Beweis: indirekt Sei ι 0 I \Dg. Wähle x 0 A ι0 und setze g 0 : Dg 0 = Dg {ι 0 } M fest mit { gι, ι Dg g 0 ι = x 0, ι = ι 0 Dnn ist g g 0 g, im Widerspruch zur Mximlität von g. Im folgenden sei ds Zornsche Lemm beziehungsweise ds Auswhlxiom stets ls eines unserer Axiome ngenommen. 12

18 Kpitel II Die reellen Zhlen 1 Axiomtische Einführung 1.1 Elementre Zhlen Ntürliche Zhlen: N = {1,2,3,...}, N 0 = {0,1,2,3,...} mit Addition und Multipliktion. Gnze Zhlen: zusätzlich mit Subtrktion. Rtionle Zhlen: Z = {..., 1,0,1,...} Q = { p q } p,q Z, q > 0 zusätzlich mit Division usser durch 0, ein Zhlkörper. Durch Aneinnderfügen von Längen beziehungsweise mit Hilfe des Strhlenstztes knn mn die Opertionen in Q uch geometrisch usführen. + b c d b c d 1.2 Irrtionle Zhlen Zwischen je zwei rtionlen Zhlen r 1 < r 2 liegt eine weitere, zum Beipsiel r 1 + r 2 Q. 2 Die rtionlen Zhlen scheinen demnch die Zhlengerde lückenlos zu überdecken. Dies ist jedoch nicht der Fll. Bereits die Pythgoräer erknnten, dss es keine Zhl r Q gibt mit r 2 = 2. Die Länge der Digonlen im Qudrt steht in keinem rtionlen Verhältnis zur Länge der Grundseite: 13

19 Kpitel II. Die reellen Zhlen l Flls r = p q mit teilerfremden p,q N, so folgt p 2 = r 2 q 2 = 2q 2 lso lso q = 2t mit s,t N. p = 2s, q 2 = 2s 2 Mn knn die rtionlen Zhlen uf verschiedene Weisen vervollständigen. mit dem Dedekindschen Schnitt Dedekind 1858/59, Anlysis I, ETHZ; siehe z.b. Königsberger, Aufgbe durch Fundmentlfolgen hier z.b. r k Q, k N mit 1 < r k < 2 und 2 r 2 k < 1 k, k N. Im folgenden gehen wir jedoch xiomtisch vor und postulieren die Existenz eines geordneten Zhlkörpers R, der Q umfsst und in einem zu präzisierenden Sinn ordnungsvollständig ist. Die eigentliche Konstruktion von R verschieben wir uf später. 1.3 Axiome für R Die reellen Zhlen R bilden einen Zhlkörper mit den Opertionen Addition und Multipliktion. Addition: + : R R R x,y x + y A.i Assozitivität: x,y,z R : x + y + z = x + y + z A.ii Neutrles Element: 0 R, x R : x + 0 = x A.iii Inverses Element: x R y R : x + y = 0 A.iv Kommuttivität: x,y R : x + y = y + x Ds heisst, R bildet eine belsche kommuttive Gruppe bezüglich der Addition. Bemerkung: i Ds neutrle Element ist eindeutig bestimmt. Beweis: Seien 0,0 R neutrle Elemente, so folgt: 0 ii = iv = ii = 0. ii Ds zu x R dditiv inverse Element y = x ist eindeutig bestimmt. 14

20 Kpitel II. Die reellen Zhlen Beweis: Seien y,z R zu x invers, so folgt: y ii = y + 0 = y + x + z } {{ } x+z=0 i = y + x +z = 0 + z = z + 0 = z. } {{ } x+y=0 iii Die Kommuttivität wird zum Beweis von i und ii nicht benötigt. Multipliktion: M.i Assozitivität: : R R R x,y x y x,y,z R : x y z = x y z M.ii Neutrles Element: 1 R \ {0}, x R : x 1 = x M.iii Inverses Element: x R \ {0} y R : x y = 1 M.iv Kommuttivität: x,y R : x y = y x Die Multipliktion ist mit der Addition verträglich im Sinne des Distributivgesetzes: D. x,y,z R : x y + z = x y + x z Bemerkung: iv x R : x 0 = 0 Insbesondere ist zu jedem x 0 ds multipliktiv Inverse x 1 0. Beweis: Addiere x 0. x 0 = x D = x 0 + x 0. v Flls x y = 0, so gilt x = 0 oder y = 0. Beweis: Sei x 0. Dnn ist x 1 0 nch i. y = 1 y = x 1 x y = x 1 x y } {{ } =0 i = 0. Ds heisst R = R\{0} bildet bezüglich der Multipliktion eine belsche Gruppe mit dem neutrlen Element 1. Schliesslich fordern wir die Existenz einer totlen Ordnung, konsistent mit den Opertionen Addition und Multipliktion im Sinne von K.i x,y,z R : x y x + z y + z K.ii x,y,z R : x y, 0 z x z y z. Die Axiome A.i-iv, M.i-iv, D, K.i,ii gelten bereits in Q. Die entscheidende zusätzliche Forderung n R ist ds Vollständigkeitsxiom: V. R ist ordnungsvollständig: Zu je zwei nicht leeren Mengen A,B R mit b, A, b B gibt es eine Zhl c R mit A,b B : c b. + 0 A + + c c 1 + c 2 B 15

