Joachim Gräter Timo Hanke. Elemente der Analysis

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1 Jochim Gräter Timo Hnke Elemente der Anlysis Potsdm, Oktober 2002

2 Prof. Dr. J. Gräter, Dr. T. Hnke Universität Potsdm, Institut für Mthemtik Am Neuen Plis 0, 4469 Potsdm Die neueste Version dieses Skriptes ist erhältlich unter http: /users.mth.uni-potsdm.de/ greter/

3 3 Inhltsverzeichnis Kpitel. Grundlgen 5. Logische Zeichen Mengen Abbildungen Die reellen Zhlen Folgerungen us dem Stz vom Supremum Aufgben Kpitel 2. Folgen und Reihen 20. Folgen Reihen Aufgben Kpitel 3. Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 37. Stetige Funktionen Grenzwerte von Funktionen Aufgben Kpitel 4. Differentilrechnung 50. Differenzierbre Funktionen Der Mittelwertstz Lokle Extremwerte Aufgben Kpitel 5. Integrlrechnung 70. Integrtion ls Umkehrung der Differentition Ds Riemnn-Integrl Die Huptsätze Uneigentliche Integrle Die Bogenlänge Aufgben Index 07

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5 KAPITEL Grundlgen. Logische Zeichen Sind A und B Aussgen, so können uf folgende Weise neue Aussgen gebildet werden: A B A und B A B A oder B A nicht A A B Aus A folgt B A B A genu dnn, wenn B Ist A whr, so ist A flsch und umgekehrt. Die Whrheitswerte (w = whr und f = flsch) der nderen Aussgen ergeben sich us den Whrheitswerten von A und B gemäß der folgenden Tbellen: w f w w f f f f w f w w w f w f w f w w f f w w w f w w f f f w Die logischen Zeichen und nennt mn Junktoren. Eine Aussge der Form A B bezeichnet mn ls Impliktion, und mn sgt: A impliziert B. Gilt A B, so sgt mn, die beiden Aussgen A und B sind äquivlent oder gleichwertig. Ist A eine Menge und A(x) eine für lle Elemente x von A definierte Aussge, dnn bedeutet: x A : A(x) x A : A(x) Für lle Elemente x der Menge A gilt die Aussge A(x). Es gibt ein Element x der Menge A, für ds die Aussge A(x) gilt. Dbei heißen Allquntor und Existenzquntor. x A : A(x) und x A : A(x) sind selbst uch wieder Aussgen.

6 6 Für die Negtion von Aussgen gelten die folgenden Regeln: Negtionen von Aussgen: (A B) A B, (A B) A B, x A : A(x) x A : A(x), x A : A(x) x A : A(x). Beispiel.. Die Aussge,,3 ist kleiner ls 6 ist whr. 2. Die Aussge,,Jede gerde ntürliche Zhl größer ls 2 ist Summe von zwei Primzhlen ist whr oder flsch. Allerdings ist bis heute nicht beknnt, welcher der beiden Whrheitswerte zutrifft. 3. Die Aussgen,,p ist ein Primteiler von 6 und,,p = 2 p = 3 sind äquivlent. 4. Ist Q die Menge der rtionlen Zhlen, so ist die Aussge q Q r Q : r + r = q whr, denn sie besgt, dß jede rtionle Zhl durch 2 teilbr ist. Flsch dgegen ist die Aussge q Q r Q : r r = q, denn sie besgt, dß jede rtionle Zhl ein Qudrt ist. Whr ist dher die Negtion q Q r Q : r r q, die besgt, dß es eine rtionle Zhl gibt, die kein Qudrt in Q ist. Um dieses zu zeigen, brucht lediglich eine rtionle Zhl ngegeben zu werden, die in Q kein Qudrt ist, zum Beispiel 2. Beweismethoden im Zusmmenhng mit logischer Äquivlenz:. Der Widerspruchsbeweis beruht uf der Ttsche, dß A B und (A B) äquivlent sind (ds knn z.b. leicht mit Hilfe der oben ngegebenen Tbellen überprüft werden). Sttt A B zu beweisen zeigt mn, dß A B flsch ist. Es wird lso A B zum Widerspruch geführt. 2. Die Kontrposition beruht uf der Ttsche, dß A B und B A äquivlent sind (uch ds knn z.b. leicht mit Hilfe der oben ngegebenen Tbellen überprüft werden). Sttt A B zu beweisen zeigt mn, dß B A whr ist. Beispiele hierzu werden in den folgenden Abschnitten behndelt.

7 7 2. Mengen Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreibt mn x M, nderenflls x / M. Beispiele für Mengen sind: die leere Menge, N = {, 2,...} die Menge der ntürlichen Zhlen, Z die Menge der gnzen Zhlen, Q die Menge der rtionlen Zhlen, R die Menge der reellen Zhlen, C die Menge der komplexen Zhlen. Die leere Menge ist ddurch chrkterisiert, dß sie keine Elemente ht. Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge M, wenn jedes Element von A uch Element von M ist. Mn schreibt dnn A M : A M x A : x M. Gilt A M und A M, so heißt A echte Teilmenge von M, geschrieben: A M. Für jede Menge M gilt M M und M. Ist für lle Elemente x us M die Aussge A(x) definiert, so ist A := {x M A(x)} eine Teilmenge von M, und jedes x us M ist genu dnn in A, wenn A(x) whr ist. Beispiel. A = {n N n ist ein Qudrt und n 0} = {, 4, 9}. Definition 2. Stz 2.2 Sind A und B Teilmengen der Menge M, so heißen A B := {x M x A x B} Vereinigung, A B := {x M x A x B} Durchschnitt und A \ B := {x M x A x B} Differenz von A und B. CA := M \ A heißt Komplement von A. Sind A und B Teilmengen der Menge M, so gilt i) C(A B) = CA CB. ii) C(A B) = CA CB. Beweis. i) Für jedes x us M gilt: x CA CB x CA x CB x A x B (x A x B) (x A B) x C(A B). Für jedes x M folgt somit x CA CB x C(A B), d.h. CA CB = C(A B). ii) beweist mn nlog.

8 8 Definition 2.3 I sei eine Indexmenge und für jedes i I sei A i eine Teilmenge der Menge M. Dnn heißen A i := {x M i I : x A i } Vereinigung und i I A i := {x M i I : x A i } Durchschnitt i I der A i, i I. Beispiel. Sei I = N sowie A i = {x Q 0 < x < } und B i i = {x Q 0 x < }. i Dnn gilt A i = und B i = {0}. i N i N A, B seien Mengen und A, b B. Dnn heißt (, b) geordnetes Pr. Sind, A und b, b B, so definiert mn (, b) = (, b ) : = b = b, A B := {(, b) A, b B}. A B ist eine Menge und heißt Produktmenge von A und B. Entsprechend definiert mn A... A n = {(,..., n ) A,..., n A n } ls Produkt der Mengen A,..., A n. Die Elemente (,..., n ) von A... A n heißen n- Tupel. A n := A... A = {(,..., n ),..., n A}. Definition 2.4 Ist A eine Menge, so heißt die Menge ller Teilmengen von A die Potenzmenge von A, geschrieben: (A). Beispiel.. A =. (A) = { }. 2. A = {}. (A) = {, {}}. 3. A = {, b}. (A) = {, {}, {b}, {, b}}. 4. A = {, b, c}. (A) = {, {}, {b}, {c}, {, b}, {, c}, {b, c}, {, b, c}}. Definition 2.5 Ist A eine Menge, so bezeichnet A die Anzhl der Elemente von A. Ht A unendlich viele Elemente, so schreibt mn A =. Stz 2.6 Ist A eine endliche Menge mit n Elementen, so ht (A) genu 2 n Elemente: A = n (A) = 2 n.