21 Kpitel II. Die reellen Zhlen Bemerkung: vi Q ist nicht ordnungsvollständig. Beweis: Betrchte Betrchte ds heisst A = {x Q 1 x x 2 2} B = {x Q 1 x 2, x 2 2} b = b2 2 b + 0, A, b B, A, b B : b. Annhme: Q ist ordnungsvollständig: c Q so dss c b, A, b B. II.1 Behuptung: c ist eindeutig bestimmt. Beweis: Flls c 1,c 2 II.1 erfüllen, c 1 < c 2, dnn uch c = c1+c2 2, und c 1 c = c 1 + c 2 2 < c 2 b, A, b B Nun gilt c A B. Flls c A, so ist II.1 für c 1 verletzt; flls c B, so ist II.1 für c 2 verletzt. Widerspruch Behuptung: c 2 = 2 Beweis: 2 c 2 b 2 c 2 K.i b 2 2 = b b + 4b, } {{ } 4 A, b B lso, wegen i c 2 2. Anlog: c Supremum und Infimum Wir stellen einige wichtige Folgerungen us dem Vollständigkeitsxiom vor. Definition 1.4.1: A R heisst nch oben beschränkt, flls gilt: b R, A : b. Jedes derrtige b heisst obere Schrnke für A. A R heisst nch unten beschränkt, flls gilt: b R, A : b. Jedes derrtige b heisst untere Schrnke für A. i Ds Intervll ] 1,1[:= {x R 1 < x < 1} ist nch oben und unten beschränkt z.b. durch b = 1. ii N = {1,2,3,...} ist nch unten beschränkt, jedoch nch oben unbeschränkt. 16

22 Kpitel II. Die reellen Zhlen Definition: Die kleinste obere Schrnke von einer Menge A wird ls Supremum von A c = supa bezeichnet, die grösste untere Schrnke ls Infimum von A c = infa. Bemerkung: i Ds Supremum c von A ist eindeutig bestimmt. Beweis: Sei A R nch oben beschränkt. Betrchte Offenbr gilt: B = {b R b ist obere Schrnke für A}. A, b B : b. Mit dem Vollständigkeitsxiom folgt die Existenz einer Zhl c R mit A, b B : c b. II.2 D jedes c R mit II.2 uch zu B gehört, ist c obere Schrnke für A. Zudem ist c untere Schrnke für B, lso die kleinste obere Schrnke Supremum für A. Dmit ist c eindeutig bestimmt. Stz 1.4.1: Jede nicht leere, nch oben beschränkte Menge A R besitzt eine kleinste obere Schrnke, c = supa. Anlog gilt: Stz 1.4.2: Jede nicht leere, nch unten beschränkte Menge A R besitzt eine grösste untere Schrnke, c = infa. iii Für A =] 1,1[ ist supa = 1 und infa = 1. ] + 0 +A [ iv Sei A die Menge Betrchte den Grphen A = { 2x 1 + x 2 1 } x R 3 2 Behuptung: supa = 1. Beweis: Für x = 1 gilt: ds heisst supa 1. Weiter gilt für lle x R: ds heisst supa 1. supa = x 1 + x 2 = 1, x=1 1 2x 1 + x 2 = 1 + x2 2x 1 + x 2 = x2 1 + x 2 0, 17

23 Kpitel II. Die reellen Zhlen Bemerkung: ii Ds Supremum und ds Infimum müssen keine Elemente von A sein. iii Flls, wie in unserem Beispiel, die Zhl supa in der Menge A selbst liegt, so sgen wir: Ds Supremum von A wird in A ngenommen. Wegen II.2 ist c = supa dnn uch grösstes Element von A und wir schreiben in diesem Fll: ds Mximum von A. iv Anlog schreiben wir supa = mxa, infa = mina, ds Minimum von A, flls infa A. v sup{x 1 < x < 1} = 1. Es gilt jedoch: Lemm 1.4.1: Sei A R nch oben beschränkt, und sei ε > 0 beliebig. Dnn gibt es ein A mit supa + ε. Beweis: indirekt Annhme: A : + ε supa. Mit K.i folgt: A : supa ε < supa. Also ist supa ε obere Schrnke für A, im Widerspruch zur Definition des Supremums. Rechnen mit sup und inf vi Seien A,B R nicht leer und nch oben beschränkt. Dnn ist A + B = { + b A, b B} nicht leer und nch oben beschränkt und es gilt: supa + B = supa + supb. Beweis: Trivil, flls supa und supb ngenommen werden. i Wir zeigen: supa + B supa + supb. Nch Definition des Supremums gilt supa, b supb, A,b B, lso gilt mit K.i + b supa + b supa + supb, A,b B; ds heisst supa + supb ist eine obere Schrnke für A + B. 18

24 Kpitel II. Die reellen Zhlen ii Wir zeigen: Nimm widerspruchsweise n, supa + supb supa + B. 0 < supa + supb supa + B =: 3ε. Wähle A, b B gemäss Lemm mit Dnn folgt Widerspruch. supa + ε, supb b + ε. supa + supb + b + 2ε supa + B + 2ε = supa + supb 3ε + 2ε } {{ } = ε<0 < supa + supb Anloge Sätze gelten für ds Infimum. Vereinbrung: Flls A nch oben unten unbeschränkt ist, setzen wir supa = infa = wobei + x =, + =. x R 1.5 Weitere elementre Folgerungen us den Axiomen Es gelten die Aussgen: i x R : 1 x = x Beweis: x + 1 x = 1 x + 1 x = x } {{ } =0 = 0. ii 1 1 = 1 Beweis: Spezilfll von i, denn mit = 0 folgt 1 = 1. iii x R : x

25 Kpitel II. Die reellen Zhlen Beweis: x 0 K.ii x 2 0 b x 0 0 x = 1 x Mit und ii folgt: x 2 = 1 2 x 2 = x 2 0. } {{ } ii =1 iv 0 < 1 < 2 <... Beweis: 1 ii = 1 2 iii 0 und 1 0 nch M.ii. Also ist 0 < 1, und mit K.i erhlten wir nch Addition von 1 uch 1 < 2, etc. v x > 0 : x 1 > 0 Beweis: indirekt Annhme: x 1 0. Dnn folgt mit K.ii und x 0 = 0 x = 0 die Ungleichung: K.ii 1 1 = x x 0 x = 0 im Widerspruch zu iv. vi x,y 0 : x y x 2 y 2 Beweis: y 2 x 2 = y xy + x 0 y x 0 } {{ } 0 y + x = 0 x = y = 0 y + x 0: Benutze K.ii. Definition: Der Absolutbetrg einer Zhl x R ist { x, x 0 x = x, x < 0. Offenbr gilt: xy = x y, x,y R. Stz 1.5.1: Dreiecksungleichung x,y R : x + y x + y Beweis: Offenbr gilt x x = x, x R, lso uch x + y x + y, x + y = x + y x + y = x + y. 20

26 Kpitel II. Die reellen Zhlen Stz 1.5.2: Young: x,y R, ε > 0 : 2 xy ε 2 x ε 2 y2. Beweis: Für xy 0 gilt: 0 iii εx y ε 2 = ε 2 x ε 2 y2 2xy. 1.6 Die ntürlichen Zhlen Stz 1.6.1: Archimedisches Prinzip Zu jedem x R gibt es eine ntürliche Zhl n mit x n. Beweis: indirekt Annhme: n N : n x. Ds heisst x ist obere Schrnke für N. Nch dem Vollständigkeitsxiom existiert c = supn, die kleinste obere Schrnke für N. Es gilt: n N : n c. Mit n gehört uch n + 1 zu N, lso gilt: Mit K.i folgt nch Addition von 1: n N : n + 1 c. n N : n c 1; ds heisst c 1 < c ist obere Schrnke für N, im Widerspruch zur Minimlität von c. Korollr 1.6.1: Folgerung Zu jedem ε > 0 gibt es ein n N mit 0 < 1 n < ε. Beweis: Wähle n N mit n > ε 1 gemäss Stz Nch Multipliktion mit εn 1 folgt mit K.ii die Behuptung. Prinzip der vollständigen Induktion: Offenbr bilden die ntürlichen Zhlen N die kleinste Menge X R mit den Eigenschften I.i 1 X I.ii x X : x + 1 X. Definition 1.6.1: X R mit I.i,ii heisst induktive Menge. Es gilt lso: N = X. X R induktiv 21

27 Kpitel II. Die reellen Zhlen Stz 1.6.2: Es seien Ak Aussgen, k N. Es gelte: i A1 ist whr Induktionsvernkerung ii k N : Ak Ak + 1 Induktions-Schluss Dnn ist Ak whr für lle k N. Beweis: Setze X = {k N Ak ist whr}. Dnn erfüllt X die Bedingungen I.i und ii, lso X = N. Einige Anwendungen: i n N : n 2l 1 = n 1 = n 2. l=1 Beweis: Vollständige Induktion Induktionsvernkerung: n = 1 Induktions-Schluss n n + 1: Nch Induktions-Vorussetzung gelte für ein n N die Aussge Induktions-Annhme n 2l 1 = n 2. Es folgt: n+1 2l 1 = l=1 l=1 n 2l 1 + 2n l=1 = n 1 +2n + 1 } {{ } n 2 = n 2 + 2n + 1 = n ii n N : n = nn Beweis: Vollständige Induktion Vernkerung: n = 1 Induktions-Schluss n n + 1. Die Aussge gelte für n. Dnn folgt: n + 1 = n } {{ } = n 2 n+1 + n + 1 = nn n + 1 = n + 2 n iii n N : n 2 = n 3. 22

28 Kpitel II. Die reellen Zhlen Beweis: Vollständige Induktion Vernkerung: n = 1 Schluss n n + 1: Es gelte nch Induktions-Vorussetzung n 2 l = n 2 = n 3 = l=1 Dnn folgt: n l 3. l=1 n+1 l=1 2 l = n+n + 1 } {{ } 2 P n l=1 l n 2 n = l + n n + 1 l = l=1 n l=1 l=1 } {{ } ii = n 2 n+1 n+1 l 3 + n nn n + 1 = l 3. 2 l=1 iv Geometrische Reihe. Sei 0 < q < 1. Dnn gilt: n N : S n = 1 + q q n = n k=0 q k = 1 qn+1. 1 q Beweis: Vollständige Induktion Vernkerung: n = 0, n = 1 n n + 1: S n+1 = S n + q n+1 Ind.Vor = 1 qn+1 + q n+1 1 q = 1 qn qq n+1 1 q v Bernoullische Ungleichung. Sei x > 1. Dnn gilt: Beweis: n = 1 n n + 1: Rechne n N : 1 + x n 1 + nx. = 1 qn+2. 1 q K.ii 1 + x n+1 = 1 + x n 1 + x } {{ } 1 + nx1 + x 0 = 1 + n + 1x + }{{} nx n + 1x Krdinlität Gibt es mehr reelle ls rtionle Zhlen? 23