9 9 Bevor wir Stz 2.6 durch vollständige Induktion beweisen, soll diese Beweismethode kurz vorgestellt werden. Beweis durch vollständige Induktion Ist A(n) für lle n Z, n n 0 eine Aussge, so ist A(n) für lle n Z, n n 0 whr, wenn folgendes gilt: (i) A(n 0 ) (Induktionsnfng). (ii) n n 0 : (A(n) A(n + )) (Induktionsschluß). Beispiel. A(n) : n = n(n + ), n N. 2 Behuptung: Für lle n N gilt A(n). Induktionsnfng: A() : = ( + ). 2 Induktionsschluß: n + n + = n(n + ) + n + = (n + )(n + + ). 2 2 A(n) Beweis von Stz 2.6: A(n) : A = n (A) = 2 n, n N 0 := N {0}. Induktionsnfng: A(0). A = 0 A = (A) = { } (A) = = 2 0. Induktionsschluß: A(n) A(n + ). A = n +, etw A = {, 2,..., n, n+ }. Definiere A := {,..., n }, lso A = n. Nch Induktionsvorussetzung gilt (A ) = 2 n, etw (A ) = {M, M 2,..., M 2 n}. Die M i sind genu die Teilmengen von A, die n+ nicht enthlten. Es folgt (A) = {M, M 2,..., M 2 n, M { n+ }, M 2 { n+ },..., M 2 n { n+ }}, d.h. (A) = 2 2 n = 2 n+. 3. Abbildungen Sind A und B Mengen, so heißt eine Vorschrift f, die jedem us A genu ein b us B zuordnet, eine Abbildung oder Funktion von A nch B, geschrieben f : A B. Wird us A ds Element b us B zugeordnet, so schreibt mn b oder f() = b. A heißt Definitionsbereich von f, und B heißt Bildbereich von f. Zwei Funktionen f : A B, f : A B heißen gleich, wenn A = A, B = B und f() = f () für lle A gilt.

10 0 Beispiel.. f : Z Z, x + x 2, g : Z N, x + x 2. D f und g verschiedene Bildbereiche hben, sind f und g verschieden. 2. f : Z Z, x 2 ( ( )x ). g : Z Z, x { 0 f und g sind gleich. flls x gerde ungerde. Definition 3. Ist f : A B eine Abbildung, so heißt f(a) := {b B A : f() = b} ds Bild von f, und f heißt surjektiv, wenn f(a) = B, d.h., wenn es zu jedem b B ein A mit f() = b gibt. Beispiel. f : R R, x x 2. Dnn ist f(r) = R + 0 := {x R x 0} ds Bild von f, und f ist nicht surjektiv. Hier wurde die Eigenschft von R benutzt, dß ein R genu dnn ein Qudrt in R ist, wenn 0. g : R R, x x 3. Dnn ist g(r) = R ds Bild von g, d.h., g ist surjektiv. Für die Berechnung von g(r) wurde usgenutzt, dß jede Gleichung x 3 = mit R in R lösbr ist. Definition 3.2 Ist f : A B eine Abbildung, so heißt f injektiv, wenn für lle, A gilt: f() = f( ) = =. Beispiel. f : R R, x x 2 ist nicht injektiv, d f() = f( ), ber. g : R R, x x 3 ist injektiv: Zunächst gilt für lle R : 3 = =, denn es gilt 3 0 flls 0 und > > 2 > 3 flls 0 < < sowie < < 2 < 3 flls <. Wir zeigen nun, dß g injektiv ist: Gilt x 3 = y 3 und x = 0, dnn folgt x 3 = 0, lso y 3 = 0 und y = 0 = x. Gilt x 3 = y 3 und x 0, dnn folgt = ( ) y 3, x lso y =, d.h. x = y. x Für den Nchweis der Injektivität von g wurden wesentlich die Ordnungseigenschften von R usgenutzt. Definition 3.3 Ist f : A B eine Abbildung, so heißt f bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Zum Beispiel ist g : R R, x x 3 bijektiv.

11 Die Hintereinnderschltung (Komposition) von Abbildungen. Sind f : A B und g : B C Abbildungen, so definiert mn g f : A C, g(f()). g f heißt Komposition von g und f, und g f ist uch definiert, wenn f(a) nur im Defintionsbereich von g enthlten ist. Beispiel. f : Z N 0, z z 2. g : N 0 Z, n 2n 9, g f : Z Z, z 2z 2 9, f g : N 0 N 0, n 4n 2 36n + 8. Im llgemeinen gilt g f f g. Stz 3.4 Sind f : A B, g : B C Abbildungen, so gilt i) f, g surjektiv = g f surjektiv. ii) f, g injektiv = g f injektiv. iii) f, g bijektiv = g f bijektiv. Beweis. i) Zu jedem c C gibt es b B mit g(b) = c, d g surjektiv. Zu b gibt es A mit f() = b, d f surjektiv. Also (g f)() = g(f()) = g(b) = c. ii) Gilt (g f)() = (g f)( ), so folgt g(f()) = g(f( )) und f() = f( ), d g injektiv ist. D f injektiv ist, folgt =. iii) folgt us i) und ii). Stz 3.5 f : A B ist bijektiv Es gibt g : B A mit g f = id A und f g = id B. Bemerkung. Für jede Menge C ist id C : C C, c c die identische Abbildung von C. Beweis : D f surjektiv ist, existiert zu jedem b B ein A mit f() = b, und d f injektiv ist, ist eindeutig bestimmt. g : B A sei nun die Funktion, die jedem b = f() genu dieses zuordnet. (g f)() = folgt sofort nch Definition von g, d.h. g f = id A. Jedes b B läßt sich in der Form b = f() schreiben, lso (f g)(b) = (f g)(f()) = f(g(f()) = f() = b, d.h. f g = id B. : Für jedes b B gilt b = id B (b) = f(g(b)) f(a), d.h. f ist surjektiv. Für, A gilt: f() = f( ) g(f()) = g(f( )) =, d.h. f ist injektiv.

12 2 4. Die reellen Zhlen Im folgenden sollen grundlegende Eigenschften der reellen Zhlen ohne Beweise ufgelistet werden. Alle übrigen Eigenschften von R und weitere Resultte der reellen Anlysis lssen sich dnn hierus bleiten. Die genue Definition und Begründung von R soll hier im Einzelnen nicht vorgenommen werden. Dzu sei uf die Vorlesung Algebr und Arithmetik verwiesen, in der R zum Beispiel ls Vervollständigung von Q bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrges eingeführt wird. Diese Eigenschft legt R im wesentlichen eindeutig fest. Ds Axiomensystem von R zerfällt in drei Axiomengruppen: Die Körperxiome (Axiome -6). Die Anordnungsxiome (Axiome 7-9). Ds Stetigkeitsxiom (Axiom 0). Die Körperxiome ) In R sind eine Addition + und eine Multipliktion definiert. 2) Die Addition ist ssozitiv:, b, c R : ( + b) + c = + (b + c). b) Die Multipliktion ist ssozitiv:, b, c R : ( b) c = (b c). 3) Die Addition ist kommuttiv:, b R : + b = b +. b) Die Multipliktion ist kommuttiv:, b R : b = b. 4) R besitzt bezüglich der Addition ein neutrles Element 0: R : + 0 =. b) R besitzt bezüglich der Multipliktion ein neutrles Element : R : =. c) 0. 5) Jedes R ht bezüglich + ein Inverses: R b R : + b = 0. b) Jedes R \ {0} ht bezüglich ein Inverses: R \ {0} b R : b =. 6) Es gilt ds Distributivgesetz:, b, c R : (b + c) = b + c. Bemerkung.. Die Axiome -6 besgen gerde, dß R ein Körper ist. 0 und sind durch 4) und 4b) eindeutig bestimmt. 2. Ds zu jedem R wegen 5) existierende b R mit + b = 0 ist eindeutig durch bestimmt und wird mit bezeichnet, lso + ( ) = 0. Es folgt ( ) =. Abkürzend schreibt mn uch sttt + ( ) für lle, R. 3. Ds zu jedem R \ {0} wegen 5b) existierende b R mit b = ist eindeutig durch bestimmt und wird mit bezeichnet, lso =. Es folgt ( ) =. Abkürzend schreibt mn uch sttt für lle, R, 0.