29 Kpitel II. Die reellen Zhlen Bemerkung: i Ebenso wie Q liegen offebr uch die irrtionlen Zhlen, sogr bereits die Menge Q + 2 = {r + 2 r Q} dicht uf dem Zhlenstrhl; insbesondere gibt es lso uch unendlich viele irrtionle Zhlen. Wie knn mn entscheiden, welche der Mengen Q oder R \ Q grösser ist? Einfcheres Problem: Welche der Mengen N oder Z ist grösser? - Niv würde mn meinen, Z wäre doppelt so gross wie N; jedoch knn mn zum Beispiel mittels f : N Z { n 1 n 2, flls n ungerde n 2, flls n gerde N bijektiv uf Z bbilden die Elemnte von Z bzählen. Allgemein gilt: Definition 1.7.1: Zwei Mengen X und Y heissen gleichmächtig, flls es eine bijektive Abbildung f : X Y gibt. i N und Z sind gleichmächtig. Definition 1.7.2: Eine Menge X heisst bzählbr, flls sie gleichmächtig zu N ist, ds heisst es existiert eine bijektive Abbildung f : X N. Stz 1.7.1: Q ist bzählbr. Beweis: 1. Cntorsches Digonlverfhren Stelle { } p Q + = {r Q r > 0} = q p,q N teilerfremd dr durch gnzzhlige Koordintenpre im 1. Qudrnten, und durchlufe diese Punkte wie ngegeben Anlog zur Abzählung von Z erhält mn dnn die Abzählung für gnz Q. Bemerkung: ii Offenbr knn mn mit dem 1. Cntorschen Verfhren uch N N bzählen. Induktion liefert, dss ds Produkt endlich vieler bzählbrer Mengen wieder bzählbr ist: N N... N } {{ } k gleichm. = N N gleichm. = N, k N. 24

30 Kpitel II. Die reellen Zhlen Stz 1.7.2: R ist nicht bzählbr. Der Beweis benötigt etws Vorbereitung. Lemm 1.7.1: PN ist nicht bzählbr. Beweis: Wir ordnen jeder Teilmenge S N eineindeutig eine Abbildung f S = f1 S,f2 S,... : N {0,1} mit f S k = { 1, flls k S 0, flls k S II.3 Der Rum dieser binären Folgen wird mit dem Symbol 2 N bezeichnet; lso folgt: PN gleichm. = 2 N. Behuptung: 2 N ist nicht bzählbr. Beweis: indirekt Sei widerspruchsweise f : N 2 N eine Abzählung mit n fn = f 1 n,f 2 n,..., n N. Definiere die Folge = 1, 2,... : N {0,1} mit k = f k k + 1 mod 2, k N. Dnn gilt k f k k, k N, lso fk, k N, f ist lso nicht surjektiv. Widerspruch. Vernschulichung mit dem 2. Cntorschen Digonlverfhren: f l k l k f 1 1 f 2 1 f f 1 2 f 2 2 f f 1 3 f 2 3 f 3 3 unterscheidet sich von fk n der k-ten Stelle. Beweis: von Stz 2 Die Abbildung f : PN R.. S x = 0,f S 1,f S 2,... unendlicher Dezimlbruch ist gemäss II.3 wohldefiniert und injektiv. X = fpn R ist nch Lemm nicht bzählbr, lso ist uch R nicht bzählbr. Für llgemeine Mengen X gilt: Stz 1.7.3: Für jede Menge X ist PX mächtiger ls X, ds heisst es gibt keine surjektive Abbildung f : X PX. Beweis: indirekt Annhme: Sei f : X PX surjektiv. Betrchte die Menge A = {x X x fx} D f nch Annhme surjektiv, gibt es ein x 0 X mit A = fx 0. x 0 A, dnn fogt nch Definition von A, dss x 0 fx 0 = A. Widerspruch.. 25

31 Kpitel II. Die reellen Zhlen b x 0 A = fx 0. Dnn folgt x 0 A nch Definition von A. Widerspruch. Ausgehend von X 0 = N erhält mn lso Mengen X 1 = PN, X 2 = PX 1,...,X k+1 = PX k, k N strikt ufsteigender Mächtigkeit Aleph k. Die Kontinuumshypothese: Die Frge, ob PN gleichmächtig ist wie R ht die Mthemtik lnge beschäftigt, bis Gödel 1937 und Cohen 1964 zeigten, dss die Frge nicht us den Axiomen entscheidbr ist. Vergleiche Dvis-Hersch: Erfhrung Mth., S.336. Anlog zu Stz 3: Gödels Unvollständigketistheorem. 2 Der euklidische Rum und die komplexen Zhlen 2.1 Der euklidische Rum Der Grph einer Funktion f : R R liegt in der Ebene R R. Punkte im Rum lssen sich durch drei Koordinten beschreiben; P = x,y,z. z P 1 P 2 P 3 y x Ein Roboterrm mit k Gelenkpunkten p i = x i,y i,z i, i = 1,...,k wird durch den Vektor P = x 1,y 1,z 1,x 2,...,z k R 3... R } {{ } 3 = R 3k k-ml beschrieben. So werden wir uf ntürliche Weise dzu geführt, den euklidischen Rum R n = {x = x 1,...,x n x k R, 1 k n} = R... R } {{ } n-ml beliebiger Dimension n 1 zu betrchten. R n trägt die folgenden Strukturen: Addition: + : R n R n R n x,y x + y Für x = x 1,...,x n, y = y 1,...,y n R n setze x + y := x 1 + y 1,...,x n + y n. 26

32 Kpitel II. Die reellen Zhlen y x x + y Dnn ist R n bezüglich der Addition eine belsche Gruppe mit neutrlem Element 0 = 0,...,0 R n Nullvektor. Zusätzlich knn mn Vektoren x R n mit einem Sklierungsfktor Sklr α R strecken. Sklrmultipliktion: R R n R n α,x αx wobei αx = αx 1,...,αx n R n 2z z S.i α + βx = αx + βx distributiv S.ii αx + y = αx + αy distributiv S.iii αβx = αβx ssozitiv S.iv 1 x = x Einselement Dies ist die Struktur eines Vektorrumes über dem Grundkörper R. Knonische Bsis: Die Vektoren e i = 0,...,0,1,0,...,0, 1 i n mit einer 1 n der i-ten Stelle bilden eine Bsis für R n in dem Sinne, dss jeder Vektor x R n in eindeutiger Weise ls Linerkombintion drgestellt werden knn. Vergleiche Linere Algebr x = x 1,...,x n = x 1 e x n e n = n x i e i Sklrprodukt: Für x = x i 1 i n, y = y i 1 i n R n setze mit den Eigenschften: x,y = x 1 y x n y n = SP.i x,y = y,x symmetrisch i=1 n x i y i R i=1 27

33 Kpitel II. Die reellen Zhlen SP.ii x,y + z = x,y + x,z S.iii x,αy = αx,y = α x,y für lle x,y,z R n, α R. Mit SP.ii, SP.iii ist ds Sklrprodukt biliner, d.h. liner in beiden Argumenten. Hier und im folgenden lssen wir den Multipliktions-Punkt bei der Multipliktion reeller Zhlen weg. i x = 0,1,4, y = 1,0,3 x,y = = 12. Euklidische Norm: Mittels dem Sklrprodukt können wir die Länge von Vektoren messen. Für x R n gilt: x = x,x positive Wurzel. ii Der Abstnd des Punktes x = x 1,x 2 R 2 vom Nullpunkt ist nch Pythgors l = x x2 2 = x 1,x 2. x 2 xx 1,x 2 l x 1 iii Es gilt: { 1, i = j e i e j 0, i j ds heisst die knonischen Bsisvektoren sind normiert und prweise orthogonl; sie bilden eine Orthonormlbsis. Stz 2.1.1: Die euklidische Norm ht die Eigenschften: i Positive Definitheit: x R n : x 0, x = 0 x = 0 ii Positive Homogenität: x R n, α R : αx = α x iii Dreiecksungleichung: x,y R n : x + y x + y Beweis: i Nch Definition gilt stets x 0, x. Sei x = x 1,...,x n R n, dnn gilt: 0 = x 2 = x x 2 n x 1 =... = x n = 0. 28

34 Kpitel II. Die reellen Zhlen ii n n αx 2 = αx i 2 = α 2 x 2 i = α 2 x 2. i=1 i=1 iii Wir benötigen einen Hilfsstz. Stz 2.1.2: Cuchy-Schwrz: x,y R n : x,y x y. Beweis: OBdA x 0 y. Dnn gilt mit Young für ε = y x > 0: x,y = x 1 y x n y n 1 εx x 2 n + ε 1 y yn 2 = 1 ε x 2 + ε 1 y 2 2 = x y. Beweis: von Stz iii Mit Stz folgt für x,y R n : x + y 2 = x + y,x + y = x,x +2 x,y + y,y } {{ } } {{ } x 2 y 2 x x y + y 2 = x + y 2. Euklidische Metrik: Vi können wir schliesslich den Abstnd zweier durch die Ortsvektoren x,y R n gegebener Punkte einführen ls: dx,y = x y d : Distnz. Aus Stz folgen die Eigenschften: i Positive Definitheit: dx,y 0, dx,y = 0 x = y ii Symmetrie: dx,y = dy,x iii Dreiecksungleichung: dx,z dx,y + dy,z Beweis: Schreibe und benütze Stz iii. x z = x y + y z 29

35 Kpitel II. Die reellen Zhlen Der Körper der komplexen Zhlen Komplexe Multipliktion in der euklidischen Ebene: R 2 R 2 R 2,b c,d c bd,bc + d Offenbr ist 1,0 neutrles Element und für,b 0,0 gilt die Gleichung,b 2 + b 2, b 2 + b 2 = 1,0, ds heisst, b 2 + b 2 ist zu,b invers. II.4 Weiter ist die komplexe Multipliktion ssozitiv, kommuttiv, und es gilt ds Distributivgesetz 1,b 1 + 2,b 2 c,d = 1,b 1 c,d + 2,b 2 c,d bezüglich und +. Ds heisst R 2 bildet bezüglich Vektorddition und komplexer Multipliktion einen Körper, den Körper der komplexen Zhlen C. Bemerkung: i Wegen können wir R durch die Zuordnung x,0 + y,0 = x + y,0 x,0 y,0 = xy,0 R C x x,0 mit den Körperopertionen verträglich in C einbetten und R ls Teiloder Unterkörper von C uffssen. Stt x, 0 schreiben wir x; insbesondere 0 sttt 0,0 und 1 nstelle von 1,0 = e 1. Schreibe weiter: e 2 = 0,1 =: i imginäre Einheit ; dnn ht jedes z = x,y C die Drstellung z = xe 1 + ye 2 = x + iy, x,y R. Dbei heissen x =: Rez Reltiel von z, y =: Im z Imginärteil von z. Es gilt: i 2 = 0,1 0,1 = 1; ds heisst die Gleichung z = 0 ht in C die Lösungen ±i. Rechnen in C. 30

36 Kpitel II. Die reellen Zhlen i Ws sind Rel- und Imginärteil der Zhl 2 + i 1? Stelle z = 2 + i C dr ls 2,1 R 2. Gemäss II.4 ht z 1 die Drstellung z 1 = 1 5 2, 1 = i. 2 Probe: 2 + i i =... = 1. Konjugtion Zu z = x + iy C sei die zu z konjugierte komplexe Zhl. z := x iy y z = x + iy x y z Bemerkung: ii z C: zz = x + iy x iy = x 2 iy 2 = x 2 i 2 y 2 = x 2 + y 2 = z 2. iii z 1,z 2 C: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2. iv z,w C: zw 2 i = zwzw = zwz w = zzww = z 2 w 2 zw = z w. Wie für den Absolutbetrg in R. Wir schreiben dfür z nstelle von z. ii 2 + i 2 i = 2 + i 2 i 2 + i 2 + i = i = i. Gibt es eine mit den Körperopertionen verträgliche Ordnung uf C? - Nein, sonst wäre gemäss Korollr 1.5.iii und mit 1 = 1 2 > 0 folgt: i = 1 + i 2 > 0. Hingegen ist C im Unterschied zu R lgebrisch vollständig: Nicht nur die Gleichung z = 0 ht in C die Lösungen z = ±i, sondern es gilt der 31