13 3 4. Wegen Axiom 4b) gilt R. Ist nun weiterhin n eine ntürliche Zhl mit n R, so folgt n + R, d R bezüglich + bgeschlossen ist. Somit ist N R gezeigt, und Z R ergibt sich jetzt unmittelbr us den Axiomen 4) und 5). Schließlich ist R für lle n N wegen Axiom 5b) und dmit m R für lle n N, m Z, d R n n bezüglich bgeschlossen ist, d.h. Q R. Die Elemente von R \ Q heißen irrtionl. 5. Aus den Axiomen -6 lssen sich bereits viele Rechenregeln für die reellen Zhlen bleiten. Dzu folgende Beispiele. () Für lle R gilt 0 = 0. Beweis: 0 = ( 0) + 0 = ( 0) + (0 + 0) = ( 0) = 0. (b) Für lle, b R gilt ( b) = ( b). Beweis: Wegen 0 = 0 = (b + ( b)) = b + ( b) folgt ( b) = ( b). Die Anordnungsxiome 7) In R ist eine linere Ordnung definiert, d.h. () ist reflexiv: R :. (b) ist trnsitiv:, b, c R : (( b b c) = c). (c) ist ntisymmetrisch:, b R : (( b b ) = = b). (d) ist liner:, b R : ( b b ). 8) ist mit der Addition verträglich:, b, c R : ( b = + c b + c). 9) ist mit der Multipliktion verträglich:, b, c R : (( b c 0) = c b c). Bemerkung.. Die Axiome -9 besgen gerde, dß R ein ngeordneter Körper ist. 2. Gilt b, so schreibt mn b, und < b bzw. b > bedeutet b, b. Gilt > 0, so heißt positiv und negtiv, wenn < 0. Offenbr ist genu dnn positiv, wenn negtiv ist (vgl. Axiom 8). 3. Mit Hilfe der Axiome -9 lssen sich bereits wesentliche Eigenschften der reellen Zhlen beweisen. Hierzu zwei Beispiele. () Für lle R gilt 2 0. Beweis: Gilt 0, so folgt 2 0 unmittelbr wegen Axiom 9. Gilt jedoch 0, so folgt 0, lso 2 = ( ) = ( ) 2 0. (b) Für lle R, und lle n N gilt die Bernoullische Ungleichung: ( + ) n + n. Beweis durch Induktion nch n. Für n = gilt die Behuptung offensichtlich. Gilt nun (+) n +n, so folgt (+) n+ = (+) n (+) (+n)(+) = + (n + ) + n 2 + (n + ), und dmit die Behuptung für n +.

14 4 Definition 4. Ist R, so heißt := der Absolutbetrg oder Betrg von. flls 0 < 0 Bemerkung. Mn überzeugt sich leicht dvon, dß für lle, b R gilt 0, =, b = b und = mx{, }. Stz 4.2 Für lle, b R gilt + b + b und b b. Beweis. Wir zeigen zunächst die erste Ungleichung. Wegen und b b folgt + b + b, und wegen und b b folgt ( + b) + b. Insgesmt ist lso + b = mx{ + b, ( + b)} + b. Die zweite Ungleichung ergibt sich folgendermßen us der ersten: = b + b b + b = b b. Entsprechend gilt b b, lso b b. Bemerkung. Die Ungleichung + b + b heißt Dreiecksungleichung. In der reellen Anlysis spielen die offenen und bgeschlossenen Intervlle eine zentrle Rolle: Sind, b R, b, so heißt [, b] := {x R x b} bgeschlossenes Intervll mit den Grenzen und b und (, b) := {x R < x < b} offenes Intervll mit den Grenzen und b. Die folgenden Teilmengen von R werden ebenflls ls Intervlle bezeichnet: (, b] := {x R < x b}, (, b] := {x R x b}, (, b) := {x R x < b}, (, ) := R. [, b) := {x R x < b}, [, ) := {x R x}, (, ) := {x R < x}, Weitere wichtige Begriffe in diesem Zusmmenhng sind obere Schrnke und Supremum sowie untere Schrnke und Infimum. Dzu folgende Definition 4.3 Ist M R eine Teilmenge von R, dnn heißt R obere Schrnke von M, wenn x für lle x M gilt. heißt Supremum von M, wenn die kleinste obere Schrnke von M ist. M heißt nch oben beschränkt, wenn M eine obere Schrnke ht.

15 5 Bemerkung. Entsprechend definiert mn die Begriffe untere Schrnke und Infimum. M heißt nch unten beschränkt, wenn M eine untere Schrnke ht, und beschränkt, wenn M nch oben und nch unten beschränkt ist. Beispiel. Ist < b, so sind die Intervlle (, b), (, b], [, b] und [, b) beschränkt und hben ds Supremum b sowie ds Infimum. Die Intervlle (, ), [, ) sind nicht nch oben beschränkt und hben ds Infimum, während (, b) und (, b] nicht nch unten beschränkt sind und ds Supremum b hben. Nun sind die notwendigen Begriffe eingeführt, um ds noch fehlende Stetigkeitsxiom für R zu formulieren. Ds Stetigkeitsxiom 0) Ist M R eine nichtleere Teilmenge von R, die in R nch oben beschränkt ist, so existiert in R ds Supremum von M. Bemerkung.. Auf der Menge Q der rtionlen Zhlen sind ebenflls Addition, Multipliktion und eine linere Ordnung definiert, so dß Q bezüglich dieser ein ngeordneter Körper ist. Der wesentliche Unterschied zu R besteht drin, dß es in Q beschränkte nichtleere Mengen gibt, die kein Supremum oder Infimum in Q besitzen. Dieses wird später noch genuer erörtert. C ist zwr ein Körper, ber bezüglich keiner Anordnung ein ngeordneter Körper, denn bei jeder Anordnung wäre > 0, d ein Qudrt ist, lso < 0. In C ist ber ebenflls ein Qudrt. 2. Axiom 0 heißt uch Stz vom Supremum. Hier ist es ber kein beweisbrer Stz, sondern ein Axiom. Entsprechend formuliert mn den Stz vom Infimum, den mn folgendermßen us Axiom 0 bleiten knn: Ist M R eine nichtleere Teilmenge von R, die in R nch unten beschränkt ist, so ist M := { m m M} nicht leer und nch oben beschränkt. Wegen Axiom 0 existiert ds Supremum s von M. Offenbr ist s ds Infimum von M. Wie der Stz vom Supremum (Axiom 0) konkret benutzt werden knn, zeigt ds folgende Beispiel. Zu jedem R, > 0 und n N existiert ein b R, b > 0 mit b n =. Beweis. Wir definieren M := {x R x > 0 x n }. Gilt, so folgt M, und gilt <, so folgt M, d.h. M ist nicht leer. Wir zeigen nun, dß + eine obere Schrnke von M ist. Gibt es ein x M mit + < x, lso ( + ) n < x n, so ergibt sich us der Bernoullischen Ungleichung der Widerspruch > ( + ) n + n. Folglich ist x + für lle x M. Dmit sind die Vorussetzungen für den Stz vom Supremum erfüllt, d.h., ds Supremum b von M existiert, b > 0. Zu zeigen bleibt, dß weder b n < noch b n > gelten knn, und somit b n = gilt. Annhme: b n <, lso 0 < bn < und 0 < ( bn ) <, d.h. 0 < ( bn ) <. n n n Definieren wir y := ( bn ), so gilt 0 < y < und n yn = ( ( bn n ))n bn wegen der

16 6 Bernoullischen Ungleichung. Also ist ( b y )n, d.h. b M und b b, d b ds Supremum y y von M ist. Somit erhlten wir den Widerspruch y. Annhme: < b n, lso 0 < < und 0 < ( ) <, d.h. 0 < ( ) <. b n n b n n n b n Definieren wir y := ( ), so gilt 0 < y < und y n, lso yb < b und (yb) n. n b n b n D b ds Supremum von M ist, existiert ein x M mit yb < x b, und es folgt der Widerspruch (yb) n < x n. Ergänzung: b R, b > 0 mit b n = ist sogr eindeutig bestimmt, denn ist c R, c > 0 mit c n = und b < c, so folgt 0 < b <, lso 0 < ( b c c )n <, im Widerspruch zu ( b c )n = bn = =. c n Mn schreibt b = n und nennt b die n-te Wurzel us. 5. Folgerungen us dem Stz vom Supremum In diesem Abschnitt beweisen wir drei wichtige Folgerungen us dem Stz vom Supremum. Stz 5. Zu jedem x R gibt es ein n N mit x < n. Beweis. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Annhme: Für lle n N gilt n x. Dnn ist x eine obere Schrnke von N in R, und wegen des Stzes vom Supremum existiert ds Supremum s von N in R. Dmit ist s keine obere Schrnke von N, lso s < n für ein n N. Es folgt der Widerspruch s < n + N. Bemerkung. Die Aussge von Stz 5. bezeichnet mn uch ls Archimedisches Axiom. Hier ist es jedoch kein Axiom von R, sondern ein beweisbrer Stz. Einfche Folgerungen.. Ist x R, so gibt es ein n Z mit n x < n +. Beweis. Sei zunächst 0 x und M = {n N 0 n x}. Dnn gilt 0 M. Wäre für jedes n M uch n + M, so wäre N 0 M, lso n x für lle n N im Widerspruch zu Stz 5.. Also gibt es ein n M mit n + M, d.h. n x < n +. Gilt x < 0, so gibt es ein n N 0 mit n x < n +, lso n < x n. Ist x = n, so folgt n x < n Sind x, y R, x > 0, so gibt es ein n N mit y < nx. Beweis. Es gibt ein n N mit y x < n. 3. Ist x R, x > 0, so gibt es ein n N mit < nx, lso 0 < n < x. Beweis. Wähle y = in Folgerung Sind x, y R mit x < y, so gibt es ein q Q mit x < q < y (d.h., Q ist dicht in R). Beweis. Wegen Folgerung 3 gibt es m N mit < m(y x) und wegen Folgerung gibt es ein n Z mit n mx < n. Insgesmt gilt lso n < my und mx < n, lso x < n m < y.

17 7 Stz 5.2 Ist [, b ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ]... eine bezüglich der Inklusion bsteigende Folge von bgeschlossenen Intervllen, so gibt es ein x R, ds in jedem Intervll [ i, b i ], i N enthlten ist. Beweis. Wir definieren A = { i i N} und zeigen zunächst, dß jedes b j, j N eine obere Schrnke von A ist. Sei lso i A. Gilt i j, so folgt [ i, b i ] [ j, b j ] und dmit i j b j b i, d.h. i b j. Gilt ber j < i, so folgt [ j, b j ] [ i, b i ] und dmit j i b i b j, d.h. i b j. Wegen des Stzes vom Supremum existiert ds Supremum s von A mit i s b j für lle i, j N, lso s i N [ i, b i ]. Bemerkung.. Die Aussge von Stz 5.2 bezeichnet mn uch ls Intervllschchtelungsxiom. Hier ist es jedoch kein Axiom von R, sondern ein beweisbrer Stz. Genu genommen hben wir lso gezeigt, dß in einem geordneten Körper, in dem der Stz vom Supremum gilt, ds Archimedische Axiom und ds Intervllschchtelungsxiom gelten. Ohne Beweis sei kurz erwähnt, dß uch die Umkehrung gilt: In einem geordneten Körper, in dem ds Archimedische Axiom und ds Intervllschchtelungsxiom gelten, gilt uch der Stz vom Supremum. Dieses wird z.b. in der Vorlesung Algebr und Arithmetik gezeigt. 2. Ist (, b ) ( 2, b 2 ) ( 3, b 3 )... eine bezüglich der Inklusion bsteigende Folge von offenen Intervllen, so gibt es im llgemeinen kein x R, ds in jedem Intervll ( i, b i ), i N liegt. Dzu betrchten wir folgende streng bsteigende Folge offener Intervlle (0, ) (0, ) (0, ) (0, ).... Gäbe es ein x R mit x (0, ) für lle i i N, so wäre 0 < x < für lle i N im Widerspruch zu Folgerung 3 nch Stz 5.. i Der nächste Stz sgt us, dß die bgeschlossenen Intervlle [, b] eine für die Anlysis sehr wichtige Eigenschft hben, die mn ls Kompktheit bezeichnet. Diese Eigenschft ist sehr bstrkt, und es ist zunächst nicht ersichtlich, wie sie sinnvoll eingesetzt werden knn. In den folgenden Prgrphen wird sie jedoch wesentlich benutzt. Bevor nun Stz 5.3 formuliert werden knn, führen wir noch einige Begriffe ein. Ist I eine Indexmenge und M i für jedes i I eine Teilmenge von R, so heißt {M i i I} Überdeckung von [, b], wenn [, b] in der Vereinigung ller M i, i I liegt, lso [, b] i I M i. Gibt es bereits endlich viele der M i, die [, b] überdecken, z.b. [, b] M... M m, so sgt mn, dß es ein endliches Teilsystem von {M i i I} gibt, ds [, b] überdeckt. Zum Beispiel ist {(i, i + ) i Z} wegen Folgerung nch Stz 5. eine Überdeckung von R durch offene Intervlle. Offenbr wird R ber nicht durch endlich viele dieser Intervlle überdeckt. Stz 5.3 Sei I eine Indexmenge und M i für jedes i I ein offenes Intervll von R. Ist {M i i I} eine Überdeckung von [, b], so gibt es ein endliches Teilsystem von {M i i I}, ds [, b] überdeckt. Beweis. Zunächst definieren wir eine Teilmenge A R von R folgendermßen: x R liegt genu dnn in A, wenn x [, b] und wenn es ein endliches Teilsystem von {M i i I} gibt, ds [, x] überdeckt. D in einem der M i enthlten ist, wird {} = [, ] von einem endlichen Teilsystem von {M i i I} überdeckt, d.h. A. Dmit ist A nicht leer. Weiterhin ist b

18 8 eine obere Schrnke von A, so dß ds Supremum s von A existiert mit s [, b]. Also liegt s in einem M i, z.b. s M mit M = (, b ), d.h. < s < b. D ber s ds Supremum von A ist, gibt es ein x A mit < x s, und somit ein endliches Teilsystem von {M i i I}, ds [, x] überdeckt, z.b. [, x] M 2... M m. Wir zeigen jetzt b < b. Dnn folgt nämlich < x s b < b, lso [, b] = [, x] [x, b] M 2... M m M, und wir sind fertig. Annhme: b b. Dnn existiert ein y R mit s < y < b b, lso [, y] = [, x] [x, y] M 2... M m M, d.h. y A. Dieses ist ber ein Widerspruch dzu, dß s ds Supremum von A ist. Bemerkung. Die in Stz 5.3 für bgeschlossene Intervlle formulierte Eigenschft gilt für offene Intervlle nicht, wie folgendes Beispiel zeigt. Wegen Folgerung 3 nch Stz 5. gibt es zu jedem x (0, ) ein i N mit < x, lso x (, ). Dmit ist {(, ) i N} eine i i i Überdeckung von (0, ) durch offene Intervlle, die kein endliches Teilsystem enthält, ds (0, ) überdeckt. 6. Aufgben A 6. Zeigen Sie, dß die Aussgen A B und (A B) bzw. A B und B A für beliebige Aussgen A, B äquivlent sind. Erläutern Sie dieses Ergebnis. A 6.2 Formlisieren Sie die folgende Aussge: Ist ds Produkt zweier rtionler Zhlen negtiv, so ist genu einer dieser Fktoren negtiv. A 6.3 Formlisieren Sie folgende Aussge: Zu beliebigen reellen Zhlen und b existiert eine ntürliche Zhl n, so dß b kleiner ist ls n. Begründen Sie, dß die Aussge flsch ist, und bilden Sie ihre Negtion. A 6.4 Beweisen Sie x, y Q : (x < y q Q : x < q < y) und zeigen Sie, dß die Aussge x, y N : (x < y q N : x < q < y) flsch ist. A 6.5 Beweisen Sie für die Mengen A und B, die beide Teilmengen einer Menge M sind: CA B CB A A B = M. A 6.6 Es seien f : A B und g : B C zwei Abbildungen. Zeigen Sie: () Wenn g injektiv ist und g f : A C surjektiv, dnn ist f surjektiv. (b) Wenn f surjektiv ist und g f injektiv, dnn ist g injektiv. A 6.7 Gegeben sind die Mengen N und M sowie die Abbildung f : N M. Zeigen Sie, dß für beliebige Mengen A, B N gilt: () f(a B) = f(a) f(b). (b) f(a B) f(a) f(b). (c) Ist f injektiv, so gilt in (b) ds Gleichheitszeichen.

19 9 A 6.8 () Zeigen Sie 2n + < 2 n für lle n N, n 3. (b) Für welche ntürlichen Zhlen n gilt n 2 < 2 n? Benutzen Sie vollständige Induktion. A 6.9 Beweisen oder widerlegen Sie (benutzen Sie gegebenenflls vollständige Induktion): () Für lle ntürlichen Zhlen n, n 3 gilt (n + )! < n n. (b) Für lle ntürlichen Zhlen n gilt (c) Für lle ntürlichen Zhlen n gilt n n + = 5n2 9n + 5. n(n + ) n 2 (2n )(2n + ) k=0 = n(n + ) 2(2n + ). A 6.0 Für n N 0 definiert mn n! rekursiv durch 0! := und (n + )! := n! (n + ). Zeigen Sie, dß für lle, b R und lle n Z, n 0 gilt ( ) n ( + b) n = k b n k, k wobei ( ) n k := n! für lle n, k Z, 0 k n. k!(n k)! A 6. () Zeigen Sie, dß für lle R, 0 gilt: + 2. (b) Zeigen Sie, dß für lle, b R gilt: + b + b + b. A 6.2 Zeigen Sie, dß eine Teilmenge I R von R genu dnn ein Intervll ist, wenn für lle, b I und lle x R gilt: < x < b = x I. A 6.3 Zeigen Sie: () Sind und b reelle Zhlen mit < b, so gibt es unendlich viele rtionle Zhlen q mit < q < b. (b) Ist R und M = {q Q < q}, so ist ds Infimum von M. A 6.4 Gegeben ist die Polynomfunktion f : R R, x x n + n x n x + 0 mit n N und 0,,..., n R. Zeigen Sie: Ist R eine Nullstelle von f, d.h. f() = 0, so gilt ( M, M) mit M = n +. Geben Sie ein Beispiel n. A 6.5 Zeigen Sie: () Sind n, m ntürliche Zhlen und ist n R irrtionl, so ist uch n + m irrtionl. (b) Sind, b, c und d gnze Zhlen und ist x R irrtionl, so ist uch irrtionl, flls d bc 0. x + b cx + d