37 Kpitel II. Die reellen Zhlen Fundmentlstz der Algebr: Jedes Polynom pz = z n + n 1 z n vom Grnd n 1 ht in C mindestens eine Nullstelle. 32

38 Kpitel III Folgen und Reihen 1 Folgen Beispiele von reellen Zhlenfolgen, ds heisst Abbildungen N R n n. Wir schreiben n n N = 1, 2, 3,... i Die Fiboncci Zhlen: F 0 = 1, F 1 = 1, F n+1 = F n + F n 1, n 2 ii n = n n, n N. Anlog können wir ntürlich uch Folgen in C, in R n oder in nderen Räumen betrchten. 1.1 Grenzwert einer Folge Sei n n N eine Folge in R, R. Definition 1.1.1: n n N konvergiert gegen, flls gilt: ε > 0 n 0 = n 0 ε N, n n 0 : n < ε ε: Fehlerschrnke In diesem Fll heisst der Grenzwert oder Limes von n n N und wir schreiben: = lim n n oder n n. i n = 1 n 0 n. Beweis: Sei ε > 0 beliebig gewählt. Bestimme n 0 = n 0 ε gemäss Korollr mit 0 < 1 n 0 < ε. Es folgt für lle n n 0 : ε < 0 < 1 n 1 n 0 < ε, ds heisst 1 n 0 < ε. 33

39 Kpitel III. Folgen und Reihen ii Sei q R mit 0 < q < 1: lim n qn = 0. Beweis: Setze 1 q = 1 + δ mit δ > 0. Mit Bernoulli, Beispiel 1.6.v, folgt: 1 + δ n 1 + nδ nδ, n N 0 q n 1 = 1 + δ n 1, nδ n N. Zu ε > 0 wähle n 0 = n 0 ε gemäss i mit Dnn gilt für lle n n 0 : 1 n 0 < εδ, n n 0. 0 q n 1 nδ 1 n 0 δ < ε q n 0 < ε. iii lim n n = 1. n Beweis: Für,b R mit,b > 0 gilt: und somit n b n = b n 1 + b n 2 + b 2 n b n 1 } {{ } >0 b n b n. III.1 Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Bechte: n 1 + ε n = 1 + }{{} nε + ε ε 2 } {{ n } 0 0 nn 1 2 Wähle n 0 = n 0 ε so, dss gilt: Dnn gilt für n n 0 : Mit III.1 folgt: ε 2 n, flls n 1 ε n 0 1 ε 2 1 n ε ε n n n 0 2 }{{} ε ε n 1/n 1 1/n, n n 0 n n 1 ε. iv Seien p N und q R mit q < 1 fest. lim n np q n = 0. }{{} n 34

40 Kpitel III. Folgen und Reihen Beweis: Es genügt zu zeigen, dss n 0n, lso obda q 0. Setze s : = q 1/p = p q < 1. n = ns n p = n n s np. Wähle ε > 0 mit 1 s = 1 + ε2, dzu n 0 = n 0 ε nch iii mit n n < 1 + ε für n n0 n n s p p p = n 1 1 n 1 + ε 2 < =: A < ε Mit Beispiel ii folgt: Rechnen mit Grenzwerten: 0 n = n n s np < A n 0 n. Stz 1.1.1: Sei n n N sowohl gegen R ls uch gegen b R konvergent. Dnn folgt = b. Beweis: indirekt Annhme: b. Wähle ε = b 3 > 0 und dzu n 0 = n 0 ε mit n < ε, n n 0 und n b < ε, n n 0. Dnn folgt für n n 0 mit der Dreiecksungleichung: 3ε = b = n b n n + b n < 2ε. Widerspruch! Stz 1.1.2: Sei n, b n bn. Dnn folgt: i n + b n + b n ii n b n b n iii Flls b 0, b n 0, n N, so gilt n b n b n iv Flls n b n, n N, so gilt: b. Achtung: Flls n < b n, n N, so gilt im Allgemeinen nicht < b. n = 0 < 1 n = b n, n 0, b n 0 n. Beweis: Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. OBdA: ε 1. Wähle n 0 = n 0 ε mit n < ε, b n b < ε für n n 0. i n + b n + b = n + b n b n + b n b < 2ε. 35

41 Kpitel III. Folgen und Reihen ii Für n n 0 gilt: n b n b = n b n + b n b mit C = b. = n b n b + n b + b n b n b n b + n b + b n b } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } <ε <ε <ε <ε ε b ε Cε iii Wegen ii genügt es, n = 1 n N zu betrchten. OBdA gelte weiter 0 < ε < b 2, lso uch: b n = b + b n b b b n b } {{ } <ε b ε > b 2 für n n 0. Es folgt: 1 1 b n b = b b n bb n mit C = 2 b 2. iv Für n n 0 : 2 b 2 ε = Cε 2 b b n b 2 = } {{ n + } n n + ε <ε b n + ε = b n b + b + ε } {{ } <ε b + 2ε D ε > 0 beliebig, folgt die Behuptung. n = 3n4 7n n 4 + 6n 2 + 3n = 3 7n 1 + 5n n 2 + 3n n Bemerkung: i Nicht jede Folge n n N konvergiert. Zum Beispiel konvergieren folgende Folgen nicht: n = 1 n, n N n = n, n N Fiboncci-Zhlen: Mit F 0 = 1,F 1 = 1, F n+1 = F n + F n 1 n 2 folgt durch Induktion F n n, n N. Flls n n N nicht konvergiert, so heisst n n N divergent. 1.2 Monotone Konvergenz Sei n n N eine Folge in R. 36