20 KAPITEL 2 Folgen und Reihen. Folgen Definition. Eine Funktion f : N R, n n heißt Folge (reeller Zhlen). Bemerkung. Ist f : N R, n n eine Folge, so schreibt mn uch bkürzend ( n ) oder ( n ) = (, 2, 3,...). Beispiel.. Die konstnte Folge mit n = für lle n N, lso ( n ) = (,,,...). 2. n = n für lle n N, lso ( n) = (, 2, 3,...). n = ( )n n für lle n N, lso ( n ) = (, 2, 3, 4, 5,...). 3. Rekursiv definierte Folgen: = 0, n+ = 2 ( + n), lso ( n ) = (0, 2, 3 4, 7 8,...). Definition.2 heißt Grenzwert oder Limes der Folge ( n ), wenn es zu jeder reellen Zhl ɛ > 0 eine ntürliche Zhl n 0 N gibt, so dß für lle n N, n n 0 gilt: n < ɛ. Eine Folge ( n ) heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert ht, nderenflls divergent. Bemerkung.. Die Formlisierung von Definition.2 lutet: ist Grenzwert der Folge ( n ) ɛ > 0 n 0 N n n 0 : n < ɛ. 2. Ist Grenzwert der Folge ( n ), so schreibt mn = lim n n oder kurz = lim n. Konvergiert ( n ) gegen Null, so heißt ( n ) Nullfolge. 3. Stimmen die beiden Folgen ( n ) und (b n ) bis uf die ersten k Folgeglieder überein und konvergiert ( n ) mit lim n =, so konvergiert uch (b n ) mit lim b n =, denn zu jedem ɛ > 0 gibt es ein n 0 N mit n < ɛ für lle n n 0, lso b n < ɛ für lle n > mx{n 0, k}.

21 2 Beispiel.. Die konstnte Folge ( n ) mit n = für lle n N konvergiert gegen ist Grenzwert der Folge ( n ) mit n =. n Beweis. Sei ɛ > 0 gegeben. Dnn gibt es wegen Folgerung 3 nch Stz 5. us Kpitel eine ntürliche Zhl n 0 mit 0 < n 0 < ɛ. Für lle n N mit n n 0 gilt dnn n 0 = n n 0 < ɛ. 3. Die Folge ( n ) mit n = n n+ ( )n divergiert. Beweis. Wir nehmen n, dß ( n ) konvergiert mit = lim n. Dnn gibt es ein n 0 N, so dß für lle n n 0 gilt n <. Für lle n n 2 0 folgt hierus n+ <, 2 lso n+ n n+ + n < + =, im Widerspruch zu 2 2 n+ n = n+ + n > + =. n+2 n+ 2 2 Stz.3 Eine Folge reeller Zhlen ( n ) ht höchstens einen Grenzwert. Beweis. Wir nehmen n, dß ( n ) zwei verschiedene Grenzwerte und b ht. Definieren wir ɛ := 2 b, so gibt es ein n 0 N, so dß n < ɛ und n b < ɛ für lle n n 0 gilt, lso b n + n b < ɛ + ɛ = 2 b + 2 b = b - Widerspruch. Eine Folge heißt beschränkt, nch oben beschränkt oder nch unten beschränkt, wenn die Menge { n n N} der Folgeglieder die entsprechende Eigenschft ht. Stz.4 Eine konvergente Folge ist beschränkt. Beweis. Ist ( n ) konvergent mit = lim n, so gibt es ein n 0 N mit n < für lle n n 0, lso n n + < +. Für s := mx{, 2,..., n0, + } folgt dnn n s für lle n N. Stz.5 Sind ( n ) und (b n ) konvergente reelle Zhlenfolgen, dnn konvergieren uch die Folgen ( n + b n ), ( n b n ), ( n b n ) und ( n ), und es gilt lim( n + b n ) = lim n + lim b n, lim( n b n ) = lim n lim b n, lim( n b n ) = lim n lim b n, lim( n ) = lim( n ). Gilt b n 0 für lle n N und lim b n 0, so konvergiert ( n b n ) mit lim n b n Gilt n b n für lle n N, so folgt lim n lim b n. Beweis. Sei = lim n und b = lim b n sowie ɛ > 0. = lim n lim b n.. Es gibt n 0 N, so dß n < ɛ und b 2 n b < ɛ für lle n n 2 0 gilt. Dnn folgt n +b n (+b) n + b n b < ɛ + ɛ = ɛ und entsprechend 2 2 n b n ( b) < ɛ. 2. Wegen Stz.4 ist (b n ) beschränkt, d.h., es gibt ein s R, s > 0 mit b n s für lle n N. Es existiert nun ein n 0 N, so dß n s < ɛ und b 2 n b < ɛ für lle 2 n n 0 gilt. Dmit ergibt sich n b n b = n b n b n + b n b n b n b n + b n b = n b n + b n b n s + ɛ < ɛ + ɛ = ɛ

22 22 3. Es gibt ein n 0 N, so dß n < ɛ für lle n n 0 gilt, lso wegen Stz 4.2 us Kpitel uch n n < ɛ für lle n n Wegen b 0 gibt es ein n 0 N, so dß b n b < b für lle n n 2 0 gilt. Hierus folgt b = b n + (b b n ) b n + b b n b n + b b, lso b 2 2 n, d.h. b n 2. b Schließlich ergibt sich für genügend großes n n b n b = n + b n b b b n 2 b n b n + 2 b b 2 n b < ɛ. 5. Sei n b n für lle n N und b <. Für genügend großes n gilt dnn n < b 2 und b b n < b. Für diese n folgt dnn der Widerspruch b b + b 2 n n = b + b n n n + b n b < b + b = b. 2 2 Beispiel. Wir betrchten zunächst die spezielle Folge ( n ) mit n = n+, n N. Wegen n n = + und lim = 0 folgt lim n n n = + 0 =. Dieses Beispiel knn nun leicht folgendermßen verllgemeinert werden. Sei n = c i n i c n + c 0 d j n j d n + d 0, mit c k, d k R und c i, d j 0. Dnn folgt n = ni n c i + c i c n ( n )i + c 0 ( n )i j d j + d j d n ( n )j + d 0 (. n )j Der Grenzwert des zweiten Fktors ist wegen Stz.5 offenbr c i d j. Gilt i = j, so ist lim n = c i d j gezeigt. Gilt i < j, so folgt lim n = (lim n )j i ci d j = 0. Ist ber i > j, so divergiert ( n ). Um ds einzusehen, nehmen wir = lim n n. Wegen lim n j i = 0 wäre dnn 0 = 0 = lim n j i lim n = c i d j ein Widerspruch. Möchte mn die Konvergenz einer Folge ( n ) mit Hilfe von Definition.2 zeigen, so muß zuvor der Grenzwert = lim n beknnt sein. Oft ist es ber möglich, die Konvergenz von ( n ) uf ndere Art nchzuweisen, während die Berechnung des Grenzwertes durchus sehr schwierig sein knn. Definition.6 Die reelle Zhlenfolge ( n ) heißt (streng) monoton steigend, wenn n n+ ( n < n+ ) für lle n N gilt. Bemerkung.. Entsprechend definiert mn (streng) monoton fllende Folgen. 2. Durch vollständige Induktion läßt sich leicht zeigen, dß ( n ) genu dnn (streng) monoton steigend bzw. (streng) monoton fllend ist, wenn n m ( n < m ) bzw. n m ( n > m ) für lle n, m N, n < m gilt. Stz.7 Ist ( n ) monoton steigend und nch oben beschränkt oder monoton fllend und nch unten beschränkt, so konvergiert ( n ).