42 Kpitel III. Folgen und Reihen Definition 1.2.1: n n N heisst nch oben unten beschränkt, flls gilt b R, n N : n b bzw. b n ; ds heisst flls die Menge A = { n n N} nch oben unten beschränkt ist. Stz 1.2.1: Flls n n N konvergent ist, dnn ist n n N beschränkt. Beweis: Sei = lim n n, n 0 N so gewählt, dss n < 1 für n n 0, ds heisst ε = 1. Für n n 0 gilt: Setze n = n + n + } {{ } < C := mx{ + 1, 1, 2,..., n0 } n + 1 C, n n 0 n C, n N Beschränktheit ist lso notwendig, jedoch nicht hinreichend für Konvergenz. n = 1 n, n N. Stz 1.2.2: Sei n n N nch oben beschränkt und monoton wchsend, d.h. Dnn ist n n N konvergent. Beweis: Betrchte die Menge n n+1..., n N. A = { n n N}. Nch Vorussetzung ist A R nch oben beschränkt. Also existiert = supa = sup n. n N Behuptung: = lim n n. Beweis: Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Nch Lemm II existiert n 0 N mit n0 > supa ε = ε Wegen der Monotonie folgt dnn für n n 0 : ε < n0 n = sup n < + ε, n N lso n < ε, n n 0. i Eulersche Zhl. Betrchte die Folgen n = 1 + n 1 n, b n = 1 + n 1 n+1, n N 37

43 Kpitel III. Folgen und Reihen Behuptung 1: 2 = 1... n n+1 < b n+1 b n... b 1 = 4, n N. Beweis: n n 1 = Anlog gilt: = = b n 1 b n = n n+1 n n n 1 n n 1 n 1 n n 2 n 1 n = n 1 n 2 n 1 Bernoulli n 1 1 = 1 n 1 1 n 2 n n n n n n n 2 n 1 = n = n 1 n n n 1 + n 1 n 2 1 } {{ } n 1 n Nch Stz 2 existieren = lim n n, b = lim n b n und 2 n b b n 4. Behuptung 2: = b =: e, die Eulersche Zhl Beweis: 1 b b n = n n 1 n. ii Sei c > 1. Wir zeigen, dss die Folge n n N mit 1 = c, n+1 = 1 n + c = n + c 2 n, n N 2 n 2 n gegen c konvergiert. Behuptung 1: 2 n c, n+1 n, n N. Beweis: Mit n+1 = n + c 2 n 2 n folgt: 2 c 2 n+1 = 2 n + c 2 2 n + n c > 1. 2 n } {{ } 0 Behuptung 2: n 1, n N. Beweis: Induktion n = 1 n n + 1 : n+1 = 1 n + c Ind.Ann. 1 2 n 2 n 1 n, lso folgt mit Behuptung 1 n 1. 38

44 Kpitel III. Folgen und Reihen Nch Stz 2 und Behuptung 1 existiert lso 1 = lim n n = lim n n + c 2 n 2 n 2 = c = c. n 0, mit Behuptung 1 folgt n 1. Also existiert = lim n n und mit dem Stz 11.2 = + c 2 2, = + c 2 2, 2 = c; = c. 1.3 Teilfolgen, Häufungspunkte Mnchml knn es nützlich sein, Teilfolgen einer vorgelegten Folge zu betrchten. Definition 1.3.1: Sei n n N eine Folge in R, Λ N eine unendliche Teilmenge von N, N Λ; n ln eine monotone Abzählung von Λ. Dnn heisst n n Λ = ln n N die durch Λ bestimmte Teilfolge von n n N. i n = 1 n, n N, ht die konstnten Teilfolgen 2k k N, 2k 1 k N. Definition 1.3.2: Sei n n N eine Folge. Die Zhl R heisst Häufungspunkt von n n N, flls gilt: ε > 0, n 0 N n n 0 : n < ε. ii n = 1 n, n N, ht die Häufungspunkte = +1, b = 1. und b sind zugleich Grenzwert der Teilfolgen 2k k N bzw. 2k 1 k N Vergleiche: n n ε > 0, n 0 = n 0 ε, n n 0 : n < ε. Stz 1.3.1: Sei n n N eine Folge in R, und sei R. Es sind äquivlent: i ist Häufungspunkt von n n N. ii Es gibt eine Teilfolge n n Λ mit n n, n Λ. Beweis: ii i. Sei = lim n n Λ n, ds heisst ε > 0 l 0 = l 0 ε Λ, l l 0, l Λ : l < ε. Seien ε > 0, n 0 N vorgegeben. D Λ unendlich ist, gibt es l Λ mit l mx{n 0,l 0 ε} und l < ε; ds heisst ist Häufungspunkt von n n N i ii 39

45 Kpitel III. Folgen und Reihen Wir konstruieren induktiv der Reihe nch ein Λ = {ln n N} mit l l,l Λ wie folgt. Zu ε = 1, n 0 = 1 wähle l 1 = l1 1 mit l1 < ε = 1. Seien l1 l2... ln bereits konstruiert, ln n. Für ε = 1 n+1, n 0 = ln + 1 n + 1 wähle l n+1 = ln + 1 n 0 mit ln+1 < ε = 1 n + 1. D mit l = ln uch n, folgt: l < 1 0 l,l = ln Λ; n ds heisst l l,l Λ. Limes superior, Limes inferior: Sei n n N beschränkt, ds heisst Betrchte die Folge b n n N mit C R, n N : n C. b n = sup{ k k n} =: sup k, k n n N mit b n+1 b n, b n C, n N. Nch Stz monotone Konvergenz existiert der Limes superior von n n N. b = lim b n =: limsup k, n k Anlog existiert der Limes inferior lim inf k = lim inf k. k n k n Lemm 1.3.1: b = limsup k k ist Häufungspunkt von n n N, und zwr der grösste Häufungspunkt dieser Folge. Anlog ist liminf k k der kleinste Häufungspunkt. Beweis: i Seien ε > 0, k 0 N vorgegeben. D b n = sup k b = limsup k k n k n, gibt es n 0 = n 0 ε mit b ε < b n = sup k < b + ε, n n 0. k n OBdA n 0 k 0. Fixiere n = n 0. Nch Lemm II gibt es k 1 n = n 0 k 0 mit k1 sup k ε = b n ε > b 2ε. k n 40

46 Kpitel III. Folgen und Reihen Andererseits gilt: lso k1 sup k = b n < b + ε k n k1 b < 2ε, k 1 k 0. b ist lso Häufungspunkt von n n N. ii Flls l l,l Λ, so folgt mit l sup k = b l, k l l Λ und Stz die Ungleichung b. Insbesondere folgt mit Stz 1: Stz 1.3.2: Bolzno-Weierstrss Jede beschränkte Folge in R besitzt eine konvergente Teilfolge. Stz 1.3.3: Sei n n N beschränkt, R. Es sind äquivlent: i n n, ii liminf k k = limsup k k = iii Jede Teilfolge von n n N besitzt eine Teilfolge l l Λ mit l l, l Λ. ist unbhängig von der ursprünglichen Teilfolge Λ. Beweis: i iii Mit n n N konvergiert uch jede Teilfolge l l Λ gegen. iii ii Wähle Teilfolgen l l Λi, i = 1,2, mit l liminf k k l,l Λ 1 bzw. l limsup k l,l Λ 2. k Nch Lemm 1 sind liminf k k und limsup k k Grenzwerte von Teilfolgen von n n N und ii folgt us iii. ii i Zu ε > 0 wähle n 0 = n 0 ε mit ε < inf k sup k < + ε, n n 0 k n k n ε liminf k = lim inf k n + ε limsup k = lim k n Fixiere n = n 0. D für k n = n 0 gilt: inf k k k n 0 k n k sup k, k n 0 sup k. k n folgt: k < ε, k n 0. 41

47 Kpitel III. Folgen und Reihen iii Betrchte die Folge g n n N mit g 1 = 1, g n+1 = g n, n N Offenbr gilt 1 g n 2, n N, ds heisst g n n N ist beschränkt. Jedoch ist g n n N = 1,2, 32, 53,... nicht monoton. Mit folgt: g n+2 g n = g n+2 = g n D g 3 > g 1, ist die Teilfolge mit g n g n = n = g 2n 1, = 1 + 2g n 1 + g n = g n g n g n g n 1 + g n 2, n 3. n N 1 n n+1 2, n N, monoton wchsend. D g 4 < g 2, ist nlog die Teilfolge mit b n = g 2n, n N 2 b n b n+1 1, n N monoton fllend. Nch Stz existieren die Grenzwerte und mit folgt lso = lim n n, g 2n+1 = g 2n, b = lim n b n, n N = b, b = 1 + 1, b = 1 + b = 1 + ; ds heisst = b =: g = lim n g n mit g = g : der goldene Schnitt. Bemerkung: i h = 1 g erfüllt 1 h = 1 + h, 1 h = 1 h h = h oder 1 h = h 1 h. D jede Teilfolge g l l Λ von g n n N entweder eine Teilfolge der Art g 2m m M oder g 2m 1 m M für ein M N enthält mit lim m m M g 2m 1 =, bzw. lim m m M folgt mit Stz 3 Konvergenz g n g n. g 2m = b =, 42

48 Kpitel III. Folgen und Reihen Cuchy-Folgen Sei n n N eine Folge in R. Definition 1.4.1: n n N heisst Cuchy-Folge, flls gilt: ε > 0 n 0 = n 0 ε, n,l n 0 : n l < ε. Stz 1.4.1: Konvergente Folgen sind Cuchy-Folgen. Beweis: Es gelte n n. Zu ε > 0 wähle n 0 = n 0 ε mit n < ε, n n 0. Dnn gilt l,n n 0 : n l n + l < 2ε. Gilt uch die Umkehrung? Stz 1.4.2: Cuchy-Folgen in R sind konvergent. Beweis: i Wir zeigen: Cuchy-Folgen sind beschränkt. Sei n n N eine Cuchy-Folge. Zu ε = 1 wähle n 0 = n 0 ε mit Dnn folgt für l = n 0 : n l < ε = 1, n,l n 0. n n0 + 1, n n 0. n mx{ 1,..., n0 } + 1, n N. ii Nch Stz Bolzno-Weierstrss gibt es eine Teilfolge l l Λ mit l l,l Λ. Zu ε > 0 wähle n 0 = n 0 ε mit n l < ε für n,l n 0 und zudem l 0 = l 0 ε mit l < ε für l l 0,l Λ. Für l Λ, l mx{l 0,n 0 } folgt: n n l + l < 2ε, n n 0. Stz 1 und Stz 2 liefern ein hndliches Kriterium für die Konvergenz einer Folge in R, wobei mn den möglichen Grenzwert nicht bereits kennen muss. i Hrmonische Reihe. Betrchte n = n = n k=1 1 k, n N. n n N ist divergent nch Stz 1, d zum Beispiel gilt: 2n n = 1 n n n 2n 2n = 1 2, n N. } {{ } n Summnden Also ist n n N keine Cuchy-Folge, nch Stz 1, dher uch nicht konvergent. 43