23 23 Beweis. Sei ( n ) monoton steigend und nch oben beschränkt. Dnn existiert ds Supremum von { n n N}, und wir zeigen lim n =. Sei lso ɛ > 0 gegeben. Weil ɛ keine obere Schrnke von { n n N} ist, gibt es ein n 0 N mit ɛ < n0, lso n0 n für lle n N, n n 0, d ( n ) monoton steigend ist. Für lle n N, n n 0 gilt somit n = n = n0 + n0 n n0 < ɛ. Ist ( n ) monoton fllend und nch unten beschränkt, so ist ( n ) monoton steigend und nch oben beschränkt. Es folgt lim( n ) = lim n. Bemerkung. Die Vorussetzung von Stz.7 knn dhingehend bgeschwächt werden, dß ( n ) b dem k-ten Folgeglied monoton steigend (fllend) ist, denn wegen Bemerkung 3 nch Definition.2 beeinflussen die ersten k Folgeglieder ds Konvergenzverhlten einer Folge nicht. Beispiel. Sei c R, c > 0 und ( n ) rekursiv definiert mit = und n+ = 2 ( n + c n ), n N. Mn zeigt leicht durch vollständige Induktion, dß n > 0 für lle n N gilt. Wir beweisen nun, dß ( n ) b dem 2. Folgeglied monoton fllend ist. Sei lso n >. n n+ = n n 2 c 2 n = n 2 c 2 n = 2 n c 2 n = ( 2 n 4 ( n + c ) 2 c) n = ( 2 n 4 ( n c )) 2 0. n Wegen Stz.7 konvergiert ( n ) und folglich uch ( n+ ) mit lim n = lim n+ =:. Um zu berechnen, wenden wir Stz.5 uf die Gleichung n und erhlten = 2 (2 + c), lso 2 = c. n n+ = 2 (2 n + c) Für die prktische Anwendung ist die Folge ( n ) gut geeignet, um c zu pproximieren. Diese Methode ist bereits seit dem Altertum beknnt und wird häufig dem griechischen Mthemtiker Heron von Alexndrien zugeschrieben. In modernerer Sprechweise ist es ein Spezilfll des Newton-Verfhrens zur Berechnung der positiven Nullstelle von x 2 c. Ist die Folge ( n ) beschränkt, ber weder monoton steigend noch monoton fllend, so ist ( n ) im llgemeinen nicht konvergent. Anschulich ist ber klr, dß sich die Folgeglieder n mindestens einer Stelle häufen müssen. Definition.8 Ist ( n ) eine reelle Zhlenfolge, so heißt Häufungspunkt von ( n ), wenn es zu jedem ɛ > 0 und jedem m N ein n m gibt, so dß n < ɛ gilt.

24 24 Bemerkung. Die Formlisierung von Definition.8 lutet: ist Häufungspunkt von ( n ) ɛ > 0 m N n m : n < ɛ. Beispiel. Wir betrchten die Folge ( n ) mit n = n+ n ( )n, n N. Behuptung: und sind Häufungspunkte von ( n ). Dzu sei ɛ > 0 und m N. Zunächst gibt es ein gerdes n N mit n m und < ɛ, lso n n = n + n = n < ɛ. Dmit ist Häufungspunkt von ( n ). Es gibt ber uch ein ungerdes n N mit n m und < ɛ, lso n n = + n + = n n < ɛ. Dmit ist uch Häufungspunkt von ( n ). Offenbr gilt in diesem Beispiel, dß ( 2, 4, 6,...) gegen und (, 3, 5,...) gegen konvergiert. Definition.9 Ist ( n ) eine Folge und f : N N streng monoton steigend, so heißt (b n ) mit b n = f(n) Teilfolge von ( n ). Beispiel.. (b n ) = ( 2, 3, 4,...) ist eine Teilfolge von ( n ), denn f : N N, n n + ist streng monoton steigend und b n = f(n) für lle n N. 2. (b n ) = (, 4, 9,...) ist eine Teilfolge von ( n ), denn f : N N, n n 2 ist streng monoton steigend und b n = f(n) für lle n N. Bemerkung.. Ist f : N N streng monoton steigend, dnn gilt f(n) n für lle n N, wie mn leicht durch vollständige Induktion zeigen knn. 2. Ist ( n ) konvergent mit lim n =, so konvergiert jede Teilfolge (b n ) von ( n ) gegen, denn ist ɛ > 0, so gibt es ein n 0 N mit n < ɛ für lle n n 0, und für lle n n 0 gilt f(n) f(n 0 ) n 0, lso b n = f(n) < ɛ. Stz.0 Ist ( n ) eine reelle Zhlenfolge, so ist R genu dnn ein Häufungspunkt von ( n ), wenn es eine Teilfolge (b n ) von ( n ) gibt, die gegen konvergiert. Beweis.. Sei lim b n = mit b n = f(n) und f : N N streng monoton steigend. Zu zeigen ist, dß ein Häufungspunkt von ( n ) ist. Sei lso ɛ > 0 und m N. Dnn gibt es zunächst ein n 0 N, so dß b n < ɛ für lle n n 0 gilt. Setzen wir n = mx{m, n 0 }, so folgt n n 0, lso f(n) < ɛ. Wegen n m gilt ber uch f(n) f(m) m, d.h. ist ein Häufungspunkt von ( n ). 2. Sei nun ndererseits ein Häufungspunkt von ( n ). Zu zeigen ist, dß es eine Teilfolge (b n ) von ( n ) mit lim b n = gibt. Dzu definieren wir rekursiv eine geeignete streng monoton steigende Funktion f : N N mit f(n) < für lle n N. Zunächst gibt es ein n

25 25 k N mit k <, und wir setzen f() = k. Sind f(), f(2), f(3),..., f(n) bereits mit den Eigenschften f() < f(2) < f(3) <... < f(n) und f(i) < für i =,..., n i definiert, so gibt es ein k N mit k > f(n) und k <, d ein Häufungspunkt n+ von ( n ) ist. Wir setzen nun f(n + ) = k. Behuptung: lim b n = mit b n = f(n), n N. Um ds zu beweisen, sei ɛ > 0 gegeben. Zunächst existiert n 0 N mit n 0 < ɛ. Für lle n n 0 folgt dnn uf Grund der obigen Eigenschften von f b n = f(n) < n < ɛ. n 0 Dieses zeigt gerde, dß die Teilfolge (b n ) gegen konvergiert. Bemerkung.. Ist Grenzwert der Folge ( n ), so ist einziger Häufungspunkt von ( n ). Dieses folgt direkt us Stz.0 wegen Bemerkung 2 nch Definition Kommt R in der Folge ( n ) unendlich oft vor, d.h. ist {n N n = } unendlich, so ist Häufungspunkt von ( n ). Beispiel. Wir betrchten die Folge ( n ) = (,, 2,, 2, 3,,...) und wollen lle Häufungspunkte von ( n ) ermitteln. Zum Beispiel sind 0 und Häufungspunkte, denn (,,,...) ist eine Teilfolge von ( n ), die gegen 0 konvergiert, und (, 2, 3,...) eine Teilfolge, die gegen konvergiert. Wegen 0 < n < für lle n N liegen lle weiteren Häufungspunkte in (0, ). Behuptung: Jedes [0, ] ist Häufungspunkt von ( n ). Um ds zu beweisen, betrchten wir ein beliebiges [0, ], wobei die Fälle = 0 und = schon oben behndelt wurden. Sei lso 0 < <. Zu zeigen ist, dß es zu jedem ɛ > 0 und jedem m N ein n m mit n < ɛ gibt. Wegen 0 < < und Folgerung 4 nch Stz 5. us Kpitel gibt es z.b. ein q Q mit < q <. Wir können sogr < q < + ɛ, lso q < ɛ nnehmen. D in ( n ) jede rtionle Zhl us (0, ) uftritt, gilt q = n für ein n N. Mn knn nun sogr n m nnehmen, denn q tritt in ( n ) unendlich oft uf: q = r = 2r = 3r = 4r =.... Dmit s 2s 3s 4s ist die Behuptung gezeigt. Der folgende Stz ist ein zentrles Ergebnis der reellen Anlysis, ds wir mit Stz 5.3 us Kpitel beweisen werden, d.h., wir nutzen us, dß [, b] kompkt ist. Stz. (Bolzno-Weierstrß ) Jede beschränkte reelle Zhlenfolge ( n ) ht mindestens einen Häufungspunkt. Beweis. Sei n b für lle n N. Ist { n n N} endlich, so folgt die Behuptung sofort us Bemerkung 2 nch Stz.0. Sei lso { n n N} nicht endlich. Zu zeigen ist r R ɛ > 0 m N n m : n r < ɛ. Wir beweisen die Behuptung mit einem Widerspruchsbeweis, d.h., wir nehmen n r R ɛ > 0 m N n m : n r ɛ.

26 26 Zu jedem r R gibt es somit (im llgemeinen von r bhängende) ɛ r > 0 und m r N mit n r ɛ r für lle n m r. Wegen (r ɛ r, r + ɛ r ) = {x R x r < ɛ r } liegen in den offenen Intervllen (r ɛ r, r + ɛ r ) nur endlich viele Folgeglieder. Nun ist ber {(r ɛ r, r+ɛ r ) r [, b]} eine Überdeckung von [, b] durch offene Intervlle, die wegen Stz 5.3 us Kpitel ein endliches Teilsystem enthält, ds [, b] überdeckt. D, wie oben gezeigt, jedes dieser endlich vielen Intervlle nur endlich viele Folgeglieder enthält, liegen uch nur endlich viele Folgeglieder von ( n ) in [, b], d.h., { n n N} ist endlich - Widerspruch. Zum Abschluß dieses Abschnitts soll noch ein weiteres Konvergenzkriterium für Folgen ngegeben werden, bei dem uf die Kenntnis des Grenzwertes verzichtet werden knn. Definition.2 Eine Folge ( n ) heißt Cuchy-Folge, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N gibt, so dß für lle m, n n 0 gilt n m < ɛ. Bemerkung.. Die Formlisierung von Definition.2 lutet: ( n ) ist Cuchy-Folge ɛ > 0 n 0 N n, m n 0 : n m < ɛ. 2. Jede konvergente Folge ( n ) ist eine Cuchy-Folge, denn gilt lim n =, so gibt es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N mit n < ɛ 2 für lle n n 0, d.h. n m = n + m n + m < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ für lle n, m n 0. Wichtig ist nun, dß uch die Umkehrung von Bemerkung 2 gilt. Stz.3 Ist ( n ) eine Cuchy-Folge, so konvergiert ( n ) in R. Beweis. Wir zeigen zunächst, dß ( n ) beschränkt ist. D ( n ) eine Cuchy-Folge ist, existiert ein n 0 N mit n m < für lle n, m n 0. Für lle n n 0 gilt lso n = n n0 + n0 n n0 + n0 < + n0. Somit folgt für lle n N n mx{,..., n0, + n0 }. Wegen Stz. ht ( n ) einen Häufungspunkt, und wir zeigen, dß ( n ) gegen konvergiert. Sei lso ɛ > 0. Dnn gibt es ein n 0 N mit n m < ɛ für lle n, m n 2 0. D nun ein Häufungspunkt von ( n ) ist, gibt es ein m n 0 mit m < ɛ. Zusmmen folgt 2 schließlich für lle n n 0 n = n m + m n m + m < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.

27 27 Bemerkung.. Stz.3 heißt uch Cuchysches Konvergenzkriterium. 2. Die Eigenschft, dß in R jede Cuchy-Folge konvergiert, bezeichnet mn ls Vollständigkeit von R. D es in Q Cuchy-Folgen gibt, die in Q nicht konvergieren, sgt mn uch, dß Q nicht vollständig ist. 3. Insgesmt wurde gezeigt, dß R ein vollständiger ngeordneter Körper ist, in dem Q dicht liegt (vgl. Bemerkung 4 nch Stz 5. us Kpitel ). Durch diese Eigenschften ist R im wesentlichen eindeutig bestimmt. 2. Reihen Ist ( n ) eine Folge reeller Zhlen, so sgt mn, dß die forml geschriebene unendliche Reihe = n= n konvergiert bzw. divergiert je nchdem, ob der Grenzwert lim k k n= n existiert oder nicht. Die endlichen Summen s k = k = heißen zugehörige Teilsummen. Somit konvergiert n= n genu dnn, wenn die Folge (s k ) der zugehörigen Teilsummen konvergiert. Gilt lim k s k =, so schreibt mn n =. n= Werden nicht lle Folgeglieder summiert, sondern nur die b dem n 0 -ten Folgeglied, so schreibt mn n=n 0 n =. Bemerkung. Wendet mn Stz.5 uf die Folge der Teilsummen n, so erhält mn: Konvergieren n=n 0 n und n=n 0 b n, so uch n=n 0 ( n + b n ) und n=n 0 n für lle R, und es gilt k n= n ( n + b n ) = n + b n, n=n 0 n=n 0 n=n 0 n = n. n=n 0 n=n 0

28 28 Beispiel (Die geometrische Reihe). Sei q R. Dnn definieren wir für jedes n N 0 s n = + q + q q n, lso + q s n = + q + q q n + q n+ = s n + q n+ und somit s n = qn+. q Gilt q <, so folgt lim n q n = 0 (vgl. Aufgbe 3.5) und dmit q n = n=0 q für q <. Ist q > oder q =, so ist die Folge (s n ) nicht beschränkt und dmit uch nicht konvergent. Ist schließlich q =, so folgt s n =, flls n gerde ist, und s n = 0, flls n ungerde ist. In diesem Flle ht (s n ) zwei Häufungspunkte und ist dher nicht konvergent. Stz 2. Die unendliche Reihe i=i 0 i konvergiert genu dnn, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N gibt, so dß für lle m n n 0 gilt m i=n+ i < ɛ. Beweis. Ist s k = k i=i 0 i, so konvergiert i=i 0 i genu dnn, wenn die Folge (s k ) der Teilsummen konvergiert. Wegen Stz.3 und Bemerkung 2 dvor ist dieses ber genu dnn der Fll, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N gibt, so dß für lle n, m n 0 gilt s m s n < ɛ (mn knn hier m n nnehmen), lso m i=n+ i < ɛ. Bemerkung. Stz 2. heißt uch Cuchysches Konvergenzkriterium. Es zeigt, dß Fortlssen oder Verändern von endlich vielen Summnden ds Konvergenzverhlten einer unendlichen Reihe nicht beeinflußt. Ist mn nur drn interessiert, ob n=n 0 n konvergiert, so schreibt mn uch n sttt n=n 0 n. Ist mn ber m Grenzwert selbst interessiert, so ist die genue Bezeichnung n=n 0 n wichtig, denn es gilt offenbr für lle n 0 N. n = n0 + n= Stz 2.2 Konvergiert n, so gilt lim n = 0. n=n 0 n Beweis. Sei ɛ > 0. Wegen Stz 2. gibt es ein n 0 N mit m i=n+ i < ɛ für lle m n n 0, lso insbesondere n+ i=n+ i = n+ = n+ 0 < ɛ für lle n n 0. Die Umkehrung von Stz 2.2 gilt nicht. Dzu folgendes

29 29 Beispiel (Die hrmonische Reihe ). n Es gilt zwr lim = 0, ber wir zeigen, dß die hrmonische Reihe nicht konvergiert. Wegen n Stz 2. reicht es us, ein ɛ > 0 so nzugeben, dß es zu jedem n 0 N ntürliche Zhlen m n n 0 mit m i=n+ ɛ gibt. Wir wählen ɛ =. Ist nun n n 2 0 eine beliebige ntürliche Zhl, so definieren wir n = n 0 und m = 2n. Es folgt m i=n+ i = n + + n n 2n + 2n }{{ 2n} n ml Stz 2.3 Ist n konvergent, so uch n. = n 2n = 2. Beweis. Sei ɛ > 0. Wegen Stz 2. gibt es ein n 0 N mit m i=n+ i = m i=n+ i < ɛ für lle m n n 0. Aus der Dreiecksungleichung folgt dmit für lle m n n 0 m m i i < ɛ, i=n+ lso wegen Stz 2. die Behuptung. i=n+ Definition 2.4 Die Reihe n heißt bsolut konvergent, wenn n konvergiert. Bemerkung. Stz 2.3 besgt lso, dß jede bsolut konvergente Reihe uch konvergiert. Wegen m n=n 0 n m n=n 0 n gilt dnn n=n 0 n n=n 0 n. Dß nicht jede konvergente Reihe uch bsolut konvergiert, zeigt folgendes Beispiel (Die lternierende hrmonische Reihe ( ) n ). n Ist n = ( ) n, lso n n = für lle n N, so konvergiert n n nicht (vgl. Beispiel nch Stz 2.2). D ber ( ) monoton fllend ist mit lim = 0, folgt die Konvergenz der n n lternierenden hrmonischen Reihe us Stz 2.5 Ist die Folge ( n ) monoton fllend mit lim n = 0, so konvergiert ( ) n n. Beweis. Wir zeigen zunächst n 0 für lle n N. Annhme: Es gibt ein n 0 N mit n0 < 0. Dnn folgt n n0 < 0 für lle n n 0, d ( n ) monoton fllend ist. Mit ɛ := 2 n 0 > 0 folgt für lle n n 0 n 0 = n n0 > ɛ. Dmit ist 0 kein Häufungspunkt von ( n ), im Widerspruch zu lim n = 0. Wir beweisen jetzt die Konvergenz von ( ) n n. Sei ɛ > 0. Wegen lim n = 0 gibt es ein n 0 N mit 0 n0 < ɛ, lso 0 n < ɛ für lle n n 0. Für lle m n n 0 folgt nun, flls m n gerde ist, m ( ) i i = n+ n m m i=n+ = ( n+ n+2 ) ( m m ) = n+ ( n+2 n+3 )... ( m 2 m ) m n+ < ɛ,

30 30 und flls m n ungerde ist m ( ) i i = n+ n m 2 m + m i=n+ = ( n+ n+2 ) ( m 2 m ) + m = n+ ( n+2 n+3 )... ( m m ) n+ < ɛ. Bemerkung. Stz 2.5 heißt Leibnizkriterium. Unendliche Reihen der Form ( ) n n, wobei lle n positiv oder lle negtiv sind, heißen lternierend. Die folgenden beiden Sätze sind nützliche Hilfsmittel für den Nchweis der bsoluten Konvergenz einer Reihe. Stz 2.6 Gilt n b n für lle n N und konvergiert b n, so konvergiert n bsolut. Gilt 0 b n n für lle n N und divergiert b n, so divergiert n. Beweis. Wegen Stz 2. gibt es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N mit m i=n+ b i = m i=n+ b i < ɛ für lle m n n 0, lso m i=n+ i = m i=n+ i m i=n+ b i < ɛ für lle m n mx{n 0, N}. Mit Stz 2. folgt die Konvergenz von n. Die zweite Behuptung ergibt sich unmittelbr us der ersten durch Kontrposition. Bemerkung. Konvergiert b n und gilt n b n, so heißt b n konvergente Mjornte von n. Gilt 0 b n n und divergiert b n, so heißt b n divergente Minornte. Beispiel. Wir wenden Stz 2.6 n, um die Konvergenz von n= Zunächst ht die Reihe die Mjornte } 2 {{ 4 2 } } 2 {{ 8 2 } 4 ml 8 ml n 2 zu zeigen. Ist s n die n-te Teilsumme der Mjornte, so ist (s n ) streng monoton steigend, und es gilt z.b. s =, s 3 = +, s 2 7 = + + und llgemein 2 4 s 2 n = ( n 2 )n = = 2. 2 n=0

31 3 Dmit folgt s n s 2 n 2 für lle n N wegen n 2 n und der Monotonie von (s n ), d.h., n= und n 2 n= ( )n hben eine konvergente Mjornte. Sehr viel schwieriger n 2 dgegen ist der Nchweis von n= n 2 Stz 2.7 Gibt es ein q R, 0 < q < mit = π2 6 und n= ( )n n 2 = π2 2. n+ n q < für lle n N oder n n q < für lle n N, so konvergiert n=n 0 n bsolut. Beweis. Im ersten Fll knn mn zunächst leicht durch vollständige Induktion zeigen, dß n q n N N für lle n N gilt. Wegen 0 < q < konvergiert die geometrische Reihe q n, und somit ist N q N n=n 0 q n eine konvergente Mjornte von n=n 0 n. Im zweiten Fll gilt n q n für lle n N, und deshlb ist q n eine konvergente Mjornte von n. Bemerkung.. Der erste Teil von Stz 2.7 heißt Quotientenkriterium, der zweite Teil Wurzelkriterium. 2. Konvergiert die Folge ( n+ n ) mit lim n+ n <, so gibt es ein q R, 0 < q <, und ein N N mit n+ n < q für lle n N, d.h. n konvergiert bsolut wegen Stz 2.7. Entsprechend folgt die bsolute Konvergenz von n, wenn lim n n <. Beispiel. Für lle x R konvergiert die Reihe x n n=0 bsolut. Um dieses einzusehen, n! verwenden wir ds Quotientenkriterium. Mit n = xn gilt für x 0 n! n+ n = x n+ n! (n + )! x = x n n +. Also folgt lim n+ x n = lim = 0, und wegen Bemerkung 2 nch Stz 2.7 (Quotientenkriterium) konvergiert x n n+ n=0 bsolut für lle x R. n! Entsprechend ergibt sich uch die bsolute Konvergenz der Reihen ( ) n x 2n n=0 (2n)! und n=0 ( ) n x 2n+, denn (2n + )! lim ( )n+ x 2(n+) (2n)! n (2(n + ))! ( ) n x = 2n lim n x 2 (2n + 2)(2n + ) = 0 und

32 32 lim ( )n+ x 2(n+)+ (2n + )! n (2(n + ) + )! ( ) n x = 2n+ lim x 2 n (2n + 3)(2n + 2) = 0. Durch diese drei unendlichen Reihen werden lso jeweils reelle Funktionen definiert, die in den folgenden Kpiteln noch näher untersucht werden: exp : R R, x cos : R R, x sin : R R, x x n (Exponentilfunktion), n! ( ) n x 2n (Cosinusfunktion), (2n)! ( ) n x 2n+ (Sinusfunktion). (2n + )! n=0 n=0 n=0 Insbesondere wird gezeigt, dß die Sinus- und Cosinusfunktion mit den entsprechenden elementrgeometrischen Funktionen übereinstimmen. Zunächst ist es ber ds Ziel, die beknnten Additionstheoreme zu beweisen. Dbei wird die Methode der Multipliktion von unendlichen Reihen benutzt (Cuchy-Produkte), die sich us dem folgenden Umordnungsstz für bsolut konvergente Reihen ergibt. Stz 2.8 Ist n=0 n bsolut konvergent mit n=0 n = und ϕ : N 0 N 0 eine bijektive Abbildung, so ist uch n=0 ϕ(n) bsolut konvergent mit n=0 ϕ(n) =. Beweis. Sei ɛ > 0. Dnn existiert ein k N mit k i < ɛ 2 und i < ɛ 2. i=0 i=k+ Weiterhin gibt es ein m N mit 0,,..., k {ϕ(0), ϕ(),..., ϕ(m)}. Für lle n m folgt k ϕ(i) i i < ɛ 2, lso i=0 i=0 i=k+ ϕ(i) = i=0 k k i + i ϕ(i) i=0 < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. i=0 k i + i=0 k i i=0 i=0 i=0 ϕ(i) Somit gilt n=0 ϕ(n) = n=0 n, lso uch n=0 ϕ(n) = n=0 n. Bemerkung. ϕ(n) heißt Umordnung von n. Konvergiert n, ber nicht bsolut, so gibt es sogr zu jedem R eine Umordnung von n, die gegen konvergiert. Sind n=0 n und n=0 b n zwei konvergente Reihen, so heißt jede Reihe n=0 c n Produktreihe von n=0 n und n=0 b n, wenn in der Folge (c 0, c, c 2,...) genu die Produkte

33 33 i b j vorkommen, d.h., wenn es eine bijektive Abbildung f : N 0 N 0 N 0, k (i k, j k ) mit c k = ik b jk für lle k N 0 gibt. Zum Beispiel ist 0 b 0 + ( 0 b + b 0 ) + ( 0 b 2 + b + 2 b 0 ) +... = n=0 k=0 k b n k eine Produktreihe von n=0 n und n=0 b n. Sie heißt Cuchy-Produkt von n=0 n und n=0 b n. Stz 2.9 Konvergieren die Reihen n=0 n und n=0 b n bsolut, so konvergiert jede Produktreihe n=0 c n bsolut, und es gilt n=0 c n = n=0 n n=0 b n. Beweis. Zu jedem k N gibt es ein m N, so dß c 0, c,..., c k unter den Produkten i b j, 0 i, j m vorkommen. Es folgt k c n n=0 m m n b n n=0 n=0 n b n. n=0 n=0 D die Folge der Teilsummen ( k n=0 c n ) monoton steigend ist, folgt die Konvergenz von n=0 c n mit Stz.7. Mn knn nun lim k k n=0 n k n=0 b n ls Umordnung von n=0 c n uffssen, so dß wegen der bsoluten Konvergenz von n=0 c n und des Umordnungsstzes gilt k k c n = lim n b n = n b n. k Beispiel. n=0 n=0 n=0. Als Anwendung von Stz 2.9 zeigen wir, dß exp x exp y = exp(x + y) für lle x, y R gilt. Dzu betrchten wir n=0 x n n! y n n! = c n mit c n = n=0 n=0 k=0 n=0 Mit Aufgbe 6.0 us Kpitel folgt nun c n = ( n )x k y n k = n! k Dmit ergibt sich insgesmt n=0 k=0 x n n! n=0 y n n! = n=0 x k k! y n k (n k)! n=0 (x + y)n. n! (x + y) n, n! (Cuchy-Produkt). d.h. exp x exp y = exp(x + y). Schreibt mn e x sttt exp x, so folgt e x e y = e x+y. Mn nennt e := e Eulersche Zhl, und es gilt e = +! + 2! + 3! +... =